山東省聊城市2023-2024學(xué)年高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

山東省聊城市2023-2024學(xué)年高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他

答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知數(shù)列{4}中,4=1,4=2,且當(dāng)九為奇數(shù)時(shí),4+2-4=2;當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),an+2+l=3(a?+l).則此數(shù)

列的前20項(xiàng)的和為()

ol1Q1Qol2qql2Q

A.^—^+90B.^-—^+100C.^—^+90D.^-^+100

2222

2.網(wǎng)格紙上小正方形邊長(zhǎng)為1單位長(zhǎng)度,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()

4

A.1B.-C.3D.4

3

3.數(shù)列{斯}是等差數(shù)列,“1=1,公差dG[L2],且。4+310+"16=15,則實(shí)數(shù)入的最大值為()

4.如圖,矩形ABC。中,AB=1,BC=&,E是AO的中點(diǎn),將△ABE沿3E折起至ABE,記二面角A'-5E-。

的平面角為戊,直線AE與平面5COE所成的角為萬(wàn),HE與3c所成的角為/,有如下兩個(gè)命題:①對(duì)滿足題意的

任意的A'的位置,a+/3<7i.②對(duì)滿足題意的任意的A'的位置,a+/W?,貝!|()

A.命題①和命題②都成立B.命題①和命題②都不成立

C.命題①成立,命題②不成立D.命題①不成立,命題②成立

5.設(shè)y=/(x)是定義域?yàn)锳的偶函數(shù),且在[0,轉(zhuǎn))單調(diào)遞增,?=log020.3,/7=log20.3,貝!I()

A.于(a+b)>于(ab)>于Q)B.于(a+b)>于(0)>于(ab)

C.于(ab)〉于(a+b)〉/(0)D.于(ab)〉于⑼〉/(a+b)

6.已知集合A={2,3,4},集合5={佻相+2},若B={2},則機(jī)=()

A.0B.1C.2D.4

7.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{4}中,存在兩項(xiàng)冊(cè)“,使得=3弓,a6=2a5+3a4,則±的最小值是()

mn

379

A.—B.2C.—D.一

234

8.黨的十九大報(bào)告明確提出:在共享經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域培育增長(zhǎng)點(diǎn)、形成新動(dòng)能.共享經(jīng)濟(jì)是公眾將閑置資源通過(guò)社會(huì)化平

臺(tái)與他人共享,進(jìn)而獲得收入的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.為考察共享經(jīng)濟(jì)對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的影響,在四個(gè)不同的企業(yè)各取兩個(gè)部門

進(jìn)行共享經(jīng)濟(jì)對(duì)比試驗(yàn),根據(jù)四個(gè)企業(yè)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出如下四個(gè)等高條形圖,最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門的發(fā)展

有顯著效果的圖形是()

9.如圖,正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線圖形是一個(gè)多面體的三視圖,則該多面體各表面所在平面互相垂直的有()

—二

正視圖J一冽視圖

俯現(xiàn)圖

A.2對(duì)B.3對(duì)

C.4對(duì)D.5對(duì)

10.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以歹為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn),M是線段上的點(diǎn),且

歸陰=2附4則直線的斜率的最大值為()

A.3B.-C.—D.1

332

11.已知E為拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),點(diǎn)4(1,間在。上,若直線AE與。的另一個(gè)交點(diǎn)為3,貝!||/叫=()

A.12B.10C.9D.8

12.為了研究國(guó)民收入在國(guó)民之間的分配,避免貧富過(guò)分懸殊,美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線,如圖

所示.勞倫茨曲線為直線OZ時(shí),表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線。紅時(shí),表示收入完全不平等.記區(qū)域A為不平

等區(qū)域,。表示其面積,S為△皈的面積,將Gini=9稱為基尼系數(shù).

計(jì)

累計(jì)人口百分比(%)

對(duì)于下列說(shuō)法:

①Gini越小,則國(guó)民分配越公平;

②設(shè)勞倫茨曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=/(x),則對(duì)Vxe(O,l),均有出>1;

X

③若某國(guó)家某年的勞倫茨曲線近似為丁=/(無(wú),則Gini=;;

④若某國(guó)家某年的勞倫茨曲線近似為y=x3(xe[0,1]),則Gini=1.

