2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線的方程習(xí)題課橢圓的綜合問(wèn)題及應(yīng)用課件新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第三章習(xí)題課橢圓的綜合問(wèn)題及應(yīng)用重難探究·能力素養(yǎng)速提升問(wèn)題1直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題的解決方式實(shí)質(zhì)是解析幾何“四步曲”大觀念的實(shí)施過(guò)程,在“明確幾何問(wèn)題→幾何問(wèn)題代數(shù)表示→代數(shù)運(yùn)算→運(yùn)算結(jié)果幾何說(shuō)明”這一過(guò)程中,我們需要注意什么?問(wèn)題2經(jīng)驗(yàn)需要從一些典型問(wèn)題中去獲得,如位置關(guān)系的判斷、中點(diǎn)弦問(wèn)題、定點(diǎn)定值問(wèn)題、最值問(wèn)題等.在這些典型問(wèn)題的解決過(guò)程中,要始終問(wèn)自己幾個(gè)問(wèn)題:幾何問(wèn)題有哪些?如何把這些幾何問(wèn)題代數(shù)化?這些代數(shù)問(wèn)題如何運(yùn)算?可否優(yōu)化運(yùn)算?探究點(diǎn)一直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題3如何判斷直線與橢圓的位置關(guān)系?【例1】

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,)且斜率為k的直線l與橢圓

+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q,求k的取值范圍.規(guī)律方法

直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方法

探究點(diǎn)二橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題問(wèn)題4若直線與橢圓相交,所得弦的中點(diǎn)與斜率是否有關(guān)系?如何優(yōu)化運(yùn)算?【例2】

已知橢圓

的弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1),求直線AB的方程.Δ=[-8(2k2-k)]2-4(4k2+1)[4(2k-1)2-16]=16(12k2+4k+3)>0,解得k∈R.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩根,故所求直線的方程為x+2y-4=0.規(guī)律方法

處理橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題的途徑(1)根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線方程與橢圓方程構(gòu)成方程組,消掉其中的一個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)一元二次方程,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.(2)點(diǎn)差法:設(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程,兩式相減即得弦的中點(diǎn)與斜率的關(guān)系.求解過(guò)程應(yīng)用“設(shè)而不求”思想,這也是此類問(wèn)題最常用的方法,運(yùn)算量相對(duì)較小.探究點(diǎn)三橢圓中的最值與范圍問(wèn)題問(wèn)題5對(duì)于最值類的問(wèn)題,一般如何求最值?如何優(yōu)化運(yùn)算?【例3】

已知F是橢圓E:的左焦點(diǎn),P為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn),A(1,)為一個(gè)定點(diǎn),則|PA|+|PF|的最大值為

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解析

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2,如圖所示.因?yàn)閨PF|+|PF2|=2a=8,所以|PF|=8-|PF2|,所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF2|+8,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P1的位置時(shí),此時(shí)A,F2,P1三點(diǎn)共線,|PA|-|PF2|取得最大值為|AF2|==2.所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF2|+8≤2+8=10.|PA|+|PF|的最大值為10.10規(guī)律方法

解決與橢圓有關(guān)的最大(小)值或范圍問(wèn)題的方法(1)定義法:利用橢圓定義轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題處理.(2)數(shù)形結(jié)合法:利用數(shù)與形的結(jié)合,挖掘幾何特征,尋找最大(小)值點(diǎn)(或臨界點(diǎn)),進(jìn)而求解.(3)函數(shù)法:選擇恰當(dāng)?shù)淖宰兞?構(gòu)建目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值或范圍.探究點(diǎn)四橢圓中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題問(wèn)題6對(duì)于定點(diǎn)、定值問(wèn)題,定值如何運(yùn)算?定點(diǎn)可以如何轉(zhuǎn)化?(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)P是橢圓C上異于點(diǎn)A,B的一點(diǎn),直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N,求證:|AN|·|BM|為定值.規(guī)律方法

定點(diǎn)、定值問(wèn)題的求法定點(diǎn)、定值是在變化過(guò)程中不變的量,解決這類問(wèn)題的基本思想是函數(shù)思想.具體處理方法有以下兩種:(1)從特殊關(guān)系入手,求出定點(diǎn)(定值),再證明這個(gè)定點(diǎn)(定值)與變量無(wú)關(guān).(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算過(guò)程中消去變量.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)直線與橢圓的位置關(guān)系;(2)橢圓中的中點(diǎn)弦、最值與范圍、定點(diǎn)與定值問(wèn)題.2.方法歸納:分類討論法、點(diǎn)差法.3.常見(jiàn)誤區(qū):容易忽略直線中斜率不存在的情況.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)12341.(例1對(duì)點(diǎn)題)已知直線l:y=mx-2與橢圓C:相交于不同兩點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.12342.(例2對(duì)點(diǎn)題)已知橢圓(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則橢圓的方程為

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123412343.(例3對(duì)點(diǎn)題)已知橢圓C: