福建省龍巖市2024年高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

福建省龍巖市龍巖第一中學(xué)2024年高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知耳，B是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個公共點(diǎn)，且怛耳|>|尸耳橢圓的離心率為雙曲線

的離心率為02,若附|=|片閶，則，+三的最小值為（）

A.6+2百B.6+2拒C.8D.6

2.已知集合A={x[—l<rv2},B={X\X>1}9則AU5=

A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+oo)D.(1,+oo)

\2

3.已知函數(shù)〃x)=皿，g(x)=xef.若存在％e(0,+co),%eR使得/(%)=g(x2)=%(左<。)成立，則

ek

X

的最大值為（）

2

A.eB.e

4.如圖，PAl^ABCD,ABC。為正方形，^PA=AD,E,尸分別是線段融，CZ>的中點(diǎn)，則異面直線E尸與

3。所成角的余弦值為（）

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的”的值為（）

A.1B.2

C.3D.4

6.用電腦每次可以從區(qū)間（。,3）內(nèi)自動生成一個實(shí)數(shù)，且每次生成每個實(shí)數(shù)都是等可能性的.若用該電腦連續(xù)生成3個

實(shí)數(shù)，則這3個實(shí)數(shù)都小于1的概率為（）

4111

A.—B.—C.—D.一

273279

e*%<1

7.已知函數(shù)〃x）=｛；-1,若方程“X）—1=0恰有兩個不同實(shí)二根，則正數(shù)，”的取值范圍為（）

A.（「,山口1）B.二1/）（l,e1]

C.D.—

8.設(shè)函數(shù)/（尤），g（x）的定義域都為R,且〃尤）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.”力道（可是偶函數(shù)B.|〃刈w⑺是奇函數(shù)

C.是奇函數(shù)D.是奇函數(shù)

9.正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中的%、%039是函數(shù)/（%）=；三-4f+6工-3的極值點(diǎn)

，則kg娓4020=（）

A.-1B.1C.72D.2

10.設(shè)a,/?為兩個平面，則a〃/?的充要條件是

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與“平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與"平行

C.a,p平行于同一條直線

D.a,。垂直于同一平面

11.已知函數(shù)/(x)=g依2—(x—l)e'(aeR)若對區(qū)間[0,1]內(nèi)的任意實(shí)數(shù)和馬、M，都有/&)+/(々)2/(七),

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[1,2]B.[e,4]C.[1,4]D.[1,2)u[e,4]

12.(d—+的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()

A.-60B.240C.-80D.180

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知全集。=｛-1,。/｝,集合A=｛0,|x|｝,則aA=.

14.如圖，直線/是曲線y=/(x)在x=3處的切線，則/(3)=.

15.某校共有師生1600人，其中教師有1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為80的樣本，則

抽取學(xué)生的人數(shù)為.

16.已知△ABC的三個內(nèi)角為A,B,C,且sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列，則sin25+2cos5的最小值

為,最大值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)橢圓W：^+4=1(?！?〉0)的左、右焦點(diǎn)分別是月，工，離心率為且，左、右頂點(diǎn)分別為A，

a2b-2

反過耳且垂直于x軸的直線被橢圓卬截得的線段長為1.

(1)求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)經(jīng)過點(diǎn)P(LO)的直線與橢圓W相交于不同的兩點(diǎn)C、D(不與點(diǎn)4、3重合)，直線CB與直線x=4相交于

點(diǎn)M，求證：4、。、M三點(diǎn)共線.

18.(12分)已知同｝是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a5=45,a2+a6=l.

(I)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列｛、｝滿足：g+*+…+*=%,+l(〃eN*),求｛bj的前n項(xiàng)和.

%=2+2cos6

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線。1：必一＞2=2,曲線的參數(shù)方程為＜

y=2sin6

(。為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(i)求曲線G、G的極坐標(biāo)方程；

77

(2)在極坐標(biāo)系中，射線與曲線4,。2分別交于A、B兩點(diǎn)(異于極點(diǎn)。)，定點(diǎn)M(3,0),求的面

積

20.(12分)某公司打算引進(jìn)一臺設(shè)備使用一年，現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺10000元，乙設(shè)備每臺9000

元.此外設(shè)備使用期間還需維修，對于每臺設(shè)備，一年間三次及三次以內(nèi)免費(fèi)維修，三次以外的維修費(fèi)用均為每次1000

元.該公司統(tǒng)計(jì)了曾使用過的甲、乙各50臺設(shè)備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設(shè)備分別在

50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.

