張家界市2024年高考數(shù)學全真模擬卷含解析

張家界市一中2024年高考數(shù)學全真模擬密押卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物

不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關(guān)

的問題：將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個數(shù)列，

則該數(shù)列各項之和為（）

A.56383B.57171C.59189D.61242

2.費馬素數(shù)是法國大數(shù)學家費馬命名的，形如22"+1（〃eN）的素數(shù)（如：22°+1=3）為費馬索數(shù)，在不超過30的正偶

數(shù)中隨機選取一數(shù)，則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是（）

2141

A.—B.—C.—D.一

155153

(JI3兀、3

3.已知。tan(cr-7i)=--,則sina+cosa等于().

1117

A.±-B.——C.-D.―一

5555

1,

4.已知拋物線C：y獷的焦點為產(chǎn)，準線為/,P是/上一點，直線尸產(chǎn)與拋物線交于A,B兩點，若PA=2AF，

4

則|由為（）

4016

A.—B.40C.16D.——

93

5.如圖示，三棱錐P—ABC的底面ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,且===0，PC=6，

則PC與面R鉆所成角的正弦值等于（）

H

A.-B.在C.正D.也

3333

22

6.設(shè)雙曲線=-二=1(a>0,b>0)的右焦點為F,右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點，過B,C

ab

分別作AC,AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是

()

A.(-1,0)(0,1)

B.(-oo,-l)(l,+oo)

C.(-72,0),(0,V2)

D.(—co,—\/2)(A/2,+co)

7.二項式(二一3]展開式中，工項的系數(shù)為()

12x)x

8.將函數(shù)y=2cos2[m+￡]-1的圖像向左平移機(加>0)個單位長度后，得到的圖像關(guān)于坐標原點對稱，則，"的

最小值為()

9.如圖是來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形

ABC的斜邊BC,直角邊人民4。.已知以直角邊4。,45為直徑的半圓的面積之比為上，記NABC=c,貝!|sin2a=

10.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝

才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”意思為有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛,

每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達目的地，請問第二天比第四天多走了()

A.96里B.72里C.48里D.24里

"2

11.在平面直角坐標系中，已知從,立是圓/+V=]上兩個動點，且滿足=-幺伍eN*),設(shè)4,4

n〃2\/

到直線%+百y+〃(〃+1)=0的距離之和的最大值為a?,若數(shù)列工的前〃項和S.<m恒成立，則實數(shù)的取值

范圍是()

12.已知集合A=W-2x-3<0}3={x|x<2},則AB=()

A.(1,3)B.(1,3]C.[-1,2)D.(-1,2)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.執(zhí)行以下語句后，打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是：.

14.雙曲線V-匕=1的離心率為

3

15.正項等比數(shù)列|{?！皚滿足="|，且2a2，^。4，。3成等差數(shù)列，貝!2a3>?(44+1)取得最小值時〃的

值為_____

16.已知非零向量“2的夾角為且慟=1,|24—,=百，則,卜.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

%=2+2cos9

17.(12分)在平面直角坐標系九0y中，曲線a的參數(shù)方程為一.八(夕為參數(shù))，以原點為極點，x軸的

y=2sm”

94

非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線。2的極坐標方程為。=—5--------------7^.

cosa+4sina

(1)求曲線G的極坐標方程以及曲線C2的直角坐標方程;

(2)若直線/：丁=依與曲線G、曲線在第一象限交于尸,Q兩點，且|0P|=2|0Q|,點M的坐標為(2,0),求

AMPQ的面積.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=%2+2x—77〃n(x+l),其中mGH.

(I)若機＞0,求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)8(力=/卜)+/.若8(同＞+在(0,+8)上恒成立，求實數(shù)機的最大值.

19,(12分)在△ABC中，角AB,C所對的邊分別為。，b,C,若m=(a,b-c),九=(sinA—sin民sin5+sinC),

p=(1,2),且m_L〃.

(1)求角C的值；

(2)求幾?p的最大值.

22

20.(12分)已知橢圓C:f+g=l(a〉6〉0),左、右焦點為耳、工，點尸為C上任意一點，若|尸耳|的最大值為

3,最小值為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)動直線/過點B與。交于P、。兩點，在x軸上是否存在定點A,使/24月=224月成立，說明理由.

21.（12分）如圖，在四棱錐尸—A5CD中，平面ABC。，AD±AB,AB//CD,AB=AD=AP=-CD=2,

一2

E為PC的中點.

(1)求證：跖1平面PC。；

(2)求二面角A—QB—C的余弦值.