其中正確的是:

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。

13.直線/是圓4:(x+l)2+y2=l與圓。2:(尤+4)2+必=4的公切線,并且/分別與x軸正半軸,丁軸正半軸相交

于A,B兩點(diǎn),則AAQB的面積為

14.已知點(diǎn)4(0,-1)是拋物線必=2?!档臏?zhǔn)線上一點(diǎn),廠為拋物線的焦點(diǎn),尸為拋物線上的點(diǎn),且|尸耳=7T"若

雙曲線C中心在原點(diǎn),F(xiàn)是它的一個(gè)焦點(diǎn),且過(guò)產(chǎn)點(diǎn),當(dāng)機(jī)取最小值時(shí),雙曲線C的離心率為.

15.已知a=k)go30.2,b=log20.2,貝1(填“>”或“="或

16.若。+府0,貝”+〃+1%的最小值為.

三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

22

17.(12分)已知橢圓C:J+2r=l(a〉6〉0)的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-也,0),A,3分別是橢圓的左,右頂點(diǎn),P是橢

ab

圓上異于A,3的一點(diǎn),且E4,M所在直線斜率之積為

4

(1)求橢圓C的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)Q(0,l)作兩條直線,分別交橢圓C于M,N兩點(diǎn)(異于。點(diǎn)).當(dāng)直線。河,QN的斜率之和為定值(W0)

時(shí),直線是否恒過(guò)定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理.

18.(12分)在銳角三角形ABC中,角A,瓦C的對(duì)邊分別為a/,c.已知tanA,tan3,tanC成等差數(shù)列,

cosA,VcosC,cosB成等比數(shù)列.

(1)求A的值;

(2)若A6c的面積為1,求。的值.

19.(12分)在AABC中,角A,3,C的對(duì)邊分別為a,4c,若瓜=6(sinC+JJcosC).

(1)求角3的大??;

TC

(2)若A=1,。為AABC外一點(diǎn),DB=2,CD=1,求四邊形A50C面積的最大值.

20.(12分)已知/(%)=J?+以2+法,。,0£R

(1)若匕=1,且函數(shù)/(x)在區(qū)間[-1,;]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的范圍;

(2)若函數(shù)/(?有兩個(gè)極值點(diǎn)占,馬,,%<2且存在與滿足占+2%=3々,令函數(shù)g(x)=/(x)—/(%),試

判斷g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x-。|

(1)當(dāng)a=—1時(shí),求不等式/(x)〈|2x+l|-l的解集;

(2)若函數(shù)g(x)=C(x)-|x+3|的值域?yàn)锳,且求a的取值范圍.

22.(10分)為了解網(wǎng)絡(luò)外賣的發(fā)展情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)從全國(guó)各城市中抽取了100個(gè)相同等級(jí)地城市,分別調(diào)查了甲

乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(tái)(以下簡(jiǎn)稱外賣甲、外賣乙)在今年3月的訂單情況,得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖,

外賣乙該月訂單的頻數(shù)分布表,如下圖表所示.

(1)現(xiàn)規(guī)定,月訂單不低于13萬(wàn)件的城市為“業(yè)績(jī)突出城市”,填寫下面的列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的

把握認(rèn)為“是否為業(yè)績(jī)突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(tái)”有關(guān).

業(yè)績(jī)突出城市業(yè)績(jī)不突出城市總計(jì)

外賣甲

外賣乙

總計(jì)

(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,外賣甲今年3月在全國(guó)各城市的訂單數(shù)Z(單位:萬(wàn)件)近似地服從正態(tài)分布

其中〃近似為樣本平均數(shù)嚏(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),〃的值已求出,約為3.64,現(xiàn)把頻

率視為概率,解決下列問(wèn)題:

①?gòu)娜珖?guó)各城市中隨機(jī)抽取6個(gè)城市,記X為外賣甲在今年3月訂單數(shù)位于區(qū)間(4.88,15.8)的城市個(gè)數(shù),求X的數(shù)

學(xué)期望;