維修次數(shù)23456

甲設(shè)備5103050

乙設(shè)備05151515

(1)設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺購買和一年間維修的花費(fèi)總額分別為X和F,求X和F的分布列；

(2)若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，希望設(shè)備購買和一年間維修的花費(fèi)總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購買哪種

設(shè)備？請說明理由.

21.(12分)已知函數(shù)/(%)="—依2.

(1)若4=1,證明：當(dāng)了20時，/(%)＞1；

(2)若在“」，)只有一個零點(diǎn)，求。的值.

22.(10分)2019年安慶市在大力推進(jìn)城市環(huán)境、人文精神建設(shè)的過程中，居民生活垃圾分類逐漸形成意識.有關(guān)部門

為宣傳垃圾分類知識，面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類知識”的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參與機(jī)會，通過

抽樣，得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖：

(1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N(〃,210),〃近似為這1000人得分的平均

值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)，利用該正態(tài)分布，求尸(50.5<Z<94)；

(2)在(1)的條件下，有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：

⑴得分不低于〃可獲贈2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于〃則只有1次：

(?)每次贈送的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)概率如下：

贈送話費(fèi)(單位：元)1020

21

概率

3

現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查，記X(單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi)，求X的分布列.附:

V210-14.5,若Z則尸(〃—5<Z<〃+5)=0.6826,P(//-2J<Z<//+2J)=0.9544.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

3%

由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡丁行，結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】

設(shè)橢圓的長半軸長為〃，雙曲線的半實(shí)軸長為儲，半焦距為

則弓=￡,e,=三,設(shè)|尸鳥|=加

a-a

由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得：

\PF^+\PF^=2a^>a=—+c,|P/^|—|P/^|=2dd=——c

7

當(dāng)且僅當(dāng)。=—c時，取等號.

3

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式，屬于中等題.

2、C

【解析】

根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果.

【詳解】

VA={x|-l<x<2},B={x|>l},

AB=(―1,+oo),

故選C.

【點(diǎn)睛】

考查并集的求法，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

由題意可知，g（x）=/（e，，由/（%）=8（%2）=左（左<。）可得出0<%<1，％2<0,利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)y=/（x）

在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（-8,0）上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得出%=*,由此可得出

」=V=g（/）=3可得出三ek=k2ek,構(gòu)造函數(shù)/?（%）=左2國利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)y=〃（。在左?7，。）

%e-

上的最大值即可得解.

【詳解】

小卜竽g”方二乎=/（巧，

由于/（石）=史上=左<°,貝！JlnX]<0=>0<%<1,同理可知，%2<0,

X1

函數(shù)丁=/（力的定義域?yàn)椋?。?8），/（力=匕”>0對Vxe（O,l）恒成立，所以，函數(shù)y=〃x）在區(qū)間（0,1）上

X

單調(diào)遞增，同理可知，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（7,0）上單調(diào)遞增，

XX（Y

，〃石）=8（尤2）=/（*），則為=*，.,.°■=-|_=g（X2）=左，則上ek=k2ek,

XleVxiJ

構(gòu)造函數(shù)MS=左2式其中k<0,貝（I"（左）=（左2+2左）*=左（左+2）*.

當(dāng)左<一2時，"（左）>0,此時函數(shù)y=〃（左）單調(diào)遞增；當(dāng)—2〈左<0時，〃（左）<0,此時函數(shù)y=〃（女）單調(diào)遞減.

4

所以，"（左Lx=丸（一2）=/.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算，涉及指對同構(gòu)思想的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，有一定的難度.

4、C

【解析】

分別以A5,AD,AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,再利用向量法求異面直

線E廠與50所成角的余弦值.

【詳解】

由題可知，分別以A5,AD,A尸所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-?孫z.

設(shè)=2.則8。=(-2,2,0),EF=(1,2,-1),cos(BD,EF}=l.+g=—.

V8xV66

故異面直線EF與BD所成角的余弦值為旦.

