2023-2024學(xué)年甘肅省天水市高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年甘肅省天水市高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.下圖是來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形

ABC的斜邊BC、直角邊AB、AC,已知以直角邊AC、AB為直徑的半圓的面積之比為工，記NABC=c,貝!I

4

cos2。+sin2。=（）

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(1+。z=2"則目=()

5]

A.J2B.1C.—D.-

22

3.函數(shù)/（x）=Asin（or+e）的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓C與/的圖象交于兩點(diǎn)，且M在V軸上,

則下列說(shuō)法中正確的是

A.函數(shù)/（無(wú)）的最小正周期是2兀

B.函數(shù)/（尤）的圖象關(guān)于點(diǎn)［［兀成中心對(duì)稱

c.函數(shù)/Xx）在當(dāng)單調(diào)遞增

D.函數(shù)/（尤）的圖象向右平移——后關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

12

4.我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰

爻，，—如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻的概率是（）

7115711

A.—C.—

64326416

5.已知函數(shù)/(%)=￡sina)x-cos0x(?！?),y=/(%)的圖象與直線y=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于n,則/(x)

的一條對(duì)稱軸是()

71717171

A.x------B.x——C.x—----D.x=—

121233

Y2

6.已知兄>0,a=xb=x——，c=ln(l+x),貝1|()

92

A.c<b<aB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

7.若向量。=(1,5)/=(-2,1),則〃?(〃+2Z?)=()

A.30B.31C.32D.33

8.已知向量“與人的夾角為。，定義ax6為a與b的“向量積”，且。義6是一個(gè)向量，它的長(zhǎng)度,=忖,卜也。，

若〃=(2,0),“—丫=(1,一石)，貝”"x(〃+v)|=()

A.473B.73

C.6D.2A/3

9.設(shè)函數(shù)/（%）=[-（lnx+x+恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）

A.mB.&+4

22

10.已知橢圓c：工+5=1的短軸長(zhǎng)為2,焦距為2始，G、北分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P為c上的任意一

ab~-

11

點(diǎn),則方后+而7[的取值范圍為()

A.[1,2]B.[四,6]C.[A/2,4]D.[1,4]

11.關(guān)于函數(shù)/(x)=-在區(qū)間已加]的單調(diào)性，下列敘述正確的是()

A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先遞減后遞增D.先遞增后遞減

12.定義在R上的奇函數(shù)/(%)滿足/(—3—x)+〃x—3)=0,若/(1)=1,f(2)=-2,則

/(1)+/(2)+/(3)++/(2020)=()

A.-1B.0C.1D.2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛凡｝遞增的等比數(shù)列，若出+%=12，%%=27,貝!]?！?.

14.在ABC中，內(nèi)角A氏C的對(duì)邊分別為"c,已知B=ga=2,bf,貝ABC的面積為.

15.若雙曲線C：4-4=1(?！?,40)的頂點(diǎn)到漸近線的距離為白，則”^的最小值______.

a2b22V3a

16.函數(shù)〃x)=cos(3x+W在[0,兀]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)過(guò)點(diǎn)P(-4,0)的動(dòng)直線/與拋物線C:f=2py(p>0)相交于D、E兩點(diǎn)，已知當(dāng)I的斜率為g時(shí)，PE=4PD-

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)OE的中垂線在丁軸上的截距為。，求沙的取值范圍.

18.(12分)等差數(shù)列｛4｝中，％=1,&=2%.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)勿=2%,記S“為數(shù)列也｝前〃項(xiàng)的和，若S,“=62,求相.

',3

X—1H---1

19.(12分)在直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為<:(才為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸

y=1+—%

為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為心鼻，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為舁

(1)求C的直角坐標(biāo)方程和P的直角坐標(biāo);

(2)設(shè)/與C交于4,3兩點(diǎn)，線段A6的中點(diǎn)為"，求

20.(12分)如圖，在三棱錐P—ABC中，PA=PB=AB=2,BC=3,ABC=90，平面RIB，平面ABC,

D、E分別為AB、AC中點(diǎn).

(1)求證：AB±PE；

(2)求二面角A—PB—石的大小.

