2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.5.1直線與圓的位置關(guān)系課件新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第二章2.5.1直線與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)單元5

直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系在平面幾何中,我們研究過直線與圓這兩類圖形的位置關(guān)系.前面學(xué)習(xí)了直線的方程、圓的方程,以及用方程研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系.本學(xué)習(xí)單元類比用方程研究?jī)蓷l直線位置關(guān)系的方法,利用直線和圓的方程,通過定量計(jì)算研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.這是本學(xué)習(xí)單元的知識(shí)明線,具體知識(shí)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示:在知識(shí)明線的學(xué)習(xí)過程中,體會(huì)圖形間的位置關(guān)系,既可以直觀定性描述,也可以定量刻畫.在解決問題的過程中,積累“適當(dāng)?shù)乩脦缀涡再|(zhì),有助于簡(jiǎn)化運(yùn)算”的經(jīng)驗(yàn).體會(huì)坐標(biāo)法解決問題的基本思路,感悟“四步曲”大觀念.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系.(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.(數(shù)學(xué)抽象)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)

直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法直線Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關(guān)系及判斷:位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)

個(gè)

一個(gè)零個(gè)判定方法幾何法:設(shè)圓心到直線的距離d

r

d=rd

r

代數(shù)法:由

消元得到一元二次方程Δ>0Δ=0Δ

0

可消x,也可消y,都能得到一元二次方程

兩<><名師點(diǎn)睛利用直線和圓的方程,通過定量計(jì)算研究直線與圓的位置關(guān)系.微思考1.如果直線與圓組成的方程組有解,從幾何圖形上說(shuō)明了它們之間存在什么關(guān)系?若圓心到直線的距離大于半徑,則從代數(shù)的角度能說(shuō)明什么?

2.利用幾何法、代數(shù)法都可以判斷直線與圓的位置關(guān)系,哪種方法簡(jiǎn)單?

提示

從幾何圖形上說(shuō)明直線和圓相交或相切;從代數(shù)上說(shuō)明直線與圓的方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程無(wú)解.提示

一般情況下,幾何法較為簡(jiǎn)單.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1我們知道,判斷兩直線位置關(guān)系的方法有兩種,一種是借助于幾何特征斜率來(lái)比較;一種是利用交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷.類比于直線間位置關(guān)系的判斷,你認(rèn)為,直線與圓的位置關(guān)系可以如何判斷?探究點(diǎn)一判斷直線與圓的位置關(guān)系問題2直線與圓的位置關(guān)系,根據(jù)初中的定性描述,可以用圓心到直線的距離與半徑相比較來(lái)判斷,也可以根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)定量判斷.雖途徑不同,但均能實(shí)現(xiàn)直線與圓位置關(guān)系的判斷.兩種方法有何異同?如何選擇合適的方法?【例1】

已知直線方程mx-y-m-1=0,圓的方程x2+y2-4x-2y+1=0.求當(dāng)m滿足以下條件時(shí),直線與圓:(1)有兩個(gè)公共點(diǎn);(2)只有一個(gè)公共點(diǎn);(3)沒有公共點(diǎn).解

(方法1)將直線mx-y-m-1=0代入圓的方程,化簡(jiǎn)、整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.規(guī)律方法

直線與圓的位置關(guān)系的判定有兩種方法

探究點(diǎn)二圓的切線方程及切線長(zhǎng)問題3直線與圓相切,會(huì)引出哪些幾何問題需要解決?如何解決?【例2】

過點(diǎn)A(4,-3)作圓C:(x-3)2+(y-1)2=1的切線.(1)求此切線的方程;(2)求切線長(zhǎng).解

(1)因?yàn)?4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以點(diǎn)A在圓外.①若所求切線的斜率存在,設(shè)切線斜率為k,則切線方程為y+3=k(x-4).因?yàn)閳A心C(3,1)到切線的距離等于半徑,半徑為1,②若直線斜率不存在,圓心C(3,1)到直線x=4的距離也為1,這時(shí)直線與圓也相切,所以另一條切線方程是x=4.綜上,所求切線方程為15x+8y-36=0或x=4.(2)設(shè)過A點(diǎn)的一條切線與圓C相切于B點(diǎn),切線長(zhǎng)即|AB|.易知CB⊥AB,根據(jù)勾股定理,|AB|2=|AC|2-12=17-1=16,|AB|=4.規(guī)律方法

過一點(diǎn)的圓的切線方程的求法(1)點(diǎn)(x0,y0)在圓上,有且只有1條切線.①先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k,再由垂直關(guān)系得切線的斜率為