6

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

5、B

【解析】

列出循環(huán)的每一步，進(jìn)而可求得輸出的〃值.

【詳解】

根據(jù)程序框圖，執(zhí)行循環(huán)前：a=0,b=Q,n=Q,

執(zhí)行第一次循環(huán)時：。=1,b=2,所以：92+8?<40不成立.

繼續(xù)進(jìn)行循環(huán)，…,

當(dāng)a=4,人=8時，6?+2?=40成立，72=1,

由于aN5不成立，執(zhí)行下一次循環(huán)，

a=5,b=10,52+。2<40成立，n=2,a?5成立，輸出的”的值為2.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識要點(diǎn)：程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型.

6、C

【解析】

由幾何概型的概率計(jì)算，知每次生成一個實(shí)數(shù)小于1的概率為g,結(jié)合獨(dú)立事件發(fā)生的概率計(jì)算即可.

【詳解】

???每次生成一個實(shí)數(shù)小于1的概率為工..?.這3個實(shí)數(shù)都小于1的概率為W.

3⑺27

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，考查學(xué)生基本的計(jì)算能力，是一道容易題.

7、D

【解析】

當(dāng)尤＞1時，函數(shù)周期為2,畫出函數(shù)圖像，如圖所示，方程兩個不同實(shí)根，即函數(shù)/(%)和'=〃杭+1有圖像兩個交

點(diǎn)，計(jì)算心。=『，kBc=e-l,根據(jù)圖像得到答案.

【詳解】

當(dāng)尤＞1時，/(x)=/(x—2),故函數(shù)周期為2,畫出函數(shù)圖像，如圖所示：

方程/(X)一如:-1=0,即/(￡)=〃a+1,即函數(shù)/(%)和丁=如+1有兩個交點(diǎn).

xx

f(x)=e,f\x)=e,故/(0)=1,C(3,e),kAC=^,kBC=e-l.

根據(jù)圖像知：根e1一,，(l,e-l].

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.

8、C

【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：/(X)是奇函數(shù)，gQ)是偶函數(shù)，

=-/(%),g(-x)=g(x),

/(-x).g(-x)=-/(x).g(x),故函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯誤，

l/(-x)|.g(-x)=|/(x)|.g(x)為偶函數(shù)，故3錯誤，

/(-x).|g(-x)|=-/(x).|g(x)I是奇函數(shù)，故C正確.

|/(-x).g(-x)H/(x).g(x)I為偶函數(shù)，故。錯誤，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵.

9、B

【解析】

根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0,得出4%039=6,再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.

【詳解】

解：依題意的、/039是函數(shù)/(%)=：3一4/+6%—3的極值點(diǎn)，也就是/'(%)=￡—8x+6=0的兩個根

??〃1。4039—6

又｛q｝是正項(xiàng)等比數(shù)列,所以4020=7?1,?4039=R

.\log^t72020=log^V6=l.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)以應(yīng)用，屬于中檔題.

10、B

【解析】

本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)

定理即可作出判斷.

【詳解】

由面面平行的判定定理知：a內(nèi)兩條相交直線都與夕平行是。//〃的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若。//〃,

則々內(nèi)任意一條直線都與夕平行，所以a內(nèi)兩條相交直線都與夕平行是。///的必要條件，故選B.

【點(diǎn)睛】

面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若

aua,bu/3,al電,則。///”此類的錯誤.

11、C

【解析】

分析：先求導(dǎo)，再對a分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再畫圖分析轉(zhuǎn)化對區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)為、9、W，都有

/(^)+/(%2)>/(%3),得到關(guān)于a的不等式組，再解不等式組得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.

詳解：由題得/'(x)=ax-［ex+(九一l)e“］=ax-xex=x(a-ex).

當(dāng)aVl時，f'(x)<Q,所以函數(shù)f(x)在［0,1］單調(diào)遞減，

因?yàn)閷^(qū)間［0』內(nèi)的任意實(shí)數(shù)七、々、W，都有/(石)+/(%2”/(七)，

所以/⑴+/⑴2/(0),

所以一(1H—

22

故史1,與aVl矛盾，故aVl矛盾.