21.(12分)在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線G上的任意一點(diǎn)"到直線y=T的距離比4點(diǎn)到點(diǎn)少(0,2)的距離小L

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡G的方程；

(2)若點(diǎn)P是圓。2：(%-2)?+(丁+2)2=1上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作曲線C］的兩條切線，切點(diǎn)分別為AB,求直線A3斜

率的取值范圍.

31

22.(10分)在AABC中，角ASC的對(duì)邊分別為。,瓦。，且cosA=§,tan(B-A)=-.

(1)求tanB的值；

(2)若c=13,求A4BC的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

ATi

根據(jù)以直角邊AC、AB為直徑的半圓的面積之比求得一=-,即tanc的值，由此求得sin。和cosa的值，進(jìn)而求

AB2

得所求表達(dá)式的值.

【詳解】

1AC11.12

由于直角邊AC、AB為直徑的半圓的面積之比為一，所以——=一，即tana=—,所以sintz=—，=,cosa=一尸，

4AB22J5J5

c4cl28

所以cos?a+sin2。=《+2義忑義杰

5

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得z,然后利用復(fù)數(shù)模的概念，可得結(jié)果.

【詳解】

2i2/(1-/)2i-2r

由題可知:

1+7-(1+/)(1-/)

由『=—I,所以Z=1+7

所以忖=Vi2+i2=e

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)/(x)=Asin12x+?

,再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案

【詳解】

7/1']IJr/')1

根據(jù)給定函數(shù)的圖象，可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為；，所以7T解得T=不，

32362

所以“X)的最小正周期丁=?,不妨令A(yù)＞0,。＜。＜萬(wàn)，由周期T=?，所以&=2,

0,所以9=3，所以〃x)=Asin(2x+g

3

jrK7TTCX=y,即函數(shù)/(龍)的一個(gè)對(duì)稱中心為]

^2x+-=k7T,keZ,mx=—--,keZ,當(dāng)左=3時(shí),

326

即函數(shù)/(尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)《肛o1成中心對(duì)稱.故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得

三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)算與求解能

力，屬于基礎(chǔ)題.

4、C

【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對(duì)立事件，即該重卦沒(méi)有陽(yáng)爻或只有1個(gè)陽(yáng)爻的概率，再根據(jù)兩對(duì)立事件的概率和為1

求解即可.

【詳解】

設(shè)“該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻”為事件A.所有“重卦”共有26種；“該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻”的對(duì)立事件A是“該重卦沒(méi)有陽(yáng)

爻或只有1個(gè)陽(yáng)爻”,其中，沒(méi)有陽(yáng)爻(即6個(gè)全部是陰爻)的情況有1種，只有1個(gè)陽(yáng)爻的情況有屐=6種，故

1+67757

P(A)=丁=77，所以該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻的概率是P(A)=1-P(A)=1--=—.

26646464

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了對(duì)立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

由題，得f(x)=6sincox一cosox=2sin[ox—由y=/(x)的圖象與直線y=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于

T[7T7T

兀，可得最小正周期7=萬(wàn)，從而求得。，得到函數(shù)的解析式，又因?yàn)楫?dāng)％=工時(shí)，2x--=-,由此即可得到本題

答案.

【詳解】

由題，得/(%)=A/3sincox-cos=2sin^x-^j,

因?yàn)閥=/(x)的圖象與直線y=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于萬(wàn)，

所以函數(shù)y=/(x)的最小正周期7=萬(wàn)，則。=干27r=2,

所以/(X)=2sin12x—W1,

當(dāng)》=工時(shí)，2x—生=生，

362

所以x=。是函數(shù)/(X)=2sinQx—看]的一條對(duì)稱軸，

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用和差公式恒等變形，以及考查三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱性.

6、D

【解析】

/2>2

令〃x)=ln(l+x)-，求/'(%)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增，從而可得ln(l+x)〉x-土，設(shè)

I2J2

g(x)=ln(l+x)—無(wú)，利用導(dǎo)數(shù)證出g(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，從而證出V龍>O,ln(l+尤)<x,即可得到答案.

【詳解】

d

x>0時(shí)，xx---

2

(2、]2

令/(x)=ln(l+x)—%——,求導(dǎo)尸(%)=------l+x=——

I2)1+x1+x

Vx>0,Ax)>0,故/(%)單調(diào)遞增：/(幻>/(0)=0

2

.**ln(l+x)>x-

當(dāng)1>0,設(shè)g(x)=ln(l+x)—%,

<0

l+x1+X

又g(o)=o.

