黃山市重點(diǎn)中學(xué)2024屆八年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

黃山市重點(diǎn)中學(xué)2024屆八年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.如圖，平行四邊形4BC0的對(duì)角線交于點(diǎn)。，且4B=6,40CD的周長(zhǎng)為25,則平行四邊形4BC。的兩條對(duì)角線的和

是（）

A.18B.28C.38D.46

2.數(shù)學(xué)興趣小組的甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進(jìn)行還原魔方練習(xí)，下表記錄了他們10次還原魔方所用時(shí)間的平均值了與

要從中選擇一名還原魔方用時(shí)少又發(fā)揮穩(wěn)定的同學(xué)參加比賽，應(yīng)該選擇（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

3.如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,若AB=5,AC=6,則BD的長(zhǎng)是（）

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,3）,AOAB沿x軸向右平移后得到△（），A，B，,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在

3

直線y=^x上一點(diǎn)，則點(diǎn)B與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)力間的距離為

45

D.

5.已知一組數(shù)據(jù)為8,9,10,10,11,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)（）

A.8B.9C.10D.11

6.方程》2=x的解是（）

A.x=1B.xi=1,X2=0

C.x=0D.xi=-1,X2=0

7.如圖，口ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,OA=3,若要使平行四邊形ABCD為矩形，則OB的長(zhǎng)度為（:）

C.2D.1

8.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A.等邊三角形B.等腰梯形C.正方形D.平行四邊形

4

9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在函數(shù)y=—（x>0）的圖象上，ABLx軸于點(diǎn)B,AB的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)C,

X

4一-

與函數(shù)y=—（x>0）的圖象交于點(diǎn)D,連結(jié)AC,CB,BD,DA,則四邊形ACBD的面積等于（）

x

A.2B.6C.4D.473

10.菱形ABCD中，如果E、F、G、H分別是各邊中點(diǎn)，那么四邊形EFGH的形狀是（）

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.若二次根式Jx二區(qū)）19在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則X的取值范圍是.

12.把拋物線y=2（x-1）2+1向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到的拋物線解析式___

13.如圖，在口ABCD中，ZB=5O°,CE平分NBCD,交AD于E,貝！J/DCE的度數(shù)是.

14.直線y=2x向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的直線是.

15.命題”兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”的逆命題是.

16.分式乜上二的值為1.則x的值為.

x+5

17.已知一元二次方程V-9x+18=0的兩個(gè)解恰好分別是等腰ABC的底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)，貝!LABC的周長(zhǎng)為

18.若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

三、解答題（共66分）

19.（10分）已知AABC和4DEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點(diǎn)，D、E分別在BC、AC邊上.

（1）如圖1,F是線段AD上的一點(diǎn)，連接CF,若AF=CF；

①求證：點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)；

②判斷BE與CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；

⑵如圖2,把4DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角（0<a<90°）,點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，其他條件不變，判斷BE與CF的關(guān)

系是否不變？若不變，請(qǐng)說明理由；若要變，請(qǐng)求出相應(yīng)的正確結(jié)論.

20.（6分）如圖，拋物線y=gd+x-4與x軸交于A,B（4在3的左側(cè)），與V軸交于點(diǎn)C,拋物線上的點(diǎn)E的

橫坐標(biāo)為3,過點(diǎn)E作直線乙//x軸.

（1）點(diǎn)尸為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC的下方，點(diǎn)M,N分別為x軸，直線4上的動(dòng)點(diǎn)，且跖V，％軸，當(dāng)△APC

面積最大時(shí)，求PM+MN+JEN的最小值;

2

(2)過(1)中的點(diǎn)p作p。，AC,垂足為P，且直線與y軸交于點(diǎn)。，把△on?繞頂點(diǎn)歹旋轉(zhuǎn)45°,得到

_D'FC',再把EC'沿直線平移至一O‘尸C",在平面上是否存在點(diǎn)K,使得以。，C",D',K為頂點(diǎn)

21.（6分）如圖，A3CD中，E是AD邊上一點(diǎn),ZA=45°,BE=CD=3,ED=42,點(diǎn)P，。分別是BC,

CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持NEPQ=45°.

(1)求AE的長(zhǎng)；

(2)若四邊形ABFE為平行四邊形時(shí)，求一CPQ的周長(zhǎng)；

(3)將-CPQ沿它的一條邊翻折，當(dāng)翻折前后兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形時(shí)，求線段8?的長(zhǎng).