當(dāng)Gave時，函數(shù)f(x)在［0,lna］單調(diào)遞增，在(Ina,1］單調(diào)遞減.

12

所以/(x)111ax=f()na)=—a］na-a\na+a,

因?yàn)閷^(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)占、%、％3,都有/(%)+/(/)2/(%3)，

112

所以1+—12—alna-a］na+a,

22

121

BP—6/Ina-ciIn—tz-1<0

121

令g(a)=］alna-a］na+—a-l,(l<a<e),

所以g'(a)=g(ln2。—1)<0,

所以函數(shù)g(a)在(1,e)上單調(diào)遞減，

所以g(“)max=g6=-；<0，

所以當(dāng)lWa<e時，滿足題意.

當(dāng)a?e時，函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增，

因?yàn)閷^(qū)間［0，1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)占、%、%，都有/(%)+/(%2”/(%3)，

所以/(。)+7(0)27⑴，

E、1

故1+1N—ci9

2

所以〃<4.

故e<〃<4.

綜上所述，ae[1,4].

故選C.

點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于“對區(qū)間［0同內(nèi)的任意實(shí)數(shù)和馬、不，都有/(%)+/(々)2/(%3)”的轉(zhuǎn)化?由于是函數(shù)的問

題，所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值、極值等)來分析解答問題.本題就

是把這個條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來，完成了數(shù)學(xué)問題的等價轉(zhuǎn)化，找到了問題的突破口.

12、D

【解析】

求(d—的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，可轉(zhuǎn)化為求展開式中的常數(shù)項(xiàng)和《項(xiàng)，再求和即可得出答案.

【詳解】

由題意，中常數(shù)項(xiàng)為=60,

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、{-1}

【解析】

根據(jù)題意可得出A={0,1},然后進(jìn)行補(bǔ)集的運(yùn)算即可.

【詳解】

根據(jù)題意知，I%1=1,

.?.A={0,l},[/={-1,0,1）,

1}.

故答案為：{-1}.

【點(diǎn)睛】

本題考查列舉法的定義、全集的定義、補(bǔ)集的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

1

14、

2

【解析】

求出切線/的斜率，即可求出結(jié)論.

【詳解】

由圖可知直線/過點(diǎn)（3,3）{o,g）,

3_2

可求出直線/的斜率z0一萬1,

3-02

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，r（3）=1.

故答案為:1.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)與曲線的切線的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

15、1

【解析】

直接根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到答案.

【詳解】

分層抽樣的抽取比例為黑=1,...抽取學(xué)生的人數(shù)為600x=1.

16002020

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分層抽樣的計(jì)算，屬于簡單題.

1b、-g---b13-7--3--

22

【解析】

^22_,2

根據(jù)正弦定理可得2》=a+c,利用余弦定理cos/二以及均值不等式,可得角3的范圍，然后構(gòu)造函數(shù)

2ac

/（5）=sin28+2cos5,利用導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)性質(zhì)，可得結(jié)果.

【詳解】

由sinA,sinB,sinC成等差數(shù)列

所以2sin5=sinA+sinC

所以2Z7=〃+c=>b=—C

lac2ac

化簡可得cosB="「+九--2"°n6ac-2ac=J_

SacSac2

當(dāng)且僅當(dāng)。=。時，取等號

又所以5J。,?

令+3J。,?

則f（B）=2cos2B-2sinB=2-4sin2B-2sinB

/（B）=-2lsinB-|j（sinB+l）

當(dāng)sinB〉g,即時，/（B）<0

當(dāng)sin3<g,即Be,總時，/,（B）>0

則/⑻=sin25+2cos5在1o,小遞增，在修遞減

所以以x（B）=/屑=sin。+2cos,=空

由/(0)=sin0+2cos0=2,

(乃、.ITC7i73

t—=smb2cos—=----Fl

U)332

所以糯(8)=/[]=*+l

所以sin25+2cos5的最小值為@+l

2

最大值為地

2

故答案為：立+1,遇

22

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列、正弦定理、余弦定理，還考查了不等式、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)在于根據(jù)余弦定理以及不等式求

出,考驗(yàn)分析能力以及邏輯思維能力，屬難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)—+/=1；(2)見解析

4-

【解析】

2b°

(1)根據(jù)已知可得2=1,結(jié)合離心率和“,4c關(guān)系，即可求出橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程;

a

(2)CD斜率不為零，設(shè)CD的方程為％=%+1,與橢圓方程聯(lián)立，消去x,得到C,?？v坐標(biāo)關(guān)系，求出方

程，令％=4求出M坐標(biāo)，要證A、D、M三點(diǎn)共線，只需證3-G=0,將左的一分子用縱坐標(biāo)表示,

即可證明結(jié)論.