/.g(x)=ln(l+x)-x<0,即Vx>O,ln(l+x)<x,

2

故x〉ln(l+x)〉x——

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了作差法比較大小，考查了構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小，屬于中檔題.

7、C

【解析】

先求出。+26，再與a相乘即可求出答案.

【詳解】

因?yàn)閍+2〃=(1,5)+(-4,2)=(―3,7)所以a?(a+23=—3+5x7=32.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

8、D

【解析】

先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出M+V=(3,G)和cos(","+v〉，進(jìn)而求出sin,,M+v),代入題中給的定義即可求解.

【詳解】

由題意vnu-la-vjulLG),則〃+V=(3,J5),COS/M,M+V\=—?得sin(〃,〃+v)=：,由定義知

rx(〃+-|w+v|sin+u)=2x2A/3X~=，

故選:D.

【點(diǎn)睛】

此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，引入新定義，屬于簡(jiǎn)單題目.

9、C

【解析】

/(%)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則恰有兩個(gè)不同的解，求出/?%)可確定％=1是它的一個(gè)解，另一個(gè)解由方程

ex

-....%=0確定，令g(%)=(x>0)通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個(gè)不是1的解時(shí)t應(yīng)滿足的條件.

X-H2x+2

【詳解】

由題意知函數(shù)“X)的定義域?yàn)?0,+?),/(%)=

(x-l)(x+2)

因?yàn)?(九)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以=0恰有兩個(gè)不同的解，顯然x=l是它的一個(gè)解，另一個(gè)解由方程

x

e

——-1=。確定，且這個(gè)解不等于L

%+l)e%/、1

(x〉0),則g'(x)=--?！怠?，所以函數(shù)g(')在(。,+?)上單調(diào)遞增，從而g(九)〉g(o)=3,

,X+，)L

且g(l)=5.所以，當(dāng)且/wg時(shí)，〃x)=J-dlnx+x+2］恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，即實(shí)數(shù)/的取值范圍是

J乙3X\XJ

故選:c

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)與方程的應(yīng)用，屬于中檔題.

10、D

【解析】

先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到歸片|+忸6|=4,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求閆期|怛叫《4,從而可得

的取值范圍.

【詳解】

由題設(shè)有6=1,c=百，故。=2,故橢圓C:土+/=1,

因?yàn)辄c(diǎn)尸為C上的任意一點(diǎn)，故歸用+盧閭=4.

I明熙降||叫叫|(4一閥了

因?yàn)?—若《|尸耳區(qū)2+省,故1?|P周(4一怛周

,11，

所以1V1------F+1--------F<4

加4|p制

\PF2\'

故選：D.

【點(diǎn)睛】

22

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，一般地，如果橢圓。：3+2=1(?！?〉°)的左、右焦點(diǎn)分別是月、鳥(niǎo)，點(diǎn)P為。上的

任意一點(diǎn)，則有|P用+怛閭=2。，我們常用這個(gè)性質(zhì)來(lái)考慮與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題，本題屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

先用誘導(dǎo)公式得了(X)=-sin^x-高=cos,+3，再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.

【詳解】

函數(shù)于3=-sin-彳［=cos+g］的圖象可由y=cos%向左平移1個(gè)單位得到，如圖所示,/(》)在||'上先

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

首先判斷出/(x)是周期為6的周期函數(shù)，由此求得所求表達(dá)式的值.

【詳解】

由已知“X)為奇函數(shù)，得〃r)=—

W/(-3-x)+/(x-3)=0,

所以/。-3)=/。+3),

所以/(%)=/(%+6),即"％)的周期為6.

由于"1)=1，/⑵=一2,/(0)=0,

所以/(3)=/(-3)=-/(3)n〃3)=0,

/(4)=/(-2)=-/(2)=2,

〃5)=〃T)=-"I，

/(6)=/(0)=0.

所以〃1)+〃2)+〃3)+〃4)+〃5)+〃6)=0,

X2020=6x336+4,

所以〃1)+“2)+〃3)++/(2020)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=1.

故選:C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、3”T

【解析】

%%=4%=27,建立生，生方程組，且求出生,生，進(jìn)而求出｛qj的公比，即可求出結(jié)論.