22.(8分)如圖，AB=12cm,AC±AB,BD1AB,AC=BD=9cm,點(diǎn)P在線段AB上以3cm/s的速度，由A向B

運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段BD上由B向D運(yùn)動(dòng).

(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=l(s),4ACP與△BPQ是否全等？說明理由，并直

接判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；

(2)將“ACLAB,BDLAB”改為“NCAB=NDBA"，其他條件不變.若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相

等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能使4ACP與全等.

(3)在圖2的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AC,BD交于點(diǎn)E,使C,D分別是AE,BE中點(diǎn)，若點(diǎn)Q以(2)中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B

出發(fā)，點(diǎn)P以原來速度從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABE三邊運(yùn)動(dòng)，求出經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇.

cD

D

.4KXA-.

圖1圖2圖3

23.（8分）在口A3CD中，對(duì)角線AC、3。相交于。，E尸過點(diǎn)0,連接ARCE.

（1）求證：/\BFO沿/\DEO；

（2）若AFL5C,試判斷四邊形A尸CE的形狀，并加以證明；

（3）若在（2）的條件下再添加E歹平分NAEC,試判斷四邊形APCE的形狀，無需說明理由.

24.（8分）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1,3）與（-1,-1）

（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；

（2）試判斷這個(gè)一次函數(shù)的圖象是否經(jīng)過點(diǎn)（-L，o）

2

25.（10分）瑞安市文化創(chuàng)意實(shí)踐學(xué)校是一所負(fù)責(zé)全市中小學(xué)生素質(zhì)教育綜合實(shí)踐活動(dòng)的公益類事業(yè)單位，學(xué)校目前

可開出：創(chuàng)意手工創(chuàng)意表演、科技制作（創(chuàng)客）、文化傳承、戶外拓展等5個(gè)類別20多個(gè)項(xiàng)目課程.

（1）學(xué)校3月份接待學(xué)生1000人，5月份增長(zhǎng)到2560人，求該學(xué)校接待學(xué)生人數(shù)的平均月增長(zhǎng)率是多少？

（2）在參加“創(chuàng)意手工”體驗(yàn)課程后，小明發(fā)動(dòng)本校同學(xué)將制作的作品義賣募捐.當(dāng)作品賣出的單價(jià)是2元時(shí)，每天

義賣的數(shù)量是150件；當(dāng)作品的單價(jià)每漲高1元時(shí)，每天義賣的數(shù)量將減少10件.問：在作品單價(jià)盡可能便宜的前提

下，當(dāng)單價(jià)定為多少元時(shí)，義賣所得的金額為600元？

26.（10分）為貫徹落實(shí)關(guān)于“傳承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”的重要講話精神，2018年5月27日我市舉辦了第二屆湖

南省青少年國(guó)學(xué)大賽永州復(fù)賽.本次比賽全市共有近200所學(xué)校4.6萬名學(xué)生參加.經(jīng)各校推薦報(bào)名、縣區(qū)初賽選拔、市

區(qū)淘汰賽的層層選拔，推選出優(yōu)秀的學(xué)生參加全省的總決賽.下面是某縣初賽時(shí)選手成績(jī)的統(tǒng)計(jì)圖表（部分信息未給出）.

成績(jī)頻數(shù)頻率

90Wxv10510m

105<x<120150.3

120<x<135n0.4

135<x<15050.1

請(qǐng)根據(jù)圖表信息回答下列問題：

（1）在頻數(shù)分布表中，m=,n=

（2）請(qǐng)將頻數(shù)直方圖補(bǔ)充完整；

（3）若測(cè)試成績(jī)不低于120分為優(yōu)秀，則本次測(cè)試的優(yōu)秀率是多少？

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1、C

【解題分析】

由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件計(jì)算即可，解題注意求平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的和時(shí)要把兩條對(duì)角線作為一

個(gè)整體求出.

【題目詳解】

解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB=CD=6,

VAOCD的周長(zhǎng)為25,

...OD+OC=25-6=19,

VBD=2OD,AC=2OC,

.?.QABCD的兩條對(duì)角線的和BD+AC=2（OD+OC）=1.