②外賣甲決定在今年3月訂單數(shù)低于7萬(wàn)件的城市開(kāi)展“訂外賣,搶紅包”的營(yíng)銷活動(dòng)來(lái)提升業(yè)績(jī),據(jù)統(tǒng)計(jì),開(kāi)展此活

動(dòng)后城市每月外賣訂單數(shù)將提高到平均每月9萬(wàn)件的水平,現(xiàn)從全國(guó)各月訂單數(shù)不超過(guò)7萬(wàn)件的城市中采用分層抽樣

的方法選出100個(gè)城市不開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng),若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤(rùn)5元,但每件外賣平均需送出紅包2元,

則外賣甲在這100個(gè)城市中開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)將比不開(kāi)展?fàn)I銷活動(dòng)每月多盈利多少萬(wàn)元?

n(ad-bc¥

附:①參考公式:K2,其中〃=Q+Z?+c+d.

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

pgNk。)0.150.100.050.0250.0100.001

k°2.7022.7063.8415.0246.63510.828

②若Z—N",(J2),則P(〃一Z<〃+cr)=0.6826,P(//-2CT<Z</u+2a)=0.9544.

參考答案

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據(jù)分組求和法,利用等差數(shù)列的前“項(xiàng)和公式求出前20項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)的和,利用等比數(shù)列的前九項(xiàng)和公式求出前20項(xiàng)

的偶數(shù)項(xiàng)的和,進(jìn)而可求解.

【詳解】

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),4+2-4=2,

則數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng),以2為公差的等差數(shù)列,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),?!?2+1=3(%+1),

則數(shù)列中每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)加1是以3為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列.

所以AS*2Q=%+%+。3+'''+。20=%+/+.'+。19+%+%+…'+。20

10x9

10x1+-----x2+(%+1)+(%+1)+(“20+1)-1°

2

10

3(1-3)3*'-3

=100+-10=+90-

1-32

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前“項(xiàng)和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

采用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐,然后根據(jù)錐體體積公式,可得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知:該幾何體為三棱錐

如圖

該幾何體為三棱錐A-BCD,長(zhǎng)度如上圖

5AD£C=1-X1><2=1^ABCW=^X1X1=^

所以5AM

3

所以SM°=2X2--SWEC_SgCN

2

所以匕.88=;小M8?3=1

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積,熟悉常見(jiàn)圖形的三視圖:比如圓柱,圓錐,球,三棱錐等;對(duì)本題可以利用長(zhǎng)

方體,根據(jù)三視圖刪掉沒(méi)有的點(diǎn)與線,屬中檔題.

3、D

【解析】

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)出入=m*,由dd[l,2],能求出實(shí)數(shù)入取最大值.

【詳解】

,?,數(shù)列{an}是等差數(shù)列,“1=1,公差dG[L2],且“4+310+。16=15,

/、m013-18d

/.l+3d+k(l+9d)+l+15d=15,解得入=-------,

l+9d

13-18d15

Vde[L2],k=---------=-2+-------是減函數(shù),

l+9dl+9d

1O_1O1

...d=l時(shí),實(shí)數(shù)入取最大值為入=-------=—

1+92

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查實(shí)數(shù)值的最大值的求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

作出二面角戊的補(bǔ)角、線面角£、線線角/的補(bǔ)角,由此判斷出兩個(gè)命題的正確性.

【詳解】

①如圖所示,過(guò)A'作40,平面垂足為。,連接0E,作連接

由圖可知NA'MO=;r—a,MAE。=/3"AMO=兀—a,所以。+〃〈萬(wàn),所以①正確.

②由于3C//DE,所以A'E與所成角7="—=?—。,所以a+所以②正確.

綜上所述,①②都正確.

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊問(wèn)題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

5、C

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),比較|a+4,|的即可.

【詳解】

lgO-31lg0.3

解:=|logo20.3+log0.3|=

2lg0.2lg2

lg0.3xlg|lg0.3xlg|

-Ig5xlg2Ig5xlg2

附=|log0.20.3xlog20.3|=氤、誨

-1g0.3x1g0.3_lg0.3xlg0.3

Ig5xlg2Ig5xlg2

_-lg0.3x(-lg0.3)

Ig5xlg2

1g0.3x1g:

Ig5xlg2

顯然lg"!<lg?,所以,+可<|明

y=/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且在[0,+8)單調(diào)遞增,

所以/(")>/(」+0)>〃0)

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算及偶函數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題.

