2024屆河南省普通高等學(xué)校全國統(tǒng)一模擬招生考試5月高考數(shù)學(xué)聯(lián)考模擬試題(附解析)_第1頁
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文檔簡介

/2024屆河南省普通高等學(xué)校全國統(tǒng)一模擬招生考試5月高考數(shù)學(xué)聯(lián)考模擬試題注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上,并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑;非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答;字體工整,筆跡清楚.4.考試結(jié)束后,請將試卷和答題卡一并上交.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,則(

)A. B. C. D.2.已知某學(xué)校高三年級甲、乙、丙三個班級人數(shù)分別為40,30,50,學(xué)校計劃采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法在三個班級中評選優(yōu)秀學(xué)生,已知乙班分配到的優(yōu)秀學(xué)生名單為6人,則高三年級三個班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為(

)A.16 B.30 C.24 D.183.已知圓錐的底面半徑為2,其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形,則該圓錐的側(cè)面積為(

)A. B. C. D.4.已知橢圓的右焦點為,短軸長為,點在橢圓上,若的最大值是最小值的3倍,則橢圓的焦距為(

)A.3 B.4 C.1 D.25.設(shè)為數(shù)列的前項和,若,則(

)A.4 B.8 C. D.6.若,且,則(

)A. B. C. D.7.設(shè),則(

)A. B. C. D.8.已知為雙曲線的左焦點,為左支上的點,為右頂點,若,則的離心率為(

)A. B. C. D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.在復(fù)平面內(nèi),設(shè)為坐標原點,復(fù)數(shù)對應(yīng)的點分別為,,若,則可能是(

)A. B. C. D.10.已知為函數(shù)的極值點,則(

)A.B.是偶函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線對稱D.在區(qū)間上單調(diào)遞增11.已知圓臺的上下底面半徑分別為1,2,高為,為下底面圓的一條直徑,為上底面圓的一條弦,且,則(

)A.圓臺的體積為B.圓臺的母線與下底面所成角為C.當,,,不共面時,四面體的外接球的表面積為D.的最大值為三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.的展開式中,的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)13.已知的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,,,若為中點,則.14.已知函數(shù)點,在曲線上(在第一象限),過,的切線相互平行,且分別交軸于,兩點,則的最小值為.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知函數(shù),且在處的切線方程是.(1)求實數(shù),的值;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.16.甲、乙兩個班級之間組織乒乓球友誼賽,比賽規(guī)則如下:①兩個班級進行3場單打比賽,每場單打比賽獲勝一方積2分,失敗一方積0分;②若其中一隊累計分達到6分,則贏得比賽的最終勝利,比賽結(jié)束;③若單打比賽結(jié)束后還未能決出最終勝負,則進行一場雙打比賽,雙打比賽獲勝一方積2分,失敗一方積0分.已知每場單打比賽甲班獲勝的概率為,每場比賽無平局,不同場次比賽之間相互獨立.(1)求進行雙打比賽的概率;(2)設(shè)隨機變量為比賽場次,求的分布列及數(shù)冊望.17.如圖,在四棱錐中,平面平面,且.