22.(10分)如圖，在四棱柱ABCD-agCiR中，平面ABC。，底面45。滿足A?！˙C,且

AB=AD^AAl=2,BD=DC=2叵

(I)求證:AB，平面A。，A；

(n)求直線AB與平面與C。所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”，可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式，可得結(jié)果.

【詳解】

被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項為23,

公差為5x7=35的等差數(shù)列，記數(shù)列{%}

貝！］an=23+35(?-1)=35?-12

2

令a,,=35〃—12<2020,解得〃<58—.

35

故該數(shù)列各項之和為58x23+處出x35=59189.

2

故選：C

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。

2、B

【解析】

基本事件總數(shù)〃=15,能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3個，根據(jù)古

典概型求出概率.

【詳解】

在不超過30的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù)，基本事件總數(shù)〃=15

能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3個

31

則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是P=—=j

本題正確選項：B

【點睛】

本題考查概率的求法，考查列舉法解決古典概型問題，是基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

3

由已知條件利用誘導(dǎo)公式得tan。=再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號，即可得到答案.

4

【詳解】

3

由題意得tan(o-7i)=tana=——,

34

又?！阠osa(0,sina)0結(jié)合sin26Z+cos2a=1解得sintz——,COS6Z——9

55

所以since+cos<z

5-5--5

故選B.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號與位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

如圖所示，過A5分別作ACJU于C,BD工/于D,利用AAPCABPD和AFPMABPD,聯(lián)立方程組計算得

到答案.

【詳解】

如圖所示：過A5分別作AC，/于C,BDL于D.

94

PA=2AF＞則|人。=］怛閭=§，

4

ApArAP3

根據(jù)AAPCAfi尸。得到：——二——,即

BPBDAP+》BJBD'

4

AP+-

AFFM即一士2

根據(jù)AFEMA5PD得到:

~BPBDBD

AP+-+BD

3

解得AP=|,BD=4,故|AB|=|A司+忸同=|AC|+忸。|=g.

故選：D.

【點睛】

本題考查了拋物線中弦長問題，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.

5、A

【解析】

首先找出PC與面RLB所成角，根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系

求出所成角的正弦值.

【詳解】

由題知ABC是等腰直角三角形且NACB=90°,ZXABP是等邊三角形,

設(shè)中點為。，連接PO,CO,可知PO=Y5,CO=顯,

22

同時易知AB^CO,

所以AB，面POC,故NPOC即為PC與面RR所成角,

PCP+CO?-PC?2&

有cosZPOC=

2POCO

故sinZPOC=Vl-cosZPOC=

3

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算，屬于基礎(chǔ)題.

6、A

【解析】

由題意.1.(0,)，

aa

根據(jù)雙曲線的對稱性知。在x軸上，設(shè)O(x,0),則由

b2b2

BD±AB^.?r.t_,

c-xc-a|a2(a-c)|

因為D到直線BC的距離小于a+Jq2+爐，所以

|a(a-c)|a'

Z?b

即0〈一<1,所以雙曲線漸近線斜率左=土一e(—L0)u(0,l),故選A.

aa

7、D

【解析】

寫出二項式的通項公式,再分析x的系數(shù)求解即可.

【詳解】

二項式|鼻―￡|展開式的通項為(+i=a[￡|[I](―3>/2「,令7—2/?=—1,得廠=4,故J項的系

數(shù)為端出74(—3)4=等.

故選：D

【點睛】

本題主要考查了二項式定理的運算，屬于基礎(chǔ)題.

8、B

【解析】

由余弦的二倍角公式化簡函數(shù)為y=cosX+971,要想在括號內(nèi)構(gòu)造工變?yōu)檎液瘮?shù)，至少需要向左平移￡個單位

I4J24

長度，即為答案.

【詳解】

龍71X7171

由題可知，y=2cos2—+—-1=cos2—+—=cosx+￡對其向左平移-個單位長度后,

28284

(冗71冗71、/\

y=coslx+—+—l=coslx+—l=-sinx,其圖像關(guān)于坐標原點對稱

44

TT

故，，的最小值為了

故選：B

【點睛】

本題考查三角函數(shù)圖象性質(zhì)與平移變換，還考查了余弦的二倍角公式逆運用，屬于簡單題.

9、D

【解析】

Ari

由半圓面積之比，可求出兩個直角邊AB,AC的長度之比，從而可知tana=——=-,結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)

AB2

系，即可求出sin。,cos。，由二倍角公式即可求出sin2a.

