2023-2024學年北京朝陽區(qū)高三期末數(shù)學試題及答案

2024北京朝陽高三（上）期末

數(shù)學

2024.1

（考試時間120分鐘滿分150分）

本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

（1）已知集合4={》1。WxW3},B={.r|log3x<l]則AB=

(A)[0,3](B)[0,3)(C)(0,3)(D)(0,3]

(2)設“eR,若復數(shù)(”-2i)(2+i)在復平面內(nèi)對應的點位于虛軸上，則。=

(A)-4(B)-1(C)1(D)4

(3)若。<“<1,則

(A)涓(/(B)2"<3"

(C)l°g?>l°g?y(D)sina>cosa

a—,x/z,NA=—,cosC=-----

(4)在中，若63,則0=

(A)且(B)—(C)遞(D)4

3393

(5)在平面直角坐標系x°y中，已知點A(°』)，8(2,1),動點尸滿足,貝小°尸1的最大值為

(A)1(B)V2(C)2(D)V2+1

(6)如圖，在正方體ABCD-A與CQ中，點E是平面A4G2內(nèi)一點,且防〃平面ACQ,則

tan/D的的最大值為D^_

(A)孝(B)1"J；

(C)V2(D)2匕5

--------B

m

(7)設函數(shù)/⑶f-2(”'cR)的定義域為(T2),貝口，_3<,Z0”是“

/（X）在區(qū)間（T，2）內(nèi)有且

僅有一個零點”的

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

(8)設拋物線C的焦點為尸，點E是C的準線與C的對稱軸的交點，點P在C上，若NPEF=3Q,則

sinZPFE=

(A)B(B)—

43

e(D)立

(C)

22

(9)根據(jù)經(jīng)濟學理論，企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)量受勞動投入、資本投入和技術水平的影響，用。表示產(chǎn)量，心表

示勞動投入，K表示資本投入，A表示技術水平，則它們的關系可以表示為Q=，其中

A>Q,K>0,L>0,Q<a<l,Q</3<^當A不變，K與L均變?yōu)樵瓉淼?倍時，下面結論中正確的是

(A)存在和夕<：,使得。不變

(B)存在和〃>；,使得。變?yōu)樵瓉淼?倍

(C)若〃=：,則。最多可變?yōu)樵瓉淼?倍

(D)若。2+￡2=：,則。最多可變?yōu)樵瓉淼?倍

(10)在^ABC中，AB=AC=4V2,當彳eR時，?2+加0|的最小值為4.AM=MB,

22

AP=sm0AB+COs0ACt其中6’3,貝小加尸1的最大值為

(A)2(B)4

(C)26(D)472

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(x+—)5

(11)在％的展開式中，》的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

(12)已知等差數(shù)列｛4｝的公差為2,$“為其前”項和，且牡，%，歿成等比數(shù)列，則%=,S"=

A-----^-=l(o>0,&>0)

(13)已知雙曲線"b的一條漸近線過點(一2，1),則其離心率為.

f(x)=

(當〃時，的最大值為

(14)設函數(shù)|-26€1,3].=0/(x)若“X)無最大值，則實

數(shù)。的一個取值為.

(15)中國傳統(tǒng)數(shù)學中開方運算暗含著迭代法，清代數(shù)學家夏鸞翔在其著作《少廣繾鑿》中用迭代法給出

一個“開平方捷術”，用符號表示為：已知正實數(shù)N,取一正數(shù)%作為4獷的第一個近似值，定義

—,〃為奇數(shù)，

4C+1一=j4

+。〃―1〃為偶數(shù)

-2''則q，%，，為，,是亞的一列近似值.當N=io,4=3時，給出下列四個

結論：

①￡>1。；

②。洶>I。.

（§）三〃22,”2〃一1<a2n+l,

④|成,-10|<1返"_/10|.

其中所有正確結論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

（16）（本小題13分）

已知函數(shù)/（x）=c°s2x+石sinxcos尤+〃7（〃[wR）的圖象過原點.

（I）求機的值及"X）的最小正周期；

（II）若函數(shù)A?在區(qū)間[°用上單調遞增，求正數(shù)f的最大值.

（17）（本小題14分）

如圖，在四棱錐尸-ABC。中，A8//DC,/A8C=90,AB=2DC,側面P8C,底面ABCD,E是

PA的中點.

（I）求證：平面尸BC；

（II）已知AB=BC=2,PB=PC,再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使

四棱錐尸一ABC。唯一確定，求二面角E-BD-C的余弦值.

條件①：AP=2也;\

條件②：APLBC.

AB

條件③：直線"與平面ABCO所成角的正切值為5.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（II）問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按

第一個解答計分.

(18)(本小題13分)

某學校開展健步走活動，要求學校教職員工上傳11月4日至11月10日的步數(shù)信息.教師甲、乙這七

天的步數(shù)情況如圖1所示.