【詳解】

數(shù)列｛an｝遞增的等比數(shù)列，.?.％〉％，

+a,=12=3

皿，解得c，

I%-%%-27[a3=9

所以｛4｝的公比為3,%=3-

故答案為：3"T.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

14、—

2

【解析】

由余弦定理先算出C,再利用面積公式5=！acsinB計(jì)算即可.

2

【詳解】

由余弦定理，得尸=々2+。2—2accosB，即3=4+°2—2c，解得c=l,

故AABC的面積S--acsmB=^~

22

故答案為：旦

2

【點(diǎn)睛】

本題考查利用余弦定理求解三角形的面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

15、2

【解析】

A

根據(jù)雙曲線的方程求出其中一條漸近線y=頂點(diǎn)（。,0）,再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得c=2a,由

b2+1_c2-a2+1氐+』，利用基本不等式即可求解.

布a幣aV3a

【詳解】

V2y2

由雙曲線c：二=1(〃>0,b>0

a一手9

A

可得一條漸近線丁=：工，一個(gè)頂點(diǎn)（a,0）,

\ab\\ab\b

所以II=」=解得c=2a,

y]a2+b2c2

貝產(chǎn)+1_一片+1_3/+1

^3ciH—7=-22,

幣aKa幣aJ3a

當(dāng)且僅當(dāng)a=＞時(shí)，取等號(hào),

3

b2+l

所以一L的最小值為2.

J3a

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式求最值，注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.

16、3

【解析】

求出3x+一7T的范圍，再由函數(shù)值為零，得到3x+74T的取值可得零點(diǎn)個(gè)數(shù).

66

【詳解】

詳解：0<X<7l

71,c兀，19開(kāi)

—<3x+—<---

666

由題可知力+3=2,31+工=紅，^3%+-=—

626262

.7C4?771

解得x=g，7,或至

故有3個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)x2=4y；(2)b>2

【解析】

(1)根據(jù)題意，求出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理，結(jié)合PE=4PD，即可求出拋物線C的方程；

(2)設(shè)/:y=左(％+4),。石的中點(diǎn)為(尤0，%)，把直線/方程與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式求出k的取值范圍，利用

韋達(dá)定理求出與,進(jìn)而求出DE的中垂線方程，即可求得在V軸上的截距沙的表達(dá)式,然后根據(jù)上的取值范圍求解即可.

【詳解】

(1)由題意可知，直線I的方程為y=；(x+4),

與拋物線方程C:/=2PMp>0)方程聯(lián)立可得，

2y2-(8+p)y+8=0,

設(shè),%),￡(%,%)，由韋達(dá)定理可得，

8+p.

%+%=4，

因?yàn)镻E=4P￡>，=(無(wú)2+4,%)，如=(玉+4,%),

所以%=4%,解得％=1,%=4,。=2,

所以拋物線。的方程為爐=4y;

(2)設(shè)/:y=M%+4),D石的中點(diǎn)為(毛,%),

x2=4y

由｛./、，消去丁可得了之一4辰一16左=0,

y=左(％+4)

所以判別式八=16左2+64左＞0,解得上vT或左＞。，

由韋達(dá)定理可得,X。=生產(chǎn)=2k,y0=k(x0+4)=2k-+4k,

所以O(shè)E的中垂線方程為y—2左2—4左=—：(x—2左)，

令x=0則b=y=2左2+4左+2=2(左+1)2,

因?yàn)樽螅糡或左＞0,所以b＞2即為所求.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用;考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和運(yùn)

算求解能力;屬于中檔題.

18、(1)an=n(2)m=5

【解析】

(1)由基本量法求出公差d后可得通項(xiàng)公式；

(2)由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求得S“，可求得根.

【詳解】

解：(1)設(shè)｛4｝的公差為d,由題設(shè)得

an=1+(77-l)d

因?yàn)?=2%，

所以l+(6_l)d=2[l+(3T)d]

解得d=l,

故q=n.

(2)由⑴得包=2".

所以數(shù)列也』是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以S.=M^=2'+I_2,

"1-2

由S?,=62得2"'+i—2=62,

解得m=5.

【點(diǎn)睛】

本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式，解題方法是基本量法.