【詳解】

2

解：由題意知a￡0,^1,以A3為直徑的半圓面積S1=g?AB

AC「SAC21AC1

以AC為直徑的半圓面積S2=g?9n貝!I|—9=TT——，即nntanoc-----二一

IAB-4AB2

.V5

sin2or+cos2a=1sina=——廠廠

弓「,所以sin2a=2sinacosa==d

由＜sina1，得,

tana-------=—2V5555

cos。2costz=-----

5

故選:D.

【點睛】

本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查了二倍角公式.本題的關(guān)鍵是由面積比求出角的正切值.

10、B

【解析】

人每天走的路程構(gòu)成公比為g的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為生,計算4=192,代入得到答案.

【詳解】

由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為'的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為％,

2

“i-GJ10丫

則1、”「.葭解得。1=192,從而可得生=192x—=96,%=192x—=24,故4-4=96-24=72.

1--

2

故選：B.

【點睛】

本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力.

11、B

【解析】

由于4,4到直線x+6y+/(〃+l)=O的距離和等于4,紇中點到此直線距離的二倍，所以只需求4,紇中點到此

直線距離的最大值即可。再得到4,紇中點的軌跡是圓，再通過此圓的圓心到直線距離，半徑和4,紇中點到此直線

距離的最大值的關(guān)系可以求出4。再通過裂項的方法求人的前〃項和，即可通過不等式來求解的取值范圍.

【詳解】

22

由OA“OB?=-—，得〃"cosNAOg,=—上，,ZA?OB?=120.設(shè)線段4區(qū)的中點G,貝!，：＜,

222

在圓x2+y2=y±,到直線尤+與+/(〃+1)=0的距離之和等于點c“到該直線的距離的兩倍，點c“到直

線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和，而圓V+y2=ZL的圓心(0,0)到直線x+Gy+〃(〃+l)=0

-4

2\nn+2j

1

2

:.m>—.

4

故選：B

【點睛】

本題考查了向量數(shù)量積，點到直線的距離，數(shù)列求和等知識，是一道不錯的綜合題.

12、C

【解析】

解不等式得出集合A,根據(jù)交集的定義寫出AH5.

【詳解】

集合4=3，-2工-3叫=但-l<x<3},

B={x|x<2},AoB={x\-l<x<2}

故選C.

【點睛】

本題考查了解不等式與交集的運算問題，是基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

根據(jù)程序框圖直接計算得到答案.

【詳解】

程序在運行過程中各變量的取值如下所示：

是否繼續(xù)循環(huán)ix

循環(huán)前14

第一圈是44+2

第二圈是74+2+8

第三圈是104+2+8+14

退出循環(huán)，所以打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是：1

故答案為：L

【點睛】

本題考查了程序框圖，意在考查學生的計算能力和理解能力.

14、2

【解析】

a=1,b=y/3/.c=a2+b2=2,e=—=2

a

15、2

【解析】

先由題意列出關(guān)于4,q的方程，求得｛4｝的通項公式，再表示出（。化>（。2a3>?（44+1）即可求解.

【詳解】

解:設(shè)｛4｝公比為比且q>0,

2

a3=%%a4=a2q

c1c

2x—&=2%+%

cl2c

2x—ci2q-2%+12a

；.q?_q_2=0

q>2

:.q=2

/5

..q+4q——

1

Cl,——

14

.?.4=—x2"T=2"-3

"4

?他=4%=2〃一3x2-2=22片

.?.姑2^=2-3x2*xX22B-5

_2-3+（-1）++（2n-5）

_2〃2-4〃

=2（?-2）2-4

.?.”=2時，上式有最小值2T=2，

16

故答案為：2.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)以及等比數(shù)列求積、求最值的有關(guān)運算，中檔題.

16、1

【解析】

由已知條件得出4a2—4|a|.|6|.cos<a,6〉+辦2=3,可得21al2-1。|-1=0,解之可得答案.

【詳解】

2

向量a,b的夾角為,且|2a—切=百，|6|=1,可得:4。2—4|。|皿|?cos<a,b>+b=3,

可得21al2—|a|—l=0,解得|a|=l,

故答案為:L

【點睛】

本題考查根據(jù)向量的數(shù)量積運算求向量的模，關(guān)鍵在于將所求的向量的模平方，利用向量的數(shù)量積化簡求解即可，屬

于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)G的極坐標方程為Q=4COS，，C,的直角坐標方程為三+J?=1(2)巫

4-3

【解析】

(1)先把曲線G的參數(shù)方程消參后，轉(zhuǎn)化為普通方程，再利用x=0cos8,y=0sin。求得極坐標方程.將

c4

P1=一5---------,化為夕2cos2。+4.2sir?。=4,再利用x=pcose,y=psin。求得曲線C2的普通方程?

cosa+4sina

494

⑵設(shè)直線的極角八為'代入，得「西’將"°。代入片4期,,得

Pp=4cosq,由10Pl=2|0Q|,得Pp=2夕2，即(4cos%)2=162,從而求得sin?%,cos?4=：,

1十Dsin%33

從而求得2°,QP,再利用S^pQ=S^OMP-SAOMQ=5,IOMI,(^pP—%)?sin%求解.

