2024屆河南省普通高等學校全國統(tǒng)一模擬招生考試5月高考數(shù)學聯(lián)考模擬試題（附解析）

/2024屆河南省普通高等學校全國統(tǒng)一模擬招生考試5月高考數(shù)學聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4．考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知某學校高三年級甲、乙、丙三個班級人數(shù)分別為40，30，50，學校計劃采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法在三個班級中評選優(yōu)秀學生，已知乙班分配到的優(yōu)秀學生名單為6人，則高三年級三個班優(yōu)秀學生總?cè)藬?shù)為（

）A．16 B．30 C．24 D．183．已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．4．已知橢圓的右焦點為，短軸長為，點在橢圓上，若的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為（

）A．3 B．4 C．1 D．25．設為數(shù)列的前項和，若，則（

）A．4 B．8 C． D．6．若，且，則（

）A． B． C． D．7．設，則（

）A． B． C． D．8．已知為雙曲線的左焦點，為左支上的點，為右頂點，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．在復平面內(nèi)，設為坐標原點，復數(shù)對應的點分別為，，若，則可能是（

）A． B． C． D．10．已知為函數(shù)的極值點，則（

）A．B．是偶函數(shù)C．的圖象關于直線對稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞增11．已知圓臺的上下底面半徑分別為1，2，高為，為下底面圓的一條直徑，為上底面圓的一條弦，且，則（

）A．圓臺的體積為B．圓臺的母線與下底面所成角為C．當，，，不共面時，四面體的外接球的表面積為D．的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開式中，的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）13．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，若為中點，則．14．已知函數(shù)點，在曲線上（在第一象限），過，的切線相互平行，且分別交軸于，兩點，則的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15．已知函數(shù)，且在處的切線方程是．(1)求實數(shù)，的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．16．甲、乙兩個班級之間組織乒乓球友誼賽，比賽規(guī)則如下：①兩個班級進行3場單打比賽，每場單打比賽獲勝一方積2分，失敗一方積0分；②若其中一隊累計分達到6分，則贏得比賽的最終勝利，比賽結束；③若單打比賽結束后還未能決出最終勝負，則進行一場雙打比賽，雙打比賽獲勝一方積2分，失敗一方積0分．已知每場單打比賽甲班獲勝的概率為，每場比賽無平局，不同場次比賽之間相互獨立．(1)求進行雙打比賽的概率；(2)設隨機變量為比賽場次，求的分布列及數(shù)冊望．17．如圖，在四棱錐中，平面平面，且．