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)，并利用性質(zhì)解題.平行四邊形的基本性質(zhì)：①平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行;

②平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等；③平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等；④平行四邊形的對(duì)角線互相平分.

2、D

【解題分析】

在這四位同學(xué)中，丙、丁的平均時(shí)間一樣，比甲、乙的用時(shí)少，但丁的方差小，成績(jī)比較穩(wěn)定，由此可

知，可選擇丁，故選D.

3、A

【解題分析】

根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可.

【題目詳解】

解：?.?四邊形ABCD是菱形，

.*.OA=OC=3,OB=OD,AC1BD,

在R3AOB中，NAOB=90。,

根據(jù)勾股定理，得：OB=JAB?_以2=正_§2=%

故選A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了菱形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，比較簡(jiǎn)單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4、C

【解題分析】

試題分析：如圖，連接AA'、BB，,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,3）,aOAB沿x軸向右平移后得到△（），A，Bz,

:.點(diǎn)屋的縱坐標(biāo)是3。

_33

又,?,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線丫=—x上一點(diǎn)，3=-x,解得x=4。

44

...點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（4,3）。

.\AAZ=4o

,根據(jù)平移的性質(zhì)知BB，=AA'=4。

故選C。

5、C

【解題分析】

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，據(jù)此解答即可得到答案.

【題目詳解】

解：這組數(shù)據(jù)中8、9、11各出現(xiàn)一次，10出現(xiàn)兩次，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是10.

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了眾數(shù)的含義.

6、B

【解題分析】

先變形得一元二次方程的一般形式，再用分解因式法解方程即可.

【題目詳解】

解：移項(xiàng)，得x2—x=0,

原方程即為x(x-l)=0,

所以，x=0或x—1=0,

所以X1=1，X2=0.

故選B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了一元二次方程的解法，熟知一元二次方程的四種解法(完全開平方法、配方法、公式法和分解因式法)并

能根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活應(yīng)用是求解的關(guān)鍵.

7、B

【解題分析】

試題解析：假如平行四邊形ABCD是矩形，

OA=OC,OB=OD,AC=BD,

/.OA=OB=1.

故選B.

點(diǎn)睛：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.

8、C

【解題分析】

根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念，即可求解.

【題目詳解】

解：4、3都只是軸對(duì)稱圖形；

C、既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形；

。、只是中心對(duì)稱圖形.

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

掌握好中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵.

9、C

【解題分析】

42

解：設(shè)A（。,一），可求出D（2a,—）,由于對(duì)角線垂直，計(jì)算對(duì)角線乘積的一半即可.

aa

【題目詳解】

4.2

設(shè)A（a,—）,可求出D（2a,—）,

aa

；AB_LCD,

114

??S四邊形ACBD=-AB-CD=—x2ax—=4,

22a

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)A和點(diǎn)8的坐標(biāo).

10、C

【解題分析】

分析：利用中位線的性質(zhì)證明四邊形ErGH為平行四邊形；再根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直，可證NE"G=90。，從而根

據(jù)矩形的判定：有一角為90。的平行四邊形是矩形，得出菱形中點(diǎn)四邊形的形狀.

詳解：,??菱形ABC。中，如果E、F、G、"分別是各邊的中點(diǎn)，

1

：.HE//GF//AC,HE=GF=-AC,

:.四邊形EFGH為平行四邊形;

又???菱形的對(duì)角線互相垂直，

Z￡HG=90°,

二四邊形EFGH的形狀是矩形.

故選：C.

點(diǎn)睛：此題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，矩形的判定.矩形的判定定理有：（1）有一個(gè)角是直角的平行

四邊形是矩形；（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（3）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形.

二、填空題（每小題3分，共24分）

11>x>2019

【解題分析】

根據(jù)二次根式的定義進(jìn)行解答.

【題目詳解】

Jx-2019在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,即X-201920,所以X的取值范圍是XN2019.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是本題解題關(guān)鍵.

12、J=2X2+1.

【解題分析】

先利用頂點(diǎn)式得到拋物線y=2（x-1）2+1頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,再根據(jù)點(diǎn)平移的坐標(biāo)特征得到點(diǎn)（1,1）平移后所得

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,1）,然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出平移后的拋物線的解析式即可.

【題目詳解】

拋物線y=2（x-1）2+1頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,點(diǎn)（1,1）先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的

坐標(biāo)為（0,1）,所以平移后的拋物線的解析式為y=2/+1.