25000

20000

15000

10000

5000

0

11月5日11月6日11月7日11月8日11月9日11月10日

-士—甲乙

圖1

圖2

(I)從11月4日至11月10日中隨機選取一天，求這一天甲比乙的步數(shù)多的概率；

(II)從11月4日至11月10日中隨機選取三天，記乙的步數(shù)不少于20000的天數(shù)為X,求X的分布列

及數(shù)學期望；

(III)根據(jù)11月4日至11月10日某一天的數(shù)據(jù)制作的全校800名教職員工步數(shù)的頻率分布直方圖如圖2

所示.已知這一天甲與乙的步數(shù)在全校800名教職員工中從多到少的排名分別為第501名和第221

名，判斷這是哪一天的數(shù)據(jù).(只需寫出結論)

(19)(本小題15分)

已知函數(shù)x-—.

(I)若曲線＞=/食)在點(1,0)處的切線為x軸，求。的值;

(II)討論在區(qū)間Q+8)內(nèi)的極值點個數(shù)；

（Ill）若/（X）在區(qū)間（1，+°°）內(nèi)有零點f,求證：t<a2.

（20）（本小題15分）

E:二+衛(wèi)=1（。>人>0）也

已知橢圓a-b-的左頂點為A,上頂點為8,原點°到直線AS的距離為5,

△AOB的面積為1.

（I）求橢圓E的方程；

（II）過點尸（一'I）的直線/與橢圓E交于不同的兩點C,O,過點C作無軸的垂線分別與直線ARAB交于

點判斷點N是否為線段CM的中點，說明理由.

（21）（本小題15分）

己知是各項均為正整數(shù)的無窮遞增數(shù)列，對于％wN*,定義集合紇={ieN*|a,<A},設或為集合

紇中的元素個數(shù)，若以二0時，規(guī)定%=°.

（I）若％=2",寫出伉也也及九的值；

（II）若數(shù)列的』是等差數(shù)列，求數(shù)列{“"}的通項公式；

（III）設集合S={s1s="+a”,7zwN*},T={f|f=〃+b”,〃eN'},求證：ST=N*且S1T=0.

（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）

(1)A(2)B(3)B(4)D(5)D

(6)C(7)A(8)B(9)D(10)C

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

匚

(11)40(12)8n~+n(13)2

(14)43（答案不唯一）（15）①④

三、解答題（共6小題，共85分）

(16)(共13分)

解：（I）由/（0）=1+根=°得加=-1

所以“幻=cos2x+V3sinxcosx-1

=COS2%+1+—sin2x-l=—sin2^+-cos2x--

22222

=sin(2尤+—)

62.

T——=兀

所以/(x)的最小正周期為2?...................................................................7分

兀兀兀

2祈——W2x+—W2E+—

(II)由262(kcZ),

.71.71

ku-----WxWku-\—

得36(%eZ).

.71.71

\_Klt，屈TJ

所以/（X）的單調遞增區(qū)間為36（GeZ）.

Oe

因為/（x）在區(qū)間［0用上單調遞增，且36；此時k=°,

7171

tW------

所以6,故f的最大值為6.......................................13分

（17）（共14分）

解：（I）取PB的中點J連接C￡EJ

因為E是厚的中點，所以

EF〃AB,AB=2EF

又因為ABHDC,AB=2DC,

所以EF〃QC且EP=OC.

所以四邊形COE尸為平行四邊形.

所以DE〃C「

又因為OEU平面尸5C,CFu平面PBC,

所以￡>"http://平面尸8c..................................................................................................5分

(II)取8c的中點0,連接2°.

因為PB=PC,所以POLBC.

又因為側面PBC1底面ABCD,

且平面尸8c平面ABCO=8C,

所以產(chǎn)°,平面A8CO.

如圖，在平面ABCO中，作。y〃8A,

貝ijPO_L3C,POYOy,OyVBC

建立空間直角坐標系°一盯z.

選條件①：連接A0,在Rt^ABO中，因為鉆=2,BO=1,所以A0=百

在Rt△尸4。中，因為AP=2JJ,A°=非,所以尸。=V^.

A(-l,2,0),B(-l,0,0),C(l,0,0),￡>(1,1,0),尸(0,0,V3),也)

所以22.

.=(《,1當,即=(2,1,0)

所以22

設平面EDB的法向量是m=3%力，則

,1V3

—x+y-\------z=0n,

m-BDZE7=n0,J22

<

m-BD=0,即2%+y=0.

令x=i,貝ijy=_2,z=A/J.

于是i"=(1,-2,V3)

因為P01平面ABCD，所以"=(0Q1)是平面BDC的法向量.

..mnV3V6

COS(?I,n)=----=—==

所以III?I2424

_V6

由題知，二面角E-BO-C為鈍角，所以其余弦值為4...........................14分

選條件③：連接A°,因為尸°工平面48cO,

所以,尸4°是直線AP與平面ABCD所成角.