6、A

【解析】

根據(jù)加=2或加+2=2,驗(yàn)證交集后求得m的值.

【詳解】

因?yàn)?B={2},所以加=2或加+2=2.當(dāng)771=2時(shí),A3={2,4},不符合題意,當(dāng)加+2=2時(shí),加=0.故選

A.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查集合的交集概念及運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.

7、C

【解析】

由已知求出等比數(shù)列{4}的公比,進(jìn)而求出帆+八=4,嘗試用基本不等式,但私〃eN*取不到等號(hào),所以考慮直

接取相,”的值代入比較即可.

【詳解】

。6=2%+3。4,q2-2q-3=0,,q=3或q=-l(舍).

y[a~a^=3?1,=a;?3"'+"-2=9a;,.-.m+n=4.

147

當(dāng)加=1,〃=3時(shí)—F—=—;

mn3

145

當(dāng)根=2,〃=2時(shí)—F—=—;

mn2

當(dāng)加=3,〃=1時(shí),-+-=所以最小值為Z.

mn33

故選:c.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算及最小值,屬于基礎(chǔ)題.

8、D

【解析】

根據(jù)四個(gè)列聯(lián)表中的等高條形圖可知,

圖中D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的差異最大,

它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門的發(fā)展有顯著效果,故選D.

9、C

【解析】

畫出該幾何體的直觀圖P—ABCD,易證平面PAD,平面ABCD,平面PCD_1_平面PAD,平面PAB_1_平面PAD,

平面?AB,平面PC。,從而可選出答案.

【詳解】

該幾何體是一個(gè)四棱錐,直觀圖如下圖所示,易知平面PAD_L平面ABC。,

作尸O_LAZ>于O,則有PO_L平面ABC。,POLCD,

又AO_LC。,所以,C0_L平面RW,

所以平面PC。,平面,

同理可證:平面PA3,平面B4D,

由三視圖可知:PO=AO^OD,所以,APLPD,XAPICD,

所以,APL平面PC。,所以,平面?A3,平面PC。,

所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對(duì).

p

B

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體的三視圖,考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查了面面垂直的證明,屬于中檔題.

10、c

【解析】

試題分析:設(shè)P(T,y0),由題意砥5,0),顯然為<0時(shí)不符合題意,故先〉0,則

OM=OF+FM=OF+^FP=OF+^(OP-OF)=^OP+^OF=^+^,^-),可得:

A廠

,322Vll

k°M=%2p=y0=當(dāng)且僅當(dāng)為2=2'2,%=0〃時(shí)取等號(hào)'故選C.

6。+3Py0

考點(diǎn):L拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì);2.均值不等式.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程方程,均值不等式的靈活運(yùn)用,屬于中檔

題.解題時(shí)一定要注意分析條件,根據(jù)條件191=21^^,利用向量的運(yùn)算可知+寫出直線的斜率,

注意均值不等式的使用,特別是要分析等號(hào)是否成立,否則易出問(wèn)題.

11、C

【解析】

求得A點(diǎn)坐標(biāo),由此求得直線A尸的方程,聯(lián)立直線A尸的方程和拋物線的方程,求得3點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得

【詳解】

拋物線焦點(diǎn)為b(2,0),令x=l,V=8,解得y=±20,不妨設(shè)A(l,2應(yīng)),則直線AF的方程為

y=2血(x—2)--2\/2(x-2),由<;=「干(”一2),解得A(l,20),網(wǎng)4,-40),所以

\AB\=^(4-l)2+(-4A/2-2V2)2=9.

故選:C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查拋物線的弦長(zhǎng)的求法,屬于基礎(chǔ)題.

12、A

【解析】

對(duì)于①,根據(jù)基尼系數(shù)公式Gini=£,可得基尼系數(shù)越小,不平等區(qū)域的面積。越小,國(guó)民分配越公平,所以①正確.