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值．18．在平面直角坐標系中，已知點，點（不位于軸左側(cè)）到軸的距離為．(1)求點的軌跡方程；(2)若圓與點的軌跡有且僅有一個公共點，求的最大值；(3)在（2）的條件下，當取最大值，且時，過作圓的兩條切線，分別交軸于兩點，求面積的最小值．19．已知為單調(diào)遞增的正整數(shù)數(shù)列，給定整數(shù)，若存在不全為0的，使得，則稱為階維表示數(shù)．(1)若，求的通項公式，判斷2024是否為3階3維表示數(shù)，并說明理由；(2)已知，是否存在，使得同時是0階維表示數(shù)，1階維表示數(shù)，…，階維表示數(shù)．若存在，求出；若不存在，請說明理由．1．B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和一元二次不等式的解法求出集合，然后由集合的并集運算可得.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的值域可得，解不等式得，所以.故選：B．2．C【分析】利用分層隨機抽樣及已知，求出三個班級分配到的優(yōu)秀學生人數(shù)即得.【詳解】甲、乙、丙三個班級人數(shù)比為，由分層隨機抽樣，三個班級優(yōu)秀學生名額分別為8，6，10，所以高三年級三個班優(yōu)秀學生總?cè)藬?shù)為人.故選：C3．A【分析】根據(jù)半徑求底面周長，由弧長公式可得母線長，然后可得側(cè)面積.【詳解】因為底面半徑，所以底面周長，又圓錐母線長，所以圓錐側(cè)面積．故選：A．4．D【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)得到關于的方程組，解之即可得解.【詳解】依題意，橢圓短軸長為，得，則，又的最大值是最小值的3倍，即，所以，所以，則其焦距為.故選：D5．B【分析】根據(jù)的關系可得遞推公式，利用遞推公式可得.【詳解】當時，，所以，整理得，所以.故選：B．6．D【分析】利用正弦的差角公式結合弦切關系分別計算，再根據(jù)和角公式計算即可.【詳解】因為，又，即，則，所以，故.故選：D7．A【分析】利用正余弦函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判定與c的大小即可.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，所以，又定義域上單調(diào)遞增，所以，而在上單調(diào)遞減，所以，所以.故選:A8．A【分析】利用給定條件結合余弦定理得到齊次方程，求解離心率即可.【詳解】如圖，設的焦距為，則，由，可知，設的右焦點為，則，由余弦定理得，整理得，所以，離心率為，故A正確.故選：A．9．ACD【分析】設，根據(jù)復數(shù)的四則運算以及幾何意義可得，再結合向量垂直的坐標表示分析求解.【詳解】設，則，可知，即，若，則，整理得所以或，對比選項可知ACD正確，B錯誤.故選：ACD．10．ABC【分析】由是導函數(shù)的零點，可得判斷A選項；由解析式判斷奇偶性判斷選項B；利用函數(shù)對稱性的特征判斷選項C；由正弦型函數(shù)的單調(diào)性判斷選項D.【詳解】為函數(shù)的極值點，，由可得，A選項正確；由于，所以是偶函數(shù)，B選項正確；，所以的圖象關于直線對稱，C選項正確；由于的正負未知，所以在區(qū)間的單調(diào)性不確定，D選項錯誤，故選：ABC．11．ACD【分析】對于A選項，直接套用公式計算即可，對于B選項，先做出圓臺的軸截面進行判斷，對于C選項，當與異面時，外接球的軸截面大圓剛好是圓臺軸截面的外接圓，根據(jù)幾何關系確定圓心即可計算判斷，對于D選項，需要建立空間直角坐標系，進行用坐標法計算取值范圍.【詳解】對于A選項，圓臺體積為，A選項正確；對于B選項和C選項，先做出軸截面：根據(jù)幾何關系，可知圓臺的母線與下底面所成角為，B選項錯誤；對C選項，當與異面時，外接球的軸截面大圓剛好是圓臺軸截面的外接圓，由幾何關系得出，即下底面圓心剛好為四面體的外接球球心，則外接球半徑為2，表面積為，C選項正確.對選項D，需建立空間直角坐標系，由，可知，不妨設，，則，所以，所以，D選項正確.故選：ACD12．6【分析】因式分解得，分別由和通項相乘得，根據(jù)可得.【詳解】，的展開式通項為，的展開式通項為，，令，得，所以的系數(shù)為．故答案為：613．【分析】根據(jù)余弦定理可得，即可利用向量的模長求解.【詳解】由余弦定理，，將代入解得，因為，所以，所以．故答案為：14．【分析】利用給定條件得到，再把目標式化為一元函數(shù)，求導研究最值即可.【詳解】易知，設，則，設切線斜率為，則，所以，設，則，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以的最小值為．故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數(shù)，解題關鍵是利用給定條件得到，然后把目標式表示為，求導得到單調(diào)性，再求最值即可．15．(1)，(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到方程組，解得即可；（2）由（1）可得，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出極值.【詳解】（1）因為，所以，又在處的切線方程為，所以，，解得，．（2）由（1）可得定義域為，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，則在處取得極小值，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，因此極小值為，無極大值．16．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）利用獨立事件的乘法公式計算即可求解；（2）的可能取值為3，4，求出對應的概率，列出分布列，求出數(shù)冊望即可.【詳解】（1）設進行雙打比賽為事件A，甲班前3場獲勝2場為事件，乙班前3場獲勝2場為事件，所以，所以，所以．所以進行雙打比賽的概率為；（2）的可能取值為3，4，，由（1）可知，，的分布列為：34，所以的數(shù)冊望為．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先由線段關系證，結合面面垂直的性質(zhì)判定線線垂直，利用線線垂直證線面垂直；（2）建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量計算面面角即可.【詳解】（1）由題意，則，因為，所以，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因為平面，所以，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）如圖，以A為原點，分別為軸，軸正方向，在平面內(nèi)過點A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，

則，所以，，設平面的一個法向量，則，令，得，設平面的法向量，則，令，得，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的正弦值為．18．(1)(2)2(3)32【分析】（1）設，利用兩點距離公式及點線距離計算即可；（2）聯(lián)立圓與C方程計算即可；（3）設坐標，含參表示圓的切線方程，利用直線與圓的位置關系及同解方程得，利用三角形面積公式結合基本不等式計算最小值即可.【詳解】（1）設，則，所以，兩邊平方可得，整理得，所以點的軌跡方程C為；（2）依題意，聯(lián)立圓與，可得，解得或，由于僅有一個公共點，所以，解得，所以的最大值為2；（3）不妨設，顯然，則直線，直線，依題意直線PA與圓相切，所以，整理可得，同理可得，顯然，所以a，b為關于的一元二次方程的兩根，所以，則，則面積為，當且僅當時等號成立，所以面積的最小值為32．

【點睛】思路點睛：第三問設點坐標，利用斜截式表示圓的切線方程，根據(jù)直線與圓的位置關系得出同解方程，消元轉(zhuǎn)化再結合基本不等式計算即可.19．(1)，2024是3階3維表示數(shù)，理由見解析(2)當時，不存在不全為0的使結論成立，當時，【分析】（1）利用給定遞推關系求出，在利用給定定義判斷3階3維表示數(shù)即可.（2）利用給定定義結合分類討論思想求解即可.【詳解】（1）由于，因此的奇數(shù)項與偶數(shù)項都