/iPOV15

tanZPAO=-----=------

所以AO5

在RtAABO中,因為AB=2,8。=1,所以AO=百

RPOA

AOS/丁所以「。=石

在RtZ\P4O中,因為

下同選條件①.14分

(18)(共13分)

解：（I）設“甲比乙的步數(shù)多”為事件A.

在11月4日至11月10日這七天中，11月5日與11月9日這兩天甲比乙步數(shù)多,

所以尸⑷號

3分

(II)由圖可知，7天中乙的步數(shù)不少于20000步的天數(shù)共2天.

X的所有可能取值為°』，2,

z^3

1_

尸(X=0)=-^2=

C：77

所以X的分布列為

X012

24

P

777

E(X)=0x-+lx-+2x-=-

777710分

(III)11月6日.13分

(19)(共15分)

f'(x)-1--

解：([)由/(x)=x—alnx—1(〃￡R)得JX

,

依題意，/（1）=1-?=0）得。=1

經(jīng)驗證，/（x）=x-lnx-l在點（1,0）處的切線為y=0,所以”=14分

x-a

/V)=l--

(II)由題得xX

⑴若底1,當xe（l,+⑹時，/5）＞°恒成立,

所以/（X）在區(qū)間（L+00）上單調遞增，所以/（尤）無極值點.

(2)若

當xe（l，a）時，f'M＜0；故“X）在區(qū)間（1，。）上單調遞減，

,00

當xe（a,+8）時,f（x）＞0）故/⑺在區(qū)間3+）上單調遞增.

所以x=。為"X）的極小值點，且“X）無極大值點.

綜上，當時，/（X）在區(qū)間°，+8）內(nèi)的極值點個數(shù)為0；

當a＞1時，在區(qū)間（1，+8）內(nèi)的極值點個數(shù)為1.9分

（III）由（II）知當。W1時,f（X）在區(qū)間（1，+8）上單調遞增,

所以⑴=°.

所以A》）在區(qū)間",+°°）內(nèi)無零點.

當。＞1時，/a）的單調遞減區(qū)間為（u）,單調遞增區(qū)間為（凡+8）

所以/⑷<AD=°.

若"尤）在區(qū)間（l，+8）內(nèi)有零點t,則fe3+8）

而/(a2)=a2-2a\na-l設g(x)=x2-2xlnx-l(x>1)

則g'(x)=2x-2(1+Inx)=2(x-1-Inx)

，/、c/11x/八h'{x)=2(1——)=~—>0

設/?(尤)=2(》-1-111外。>1),貝ij'''/x

所以"（X）在區(qū)間（I+8）上單調遞增.

所以〃（x）＞/z⑴=0,即g'（x）＞0.

所以g（X）在區(qū)間（1，+8）上單調遞增.

所以g(a)>g⑴=。,gp/(?2)>0

又/Q)=0,a2>a

2

所以15分

(20)(共15分)

解：(I)由題可知A(-a,0),B(O,b),\AB\=y/a2+b2.

c_J_ah_1

因為^AOB的面積為1,所以AAOB-2-

275=自明>￥=*/+〃=i

因為點°到直線4?的距離為5,所以

ab=2,

a2+/=5,a=2,

ab=l.

所以>b,得

一+/=1

所以橢圓E的方程為4........................................5分

(II)點N為線段CM的中點，理由如下：

由題知直線/的斜率存在，

設過點尸(-2,1)的直線/的方程為yT=小+2),即y=小+2)+1.

{y-k(x+2)+1,

由[尤2+4y2=4,得(1+4產(chǎn))/+(16/+8左)x+16〃+16后=0

由△=(16左2+8k)2-4(1+4k2)(16k2+16k)=-64k>0,得左<0

設C(X1,%),。(9,火),

16k2+8k16左2+16左

x,+x--------—，龍|X,=------

則1-21+4/121+4-、—.

y=^^(x+2)

直線相＞的方程為馬+2,

_%(%+2)

令x=%,得點”的縱坐標無2+2

y=彳(％+2)

直線AB的方程為2,

_y——(x+2)

令》=看，得點N的縱坐標’N2

」+%-—1

要證點N為線段CM的中點，只需證明“一,即23

+X_+2)+乂(馬+2)

y

因為2N(X+2)(X2+2)

2k(%+2)(X2+2)+(%+%2+4)

(X]+2)(X2+2)

=2%+

xvx2+2(%+x2)+4

16左2+84

+4

-2kH______1_+__4_左2

i6k2+16k16左2+8左

+2(—)+4

l+4k21+4女2

-(16fe2+8Z:)+4+16r

=2k+

16左2+16/一2(16斯+弘)+4(1+4/)

4一8人

=2k+

4

=2k+l-2k

=1,

所以點N為線段CM的中點.15分

(21)(共15分)

解：(I)瓦叫d=°,4=1,