2024屆廣東省各市高三一模題匯編：解三角形含解析

2024屆廣東省各市高三一模好題匯編：解三角形解三角形

題型01正、余弦定理

題型02三角形面積公式

題型03解三角形實例應用

題型04解三角形在幾何中的應用

題型05解三角形有關最值問題

題型01正、余弦定理

1.（2024下?廣東大灣區(qū)?校聯(lián)考模擬預測）已知在,ABC中，AB=2,AC=l,cosA=-,則=

6

（）

A.1B.好C.正D.

233

2.（2024下,廣東?大聯(lián)考）已知在中，AB=2,AC=1,cosA=~,則BC=（）

6

A.1B.好C.正D.

233

3.（2024下?廣東?江門一模）在中，B=30,b=2,c=2、/1,則角A的大小為（）

A.45B.135或45c.15D.105或15

4.（2024下?廣東?梅州市一模）ABC的內(nèi)角A,B,4的對邊分別為b,C,若4=60°,6=10,

則結合4的值，下列解三角形有兩解的為（）

A.a=8B,a=9C.a=10D.a=11

5.（2024下?廣東?廣州市二中模擬）（多選）已知角A,B,C是三角形ABC的三個內(nèi)角，下列結論

一定成立的有（）

A.sin（-4+B）=sinCB.￡i4+B）=co$C

C.若sin/1>sinfi,則A>BD.若A>則sin4>sin8

題型02三角形面積公式

1.（2024下廣東東莞?六校聯(lián)考）在一ABC中，角A伐C的對邊分別為〃也c,且

A+C

Z?sin(A+B)—csin=0.

2

(1)求5;

(2)若。=5,a+c=8,求ABC的面積.

2.（2024下?廣東深圳?模擬）已知；ABC的內(nèi)角A民C的對邊分別為〃力,c,sinA-sin

>C=-.

6

⑴求sinB的值；

TT

(2)若6=4,且求_ABC的面積.

3.（2024下?廣東中山?一模）已知ABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,6,c,且/cosB+abcosA-2c.

⑴求。；

（2）若4=弓，且J1BC的周長為2+&,求一ABC的面積.

4.（2024下?廣東惠州?一模）在ABC中，角AB,C的對邊分別是0,瓦c,

MasinAcosB+bsmAcosA=^3acosC.

⑴求角C的大小；

⑵若a=3,且AB-AC=1，求MC的面積.

題型03解三角形實例應用

1.（2024下?廣東清遠?一模）小明在春節(jié)期間，預約了正月初五上午去美術館欣賞油畫，其中有一

幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在

距墻多遠處最合適呢？（單位：米，精確到小數(shù)點后兩位）已知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼

睛平視的上方3米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處.（）

A.1.73B.1.41C.2.24D.2.45

2.（2024下?廣東肇慶?模擬）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86

（單位：m）,三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)

有A,B,C三點，且A,B,C在同一水平面上的投影滿足/HC'?=45,ZA'B'C=60.由

C點測得2點的仰角為15,88'與CC'的差為100；由8點測得A點的仰角為45,則A,C兩點到

水平面A'3'C'的高度差44'-CC'約為（）（退*1.732）.

A.346B.373C.446D.473

3.（2024下?廣東深圳?模擬預測）為了測量西藏被譽稱為“阿里之巔"岡仁波齊山峰的高度，通常采

用人工攀登的方式進行，測量人員從山腳開始，直到到達山頂分段測量過程中，已知豎立在3點處

的測量覘標高20米，攀登者們在A處測得，到覘標底點3和頂點C的仰角分別為45。,75。，則的

高度差約為（）

A.7.32米B.7.07米C.27.32米D.30米

5.（2024下?廣東廣州?模擬預測）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻

雁南北遷徙時常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點文物保護單位.為測量來雁

塔的高度，因地理條件的限制，分別選擇C點和一建筑物。E的樓頂￡為測量觀測點，已知點A為

塔底，ACO在水平地面上，來雁塔和建筑物。E均垂直于地面（如圖所示）.測得

CD=18m,AD=15m,在C點處測得E點的仰角為30。，在E點處測得8點的仰角為60。，則來雁塔

42的高度約為（）（6^1.732,精確到0.1m）

C.38.4mD.39.6m

題型04解三角形在幾何中的應用

1T

1.（2024下廣東?百校聯(lián)考）在,ABC中，角AB,c的對邊分別是風"C,且asinC=csin（A+§）.

（1）求角A的大??；

（2）若b=2,c=3,。是邊的中點，求AZ）的長.