【詳解】

22

(1)由于02=儲一〃，將x=-c代入橢圓方程二+4=1,

a2b-

b22b2

得y=±L,由題意知g=1,即〃=2〃.

aa

又e，=g所以。=2,b=l.

a2

所以橢圓W的方程為乙+丁=1.

4-

(2)解法一：

依題意直線。斜率不為0,設(shè)CD的方程為工=沖+1,

x=my+1

聯(lián)立方程x2,，消去x得（根2+4）；/+2叼一3=0,

—+V-=1

14'

由題意,得/>0恒成立，設(shè)C(%i，M),。(尤2，為)，

”廣，，2m3

所以％+%=--7----r-7

m+4m+4

直線CB的方程為y='7（x—2）.令x=4,得M（4,且、）.

/一2再一2

又因?yàn)锳（—2,0）,。（冗2，%），

則直線AM的斜率分別為*=言,

7,%X―3y2（西-2）-％（>2+2）

所以L期=不

3（%-2）3（再一2）（馬+2）

上式中的分子3y2（為-2）-%（々+2）=3%-1）-%+3）

—6m+6m

=2町%—3（%+%）==0,

m2+4

「"AD—G=°?所以A，D,河三點(diǎn)共線.

解法二：

當(dāng)直線CD的斜率左不存在時，由題意，得8的方程為1=1,

代入橢圓W的方程，得C(l,3)，DQ-當(dāng),

22

直線CB的方程為y=一半(X-2).

則M(4,-百)，4W=(6,-&),AD=

所以AM=2AD，即A，D,"三點(diǎn)共線.

當(dāng)直線CD的斜率k存在時，

設(shè)CD的方程為y=k(xT)”wO),CO%%),D(x2,y2),

y=k(x-l),

聯(lián)立方程Ix2,消去y，得(4%2+1)/-8公尤+4獷-4=0.

=1，

8k°4/—4

由題意，得/>0恒成立，故現(xiàn)+尤2=4r+1'玉々―4丁+1

直線8的方程為〉=己。—2).令.4,得“(4,己).

又因?yàn)锳(—2,0),。(々，%)，

則直線AD,■的斜率分別為旗「瓷,京=登

77%%3%(%-2)-%(%2+2)

所以陋期=不

3a—2)3(再一2)(4+2)

上式中的分子3%(石一2)—%(x2+2)=3左(々-1)(玉-2)-左(再-l)(x2+2)

Ah2—4X/

=2何犬2—5女(再+%)+8女=2左x-----5kx--——+8左=0

4V+14r+1

所以1-如/=。.

所以A,D,M三點(diǎn)共線.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)而不求方法解決相交弦問題，考查

計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

18、(I)a“=2〃-1；(II)2"+2—4

【解析】

(I)設(shè)等差數(shù)列；..的公差為4，則依題設(shè)d=2.

由「二:-=1」,可得%=2.

由/對=4%得(7-dX=d)=45,可得二=:

所以土=-；6=：.

可得二=)：1.

(II)設(shè)」=4,則Q)為4-普%=%.1?

即4易維'=寫網(wǎng),

可得cn=2,且…-：?.

所以「=:，可知=--Vi.

所以工=:，

所以數(shù)列，：是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列.

所以前〃項(xiàng)和--一.

1-2

考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式、用數(shù)列前幾項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)公式.

1222

19、(1)Q:pcos-x?sin=2,C2:/?=4cos6＞；(2)3百-3.

一2

【解析】

(1)先把參數(shù)方程化成普通方程，再利用極坐標(biāo)的公式把普通方程化成極坐標(biāo)方程;

(2)先利用極坐標(biāo)求出弦長|A卻，再求高，最后求AM鉆的面積.

