高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 直線與方程

第三章直線與方程

(一)直線的傾斜角

1.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)直線與X軸相交時，取X軸非負(fù)半軸作為基準(zhǔn)，把X軸的正方向按

逆時針旋轉(zhuǎn)至與直線重合的最小角，叫做直線的傾斜角.

當(dāng)直線平行于X軸或與X軸重合時，我們規(guī)定直線的傾斜角為0°.

2.范圍：0°<a<180°傾斜角［0°,180°)二面角［0°,180°］

線面角［0°,90°］異面直線成角(0°,90°］

(二)直線的斜率

1.定義：傾斜角a不是90。的直線，正切值叫做這條直線的斜率，直線的斜率常|‘尸g。

用k表示，當(dāng)直線的傾斜角等于90°時，直線的斜率不存在./；

2.傾斜角a與斜率k的范圍之間的對應(yīng)關(guān)系J/,,

(三)斜率公式1；/

經(jīng)過兩點PKx”y。,P(,yj的直線的斜率是："工

2X2X2-X1

注：

(1)斜率公式適用范圍XiWx2

(2)斜率公式變形.y2-yi=kg-x。

例1⑴過P(-1,T)的直線1與x軸和y軸分別交于A、B兩點，若P恰為線段AB的中|尸

點，求直線1的斜率和傾斜角.y.

k=-1,a=135°

(2)若經(jīng)過點A(『t,1+t)和點B(3,2t)的直線的傾斜角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍.

(-2,1)

(3)若直線1的傾斜角是連接(-3,5),(0,9)兩點的直線傾斜角的2倍，則直線1的斜率為—學(xué)

k=tana=-3k'=7tan2a=——

(4)直線1的方程為x+ycos6+3=0(9CR),則傾斜角的范圍為［：，彳］

tana=COS06(-8,+oo)

(5)已知兩點A⑵3)和B(-L,2),過點P(l-1)的直線1與線段AB有交點，則直線1斜率k的取值范圍

為(—8,--j+00).

(四)直線方程的五種形式

名稱方程適用條件參數(shù)幾何意義

k:斜率

斜截式y(tǒng)=kx+baW90。

b：縱截距(可正，可負(fù))

k:斜率

點斜式y(tǒng)-yd=k(x-xo)aW90。

點(xo,y0)

名稱方程適用條件參數(shù)幾何意義

兩點式y(tǒng)尸丫尹邛1(aW90°兩點(XLYi)(X2,yj

a：橫截距

截距式兀+自二1

b：縱截距

A2+B2^0

一般式Ax+By+C=0

(A,B不同時為0)

例2(1)過P(-2,2)點引一條直線1,使其與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于4,求直線1的方

程.

解析｛b-a=；abab=8或—8

???(a=2+2V3b=-2+2V3J{a=-2-2y/sb=2-

(2)直線1過點P(-2,3),且與x軸、y軸分別交于A、B兩點，若P恰為線段AB的中點，求直線1的

方程.

3x-2y+12=0

(3)若直線((2m2+m-3)x+(2-m)y=4m-l在x軸上的截距為1,則實數(shù)m是(D)

A.1B.2C.--D.2或一工

22

(4)①在x軸，y軸上截距分別是-2,3的直線方程是3x-2y+6=0

②求過點P(2,3),并且在兩軸上截距相等的直線方程y=|%或.x+y-5=0

例3(1)直線1的方程為.Ax+By+C=0(A、B不同時為零)，根據(jù)下列各位置特征，寫出A,B,C應(yīng)滿足

的關(guān)系：

①1與兩坐標(biāo)軸都相交A#0;B#0;

②1過原點___C=0______;

③1只與x軸相交_B=0_;

④1是y軸所在直線_B=0/>0_;

⑤1在x,y軸上的截距互為相反數(shù)①C=0.AWO,BW0②CW0且A=BW0.

(2)①直線kx+y+l=0(keR)恒過定點_(0,-1)_.

②直線kx+k+3k2x+k2y=0(fceR)恒過定點(T,3).