2.（2024下?廣東珠海?高三聯(lián)考）在△ABC中，a,b,。分別是角A,B,。所對的邊，點。在

邊AC上，且滿足3sinA=tanZABCcosC+sinC,csinC=3BZ）sinZBDC.

b

（1）求一的值；

a

（2）若AD=3DC,求sinNABD.

題型05解三角形有關最值問題

1.（2024下?廣東?梅州市一模）己知.ABC是銳角三角形，角A,B,C所對的邊分別為a,b,

c,S為.ABC的面積，2s=及+°2—4，則上的取值范圍為（）

b

2.（2024下?廣東江門?高三聯(lián)考）已知在一A5c中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

acos(^B-C^+acosA-2y/3csmBcosA=0.

（1）求A；

（2）若〈ABC外接圓的直徑為26，求2c—b的取值范圍.

3.（2024下?廣東?茂名市一模）在_/由。中，角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,已知

acosB-bcosA-a+c=0.

（1）求B的值；

（2）若版為AC的中點，且a+c=4,求創(chuàng)1的最小值.

3.（2024下廣東?廣州市一模）記,ABC的內(nèi)角A5c的對邊分別為a,d的面積為S.已

知S=—￥（/+02"2）

（1）求B；

7T

（2）若點。在邊AC上，且=—,AD=2DC=2,求_A3C的周長.

2

2024屆廣東省各市高三一模好題匯編：解三角形解三角形

題型01正、余弦定理

題型02三角形面積公式

題型03解三角形實例應用

題型04解三角形在幾何中的應用

題型05解三角形有關最值問題

題型01正、余弦定理

1.（2024下.廣東大灣區(qū).校聯(lián)考模擬預測）已知在，ABC中，AB=2,AC=1,cosA=~,則BC=

6

（）

AlB石C?DA

233

【答案】D

【解析】

22

【詳解】由余弦定理得3c2=A^+AC?—加班24c21A=211-xxx-=-,

63

所以3c=15.

3

故選：D.

2.(2024下?廣東?大聯(lián)考)已知在ABC中，AB=2,AC=1,cosA=~,則BC=()

6

n'/sc奉D小

A.1D.--------------U.-----------

233

【答案】D

【解析】

【詳解】由余弦定理得BC?=AB2+AC2—加的M214=22a21-xxx-=-,

所以3C=巫

3

故選：D.

3.（2024下?廣東?江門一模）在.ABC中，B=3Q,b=2,C=2、/5,則角A的大小為（）

A.45B.135或45c.15D.105或15

【答案】D

【解析】

【詳解】由題意知中，8=30,b=2,c=2夜，

bcsinB2^2xsin30_V2

故即sinC=

sinBsinCb2~~2

由于c〉Z?,故C>6=30，則。=45或135，

故A的大小為180-30-45=105或180-30-135=15，

故選：D

4.（2024下廣東?梅州市一模）一ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為〃，匕，。，若A=60。，6=10,

則結合〃的值，下列解三角形有兩解的為（）

A.,3=8B.a=9c.a=10D.a=11

【答案】B

【解析】

Wx

【詳解】由正弦定理可得，一乙=——，所以.DbsinAT5百，

sinAsinBsinB=-------=------=——

aaa

因為三角形有兩解，所以sin5<l,且匕>。，因此由選項知，只有。=9符合.

故選：B

5.(2024下廣東?廣州市二中模擬)(多選)已知角A,B,C是三角形ABC的三個內(nèi)角，下列結論

一定成立的有()

A.sm(4+S)=sinCB.+B)=cosC

C.若sin片>sin&則,-I>BD.若A>B,則sin451ns

【答案】ACD

【詳解】A選項，sin(>l+B)=sin(n-Q=sinC,選項A正確；

B選項，cos(4+B)=cos(n-C)=-cosC,選項B錯誤；

在△4BC中，由正弦定理得sia4>sinB=a>boA>B,故C和D正確.

故選：ACD

題型02三角形面積公式

1.(2024下?廣東東莞?六校聯(lián)考)在11ABe中，角A,B,C的對邊分別為a,6,c,且

Z?sin(A+B)-csin。=0.

⑴求3；

(2)若，=5,a+c=8,求ABC的面積.

n13>/3

B=——7-

【答案】(1)3(2)4

A+CB

Z?sin(A+3)—csin-----=0sinBsinC-sinCeos一=0

【詳解】(1)因為2,所以2

.?B

smB=cos一

因為sinCwO,所以2

cB兀B_sin『sin2sin-

0<一<—cos—wO

因為22,所以2,所以由22,得22

B=-

因為0<3<兀，所以3.