故答案是:y=2/+i.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了拋物線的平移，根據(jù)平移規(guī)律得到平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）是解決問題的關(guān)鍵.

13、65°

【解題分析】

利用已知條件易證ADEC是等腰三角形,再由NB的度數(shù)可求出ND的度數(shù)，進(jìn)而可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NDCE

的度數(shù).

【題目詳解】

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC,ZB=ZC=50°,

.\ZDEC=ZECB

VCE平分NBCD交AD于點(diǎn)E,

；.NDCE=NBCE,

ZDEC=ZDCE,

180°-50°

:.NDCE==65°,

2

故答案為：65°.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用等腰三角形性質(zhì)進(jìn)行解答.

14、y=2x-2

【解題分析】

根據(jù)一次函數(shù)圖象幾何變換的規(guī)律得到直線y=lx向下平移1個(gè)單位得到的函數(shù)解析式為y=lx-l.

【題目詳解】

解：直線y=lx向下平移1個(gè)單位得到的函數(shù)解析式為y=lx-l

故答案為：y=lx-l

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了一次函數(shù)圖象幾何變換規(guī)律：一次函數(shù)丫=1?（k/0）的圖象為直線，直線平移時(shí)k值不變，當(dāng)直線向上平

移m（m為正數(shù)）個(gè)單位，則平移后直線的解析式為y=kx+m.當(dāng)直線向下平移m（m為正數(shù)）個(gè)單位，則平移后直

線的解析式為y=kx-m.

15、矩形是兩條對(duì)角線相等的平行四邊形.

【解題分析】

把命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題.

【題目詳解】

命題”兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形"的逆命題是矩形是兩條對(duì)角線相等的平行四邊形，

故答案為矩形是兩條對(duì)角線相等的平行四邊形.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了互逆命題的知識(shí)，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第

二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題.其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題.

16、2

【解題分析】

分式的值為1的條件是：（1）分子為1;（2）分母不為1.兩個(gè)條件需同時(shí)具備，缺一不可.據(jù)此可以解答本題.

【題目詳解】

解：由題意可得|xb2=1且x+2Wl,

解得x=2.

故答案是：2.

【題目點(diǎn)撥】

考查了分式的值為零的條件，由于該類型的題易忽略分母不為1這個(gè)條件，所以常以這個(gè)知識(shí)點(diǎn)來命題.

17、2

【解題分析】

用因式分解法可以求出方程的兩個(gè)根分別是3和1,根據(jù)等腰三角形的三邊關(guān)系，腰應(yīng)該是1,底是3,然后可以求出

三角形的周長(zhǎng).

【題目詳解】

X2-9X+18=0

(x-3)(x-1)=0

解得Xl=3,X2=l.

由三角形的三邊關(guān)系可得：腰長(zhǎng)是1,底邊是3,

所故周長(zhǎng)是：1+1+3=2.

故答案為：2.

【題目點(diǎn)撥】

此題考查解一元二次方程-因式分解，解題關(guān)鍵在于用十字相乘法因式分解求出方程的兩個(gè)根，然后根據(jù)三角形的三邊

關(guān)系求出三角形的周長(zhǎng).

18、xWl.

【解題分析】

先根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于X的不等式，求出X的取值范圍即可.

【題目詳解】

???式子"二1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

-x20,

解得xWL

故答案為xWL

【題目點(diǎn)撥】

本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解答此題的關(guān)鍵.

三、解答題(共66分)

19、(1)①證明見解析；②BE=2CF,BE±CF；(2)仍然有BE=2CF,BE±CF.

【解題分析】

(1)①如圖1,由AF=CF得到N1=N2,則利用等角的余角相等可得N3=NADC,然后根據(jù)等腰三角形的判定定理

得FD=FC,易得AF=FD；

②先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得CA=CB,CD=CE,則可證明aADC之4BEC得到AD=BE,Z1=ZCBE,由于

AD=2CF,Z1=Z2,貝!)BE=2CF,再證明/CBE+N3=90。，于是可判斷CF_LBE；

(2)延長(zhǎng)CF到G使FG=CF,連結(jié)AG、DG,如圖2,易得四邊形ACDG為平行四邊形，貝!IAG=CD,AG〃CD,

于是根據(jù)平行線的性質(zhì)得NGAC=18(r-NACD,所以CD=CE=AG,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NBCD=a,所以

ZBCE=ZDCE+ZBCD=90°+a=90°+90°-ZACD=180°-ZACD,得至!]NGAC=NECB,接著可證明AAGC且2XCEB,

得到CG=BE,Z2=Z1,所以BE=2CF,和前面一樣可證得CF±BE.