,由點(diǎn)斜式可得切線方程.②如果斜率為零或不存在,則由圖形可直接得切線方程y=y0或x=x0.(2)點(diǎn)(x0,y0)在圓外,有2條切線,切線長(zhǎng)相等.①設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),由圓心到直線的距離等于半徑建立方程,可求得k,得到切線方程.②當(dāng)用此法只求出一個(gè)方程時(shí),另一個(gè)方程應(yīng)為x=x0,因?yàn)樵谏厦娼夥ㄖ胁话ㄐ甭什淮嬖诘那闆r.提醒:已知一點(diǎn)求圓的切線方程時(shí),切勿漏掉斜率不存在的情況.探究點(diǎn)三直線與圓相交以及弦長(zhǎng)有關(guān)問題問題4若直線與圓相交,可以求解哪些幾何問題?如何求解?【例3】

(1)過圓x2+y2=8內(nèi)的點(diǎn)P(-1,2)作直線l交圓于A,B兩點(diǎn).若直線l的傾斜角為135°,則弦AB的長(zhǎng)為

.

(2)圓心為C(2,-1),截直線y=x-1的弦長(zhǎng)為2的圓的方程為

.

(x-2)2+(y+1)2=4規(guī)律方法

1.求圓的弦長(zhǎng)的基本方法利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d,弦長(zhǎng)l之間的關(guān)系r2=d2+()2解題.2.與弦長(zhǎng)相關(guān)的問題利用弦長(zhǎng)、弦心距、半徑的關(guān)系構(gòu)造方程或方程組,解出其中的未知量.探究點(diǎn)四直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用問題5學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的是為了解決實(shí)際問題,解決直線與圓的方程的應(yīng)用題的具體步驟是什么?【例4】

如圖,某海面上有O,A,B三個(gè)小島(面積大小忽略不計(jì)),A島在O島的北偏東45°方向距O島40千米處,B島在O島的正東方向距O島20千米處.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),O的正東方向?yàn)閤軸的正方向,1千米為單位長(zhǎng)度,建立平面直角坐標(biāo)系.圓C經(jīng)過O,A,B三點(diǎn).(1)求圓C的方程.(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁,現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處,正沿著北偏東45°方向行駛.若不改變方向,試問:該船有沒有觸礁的危險(xiǎn)?解

(1)由題意,得A(40,40),B(20,0),設(shè)過O,A,B三點(diǎn)的圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,故圓C的方程為x2+y2-20x-60y=0.(2)該船初始位置為點(diǎn)D,則D(-20,-20),且該船航線所在直線l的斜率為1,故該船航行方向?yàn)橹本€l:x-y+20-20=0.規(guī)律方法

解決直線與圓的方程的應(yīng)用題的步驟(1)審題:從題目中抽象出幾何模型,明確已知和未知.(2)建系:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示幾何模型中的基本元素.(3)求解:利用直線與圓的有關(guān)知識(shí)求出未知量.(4)還原:將運(yùn)算結(jié)果還原到實(shí)際問題中去.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)直線與圓的三種位置關(guān)系;(2)弦長(zhǎng)公式;(3)圓的切線方程;(4)直線與圓的方程的應(yīng)用.2.方法歸納:幾何法、代數(shù)法、坐標(biāo)法、弦長(zhǎng)公式法、數(shù)學(xué)建模.3.常見誤區(qū):(1)求直線方程時(shí)忽略直線斜率不存在的情況;(2)不能正確進(jìn)行數(shù)學(xué)建模.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123451.(例1對(duì)點(diǎn)題)判斷下列直線與圓C:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系,若相交,則求出交點(diǎn)坐標(biāo).(1)x-y-2=0;(2)x+2y-1=0.12345123452.(例2對(duì)點(diǎn)題)經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)作圓x2+y2=5的切線,則切線的方程為

.

2x+y-5=0解析

易知點(diǎn)M在圓上,所以M為切點(diǎn),切點(diǎn)和圓心連線斜率k=,則切線斜率為-2,切線方程為y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.123453.(例2對(duì)點(diǎn)題)過點(diǎn)Q(3,0)作圓O:x2+y2=4的切線.(1)求此切線方程;(2)求切線長(zhǎng).12345123454.(例3對(duì)點(diǎn)題)如果一條直線經(jīng)過點(diǎn)

且被圓x2+y2=25所截得的弦長(zhǎng)為8,求這條直線的方程.12345123455.(例4對(duì)點(diǎn)題)一艘輪船在沿直線返回港口的途中,接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào):臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70km處,受影響的范圍是半徑長(zhǎng)為30km的圓形區(qū)域.已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北40km處,如果這艘輪船不改變航線,那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響?說(shuō)明理由.