B=—

故答案為：3

(2)由余弦定理知〃="+(?_2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB

JI

b=5,a+c=8,B=-9、

因為3,所以5-=8--3農(nóng)，所以a=13,

=LcsinB=M

S

故J1BC的面積AB。24

136

故答案為：丁

2g

2.（2024下?廣東深圳?模擬）已知的內(nèi)角A3,C的對邊分別為

且c吟

⑴求sin5的值;

TT

(2)若Z?=4,且求,ABC的面積.

2

sinB=⑵26一6

【答案】（1）3

【詳解】（1）A+3+C=71,

sinIB+—兀|-sin|B+—n

???由題意得66

sinB+—cosBsinB+—cosB

222

sinB=-

解得3

B>-cosB=-Vl-sin2B=

（2）方法一:2,由(1)可知3,

bsinC_

在中，由正弦定理，得‘--------=3

sinB

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

6

S=—bcsinA=25/3-y/5

的面積2

B>—cosB=-^l-sin2B=-

方法二：2,由(1)可知3,

Z?sinC.

c=--------=j

在-ABC中，由正弦定理，得sinB,

「a1+b2-c2

cosC=_________

在.ABC中，由余弦定理，得一2ab,

.1_a2+16-9

28a,

解得。=2石土石，

B>-

2,

:.b>af

.a=2-\/3—y/5

??，

S=-bcsinA=2y/3-^

的面積2.

3.(2024下?廣東中山?一模)已知ABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c,且/cos3+他cosA=2c.

⑴求。；

(2)若A=g,且一ABC的周長為2+正，求ABC的面積.

【答案】(1)。=2；(2)4.

【詳解】(1)由題設"("c°sB+"c°sA)=20,由正弦定理有"(sinAcos'+sin'cosA)=2sinC,

所以asin(A+8)=2sinC,=故asinC=2sinC,又sinC>0,

所以°=2.

,b1+C1-a2b1+C1-41

cosA=--------------=--------------=—99

(2)由(1)及已知，有2bc2bc2,可得b+c+bc=4f

又〃+/?+。=2+返，即b+c=正，

所以S+c)2-bc=5-bc=4^>bc=l故S"BC--bcsinA-

4.(2024下?廣東惠州?一模)在一ABC中，角A民。的對邊分別是〃也。，

且QsinAcosB+bsinAcosA=COSC?

⑴求角c的大??；

⑵若。=3,且AB-AC=1，求ABC的面積.

「兀3君

【答案】⑴3（2）2

【詳解】（1）

因為asinAcosB+Z?sinAcosA=\/3?cosC,

所以卞艮據(jù)正弦定理得sinAsinAcosB+sinAsinBcosA=V3sinAcosC,

因為sinAw。，

所以sinAcosB+sinBcosA=V3cosC,

即sin（A+B）=CcosC

即sinC=A/3COSC

因為cosCwO,所以tanC=石.

C=-

因為°<C<7i,所以3.

（2）

AB?AC=bccosA=1

因為a?=〃+/—2bccosA,所以廿+/=9+2bccosA=11①.

因為W—a?+匕2—2aZ?cosC,

b1-c1=labcosC-a1-2x3xZ?xcos—-32=3b-9

所以3②.

聯(lián)立①②可得0-36-2=0,解得6=2（負根舍去），

1-1-63A/3

—absmC=—x3x2x——=-----

故，ABC的面積為2222.

題型03解三角形實例應用

1.（2024下?廣東清遠?一模）小明在春節(jié)期間，預約了正月初五上午去美術館欣賞油畫，其中有一

幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在

距墻多遠處最合適呢？（單位：米，精確到小數(shù)點后兩位）己知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼

睛平視的上方3米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處.（）

A.1.73B.1.41C.2.24D.2.45

如圖，設觀賞者的眼睛在點。處，油畫的上沿在點A處，下沿在點6處,

點0在線段延長線上，且保持與點。在同一水平線上，

則加出=夕即觀賞時的視角.

依題意==

不妨設℃=%,則RD=J/+1,AD=J/+9,

2尤2+6Ix4+6x2+9

COS0=

在△ABD中，由余弦定理,2&+>&+9V%4+10X2+9

1

X4+10X2+9X

2

X+-^>279=64r-

因尤>0,貝i]廠，當且僅當％=9時，即x=Y3時等號成立,

9g

x2+—>6/++10216

由無可得1

（一小

C41八4

0<---------------<—cos0=

j+鄉(xiāng)+104/+乂+102

則X，貝UX

（0,-）Q<0<-

因函數(shù)y=cosx在2上單調遞減，故得6,

71

即最大視角為7,此時觀賞者距離油畫的直線距離為L73.