【題目詳解】

(1)①證明：如圖1,

VAF=CF,

,?.Z1=Z2,

VZ1+ZADC=9O°,Z2+Z3=90°,

；.N3=NADC,

.\FD=FC,

/.AF=FD,

即點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)；

②BE=2CF,BE1CF.理由如下：

,/AABC和4DEC都是等腰直角三角形,

ACA=CB,CD=CE,

在△ADC和aBEC中

CA=CB

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

.'.△ADC絲△BEC,

；.AD=BE,Z1=ZCBE,

而AD=2CF,Z1=Z2,

.\BE=2CF,

而N2+N3=90°,

.\ZCBE+Z3=90°,

ACF1BE；

(2)仍然有BE=2CF,BE±CF.理由如下:

延長(zhǎng)CF至?。〨使FG=CF,連結(jié)AG、DG,如圖2,

圖2

,/AF=DF,FG=FC,

二四邊形ACDG為平行四邊形，

；.AG=CD,AG〃CD,

/.ZGAC+ZACD=180°,BPZGAC=1800-ZACD,

/.CD=CE=AG,

二?△DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角(0<a<90°),

:.ZBCD=a,

/.ZBCE=ZDCE+ZBCD=90°+a=90°+90°-ZACD=1800-ZACD,

AZGAC=ZECB,

^△AGC和ACEB中

AG=CE

<ZGAC=ZECB,

AC=BC

/.△AGC^ACEB,

.\CG=BE,Z2=Z1,

.\BE=2CF,

而N2+NBCF=90°,

.?.ZBCF+Z1=9O°,

.\CF±BE.

故答案為(1)①證明見解析；②BE=2CF,BE±CF；(2)仍然有BE=2CF,BE±CF.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形和平行四邊形的性質(zhì).

20、(1)7+9忘(2)K、@,-V2),((2+夜，-2-72)

【解題分析】

（1）根據(jù)題意求得點(diǎn)4、B、C、E的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線4和直線AC解析式.過點(diǎn)P作x軸垂線PG交AC于

點(diǎn)、H,設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為才，即能用，表示尸、H的坐標(biāo)進(jìn)而表示7W的長(zhǎng).由

==2叫得到關(guān)于'的二次函數(shù)'即求得'為何值時(shí)WC面積最

大，求得此時(shí)點(diǎn)尸坐標(biāo).把點(diǎn)尸向上平移的長(zhǎng)，易證四邊形〃VWP是平行四邊形，故有PM=PN.在直線4的

上方以EN為斜邊作等腰RtANEQ,則有NQ=?EN.所以PM+MN+^EN=PN+MN+NQ,其中ACV的長(zhǎng)為

定值，易得當(dāng)點(diǎn)尸'、N、。在同一直線上時(shí)，線段和的值最小.又點(diǎn)N是動(dòng)點(diǎn)，NQ1EQ,由垂線段最短可知過點(diǎn)

p作￡Q的垂線段PR時(shí)，PN+NQ=PR最短.求直線EQ、PR解析式，聯(lián)立方程組即求得點(diǎn)R坐標(biāo)，進(jìn)而求得

P7?的長(zhǎng).

（2）先求得C,D,歹的坐標(biāo)，可得AC。b是等腰直角三角形，當(dāng)AC。咒繞p逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。再沿直線PD平移

可得△尸C"ZT,根據(jù)以。，C",D',K為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，可得OK//CTT,PD±C"D',OK±PD,OK=2,

即可求得K的坐標(biāo)，當(dāng)AC。咒繞p順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。再沿直線PD平移可得△尸C7T,根據(jù)以。，C",D',K為

頂點(diǎn)的四邊形為菱形，可得OKLPD,OK=2&+2,即可求得K的坐標(biāo).