(3)過點P(3,0)有一條直線1,它夾在兩條直線匕:2%-y-2=0與12：x+y+3=0之間的線段恰被

點P平分，求直線1的方程。

①y=k(x-3),k=8,y=8x-24,8x-y-24=0

②設(shè)點，設(shè)直線1與1&于A(t,2t-2),1與I,交于B(6-t,2-2t),又B在心上,則t=孩=兩點求直

(4)過P(l,4)作直線1分別交x,y正半軸于A,B兩點.

?|PAI?|PB|取得最小值時，求直線1的方程；

k=-l,y=-x+5

②[0A|-|0B|取得最小值時，求直線1的方程；

k=-4,y=-4x+8

③|0A什|0B|取得最小值時，求直線1的方程;

k=-2,y=-2x+6

@|PAH+|PB/取得最小值時，求直線1的方程;

k=-2,y=-2x+6

(五)兩直線的位置關(guān)系

設(shè)直線li：y—kxx+bi,Zi：y—k2x+b2

1.平行

(fci=kz,bi*打率都不存在時也平行

2.垂直

(七+B=-1-4263為0,一條直線斜率不存在

設(shè)直線/i：4iX+Biy+Ci-0^l-y,A2X+^*2=0(4：+豐0,

當(dāng)11〃時，

4$2^42^1(41(-2豐42cl或B1C2HB2C1)

當(dāng)1山2時,

/1人2+B'B2=0

例4(1)求與已知直線3x-4y+8=0垂直，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形周長為8的直線方程.

解析:4x+3y+C=0

c=8

4x+3y±8=0

(2)求與直線2x-3y-5=0平行，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為3的直線方程.

解析:2x-3y+c=0

2x-3y-6=0,2x-3y+6=0

(3)直線l2x+(m+l)y+4=0和l:mx+3y-2=0平行的m的值為-3或2-=—.

1：2m3

(4)直線(a+2)x+(l-a)y-3=0與(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直，則a的值為土1.

(a+2)(a_l)+(l-a)(2a+3)-0

???a2+a-2-2a2-a+3=0

⑸已知三點A(2,-4),B⑶6),C(-8,1),求過AABC的重心G且平行于邊AC的直線方程.

G(-l,1)

lx=x+2y+6=0

1=x+2y-l=0

(6)直線li：ax+y+l=0,12：a+ay+l=0,13：x+y+a=0能圍成一個三角形，求a的取值范圍.kr=-

CL,k.2=—,k]=_1

1八b、IsS不平行aW±l

aWl且a7￡-1且aW—2

(7)求過點(cos0,sin。)且平行于直線xcos。+ysin。+2=0(9￡R)的直線方程.

xcos0+ysin0-1=0

(六)點到直線的距離公式

1.點P(xo,y0)到直線Ax+By+C=0的距離是d=的普羅

Vi42+B2

2.兩條平行直線.Ax+By+Ci=Q,Ax+By+C2=0的距離公式是8c?1

y/A2+B2

例5(1)到直線3x-4y-l=o的距離為2的點的軌跡方程是(C)

A.3x-4y-ll=0B.3x-4y+ll=0

C.3x-4y-ll=0或3x-4y+9=0D.3x-4y+ll=0或3x-4y+9=0

(2)已知點A(a,2)(a>0)到直線1:x-y+3—0的距離為1,則a—(C)

A.V2B.2-42C.V2-1D.V2+1

(3)求過點A(-3,1)的直線中，與原點距離最遠(yuǎn)的直線的方程是3x-y+10=0____.直線與0A垂直

k=3,過(-3,1)y=3(x+3)+1

(4)過點P(l,2)引一直線，使A⑵3),B(4,-5)到它的距離相等,求這條直線的方程.

