2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線的方程3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第三章3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.(直觀想象)2.體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在拋物線問題中的應(yīng)用.(直觀想象)3.會(huì)解決拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

拋物線的定義1.我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離

的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.

2.數(shù)學(xué)表達(dá)式:拋物線就是下列點(diǎn)的集合P={M||MF|=d}.名師點(diǎn)睛拋物線的定義實(shí)質(zhì)可以歸結(jié)為“一動(dòng)二定一相等”:“一動(dòng)”即一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)為M;“二定”包括一個(gè)定點(diǎn)F,即拋物線的焦點(diǎn),一條定直線l,即拋物線的準(zhǔn)線;“一相等”即|MF|=d(d為M到準(zhǔn)線l的距離).微思考定義中為什么要求直線l不經(jīng)過點(diǎn)F?提示

當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí),點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)F且垂直于直線l的一條直線,而不是拋物線.知識(shí)點(diǎn)2

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

名師點(diǎn)睛1.要注意弄清拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征及其對(duì)應(yīng)拋物線的形狀(焦點(diǎn)位置、開口方向等).在拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,有一個(gè)一次項(xiàng)和一個(gè)二次項(xiàng),二次項(xiàng)的系數(shù)為1,一次項(xiàng)的系數(shù)為±2p;若一次項(xiàng)的字母是x,則焦點(diǎn)就在x軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點(diǎn)就在x軸的正半軸上(開口向右),若系數(shù)是負(fù)的,焦點(diǎn)就在x軸的負(fù)半軸上(開口向左);若一次項(xiàng)的字母是y,則焦點(diǎn)就在y軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點(diǎn)就在y軸的正半軸上(開口向上),若系數(shù)是負(fù)的,焦點(diǎn)就在y軸的負(fù)半軸上(開口向下).2.焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)方程下一次項(xiàng)系數(shù)2p的

.3.準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.微思考1.平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是否一定是拋物線?

2.二次函數(shù)的圖象也是拋物線,與本節(jié)所學(xué)拋物線相同嗎?

提示

不一定,當(dāng)這個(gè)定點(diǎn)不在定直線上才是拋物線,否則,就是過定點(diǎn)且垂直于定直線的直線了.提示

不完全相同.當(dāng)拋物線的開口向上或向下時(shí)可以看作是二次函數(shù)的圖象,當(dāng)開口向左或向右時(shí)不能看作是二次函數(shù)的圖象,因?yàn)榇藭r(shí)根本不是函數(shù)圖象.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1在拋物線的定義中,涉及的幾何要素有哪些?如何將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題?探究點(diǎn)一根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程問題2根據(jù)拋物線方程,如何得到其焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程?【例1】

求下列各拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.(1)y2=-12x;思路分析先將所給方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,確定其開口方向,求出p的值,再寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.(2)3x2-4y=0;

(3)x=32y2;(4)y2=ax(a≠0).

規(guī)律方法

由拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程的基本方法已知拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程時(shí),一般先將所給方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,由標(biāo)準(zhǔn)方程得到參數(shù)p,從而得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,要注意p>0,焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸由標(biāo)準(zhǔn)方程的一次項(xiàng)確定,系數(shù)為正,焦點(diǎn)在正半軸,系數(shù)為負(fù),焦點(diǎn)在負(fù)半軸.探究點(diǎn)二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程問題3根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì),能否求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程?【例2】

根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)準(zhǔn)線方程為y=;(2)焦點(diǎn)在y軸上,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5;解已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上,可設(shè)方程為x2=2my(m≠0),由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5,知|m|=5,m=±5,所以滿足條件的拋物線有兩條,它們的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x2=10y和x2=-10y.(3)一個(gè)動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),并且和直線l:x=-2相切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程;解設(shè)動(dòng)圓的半徑為R.因?yàn)閯?dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),所以|MA|=R.又因?yàn)閯?dòng)圓和直線l:x=-2相切,所以圓心M到直線l:x=-2的距離d=R,即圓心M到定點(diǎn)A的距離與到定直線l的距離相等,故其軌跡是拋物線,且A是焦點(diǎn),l是準(zhǔn)線,并且有p=4,故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是y2=8x.(4)焦點(diǎn)為直線3x-4y-12=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).解對(duì)于直線方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,所以拋物線的焦點(diǎn)為(0,-3)或(4,0).當(dāng)焦點(diǎn)為(0,-3)時(shí),=3,所以p=6,此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-12y;當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí),=4,所以p=8,此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x.所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-12y或y2=16x.規(guī)律方法

1.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法(1)定義法:建立適當(dāng)坐標(biāo)系,利用拋物線的定義列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件,列出方程,進(jìn)行化簡(jiǎn),根據(jù)定義求出p,最后寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)待定系數(shù)法:由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式,因而在求方程時(shí)應(yīng)首先確定焦點(diǎn)在哪一個(gè)半軸上,進(jìn)而確定方程的形式,然后再利用已知條件確定p的值.2.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)需注意的三個(gè)問題(1)把握開口方向與方程間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.(2)當(dāng)拋物線的類型沒有確定時(shí),可設(shè)方程為y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0).(3)注意p與

