-6-2013中文第6章-Bernoulli-Euler-beam可編輯

計(jì)算力學(xué)(力學(xué)系本科生)Chapter6二維Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧?.1二維梁理論梁是用來承受橫向載荷的結(jié)構(gòu)第六章二維Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧?6.1二維梁理論)梁的橫向載荷主要由彎曲變形來承載(中性面)neutralsurface(中性面)

：位于上底面和下底面之間的平面，該平面上的材料沿梁軸線方向既無伸長(zhǎng)也無縮短。梁理論的假定最簡(jiǎn)單和常見的棱柱形截面直梁模型有：Bernoulli-Euler梁理論Timoshenko梁理論(經(jīng)典梁理論)(工程梁理論)(考慮了橫向剪應(yīng)變,存在剪切閉鎖問題(shearlockingproblem)中性面與橫截面之間的交線叫橫截面的中性軸(neutralaxis)

如果梁由單一材料構(gòu)成，中性軸的位置僅由截面的幾何形狀決定。單元坐標(biāo)系統(tǒng)(ElementCoordinateSystems)中性軸橫截面對(duì)稱面2.橫截面是不變的或者光滑變化的。3.垂直于梁軸線的橫截面在梁彎曲后仍然垂直于梁軸線。1.對(duì)稱面(Planarsymmetry).梁沿長(zhǎng)度方向是直的，橫截面有一個(gè)沿長(zhǎng)度方向的對(duì)稱面，橫向載荷的合力位于此對(duì)稱面上。二維經(jīng)典梁理論的假定6.梁材料為均勻彈性材料。5.橫向撓度、轉(zhuǎn)角、變形為無限小。4.只考慮由于彎曲引起的應(yīng)變能，不考慮橫向剪切和軸向拉伸。satisfysymmetryconditionsforthesimplebendingtheorydoesnotsatisfythesymmetryrequirement梁彎曲后高度為y處的材料長(zhǎng)度為:平面曲線的曲率半徑為:第六章二維Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧?6.2EB梁的運(yùn)動(dòng)學(xué))6.2EB梁的運(yùn)動(dòng)學(xué)平面梁在xy平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)可以用二維位移場(chǎng)描述：transversedisplacement(橫向位移)axialdisplacement(軸向位移)Note:忽略z方向由于泊松效應(yīng)引起的運(yùn)動(dòng)。位移由垂直面假定可以得到rotationofacrosssectionaboutz,counterclockwise=positive.應(yīng)變,應(yīng)力,剪力,彎矩EB梁的內(nèi)能完全由彎曲應(yīng)變和應(yīng)力引起。κ-----deformedbeamaxiscurvature(曲率)y由一維虎克定律有應(yīng)力合力(stressresultant)為橫截面上σ的積分,稱為彎矩(bendingmoment)MEI關(guān)于z軸的彎曲剛度(bendingrigidity)momentofinertia(慣性矩)ofcrosssectionaboutthez(neutral)axis考慮梁微元y方向上的力平衡。yq(x)再考慮對(duì)右端面上任意一點(diǎn)的矩平衡：忽略二階小量(dx)2

得總勢(shì)能泛函總勢(shì)能為注意到U和W依賴于撓度v(x),于是注釋:如果作用有沿梁長(zhǎng)度的分布彎矩：m(x)每單位梁長(zhǎng)度，則該分布載荷做的外力功為運(yùn)動(dòng)方程(KE,Kinematicsequations):本構(gòu)方程(CE,Constitutiveequation):小結(jié)平衡方程(BE,Balanceequations):位移邊界條件:最簡(jiǎn)單的EB梁?jiǎn)卧袃蓚€(gè)節(jié)點(diǎn),i,j,共4個(gè)自由度:6.3二維梁?jiǎn)卧魏瘮?shù)第六章二維Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧?6.3二維梁?jiǎn)卧魏瘮?shù))有4個(gè)自由度的2節(jié)點(diǎn)EB梁滿足2個(gè)節(jié)點(diǎn)C1

連續(xù)的簡(jiǎn)單形函數(shù)是三次Hermitian函數(shù)ξ從－1到1之間變化，在節(jié)點(diǎn)i處(x=0)為－1，在節(jié)點(diǎn)j處(x=L)為1.HermitianshapefunctionsofplaneEBbeamelementcurvature-displacementmatrix.第六章二維Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧?6.4二維EB梁?jiǎn)蝿偧肮?jié)點(diǎn)載荷)6.4二維EB梁?jiǎn)蝿偧肮?jié)點(diǎn)載荷CheckstiffnessmatrixandnodalforcebyMapleHomework:(1)Derivethenodeforcevectorf(e)

ofEBbeamelementsubjecttoauniformlydistributedmomentmperunitlength.(2)Forarbitrarym(x),

showthat第六章二維Euler-Bernoulli梁?jiǎn)卧?6.5Maple演示及例題)6.5Maple演示及例題例6.1:一個(gè)等截面懸臂梁受到作用于自由端的向下集中力.梁材料Young’s模量E=69.0

GPa.12解:第一步:計(jì)算單元?jiǎng)偠汝囉邢拊胶夥匠虨镃anwesolvedabovelinearequationsrightnow?第二步:施加邊界條件在梁的固定端于是得到方程組:第三步:求解有限元方程組得到解為注意這個(gè)有限元解與解析解完全一致.Recallthat

Thus如果q(x)=0,則撓度v

為x的三次多項(xiàng)式,正好與用形函數(shù)插值假定的位移場(chǎng)一致.

如果沒有分布載荷,EB梁的有限元解就是簡(jiǎn)單梁理論的解析解.例6.2:一個(gè)梁兩端固定，在中點(diǎn)受集中力P和集中彎矩M作用.求中點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角，以及兩端的支反力.

解:有限元?jiǎng)偠汝嚍橄到y(tǒng)有限元方程為載荷與邊界條件為引入邊界條件后的有限元方程為解之得從系統(tǒng)有限元方程，可以得到邊界支反力梁的應(yīng)力為例6.3:一個(gè)懸臂梁受分布載荷p作用.求梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角,以及固定端的支反力.

解:節(jié)點(diǎn)載荷為于是有限元方程為載荷與邊界條件為得到引入邊界條件的有限元方程解之得從有限元方程可以計(jì)算支反力(1)有限元解v(x)(for0<x<L)與解析解有差異.基于簡(jiǎn)單梁理論的解析解是x的四次多項(xiàng)式,而有限元解是x的三次多項(xiàng)式.(why?)

注釋:CheckwithMaple(2)如果忽略由于分布力等效到節(jié)點(diǎn)而產(chǎn)生的彎矩m,則有由此導(dǎo)致的誤差會(huì)隨著單元數(shù)量的增多而減少.在一些有限元應(yīng)用中有時(shí)忽略m，也能夠通過使用更多的單元得到收斂解.

例6.4:如圖，一個(gè)懸臂梁在自由端用一彈簧支撐，劃分為2個(gè)單元。P=50kN,k=200kN