對(duì)于②,根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線,由圖得Vxe(O,l),均有/(x)<X,可得改<1,所以②錯(cuò)誤.對(duì)于

X

1

③,因?yàn)閍=f(x-Y)*=(梟2_53)心=:,所以Gini=V=,=J,所以③錯(cuò)誤.對(duì)于④,因?yàn)?/p>

J。2363上3

2

J.

”£(工一號(hào)*=(打_/4=:,所以Gini=!=牛",所以④正確.故選A.

J。24432

2

二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。

13&

2

【解析】

根據(jù)題意畫出圖形,設(shè)。4=。,<95=匕,利用三角形相似求得。力的值,代入三角形的面積公式,即可求解.

【詳解】

如圖所示,設(shè)。A=a,05=5,

由AA3C,與AADC,相似,可得@±1=」,解得。=2,

a+42

再由AAO3與AAEC2相似,可得2=,解得人=受,

-132

由三角形的面積公式,可得AAQB的面積為S=-^=-x2x—.

2222

故答案為:注Ji.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,以及三角形相似的應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與運(yùn)算能

力,屬于基礎(chǔ)題.

14、V2+1

【解析】

由點(diǎn)A坐標(biāo)可確定拋物線方程,由此得到斤坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線,垂足為N,根據(jù)拋物線定義可得

黑=根,可知當(dāng)直線Q4與拋物線相切時(shí),〃z取得最小值;利用拋物線切線的求解方法可求得P點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)雙

曲線定義得到實(shí)軸長(zhǎng),結(jié)合焦距可求得所求的離心率.

【詳解】

4(0,1)是拋物線必=2門;準(zhǔn)線上的一點(diǎn):.p=2

拋物線方程為.??網(wǎng)0,1),準(zhǔn)線方程為y=-l

過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線,垂足為N,貝?。輡尸兇=歸同

PF\PN

\PF\=m\PA\--=--=m

PA\PA

設(shè)直線K4的傾斜角為a,貝!|sina=m

當(dāng)加取得最小值時(shí),sina最小,此時(shí)直線K4與拋物線相切

2

設(shè)直線%的方程為、=依一1,代入必=4〉得:X-4AX+4=0

.?.△=16左2—16=0,解得:無(wú)=±1.?.P(2,l)或(―2,1)

雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為|班-|尸刊=2(行T),焦距為|”|=2

2

.,.雙曲線的離心率e=2(^拒+1

故答案為:亞+1

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線離心率的求解問(wèn)題,涉及到拋物線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用、雙曲線定義的應(yīng)用;關(guān)鍵是能夠確定當(dāng)機(jī)

取得最小值時(shí),直線PA與拋物線相切,進(jìn)而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得P點(diǎn)坐標(biāo).

15、>

【解析】

注意到。>13<0,故只需比較,+,與1的大小即可.

ab

【詳解】

由已知,a>l,b<0,故有aZ><0,a>".又由■1~+』=k)g()20.3+k)go22=logo20.6<l,

ab'

故有a+b>ab.

故答案為:>.

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)式比較大小,涉及到換底公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,是一道中檔題.

16、血

【解析】

由基本不等式,可得至!I[2+"=(止/)t(吐£)2"2++2ab=(竺份2,然后利用

222

(r+b-+一二》絲"+—^>2.可得到最小值,要注意等號(hào)取得的條件。

(a+b)22(a+b)2\2

【詳解】

由題意,宜+/=(/+")+('+\)n*+/+2而=(*y,當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時(shí)等號(hào)成立,

222

1

所以£+"+-2」2力2、口=后,當(dāng)且僅當(dāng)("I"'=,時(shí)取等號(hào),

(a+b)22(a+b)2\22(a+b)2

31

所以當(dāng)a=b=2々時(shí),〃+〃+詬鏟取得最小值近.

【點(diǎn)睛】

利用基本不等式求最值必須具備三個(gè)條件:

①各項(xiàng)都是正數(shù);

②和(或積)為定值;

③等號(hào)取得的條件。

三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1);+丁=1(2)直線過(guò)定點(diǎn)]一11

【解析】

1A21

(1)kPA-kPB=--^-^-=--,再由/=。2+3,解方程組即可;

2

4a4

(2)設(shè)以(%,%),N(x2,y2),由%"+k°N=,,得2例%+(加一1乂%+%2)=%X2,由直線的方程與橢圓

方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,代入計(jì)算即可.