的幾何意義.探究點(diǎn)三利用拋物線的定義解決軌跡問題問題4我們不僅要學(xué)會(huì)把幾何問題代數(shù)化,同時(shí),也要能夠識(shí)別代數(shù)式中蘊(yùn)含的幾何意義,從中體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.如何判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡?【例3】

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)滿足

=|3x-4y+2|,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是(

)A.橢圓

B.雙曲線 C.直線

D.拋物線規(guī)律方法

定義法解決軌跡問題根據(jù)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程判斷其軌跡時(shí),要注意結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式,對(duì)所給方程進(jìn)行適當(dāng)變形,分析其幾何意義,然后結(jié)合有關(guān)曲線的定義作出判定.探究點(diǎn)四與拋物線定義有關(guān)的最大(小)值問題問題5“將軍飲馬”問題是距離問題中的經(jīng)典名題.拋物線中涉及兩種距離,類比“將軍飲馬”問題,可否構(gòu)建與之類似的幾何問題?【例4】

設(shè)P為拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x=-1的距離之和的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.解

(1)拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.因?yàn)辄c(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-1的距離等于點(diǎn)P到F(1,0)的距離,所以問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到A(-1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最小.連接AF,如圖1所示.顯然當(dāng)點(diǎn)P是AF與拋物線的交點(diǎn)時(shí),所求距離之和最小,最小值為|AF|=.圖1(2)同理,|PF|與點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-1的距離相等.如圖2所示,過點(diǎn)B作BQ垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于點(diǎn)Q,交拋物線于點(diǎn)P1.由題意知|P1Q|=|P1F|,所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.所以|PB|+|PF|的最小值為4.圖2規(guī)律方法

求圓錐曲線上到兩定點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置時(shí),通常有兩種情況:(1)當(dāng)兩定點(diǎn)在曲線兩側(cè)時(shí),連接兩定點(diǎn)的線段與曲線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn);(2)當(dāng)兩定點(diǎn)在曲線同側(cè)時(shí),由圓錐曲線定義作線段的等量轉(zhuǎn)換,轉(zhuǎn)換為(1)的情形即可.探究點(diǎn)五拋物線的實(shí)際應(yīng)用問題6在實(shí)際生活當(dāng)中,如何運(yùn)用拋物線方程的知識(shí)來解決問題?【例5】

一輛卡車高3m,寬1.6m,欲通過斷面為拋物線型的隧道,已知拱口寬恰好是拱高的4倍,若拱口寬為am,求使卡車通過的a的最小整數(shù)值.規(guī)律方法

拋物線應(yīng)用題的解法建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法:以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為一條坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系.這樣可使得標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對(duì)稱性,而且曲線過原點(diǎn),方程不含常數(shù)項(xiàng),形式更為簡(jiǎn)單,便于應(yīng)用.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)拋物線的定義;(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式;(3)拋物線定義的應(yīng)用.2.方法歸納:待定系數(shù)法、定義法、轉(zhuǎn)化化歸法.3.常見誤區(qū):(1)容易混淆拋物線的焦點(diǎn)位置和方程形式;(2)錯(cuò)誤理解p的含義.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123451.(例1對(duì)點(diǎn)題)若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離是(

)A.6 B.7 C.8 D.9D解析

拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,可得xM=9,則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離是9.故選D.123452.(例2對(duì)點(diǎn)題)(多選題)經(jīng)過點(diǎn)P(4,-2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為(

)A.y2=xB.x2=8yC.x2=-8yD.y2=-8xAC12345解析

若拋物線的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),又因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)P(4,-2),所以(-2)2=2p×4,解得p=,所以拋物線的方程可以為y2=x.若拋物線的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)拋物線的方程為x2=-2py(p>0),又因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)P(4,-2),所以42=-2p×(-2),解得p=4,所以拋物線的方程可以為x2=-8y.123453.(例3對(duì)點(diǎn)題)若點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線y+4=0的距離小2,則P(x,y)的軌跡方程為(

)A.y2=8x B.y2=-8xC.x2=8y

D.x2=-8yC解析

依題意得點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)F(0,2)的距離與它到直線y+2=0的距離相等,并且點(diǎn)F(0,2)不在直線y+2=0上,所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線,并且F是焦點(diǎn),y+2=0是準(zhǔn)線,于是拋物線方程為x2=8y.123454.(例4對(duì)點(diǎn)題)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(x,y)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),又已知點(diǎn)A(2,2)是一個(gè)定點(diǎn),則|PA|+|PF|的最小值是(

)A.4 B.3 C.2 D.1B解析

根據(jù)拋物線方程y2=4x,可得F(1,0),則準(zhǔn)線l的方程為x=-1.作PM⊥l,M為垂足(圖略),則由拋物線的定義可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|.所以當(dāng)A,P,M三點(diǎn)共線時(shí),|PA|+|PM|取得最小值,且|AM|min=2-(-1)=3.所以|PA|+|PF|的最小值是3.故選B.123455.(例5對(duì)點(diǎn)題