撫州市2023-2024學(xué)年高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷含解析

撫州市2023-2024學(xué)年高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢

達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28,進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)完全數(shù)”分別為496,8128,

33550336,現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28不在同一組的概率為（）

2.若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝滿足。3=3%+2%,貝！I公比4=（）

A.1B.2C.3D.4

22

3.已知雙曲線?—我=1（6>0）的漸近線方程為瓜±y=0,則匕=（）

A.26B.73C.走D.473

2

4.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

32

C.—D.32

3

5.設(shè)/U）是定義在R上的偶函數(shù)，且在（0,+oo）單調(diào)遞減，則（)

34

A./(log30.3)>/(2-°-)>/(2-°-)B./(log30.3)>/(29)〉/(24)

3443

c./(2-°-)>/(2-°-)>/(log30.3)D./(2-°-)>/(2-°-)>/(log30.3)

1a

6.曲線y=§x3+2inx上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為()

3

A.3B.2C.-D.1

2

7.下列函數(shù)中，值域?yàn)镽的偶函數(shù)是()

A.y=x~+\B.y—ex—eC.y=D.y=

8.點(diǎn)O在AABC所在的平面內(nèi)，|OA|=|O3|=|oq,|AB|=2,|AC|=1,AO=+(4〃eR),且

,、

44-〃=2(〃#0),則IU岫LB'I=()

A.-B.且C.7D.yfl

32

9.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是

體育和勞動(dòng)；“書”，指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”，指數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，連

排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在第三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，貝！1“六藝”課程講座

不同的排課順序共有()

A.12種B.24種C.36種D.48種

10.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個(gè)面中最大面的面

積為()

A.—B.28C.8D.83

2

x2

11.設(shè)橢圓E：=l(a〉6〉0)的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為尸，B、。為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線5F

b2

交直線AC于且“為AC的中點(diǎn)，則橢圓E的離心率是()

2111

A.-B.-C.一D.-

3234

12.已知函數(shù)/(x)=4\且關(guān)于x的方程/(%)+%-。=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)4的取值范圍

Inx(x>0)

().

A.[0,+oo)B.(1,-H?)C.(0,+oo)D.[-oo,l)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知〃eN*,滿足C：+2C：+22盤++2"禺=243,貝！1(必+x+y)”的展開式中/產(chǎn)的系數(shù)為.

14.已知等邊三角形ABC的邊長為1.AM=2MB點(diǎn)N、T分別為線段BC、C4上的動(dòng)點(diǎn)，則

ABNT+BCTM+CAMN取值的集合為?

15.函數(shù)/(x)=a/與g(x)=-x-1的圖象上存在關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為.

16.已知a",c分別為ABC內(nèi)角C的對(duì)邊，a=0，sinA=/，b=#，則ABC的面積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知｛%｝是等差數(shù)列，滿足%=3,4=12,數(shù)列也｝滿足4=4,4=20,且也—%｝是等比數(shù)

列.

(1)求數(shù)列｛?！埃鸵玻耐?xiàng)公式；

(2)求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和.

18.(12分)為了整頓道路交通秩序，某地考慮將對(duì)行人闖紅燈進(jìn)行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度，在普通行人中

隨機(jī)選取了200人進(jìn)行調(diào)查，當(dāng)不處罰時(shí)，有80人會(huì)闖紅燈，處罰時(shí)，得到如表數(shù)據(jù)：

處罰金額X(單位：元)5101520

會(huì)闖紅燈的人數(shù)y50402010

若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.

(1)當(dāng)罰金定為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰降低多少？

(2)將選取的200人中會(huì)闖紅燈的市民分為兩類：A類市民在罰金不超過10元時(shí)就會(huì)改正行為；B類是其他市民.

現(xiàn)對(duì)A類與3類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問卷，則前兩位均為3類市民的概率是多少？

22

19.(12分)已知橢圓C：三+2=1(。〉5〉0)的兩個(gè)焦點(diǎn)是小B，M(夜」)在橢圓C上，且|崢|+照月|=4,

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/與直線平行，且與橢圓交于A,3兩點(diǎn).連接M4、MB與％軸交于點(diǎn)。，E.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求證：［0D+0E］為定值.

20.（12分）已知橢圓。：±+口=1（。〉6〉0）與拋物線/=4x有共同的焦點(diǎn)，且離心率為也,設(shè)可，工分別是

a~廳2

A,3為橢圓的上下頂點(diǎn)

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)（0,2）與x軸不垂直的直線/與橢圓。交于不同的兩點(diǎn)當(dāng)弦MN的中點(diǎn)P落在四邊形耳人鳥3內(nèi)（含

邊界）時(shí)，求直線/的斜率的取值范圍.

21.（12分）已知三棱錐P—A5C中，ABC為等腰直角三角形，AB=AC=LPB=PC<,設(shè)點(diǎn)E為K4中點(diǎn)，

點(diǎn)。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)尸為P5上一點(diǎn)，且PF=2FB.

（1）證明：BD//平面CEF；

（2）若求直線CE與平面尸5c所成角的正弦值.