【詳解】

(1)由題意知:C=又kpA.kpB=----T=—],且。2=/?2+,

解得〃=2,b=l,

丫2

二橢圓方程為土+丁2=1,

4-

(2)當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為了=履+租,設(shè)M(石,%),N(x2,y2),

ry=kx+m

由<<7,得(1+44之)/+Sknvc+4加2—4=0

x+4y9=4

—8km4m2—4

貝!|玉+九2二(*)

1+4左2q2=瓦記

由k0M+%QN~t9

得村+根一1+kx2+m-l

整理可得2kxix2+(m-l)(x,+%)=比1%

4m2—48km4m2—4

(*)代入得2左—(m—1)

1+4P1+4421+4左2

整理可得(加一1)(2左一"z+,)=。,

又mwl

2ki

m=------1,

t

72k1

??y=KX-\-------1,

t

(2

即y+l=gx+—

???直線過(guò)點(diǎn)

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí),設(shè)直線MN的方程為%=%,A(M,X),6(%,%),其中%=-%,

??%+%=°,

上+5#+%-2;

由^QM+卜3=t,得

%

所以飛=――

二當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí),直線也過(guò)定點(diǎn)-1

綜上所述,直線過(guò)定點(diǎn)

【點(diǎn)睛】

本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓位置關(guān)系中的定點(diǎn)問(wèn)題,在處理直線與橢圓的位置關(guān)系的大題時(shí),一般要

利用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)求解,本題是一道中檔題.

18、(1)A=—;(2)?

【解析】

⑴根據(jù)tanA,tanB,tanC成等差數(shù)列與三角形內(nèi)角和可知tanC=-tan(A+B),再利用兩角和的正切公式,代入

2tanB=tanA+tanC,化簡(jiǎn)可得2tanAtan3-tan2A=3,同理根據(jù)三角形內(nèi)角和與余弦的兩角和公式與等比數(shù)列的

性質(zhì)可求得幻7人幻冷=2,聯(lián)立即可求解求A的值.

(2)由(1)可知tanB=2,tanC=3,再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系與正弦定理可求得人=述0,再結(jié)合ABC的面積為1,

3

利用面積公式求解即可.

【詳解】

解:⑴SnAja/祖成等差數(shù)列,

可得2tanB=tanA+tanC.

—一/4八、tanA+tanBntanA+tanB八玷加

而tanC=-tan(A+B)=------------,即2tanB-tanA4=--------------,展開(kāi)化簡(jiǎn)得

tanAtanB-1tanAtanB-1

2tanAtan2B-2tanB-tan2AtanB=tanB,因?yàn)閠an5w0,故

2tanAtanB-tan2A=3?

又cosA,A/COSC,COSB成等比數(shù)列,

可得cosAcosB=cosC=~cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB,

即sinAsinB=2cosAcosB,

可得tanAtanB=2,②

聯(lián)立①②解得勿九4=1(負(fù)的舍去),

7T

可得銳角4=:;

4

(2)由⑴可得318=2,310=3,

inB

由勿加3=二一=2,s加2B+codB=1,B為銳角,

cosB

解得

5

因?yàn)閠anC=^-=3,sin2C+cos2c=1,C為銳角,故可得s就C=±叵,

cosC10

2「

,,csinBJs2A/2

由正弦定理可得6=-^=斗。=三一c,

sinC53

Vid

又二ABC的面積為1,

「汨1,一12A/22V2,

可得一bcsinj^---------c~------=1,

2232

解得c=G.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差等比中項(xiàng)的運(yùn)用以及正切的和差角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系等.同時(shí)也考查了正弦定理與面積

公式在解三角形中的運(yùn)用,屬于中檔題.

19、(1)B=-(2)也+2

34

【解析】

(1)根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)等式可得tan5=百,即Bug;

(2)根據(jù)題意,利用余弦定理可得502=5-4cosO,再表示出=sin。,表示出四邊形臬-。,進(jìn)而可得最

值.