【詳解】

(1)依題意，曲線G：(x—2)2+丁=4,即爐+9―4%=0,

故02—4QCOS，=0,即Q=4COS，.

4

因為夕2=，p1cos2a+47?2sin2cr=4,

cos2a+4sin2a

2

即/+4/=4,即?+y2=l.

424

(2)將…代入°?='得.-l+3sin2%

cos2a+4sin2a

將代入P=4cos8,得Pp=4cosq,

216

由|0P|=2|0Q|,得4=2夕°,得（4cos%）,=…c，

“l(fā)+3sin綜

。21

解得sin?4=耳，則cos?4=耳.

dc八兀小I4264百

又0＜4＜彳，故夕°=J］；?2.=~^~，PP=4cos4,

2\l+3sm0Q33

故AMPQ的面積SAMPQ=SA.-SA°M。=gl°”I.（必—&）.sin為=子?

【點睛】

本題考查極坐標方程與直角坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、極坐標的幾何意義，還考查推理論證能力以及數(shù)

形結(jié)合思想，屬于中檔題.

18、（I）單調(diào)遞減區(qū)間為—1,單調(diào)遞增區(qū)間為1,+s；（II）2.

【解析】

（I）求出函數(shù)丁=/（力的定義域以及導(dǎo)數(shù)/"（%）,利用導(dǎo)數(shù)可求出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；

（II）由題意可知f+2尤-mln（x+l）＞----?在（0,+8）上恒成立，分機＜0和機＞0兩種情況討論，在m〈0

時，構(gòu)造函數(shù)G（x）=f+2x---+4＞利用導(dǎo)數(shù)證明出G（x）＞0在（0,+。）上恒成立；在機＞0時，經(jīng)過分析得

x+1e

出0＜m＜2,然后構(gòu)造函數(shù)P（x）=f+2x—21n（x+l）+±———,利用導(dǎo)數(shù)證明出P（x）＞0在（0,+。）上恒成

ex+1

立，由此得出了（￡）＞p（x）＞o,進而可得出實數(shù)根的最大值.

【詳解】

（I）函數(shù)/（%）=￡+2x-mln（x+l）的定義域為（一1,+8）.

當機＞0時，/⑺=2x+2—旦=2（x+l）2一—.

'）x+1x+1

令/'（x）=0,解得斗=一與一1＜一1（舍去），x?=粵—\＞一3

'J2m1(/xflrn'、

當—L--1時，<0,所以，函數(shù)y=/(x)在T--1上單調(diào)遞減;

77

當xj叵T+oo］時,r、

/'(x)>0,所以，函數(shù)y=/(x)在-1,+8上單調(diào)遞增.

2

7、

因此，函數(shù)y=/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為-1,七一-1,單調(diào)遞增區(qū)間為-1,+00

2

IJI27

（II）由題意，可知爐+2%-mln（x+l）＞-.......?在（0,+8）上恒成立.

x+1e

(i)若切VO,ln(x+l)>0,.\-772111(%+1)>0,

11

%?+2%一772In(x+1)--------1——N%2+2x—-----+—,

x+1ex+1ex

11_

構(gòu)造函數(shù)G(X)=_?+2X—-—+4^x>Q,則G'(X)=2X+2+7

Y\2八%

x+1e(x+1)e

x090<—<1—1<-----<0.

ex9ex

又2X+2+(「］)2>2X+2>2,.?.G'(x)〉0在(O,+“)上恒成立.

所以，函數(shù)y=G(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，.?.G(x)>G(0)=0.

當7篦K0時，x~+2,x—tnIn(x+1)--------1—->0在(0,+8)上恒成立.

x+1e

（ii）若機＞0,構(gòu)造函數(shù)=x＞0.

x

H\x）=e-l＞09所以，函數(shù)y=H（x）在（0,+“）上單調(diào)遞增.

.?.H（x）＞H（0）=。恒成立，即/＞%+1＞0，即々一上〉0.

x十1ex十Le

由題意，知/（力＞」一一）在（0,+"）上恒成立.

:.于（%）=x2+2x-相加（％+1）＞。在（0,+8）上恒成立.