解析：(①lAB=4x+y-11=0

4x+y-6=0

②AB中點(3,-1)

3x+2y-7=0

(5)已知平行四邊形兩鄰邊所在直線方程是x+y+l=0和3x-y+4=0,對角線交點是⑶3),求另兩邊所

在的直線方程.

x+y-13=0,3x-y-16=0

(七)到角和夾角公式

li_L12時夾角為90°

11與1彳垂直且斜率存在時

1.直線k：y=々6+bi/2：y=七%+/,則直線11到1斯成的角e滿足tan8=

2.直線k：y=七%+如以丫=七％+久,則直線11到b的夾角。滿足tan。=|[

轉(zhuǎn)至li=%

(1)已知直線1過點A(3,2),且與直線x+5y+6=0的夾角為45°,求直線1的方

程.

2x-3y=0,3x+2y-13=0

(2)直線1力12M率是方程6%2+%一1=。的兩根，則I1與I2的夾角是(B)

A.n/6B.n/4C.n/3D.居

(3)等腰三角形ABC的直角頂點A(1,-2),斜邊亂所在直線方程是22*+3丫-6=0,求直角邊A8"(：所

在直線方程.

x-5y-ll=0

5x+y-3=0

X當(dāng)AB或AC斜率不存在時不滿足.

k[=成45°角傷=(或H

(八)對稱問題

例6(1)求P⑶4)關(guān)于點M(5,7)的對稱點的坐標(biāo)(7,10).

(2)求P(3,4)關(guān)于直線x=12的對稱點的坐標(biāo)(21,4).

⑶求P(3,4)關(guān)于直線尸直的對稱點的坐標(biāo)(3,-18).

(4)求P(3,4)關(guān)于直線2x-y-6=0的對稱點的坐標(biāo)(￡孩).

(5)求P(3,4)關(guān)于直線y=x+2的對稱點的坐標(biāo)(2,5).

⑹求P⑶4)關(guān)于直線y=-x+2的對稱點的坐標(biāo)(-2,-1).

例7(1)求直線3x-y-4=0關(guān)于點M(l,1)對稱的直線方程.

3x-y=0

(2)求直線3x-y-4=0關(guān)于原點對稱的直線方程.

解析：3%—y-4=Oy->—y

3x-y+4=0

⑶求直線3x-y-4=0關(guān)于直線x-y-2=0對稱的直線方程.

解析：y=3x-4y=x-2

交點(1,-D

在直線上取一點對稱點y=1久一3

(4)求直線3x-y-4=0關(guān)于直線3x-y-2=0對稱的直線方程.

解析：y=3x-4y=3x-2

(無交點)平行直線3x-y=0

例8(1)已知光線從點P(4,3)射到直線x+y+2=0上,反射后穿過點Q(-l,8),求入射光線和反射

光線所在直線的方程.

解：y=-x-2

P加熱P'(-5)一理

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LPQ=y=~x+萬與y=-x-2交于(-3,])

入射:2x-7y+13=0

反射:7x-2y+23=0

X切割定理

PA2=PBPC

(2)己知點A(-3,5),B(2,15),在直線1:x-y+40上找一點P使|PA

+1PB|最小,并求出這個最小值.

y=x+4P(xo,xo+4)

|PA+|PB=|PA+PB'

B點-對稱點、B'(11,6)

(|M|+|PB|)min=

(3)已知AABC的三邊AB,BC,CA的中點分別是D(6,5),E(1,3),F(2,8),求AABC三邊所在的

直線方程.

A(7,10)B(5,0)C(-3,6)

5x-y-25=0

2x-5y+36=0

3x+4y-15=0

(九)五種常用的直線系方程.

1.過兩直線11和父點的直線系方程為4%++C]+A(AzX++Q)=0(不含

+(B]++C1+AC2=0

此直線系為I2X需驗證12直線

例如:求過(1,3),且過直線2x+3y-5=0與直線x+y-2=0的交點的直線方程.

2x+3y-5+入(x+y-2)=0(1,3)

入=-3,x=1

X單獨驗證%：%+y-2=0是否過此點

2.與直線y=kx+b平行的直線系方程為y=kx+m(m^b).

3.過定點(xo,yo)的直線系方程為.y-y()=k(x-%。)及x=xo.

4.與Ax+By+C=0平行的直線系方