【詳解】

(1)曲線G的極坐標(biāo)方程為：夕2cos2?！?sin2￡=2,

因?yàn)榍€。2的普通方程為：(x—2丫+/=4，,f+y2—4x=0.

???曲線。2的極坐標(biāo)方程為P=4cos夕；

(2)由(1)得：點(diǎn)A的極坐標(biāo)為R,點(diǎn)3的極坐標(biāo)為(26,與］,

|AB|=|2-2A/3|=273-2,

河(3,0)點(diǎn)到射線夕=9(220)的距離為4=35詁9=』

662

,AM4B的面積為1|AB|-J=1x(2V3-2)x|^^|^.

【點(diǎn)睛】

本題考查普通方程、參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化，同時也考查了利用極坐標(biāo)方程求解面積問題，考查計(jì)算能力,

屬于中等題.

20、(1)X分布列見解析，F(xiàn)分布列見解析；(2)甲設(shè)備，理由見解析

【解析】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000,F的可能取值為9000,10000,11000,12000,計(jì)算概率得到分布列；

(2)計(jì)算期望，得到E(X)=E(y)=1080。，設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為7,計(jì)算分布列，計(jì)算

數(shù)學(xué)期望得到答案.

【詳解】

(1)X的可能取值為10000,11000,12000

P(X=10000)=,P(X=11000)=—=-,P(X=12000)=—=—

50105055010

因此X的分布如下

X100001100012000

331

P

To5io

y的可能取值為9000,10000,11000,12000

51153153153

P(Y=9ooo)=—=—,p(y=10000)=—=—,p(y=11000)=—=—,p(y=12000)=—=—

5010501050105010

因此y的分布列為如下

Y9000100001100012000

1333

P

io101010

331

(2)E(X)=10000x—+11000x-+12000x—=10800

10510

1333

E(y)=9000X—+10000X—+11000X—+12000x—=10800

10101010

設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為J,7

J的可能取值為2,3,4,5

c、51n/廣c、101八303八51

P（^=2）=-=->P^=3）=-=-,P^=4）=-=-,P^=5）=-=-

則J的分布列為

J2345

1131

p

io55io

1131

E（4）=2x—+3x-+4x-+5x—=3.7

105510

V的可能取值為3,4,5,6

?八153?u、153?八153

P（j]=3）=—=-,P（77=4）=——=—,P（77=5）=—=—,P（77=6）=—=—

5010501050105010

則〃的分布列為

73456

1333

pioToToTo

1333

=3x—+4x—+5x—+6x—=4.8

10101010

由于E(X)=E(Y),EC)<E(〃)，因此需購買甲設(shè)備

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)學(xué)期望和分布列，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

21、(1)見解析；(2)a,

4

【解析】

分析：(1)先構(gòu)造函數(shù)8(%)=(必+1卜一工-1,再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證

得不等式;(2)研究/(%)零點(diǎn)，等價研究刈司=1-的零點(diǎn)，先求〃(%)導(dǎo)數(shù)：h'(x)=ax(x-2)e-\這里產(chǎn)生

兩個討論點(diǎn)，一個是a與零，一個是x與2,當(dāng)aWO時，網(wǎng)光)>0,故光)沒有零點(diǎn)；當(dāng)a>0時，力(尤)先減后增，

從而確定只有一個零點(diǎn)的必要條件，再利用零點(diǎn)存在定理確定條件的充分性，即得a的值.

詳解：(1)當(dāng)a=l時，等價于優(yōu)+1)二—1W0.

設(shè)函數(shù)g(%)=+1)二—1,則葭(尤)=—廿_2龍+1)=-(x-l)2"x.

當(dāng)xwl時，g'(x)<0,所以g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減.

而g(O)=O,故當(dāng)xHO時,g(x)<0,BP/(x)>l.

(2)設(shè)函數(shù)MX)=1-宙?6-*.

/(%)在(0,+8)只有一個零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,+8)只有一個零點(diǎn).

(i)當(dāng)時,〃(X)>0,故光)沒有零點(diǎn)；

(ii)當(dāng)n>0時,7/'(x)=ax(x-2)e~'.

當(dāng)xe(0,2)時，；當(dāng)xw(2,+oo)時，>0.

所以妝了)在(0,2)