(1)證明:平面平面;(2)求平面與平面夾角的正弦值.18.在平面直角坐標系中,已知點,點(不位于軸左側(cè))到軸的距離為.(1)求點的軌跡方程;(2)若圓與點的軌跡有且僅有一個公共點,求的最大值;(3)在(2)的條件下,當取最大值,且時,過作圓的兩條切線,分別交軸于兩點,求面積的最小值.19.已知為單調(diào)遞增的正整數(shù)數(shù)列,給定整數(shù),若存在不全為0的,使得,則稱為階維表示數(shù).(1)若,求的通項公式,判斷2024是否為3階3維表示數(shù),并說明理由;(2)已知,是否存在,使得同時是0階維表示數(shù),1階維表示數(shù),…,階維表示數(shù).若存在,求出;若不存在,請說明理由.1.B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)和一元二次不等式的解法求出集合,然后由集合的并集運算可得.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的值域可得,解不等式得,所以.故選:B.2.C【分析】利用分層隨機抽樣及已知,求出三個班級分配到的優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)即得.【詳解】甲、乙、丙三個班級人數(shù)比為,由分層隨機抽樣,三個班級優(yōu)秀學(xué)生名額分別為8,6,10,所以高三年級三個班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為人.故選:C3.A【分析】根據(jù)半徑求底面周長,由弧長公式可得母線長,然后可得側(cè)面積.【詳解】因為底面半徑,所以底面周長,又圓錐母線長,所以圓錐側(cè)面積.故選:A.4.D【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)得到關(guān)于的方程組,解之即可得解.【詳解】依題意,橢圓短軸長為,得,則,又的最大值是最小值的3倍,即,所以,所以,則其焦距為.故選:D5.B【分析】根據(jù)的關(guān)系可得遞推公式,利用遞推公式可得.【詳解】當時,,所以,整理得,所以.故選:B.6.D【分析】利用正弦的差角公式結(jié)合弦切關(guān)系分別計算,再根據(jù)和角公式計算即可.【詳解】因為,又,即,則,所以,故.故選:D7.A【分析】利用正余弦函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判定與c的大小即可.【詳解】因為在上單調(diào)遞增,所以,又定義域上單調(diào)遞增,所以,而在上單調(diào)遞減,所以,所以.故選:A8.A【分析】利用給定條件結(jié)合余弦定理得到齊次方程,求解離心率即可.【詳解】如圖,設(shè)的焦距為,則,由,可知,設(shè)的右焦點為,則,由余弦定理得,整理得,所以,離心率為,故A正確.故選:A.9.ACD【分析】設(shè),根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算以及幾何意義可得,再結(jié)合向量垂直的坐標表示分析求解.【詳解】設(shè),則,可知,即,若,則,整理得所以或,對比選項可知ACD正確,B錯誤.故選:ACD.10.ABC【分析】由是導(dǎo)函數(shù)的零點,可得判斷A選項;由解析式判斷奇偶性判斷選項B;利用函數(shù)對稱性的特征判斷選項C;由正弦型函數(shù)的單調(diào)性判斷選項D.【詳解】為函數(shù)的極值點,,由可得,A選項正確;由于,所以是偶函數(shù),B選項正確;,所以的圖象關(guān)于直線對稱,C選項正確;由于的正負未知,所以在區(qū)間的單調(diào)性不確定,D選項錯誤,故選:ABC.11.ACD【分析】對于A選項,直接套用公式計算即可,對于B選項,先做出圓臺的軸截面進行判斷,對于C選項,當與異面時,外接球的軸截面大圓剛好是圓臺軸截面的外接圓,根據(jù)幾何關(guān)系確定圓心即可計算判斷,對于D選項,需要建立空間直角坐標系,進行用坐標法計算取值范圍.【詳解】對于A選項,圓臺體積為,A選項正確;對于B選項和C選項,先做出軸截面:根據(jù)幾何關(guān)系,可知圓臺的母線與下底面所成角為,B選項錯誤;對C選項,當與異面時,外接球的軸截面大圓剛好是圓臺軸截面的外接圓,由幾何關(guān)系得出,即下底面圓心剛好為四面體的外接球球心,則外接球半徑為2,表面積為,C選項正確.對選項D,需建立空間直角坐標系,由,可知,不妨設(shè),,則,所以,所以,D選項正確.故選:ACD12.6【分析】因式分解得,分別由和通項相乘得,根據(jù)可得.【詳解】,的展開式通項為,的展開式通項為,,令,得,所以的系數(shù)為.故答案為:613.【分析】根據(jù)余弦定理可得,即可利用向量的模長求解.【詳解】由余弦定理,,將代入解得,因為,所以,所以.故答案為:14.【分析】利用給定條件得到,再把目標式化為一元函數(shù),求導(dǎo)研究最值即可.【詳解】易知,設(shè),則,設(shè)切線斜率為,則,所以,設(shè),則,當時,單調(diào)遞減,當時,單調(diào)遞增,所以的最小值為,所以的最小值為.故答案為:【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查導(dǎo)數(shù),解題關(guān)鍵是利用給定條件得到,然后把目標式表示為,求導(dǎo)得到單調(diào)性,再求最值即可.15.(1),(2)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,極小值為,無極大值【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程組,解得即可;(2)由(1)可得,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出極值.【詳解】(1)因為,所以,又在處的切線方程為,所以,,解得,.(2)由(1)可得定義域為,則,當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減,當時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增,則在處取得極小值,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,因此極小值為,無極大值.16.(1)(2)分布列見解析,【分析】(1)利用獨立事件的乘法公式計算即可求解;(2)的可能取值為3,4,求出對應(yīng)的概率,列出分布列,求出數(shù)冊望即可.【詳解】(1)設(shè)進行雙打比賽為事件A,甲班前3場獲勝2場為事件,乙班前3場獲勝2場為事件,所以,所以,所以.所以進行雙打比賽的概率為;(2)的可能取值為3,4,,由(1)可知,,的分布列為:34,所以的數(shù)冊望為.17.(1)證明見解析(2)【分析】(1)先由線段關(guān)系證,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)判定線線垂直,利用線線垂直證線面垂直;(2)建立合適的空間直角坐標系,利用空間向量計算面面角即可.【詳解】(1)由題意,則,因為,所以,因為平面平面,平面平面,且平面,所以平面,因為平面,所以,且平面,所以平面,又平面,所以平面平面;(2)如圖,以A為原點,分別為軸,軸正方向,在平面內(nèi)過點A作平面ABC的垂線為z軸,建立空間直角坐標系,

則,所以,,設(shè)平面的一個法向量,則,令,得,設(shè)平面的法向量,則,令,得,設(shè)平面與平面的夾角為,則,所以平面與平面夾角的正弦值為.18.(1)(2)2(3)32【分析】(1)設(shè),利用兩點距離公式及點線距離計算即可;(2)聯(lián)立圓與C方程計算即可;(3)設(shè)坐標,含參表示圓的切線方程,利用直線與圓的位置關(guān)系及同解方程得,利用三角形面積公式結(jié)合基本不等式計算最小值即可.【詳解】(1)設(shè),則,所以,兩邊平方可得,整理得,所以點的軌跡方程C為;(2)依題意,聯(lián)立圓與,可得,解得或,由于僅有一個公共點,所以,解得,所以的最大值為2;(3)不妨設(shè),顯然,則直線,直線,依題意直線PA與圓相切,所以,整理可得,同理可得,顯然,所以a,b為關(guān)于的一元二次方程的兩根,所以,則,則面積為,當且僅當時等號成立,所以面積的最小值為32.

【點睛】思路點睛:第三問設(shè)點坐標,利用斜截式表示圓的切線方程,根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出同解方程,消元轉(zhuǎn)化再結(jié)合基本不等式計算即可.19.(1),2024是3階3維表示數(shù),理由見解析(2)當時,不存在不全為0的使結(jié)論成立,當時,【分析】(1)利用給定遞推關(guān)系求出,在利用給定定義判斷3階3維表示數(shù)即可.(2)利用給定定義結(jié)合分類討論思想求解即可.【詳解】(1)由于,因此的奇數(shù)項與偶數(shù)項都

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