新教材(廣西專版)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量第二節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系課件

第二節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系第八章內(nèi)容索引0102強基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.借助長方體,在直觀認(rèn)識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上,抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個基本事實和一個定理,并能用定理解決問題.強基礎(chǔ)增分策略知識梳理1.平面的基本事實事實圖形文字語言符號語言基本事實1過

上的三個點,有且只有一個平面

當(dāng)三個點共線時,過這三點的平面有無數(shù)個A,B,C三點不共線?有且只有一個平面α,使A∈α,B∈α,C∈α不在一條直線

事實圖形文字語言符號語言基本事實2如果一條直線上的______

在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi)

A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α

不能寫成“?”基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們

過該點的公共直線

P∈α,且P∈β

?α∩β=l,且P∈l兩個點

有且只有一條

事實圖形文字語言符號語言基本事實4平行于同一條直線的兩條直線平行若直線a∥b,c∥b,則a∥c2.三個推論推論1:經(jīng)過一條直線與

,有且只有一個平面;

推論2:經(jīng)過兩條

直線,有且只有一個平面;

推論3:經(jīng)過兩條

直線,有且只有一個平面.

這條直線外一點

相交

平行

微點撥基本事實1及其推論給出了確定一個平面或判斷“直線共面”的方法;基本事實2的作用是判斷直線是否在某個平面內(nèi);基本事實3的作用是如何尋找兩相交平面的交線以及證明“線共點”的理論依據(jù);基本事實4是對初中平行線的傳遞性在空間中的推廣.微思考“有且只有一個平面”“確定一個平面”“共面”三者之間有何區(qū)別與聯(lián)系?提示

“確定一個平面”與“有且只有一個平面”是等價的,都包括“存在”和“唯一”兩個方面.但“共面”的意思是“在同一個平面內(nèi)”,只強調(diào)了“存在性”,不含“唯一性”.所以“共面”與前兩者是不同的.3.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

類型直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β類型直線與直線直線與平面平面與平面相交關(guān)系圖形語言符號語言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l類型直線與直線直線與平面平面與平面獨有關(guān)系圖形語言或

—符號語言a,b是異面直線a?α—異面直線既不平行,又不相交

微點撥1.判定直線與平面的位置關(guān)系時一定不要忽視“直線在平面內(nèi)”.2.不能把異面直線誤解為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線.3.異面直線不具有傳遞性.微思考平面外的一條直線上有兩個點到平面的距離相等,則直線與平面的位置關(guān)系如何?提示

平行或相交

4.等角定理如果空間中兩個角的

,那么這兩個角相等或互補.

兩邊分別對應(yīng)平行

常用結(jié)論1.異面直線判定的一個定理過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線,與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.2.唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.對點演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)沒有公共點的兩條直線是異面直線.(

)(2)兩兩平行的三條直線可以確定三個平面.(

)(3)兩個平面α,β有一個公共點A,就說α,β相交于過A點的任意一條直線.(

)(4)如果兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合.(

)××××2.已知兩條相交直線a,b,a∥平面α,b與平面α的位置關(guān)系是(

)A.b∥α B.b與α相交C.b?α D.b∥α或b與α相交答案D

解析

因為a,b是兩條相交直線,所以a,b確定一個平面β,若β∥α,則b∥α,若β與α相交,則b與α相交,故選D.3.如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點,則(1)當(dāng)AC,BD滿足條件

時,四邊形EFGH為菱形;

(2)當(dāng)AC,BD滿足條件

時,四邊形EFGH為正方形.

答案

(1)AC=BD

(2)AC=BD且AC⊥BD

增素能精準(zhǔn)突破考點一基本事實的應(yīng)用典例突破例1.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB和AA1的中點.求證:(1)E,C,D1,F四點共面;(2)CE,D1F,DA三線共點.證明(1)如圖,連接EF,CD1,A1B.∵E,F分別是AB,AA1的中點,∴EF∥A1B.又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四點共面.(2)∵EF∥CD1,EF<CD1,∴CE與D1F必相交,設(shè)交點為P,如圖所示.則由P∈CE,CE?平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直線DA,∴CE,D1F,DA三線共點.方法總結(jié)共面、共線、共點問題的證明方法