2

19、(1).+丁=1,(1,1)(2)\PM\=—

【解析】

(1)利用互化公式把曲線C化成直角坐標(biāo)方程，把點(diǎn)尸的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)；

(2)把直線/的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及參數(shù)，的幾何意義可得.

【詳解】

2r2

(1)由心一得聲陽(yáng)血=2,將尸psinO代入上式并整理得曲線C的直角坐標(biāo)方程為5+產(chǎn)

jr

設(shè)點(diǎn)p的直角坐標(biāo)為a,力因?yàn)槭臉O坐標(biāo)為(血，「

71y=psinO=&sin：=1

所以x=pcos6=72COS一=1,

4

所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,1).

,3

X=1H—t

5尤2

(2)將《二代入上+產(chǎn)=1,并整理得41戶+110什25=0,

142

y=1+T

-5

因?yàn)椤?1102-4X41X25=8000>0,故可設(shè)方程的兩根為〃，t2,

則fi,t2為A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)，且友+打=-----,

41

依題意，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為空五，

所以1PM=|"殳|=1|.

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，屬中檔題.

20、(1)證明見(jiàn)解析；(2)60°.

【解析】

試題分析：

(1)連結(jié)產(chǎn)。，由題意可得產(chǎn)。，4瓦石。，河,則43，平面尸。及AB±PE;

(2)法一：結(jié)合幾何關(guān)系做出二面角的平面角，計(jì)算可得其正切值為故二面角的A-PB-E大小為60。；

法二：以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得平面P5E的法向量4=(3,2,石).平面協(xié)8的法向量為

n2=(0,1,0).據(jù)此計(jì)算可得二面角的A—PB—石大小為60。.

試題解析：

(1)連結(jié)尸。，\PA=PB,PDAB.■：DEIIBC,BCAB,DEAB.

又；PDcDE=D,AB平面PDE,PEu平面PDE,

：.ABPE.

(2)法一：

PAB平面ABC,平面如夕'平面A3C=AB,PDAB,PD平面43c.

則OEPD,又EDAB,平面A5=Z>,DE平面JR48,

過(guò)。做O尸垂直P5與尸，連接EF,則EFPB,4FE為所求二面角的平面角，

3n

則：DE=~,DF=g,則均=D—E=,/—3,故二面角的A—M—石大小為60°

22DF

法二：

一平面協(xié)3平面ABC,PAB',ABC=AB,PDAB,PD平面43c.

如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

L3

B(l,0,0),P(0,0,、R),E(0,0),

.PB=(1>0，—A/3)，PE=(Q，~，—y/3)?

設(shè)平面PBE的法向量4=(x,y,z),

x-A/3Z=0,

\3L令Z=6，得々=(3,2,6).

|y-^=0,7、)

平面BIB,...平面艮LB的法向量為叼=(0,1,0)

....../阿?叼1

設(shè)二面角的A—PB—石大小為〃，由圖知，cosO=cos=~門—>=—

同,恒2

所以6=60°,即二面角的A—依—石大小為60。.

、，c13

21、(1)x~=8y；(2)—

__44_

【解析】

(1)設(shè)Af(九,y),根據(jù)題意可得點(diǎn)M的軌跡方程滿足的等式，化簡(jiǎn)即可求得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡G的方程；

(2)設(shè)出切線P4的斜率分別為即k2,切點(diǎn)4(%,%),6(%，%)，點(diǎn)P(M")，則可得過(guò)點(diǎn)P的拋物線的

切線方程為y=m)+”,聯(lián)立拋物線方程并化簡(jiǎn)，由相切時(shí)A=0可得兩條切線斜率關(guān)系匕+左2,匕右；由拋物

線方程求得導(dǎo)函數(shù)，并由導(dǎo)數(shù)的幾何意義并代入拋物線方程表示出“，%,可求得左和二彳，結(jié)合點(diǎn)「(相，")滿足

(x-2)2+(y+2『=1的方程可得機(jī)的取值范圍，即可求得配的范圍.

【詳解】

(1)設(shè)點(diǎn)A/(x,y),

???點(diǎn)M到直線y=T的距離等于|y+1,

邛+1|=.+(。_2)2_1，化簡(jiǎn)得公=8》,

動(dòng)