故選：A.

2.（2024下?廣東肇慶?模擬）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86

（單位：m）,三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)

有A,B,C三點，且A,B,。在同一水平面上的投影4,5',。'滿足/4（'8=45,ZA'B'C=60.由

C點測得2點的仰角為15,與CC'的差為100；由8點測得A點的仰角為45,則A,C兩點到

水平面A'3'C'的高度差A4—CC約為（）（追=1.732）.

D.473

【答案】B

【詳解】過C作C"，33',過8作

故A4，-CC=A4-(89-BH)=A4，-Bg+100=AD+100

由于B點測得A點的仰角為45,知，皿?為等腰直角三角形，所以AO=r?,

所以A4'-CC=DB+100=A8'+100,

100

CH=C'B'=

因為N8C”=15,所以tanl5

在AAEC中,ZCA,Bf=180-60-45=75,

AB_CH_100100

由正弦定理得：sin45sin75tanl5cosl5sinl5,

sinl5=sin(45°-30)=sin45cos30-cos45sin30=-----------

而l,4

100x4x—

A'B'=—尸~~義=100(^+1)^273

所以V6-V2'7

所以A4'-CC'=AB+100B373,

故選：B.

3.（2024下廣東深圳?模擬預測）為了測量西藏被譽稱為“阿里之巔”岡仁波齊山峰的高度，通常采

用人工攀登的方式進行，測量人員從山腳開始，直到到達山頂分段測量過程中，已知豎立在8點處

的測量覘標高20米，攀登者們在A處測得，到覘標底點8和頂點C的仰角分別為45。,75。，則A,B的

高度差約為（）

c

A.7.32米B.7.07米C.27.32米D.30米

【答案】A

【詳解】A

模型可簡化為如上圖，在RtADC中，ZBAZ）=45°,ZCAD=75°；

代入上式并化簡可得3。=7.32米，

故選：A.

5.（2024下?廣東廣州?模擬預測）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻

雁南北遷徙時常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點文物保護單位.為測量來雁

塔的高度，因地理條件的限制，分別選擇C點和一建筑物。E的樓頂￡為測量觀測點，已知點A為

塔底，AC。在水平地面上，來雁塔和建筑物。E均垂直于地面（如圖所示）.測得

C￡>=18m,A￡>=15m,在C點處測得E點的仰角為30。，在E點處測得8點的仰角為60。，則來雁塔

的高度約為（）（6合1.732,精確到0.1m）

C

A.35.0mB.36.4mC.38.4mD.39.6m

【答案】B

【詳解】過點E作所，至，交AB于點廠，

在直角三角形中，因為NECD=30。，

所以DE=CDlw\ZDCE=18xtan30°=6百,

在直角三角形小?防中，因為N3E尸=60。，

所以BF=EF-tan/FEB=15xtan60°=154，

^AB=BF+AF=BF+ED=15y/3+6y/3=2173x36.4(m)

故選：B.

題型04解三角形在幾何中的應用

1.（2024下?廣東?百校聯(lián)考）在，ABC中，角A,5,c的對邊分別是"C,且asinC=csin（A+g）.

（1）求角A的大??；

（2）若b=2,c=3,￡>是邊6C的中點，求AD的長.

【答案】（1）（2）叵

32

【解析】

【小問1詳解】

JTJT

在_ABC中，由正弦定理及asinC=csin（A+—）,得sinAsinC=sinCsin（A+］）,

TT7r4JT

而sinC>0,貝!JsinA=sin（A+一）,由知0VA<A+—V—,

333

TTTT

因此4+二=兀一&,解得A=2,

33

所以角A的大小為4.

3

【小問2詳解】

qr---?

由（1）知4=烏，由。是邊的中點，得AO=—（AB+AC）,

32

所以|2222"TV19

AD|=；｛(AB+ACy=1y/b+c+2bccosA=1j2+3+2x2x3X—=--------

22

2.（2024下?廣東珠海?高三聯(lián)考）在△ABC中，a,b,。分別是角A,B,C所對的邊，點。在

邊AC上，且滿足3sinA=tan/ABCcosC+sinC,csinC=3BDsinZBDC.

b

(1)求一的值；

a

(2)若AZ)=3DC,求sinNABD.