對點訓(xùn)練1(1)(多選)(2023湖北龍泉中學(xué)?？?已知α,β是兩個不同的平面,則下列命題正確的是(

)A.若α∩β=l,點A∈α且點A∈β,則A∈lB.若A,B,C是平面α內(nèi)不共線三點,A∈β,B∈β,則C?βC.若點A∈α且點B∈α,則直線AB?αD.若直線a?α,直線b?β,則a與b為異面直線(2)(多選)已知P,Q,R,S分別是正方體或四面體所在棱的中點,則這四個點共面的是(

)答案

(1)ABC

(2)ABC

解析(1)∵A∈α且A∈β,∴A是平面α和平面β的公共點,又α∩β=l,可得A∈l,故A正確;過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面,又A∈β,B∈β,且A,B,C∈α,則C?β,故B正確;如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi),故C正確;∵平面α,β位置不確定,∴直線a,b的位置關(guān)系不確定,故D錯誤.故選ABC.(2)對于A,PS∥QR,所以四點共面;對于B,PS∥QR,所以四點共面;對于C,PQ∥SR,所以四點共面;對于D,PQ與SR為異面直線,故四點不共面.故選ABC.考點二空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系典例突破例2.(1)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列說法正確的是(

)A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交(2)(多選)已知G,N,M,H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH與MN是異面直線的圖形有(

)(3)(多選)(2023江蘇金陵中學(xué)三模)已知m,n,l為空間中三條不同的直線,α,β,γ,δ為空間中四個不同的平面,則下列說法中正確的有(

)A.若m⊥l,n⊥l,則m∥nB.已知α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,若l∩m=P,則P∈nC.若m⊥α,m⊥β,α∥γ,則β∥γD.若α⊥β,γ⊥α,δ⊥β,則γ⊥δ答案(1)D

(2)BD

(3)BC解析

(1)由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行,故l1,l2中至少有一條與l相交.(2)A中,直線GH∥MN;B中,G,H,N三點共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面;C中,連接MG,GM∥HN,因此GH與MN共面;D中,G,M,N共面,但H?平面GMN,因此GH與MN異面.故選BD.(3)若m⊥l,n⊥l,則m與n可能平行,可能相交,也可能異面,故A錯誤.∵α∩β=l,β∩γ=m,l∩m=P,∴P∈α,P∈γ.∵γ∩α=n,∴P∈n,故B正確.若m⊥α,m⊥β,則α∥β,又α∥γ,則β∥γ,故C正確.正方體中,設(shè)平面α為平面ABCD,平面β為平面BCC1B1,平面γ為平面ABB1A1,平面δ為平面CDD1C1,則α⊥β,α⊥γ,δ⊥β,但γ∥δ,故D錯誤,故選BC.方法總結(jié)空間兩直線位置關(guān)系的判定方法

對點訓(xùn)練2如圖,點N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點,則(

)A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線答案

B

解析

如圖,連接BD,BE.在△BDE中,N為BD的中點,M為DE的中點,∴BM,EN是相交直線,排除選項C,D.作EO⊥CD于點O,連接ON.作MF⊥OD于點F,連接BF.∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO?平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.同理,MF⊥平面ABCD.∴△MFB與△EON均為直角三角形.考點三正方體的切割(截面)問題典例突破例3.(1)(多選)(2023云南玉溪一模)在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為底面ABCD的中心,,λ∈(0,1),N為線段AQ的中點,則(

)A.CN與QM共面B.三棱錐A-DMN的體積跟λ的取值無關(guān)(2)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2,∠BAD=60°.以D1為球心,

為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為

.

解析

(1)連接AC,CQ,在△ACQ中,∵M為底面ABCD的中心,四邊形ABCD為正方形,∴M為AC的中點,且N為AQ的中點,∴MN∥CQ,∴CN與QM共面,A正確;(2)如圖所示,∵∠B1C1D1=∠B1A1D1=∠BAD=60°且B1C1=C1D1,∴△B1C1D1為等邊三角形.∴B1D1=2.方法總結(jié)

對點訓(xùn)練3(1)(多選)正方體A