【題目詳解】

解：（1）如圖1,過點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)"，在PG上截取=連接p'N，

以NE為斜邊在直線NE上方作等腰RtANEQ,過點(diǎn)p'作P'RJ_E。于點(diǎn)R

?二％=0時(shí)，y=^x2+X-4=-4

/.C(0,-4)

y=0時(shí)，—x2+x-4=0

2

解得：匹=-4,X2=2

"(—4,0),3(2,0)

二直線AC解析式為y=-x—4

拋物線上的點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3

1,7

y=—x3+3—4=一

"F22

77

"(3,萬),直線/Q=5

點(diǎn)"在x軸上，點(diǎn)N在直線4上，加,無軸

7

;.PP'=MN=—

2

設(shè)拋物線上的點(diǎn)尸1r+r-4)(-4<r<0)

11

/.PH=9+t-^)=——t9-2t

22

111

???S^c=S^H+SbcPH=-PH.AG+-PH.OG=-PH.OA=2PH=-t29-4t

?二當(dāng)，=--=—2時(shí)，5pc最大

-2AA

12/cc/,71

yP=—t+^—4=2—2—4=—4,yp,=yP+—=——

PP=MN,PP1//MN

四邊形PMVP是平行四邊形

:.PM=PN

等腰RtANEQ中，NE為斜邊

:"NEQ=NENQ=45。,NQ1EQ

:.NQ=^EN

J?7

:.PM+MN+-^-EN=P'N+PP'+NQ=-+P'N+NQ

當(dāng)點(diǎn)P、N、Q在同一直線上時(shí)，PN+NQ=PR最小

57

:.PM+MN+—EN=-+P'R

22

設(shè)直線石。解析式為y=—%+?

713

—3+a=—解得：a=—

22

直線EQ:y=-x+—

設(shè)直線PH解析式為y=x+b

13

2+"=心解得：b=-

3

直線PfR:y=x+—

5

%=一

解得：<2

y=x+—y=4

二吟4)

PR=J(|+2)2+(4+g)2=乎

:.PM+MN+—EN最小值為7+90

22

(2)PDLAC,尸(—2,-4),

二直線解析式為：y=x-2,

￡>(0,-2),F(-l,-3),

：.CD=2,DF=CF=0，AC。b是等腰直角三角形，

如圖2,把ADR?繞頂點(diǎn)廠逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到△ZXFC,.?.（7（直-1,-3）,。（-1,血-3）

把△ZXFC沿直線PO平移至連接"IT,CC"

則直線CC”解析式為y=x-2-夜，直線"ZT解析式為、=工+應(yīng)-2,顯然OC〃..及+1>2=。力”

???以。，C",D',K為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，OC”不可能為邊，只能以ozr、為鄰邊構(gòu)成菱形

:.OD'=C'D'=OK=2,

OK//CD',PDVC'D'

:.OK±PD

，K|(0,-衣，

如圖3,把ANC繞頂點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，得到△Z/FC,

圖3

C(-l,-3-V2),-72-3)

把△ZXFC沿直線P￡)平移至尸C”,連接CC",

顯然，CD"PD,OC"..Ji+\>C"D",OD"..Ji+\>C"D",

二以。，C",D',K為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，c〃zr只能為對(duì)角線,

K-,(2+y/2.)—2—y/2,').

綜上所述，點(diǎn)K的坐標(biāo)為：&(0,-V2),6(2+及，-2-A/2).

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)最值應(yīng)用，線段和最小值問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平移、旋轉(zhuǎn)

等幾何變換，等腰直角三角形性質(zhì)，菱形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能熟練運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

21、(1)372；(2)272+2;⑶BP=芋或3或30.

【解題分析】

(1)先根據(jù)題意推出△ABE是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

(2)首先要推出ACPQ是等腰直角三角形，再根據(jù)已知推出各邊的長(zhǎng)度，然后相加即可.

(3)首先證明△BPEs^CQP,然后分三種情況討論，分別求解，即可解決問題.

【題目詳解】

(1),??四邊形ABCD是平行四邊形,

/.AB=CD,

VBE=CD=3,

；.AB=BE=3,

XVZA=45°,

/.ZBEA=ZA=45°,ZABE=90°,

根據(jù)勾股定理得AE=J32+32=3V2;

(2)?..四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AB=CD,ZA=ZC=45°,

又四邊形ABPE是平行四邊形，

；.BP〃AB,且AE=BP,

/.BP/7CD,

.,.ED=CP=72，

'：ZEPQ=45°,

/.ZPQC=ZEPQ=45°,

/.ZPQC=ZC=45O,ZQPC=90°,

.?.CP=PQ=￡QC=2,

/.△CPQ的周長(zhǎng)=2血+2；

(3)解：如圖，作BHJ_AE于H,連接BE.