BD_BC

【解析】（1）方法1：如圖，在△5C。中，由正弦定理知

sinCsinZBDC

所以&)sinNBDC=asinC,所以csinC=3〃sinC,

因為?！?0,兀)，所以sinCwO,則c=3a①，

由3sinA=tanZABCcosC+sinC,

則3sinAcosZABC=sinZABCcosC+sinCcosZABC=sinA,

因為人￡(0,兀)，所以sinAwO,貝ijcosNABC=g,

、+2—從92

在△A3C中，由余弦定理知cosNABC=--------------，則Q+c-b—etc=0@,

2ac3

由①②2=2萬

a

BDA5

萬法2：在△A5D中，由正弦定理知-----=----------，

sinAsinABDA

所以&)sin/BZM=csinA,又因為sinNBZM=sinNBDC,所以sinC=3sinA,

由3sinA=tanZABCcosC+sinC,貝！JtanZABCcosC=0,

因為tanNABCwO,所以cosC=0,因為C?0,兀)，所以。=]

由3sinA=tanZABCcosC+sinC,

則3sinAcosZABC=sinZABCcosC+sinCcosZABC=sinA,

因為Ae(O,兀)，所以sinA/O,貝!!cosNABC=；

bsin/ABCsin/ABC

由正弦定理知--sinA-sin(ZABC+C)=tanZABC,

因為cosNABC=g,所以sinNABC=速，則2=20.

3a

（或：在6分點后，因為sinC=3sinA,由正弦定理知c=3a,所以2=

a

31

(2)方法1：因為AD=3DC,所以AO=-6,DC=—b,

44

2

RD?_R「2BD+

在公BCD中，由余弦定理知cosZBDC=----------

2BDDCb

2BD-

3b2

HD2+AD2-AR2BD+\-C

同理在△N)中，cosZBDA=—2=---4---)--

2BDAD(f

2BD-

因為4￡>C+NBZM=7i,所以COSNBDC+COS/BZM=0,

3〃

貝IJ4BP2+---3a2-c2=0,

4

2=2忘，所以3。=畫

由（1）矢口。=3a,

a2

（注：若學生得到C='則cos/BDCu空，BD=飛BC?+3=膽也能得分）

2BD2

_A/6

在△BAD中，由余弦定理知cosZABD=

2BDAB一7'

所以sinNAB。=且

3

3

方法2：因為AD=3DC,所以AD=-6,DC=-b,

44

0—AB-BDsinZABD.

所以5=2=Q至mzWADr。,

smZCBD

SACBD^BDABsinZCBD

2

SAAnr-tc

又因為a=3,所以sin/ABD=sinNCB￡),

因為NA8D,/CBD均為銳角,所以NA5D=NCBD,

則cosZABC=cos(2ZABD)=l-2sin2ZABD,

所以sinNABD=立.

3

31

方法3：因為AD=3DC,所以AD=—6,DC=-b,

44

31-

所以3。=—3C+—3A.

44

所以+［；胡］+2-1fiC^BAcosZABC>

由⑴知C=3Q,—=2A/2,\BD\=—^-a-

aII2

BD?+AB?-AD?

在△R4D中,由余弦定理知cosZABD=

2BDAB

所以sinNAB￡)=J

3

題型05解三角形有關最值問題

1.（2024下?廣東?梅州市一模）已知JWC是銳角三角形，角A,B,。所對的邊分別為。，b,

c,S為ABC的面積，2s=〃+c2—則g的取值范圍為（

b

7

【答案】A

【解析】

【詳解】依題意，2S=bcsinA=b2+c2-a2,

...b2+c2-a2....

sinA=2-------------=2cosA,tanA=2

2bc

sinA=2cosA

<sin2A+cos2A=1

?.71sinA^,cosA=^

0<A<—

由2解得55

c_sinC_sin(A+8)_sinAcosB+cosAsinB

bsinBsinBsinB

_2451V5

5tan/5,

0<B<-

<2

A+B>-

由于三角形AB。是銳角三角形，所以12,

JTJT

0<----A<B<—tanB>tan^-A

所以22,所以

sinAAc

0<------=tanA=2

tan5,cosA

tan

所以

27514757?2751^5/-

n(J<------------<------,----<--------------1-----<V3

所以5tanB555tanB5

故選：A

2.（2024下?廣東江門?高三聯(lián)考）已知在ABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且

acos(5-C)+acosA-26csinBcosA=0.

（1）求A；

（2）若一ABC外接圓的直徑為26，求2c—b的取值范圍.

TT

【答案】（1）A=—⑵(-3,6)