【詳解】

(1)\/3a-£?(sinC+A/3COSC)?由正弦定理得:-J3sinA=sinB(sinC+>/3cosC)

在AABC中,sinA=sin+C),則J^sinlB+C)=sinBsinC+J^sinBcosC,

即由cosBsinC=sinBsinC,

sinCw0,如cosB=sinB,即tanB=^3

71

Be(0,7z-),.-.B=-.

(2)在ABCD中,BD=2,CD=1..BC2=I2+22-2xlx2xcosZ)=5-4COSD

又4=工,則AABC為等邊三角形,S=-BC2xsin-=^-73COSD

3234

又SBDC=gx_B£)x£)C><sin£)=sin£),

SABCD=+sin£>—Geos£>=^^-+2sin(D-y)-

.?.當(dāng)早時(shí),四邊形ABC。的面積取最大值,最大值為生叵+2.

64

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

20、(1)也(2)函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)%和與

【解析】

試題分析:(1)求導(dǎo)后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,導(dǎo)函數(shù)大于或等于0(2)先判斷。為一個(gè)零點(diǎn),然后再求導(dǎo),根據(jù)

%+2%=3%2,化簡(jiǎn)求得另一個(gè)零點(diǎn)□

解析:(1)當(dāng)6=1時(shí),f'(x)=3x2+2ax+l,因?yàn)楹瘮?shù)〃力在上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)時(shí),/'(力=3*+2^+120恒成立.[來(lái)源:Z&X&X&K]

函數(shù)/(X)=3£+2ox+l的對(duì)稱軸為x=-j.

①-1<-1,即a>3時(shí),/(-1)>0,

3

即3-2〃+120,解之得解集為空集;

(2)—1<——<—,即-時(shí),

322

即3--+2^-^――J+1>0,解之得<a<>/3,所以—5?1<百

③_£二,即…]時(shí),廣仲之。

322\2)

1773

即3—F6z+1>0,解之得aN—y所以—<[<—

4442

綜上所述,當(dāng)-;<a<百函數(shù)〃尤)在區(qū)間[1,;]上單調(diào)遞增.

(2)???/(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)玉,九2,

???西,》2是方程/'(%)=3*+2G;+b=0的兩個(gè)根,且函數(shù)”X)在區(qū)間(―凸)和(馬,”)上單調(diào)遞增,在

(七,%)上單調(diào)遞減.

,函數(shù)g(x)也是在區(qū)間(Y),不)和(乙,”)上單調(diào)遞增,在(石,々)上單調(diào)遞減

V8(X0)=/(X0)-/(%0)=。,,/是函數(shù)g(x)的一個(gè)零點(diǎn).

由題意知:g(x2)=f(x2)-f(x0)

?.,占+2%=3%,2/_2々=々_苞〉0,?,?/〉》2二/(%)</(%0),???8(X2)=/(七)_/(/)<0又

gM=fM-fM

,,

"ur-iji.-rUi/JTinUnU/一n一UrrLrxrg-cULnL^

-(□l3)(匚/+口祖+&+□:],+CDtf+□)

=(Dj-□?)(□/+□,??~<D/+;考”)+DD/+n.-7-+2)

=(□/-□#)(!□}+2口0+口+兀;+Q,+3口)

2

V玉,x2是方程f'(x)=3x+2ax+b^0的兩個(gè)根,

;?3%;+2。玉+b=0,3xf+2ax2+b=0,

?,"&)=/(外)-〃%)=。

?.?函數(shù)g(x)圖像連續(xù),且在區(qū)間(《凸)上單調(diào)遞增,在(%,乙)上單調(diào)遞減,在(/,”)上單調(diào)遞增

.?.當(dāng)xe(T?,可)時(shí),g(x)<0,當(dāng)為?%,%)時(shí)g(x)<0,當(dāng)xe(尤o,+co)時(shí)g(x)>0,

函數(shù)g(%)有兩個(gè)零點(diǎn)再和與.

21>(1){]|尤<—1或x>1}(2)(―—5][―1,+oo)

【解析】

(1)分類討論去絕對(duì)值即可;

(2)根據(jù)條件分a<-3和d-3兩種情況,由[-2,1]UA建立關(guān)于a的不等式,然后求出a的取值范圍.

【詳解】

(1)當(dāng)a=-l時(shí),f(x)

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