由（I）可知/（外血=/（同

極小值"J’

又Q/(O)=O,當《引一i〉o,即加>2時，函數(shù)y=/(x)在O,^p-1上單調(diào)遞減,

、

-1</(o)=o,不合題意，

粵8即。<心

)

此時g(%)------=x2+2x-mln(x+l)+^------>x2+2x-21n(x+l)+^-1

x+1ex+1ex+1

構(gòu)造函數(shù)尸(x)=%2+2%—21n(x+l)+4———，x>0.

ex+1

211

P'(x)=2x+2-------------+---------

I7X+1/(x+1)2，

x+1>1,

2____1_]cc31

P(x)=2x+2-

d+@+1)2>2x+2---------F

x+1x+1a+i)2

2(x+l)3-3(x+l)+l2(x+l)2-3(x+l)+l%(2%+l)〉°

(%+l)2(x+l)2(x+l)2

??.P(￡)>0恒成立，所以，函數(shù)y=尸(無)在(0,+s)上單調(diào)遞增，...P(x)>P⑼=0恒成立.

綜上，實數(shù)耀的最大值為2.

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，本題的難點在于不斷構(gòu)

造新函數(shù)來求解，考查推理能力與運算求解能力，屬于難題.

19、(1)y；(2)2瓜

【解析】

(1)由正弦定理可得a2+A2—c2=aO,再用余弦定理即可得到角C；

(2)〃"=百$也(4+?)+百，再利用求正弦型函數(shù)值域的方法即可得到答案.

【詳解】

(1)因為加_[_〃，所以〃(sinA-sinb)+S—c)(sinB+sinC)=0.

在AABC中，由正弦定理得一jb_c

sinAsinBsinC

222

所以。(a-b)+(6-c)S+c)=。，gpa+b-c=ab-

z72_i_A2_r2nh1

在AABC中，由余弦定理得cosC=J?~J=旦」,

lablab2

IT

又因為。￡(0,乃)，所以c=；

3

71

(2)由(1)得。=—,在AABC中，A+B+C=7i,

3

所以〃?p=1x(sinA-sinB)+2(sinB+sinC)

=—sinAd---cosA+y/3

22

因為A“0彳j,所以A+工f，F(xiàn)］，

所以當即A=(時，y=si“A+f有最大值i,

所以〃?0的最大值為2君.

【點睛】

本題考查正余弦定理解三角形，涉及到兩角差的正弦公式、輔助角公式、向量數(shù)量積的坐標運算，是一道容易題.

22

20、(1)—+2_=1(2)存在；詳見解析

43

【解析】

(1)由橢圓的性質(zhì)得」+c=3,a—c=l,解得a,c后可得沙，從而得橢圓方程；

(2)設(shè)尸(%,%),。(%,%),45,0),當直線/斜率存在時，設(shè)為丁=左(1-1),代入橢圓方程，整理后應(yīng)用韋達定

理得再+%2，石%2,代入左AP+心2=0由恒成立問題可求得驗證/斜率不存在時也適合即得.

【詳解】

PF.=a+c=3fa=2

解：(1)由題易知111ax?解得,

PF..=a-c=lc=1l

I1minI

22

所以橢圓C方程為L+2L=1

43

(2)設(shè)尸(王，％),。(大2，%)，4(”,0)

當直線/斜率存在時，設(shè)為》=左(％-1)與橢圓方程聯(lián)立得

（4左2+3）］2-8左2%+4左?一］2=0,顯然/>0

8人24k2-12

所以石+々=,%r-r

222

/1IJ4k+3

因為NPAg=ZQAF2,:.kAP+kAQ=0

X+%=左（石—1）（々—”）+MTT）&—〃）=0

xl-nx7-n（%1-n）（x2一〃）

8r—248（〃一1）左26〃+8〃攵2

化簡-（〃+1）（X］+%）+2〃=O,.,.

止+3止+34V+3

解得6〃—24=0即〃=4

所以此時存在定點4(4,0)滿足題意

當直線/斜率不存在時，4(4,0)顯然也滿足

綜上所述，存在定點4(4,0),使NP46=NQA6成立

【點睛】

本題考查求橢圓的標準方程，考查直線與橢圓相交問題中的定點問題，解題方法是設(shè)而不求的思想方法.設(shè)而不求思

想方法是直線與圓錐曲線相交問題中常用方法，只要涉及交點坐標，一般就用此法.

21、(1)見解析；(2)-史

3

【解析】

⑴取PD的中點尸，連接AF,EF，根據(jù)中位線的方法