???四邊形ABCD是平行四邊形，

.*.AB=CD=3,AD=BC=AE+ED=4夜，ZA=ZC=45°

.?.AH=BH=^,HE=AD-AH-DE=

22

；.BH=EH,

:.ZEBH=ZHEB=ZEBC=45°,

；.NEBP=NC=45°,

,/ZBPQ=ZEPB+ZEPQ=ZC+ZPQC,NEPQ=NC,

/.ZEPB=ZPQC,

/.△BPE^ACQP.

①當(dāng)QP=QC時(shí)，貝!!BP=PE,

，ZEBP=ZBEP=45°,貝(IZBPE=90°,

四邊形BPEF是矩形，

BP=EF=^1,

2

②當(dāng)CP=CQ時(shí)，貝！JBP=BE=3,

③當(dāng)CP=PQ時(shí)，貝!!BE=PE=3,ZBEP=90°,

.?.△BPE為等腰三角形，

.*.BP2=BE2+PE2,

**?BP=3\/2，

綜上：BP=羋或3或3后.

【題目點(diǎn)撥】

本題利用平行四邊形的性質(zhì)求解，其中運(yùn)用了分類討論的思想，這是解題關(guān)鍵.

3

22、(1)AACP^ABPQ,理由見解析；線段PC與線段PQ垂直(2)1或5(3)9s

【解題分析】

(1)利用SAS證得ZkACPgaBPQ,得出NACP=NBPQ,進(jìn)一步得出NAPC+NBPQ=NAPC+NACP=90。得出結(jié)論

即可；

(2)由AACPg△BPQ,分兩種情況：①AC=BP,AP=BQ,②AC=BQ,AP=BP,建立方程組求得答案即可.

(3)因?yàn)閂QCVP,只能是點(diǎn)P追上點(diǎn)Q,即點(diǎn)P比點(diǎn)Q多走PB+BQ的路程，據(jù)此列出方程，解這個(gè)方程即可求得.

【題目詳解】

(1)當(dāng)t=l時(shí)，AP=BQ=3,BP=AC=9,

又?.?NA=NB=90°,

AP=BQ

在AACP與△BPQ中，＜ZA=ZB,

AC=BP

.?.AACP^ABPQ(SAS),

?\ZACP=ZBPQ,

:.ZAPC+ZBPQ=ZAPC+ZACP=90°,

NCPQ=90。，

則線段PC與線段PQ垂直.

(2)設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度x,

①若AACPgZ\BPQ,貝！］AC=BP,AP=BQ,

9=12-?

<,

t=xt

t-3

解得，

x=l

②若AACPdBPQ,貝!|AC=BQ,AP=BP,

9=xt

t=12—t

t-6

解得13，

I2

U=3k6

綜上所述，存在〈，或<3使得4ACP與ABPQ全等.

x=lx=—

i〔2

(3)因?yàn)閂QVVP,只能是點(diǎn)P追上點(diǎn)Q,即點(diǎn)P比點(diǎn)Q多走PB+BQ的路程，

設(shè)經(jīng)過x秒后P與Q第一次相遇，

；AC=BD=9cm,C,D分別是AE,BD的中點(diǎn)；

EB=EA=18cm.

當(dāng)VQ=1時(shí),

依題意得3x=x+2x9,

解得x=9；

當(dāng)VQ=』時(shí)，

3

依題意得3x=-x+2x9,

2

解得x=12.

故經(jīng)過9秒或12秒時(shí)P與Q第一次相遇.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握一元一次方程的性質(zhì)與運(yùn)算.

23、(1)詳見解析；

(2)四邊形AFCE是矩形，證明見解析；

(3)四邊形AFCE是正方形.

【解題分析】

(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出03=0。，OA=OC,AD//BC,得出NO3尸=NO￡)E,由ASA證明45歹。名△OEO

即可；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得出5尸=OE,證出四邊形AFCE是平行四邊形，再證出NAFC=90。，即可得出四邊形AFCE

是矩形.

(3)由