22.（10分）已知數(shù)列｛4｝滿足4=2,4+1=2%+2"（"6河），其前"項(xiàng)和為S”.

（D通過計(jì)算會(huì),我，去，猜想并證明數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足仇=1,心1=~^/（〃。*）,若數(shù)列｛cj是單調(diào)遞減數(shù)列,

求常數(shù)，的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

先求出五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)的基本事件總數(shù)為10,再求出6和28恰好在同一組

包含的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.

【詳解】

解：根據(jù)題意，將五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，

則基本事件總數(shù)為C；=10,

則6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)=4,

10-43

.?.6和28不在同一組的概率P=.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型的概率的求法，涉及實(shí)際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.

2、C

【解析】

由正項(xiàng)等比數(shù)列滿足為=34+2/，即。"=3卬+20小又。尸0,即d一2q—3=0,運(yùn)算即可得解.

【詳解】

解：因?yàn)?=3q+2a2,所以q/=3%+2%q,又q/0,所以「-2q-3=0,

又q>0,解得q=3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列基本量的求法，屬基礎(chǔ)題.

3、A

【解析】

22r

根據(jù)雙曲線方程土-5=1(6>0),確定焦點(diǎn)位置，再根據(jù)漸近線方程氐±y=0得到」=百求解.

4b2a

【詳解】

22

因?yàn)殡p曲線上—當(dāng)=1(Z?>0),

4b2

所以a=2,又因?yàn)闈u近線方程為6x±y=0,

所以2=2=6,

a2

所以b=26.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

根據(jù)三視圖，還原空間幾何體，即可得該幾何體的體積.

【詳解】

由該幾何體的三視圖，還原空間幾何體如下圖所示：

可知該幾何體是底面在左側(cè)的四棱錐，其底面是邊長為4的正方形，高為4,

164

^V=-x(4x4)x4=y.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了三視圖的簡單應(yīng)用，由三視圖還原空間幾何體，棱錐體積的求法，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

利用/(%)是偶函數(shù)化簡/(log30.3),結(jié)合/(九)在區(qū)間(0,+“)上的單調(diào)性，比較出三者的大小關(guān)系.

【詳解】

/(X)是偶函數(shù)，/(log30.3)=/(—Iog35)=川騎了)，

3

而log3y>l>2-°->2心>0,因?yàn)?(元)在(0,+8)上遞減，

t,304

.??/(log3y)</(2-)</(2-),

即J(log3O3)</(2")</(2<4).

故選:D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.

6、A

【解析】

根據(jù)題意，求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式，即可求出切線斜率Z23,即可得出答案.

【詳解】

解：由于y=§d+2in%,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得：

k=f'(x]=x2+—=x2+—+—>3^x2-—?—=3(x>0),

XXX\XX

即切線斜率左23,

當(dāng)且僅當(dāng)x=l等號(hào)成立，

1,

所以y=+21nx上任意一點(diǎn)處的切線斜率的最小值為3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運(yùn)用基本不等式求最值，考查計(jì)算能力.

7、C

【解析】

試題分析：A中，函數(shù)為偶函數(shù)，但不滿足條件；B中，函數(shù)為奇函數(shù)，不滿足條件；C中，函數(shù)為偶函數(shù)且

yeR,滿足條件；D中，函數(shù)為偶函數(shù)，但>20,不滿足條件，故選C.

考點(diǎn)：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的值域.

8、D

【解析】

54

確定點(diǎn)。為AABC外心，代入化簡得到％4=彳，再根據(jù)5C=AC—A3計(jì)算得到答案.

63

【詳解】

由|。4卜|。@=|0。|可知，點(diǎn)0為AABC外心，

?一1-2一一1.21

則AJB,A0=5AJB=2,AC,AO——AC=—,又AO=XAB+4AC,

'2

AO-AB=AAB+/zAC-AB=4A+ptAC-AB=2,

所以21①

AO-AC=AAB-AC+piAC=AAB-AC+//=—,

因?yàn)?X-〃=2,②

54

聯(lián)立方程①②可得％4=7，ABAC=-b因?yàn)?C=AC—A5，

63

所以BC?nAC?+AB?—2AC-AB=7，即，。卜療。

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量模長的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

9、C

【解析】

根據(jù)“數(shù)”排在第三節(jié)，貝!1“射”和“御”兩門課程相鄰有3類排法，再考慮兩者的順序，有延=2種，剩余的3門全排列,

即可求解.

【詳解】

由題意，“數(shù)”排在第三節(jié)，貝!]“射”和“御”兩門課程相鄰時(shí)，可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6

節(jié)，有3種，再考慮兩者的順序，有用=2種，

剩余的3門全排列，安排在剩下的3個(gè)位置，有A；=6種，

所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有3x2x6=36種不同的排法.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了排列、組合的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，根據(jù)題設(shè)條件，先排列有限制條件的元素是解答的關(guān)鍵，

著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐，且是有三條棱互相垂直的三棱錐，根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積.

【詳解】

解：分析題意可知，如下圖所示，

該幾何體為一個(gè)正方體中的三棱錐A-BCD,

最大面的表面邊長為2^/2的等邊三角形ABC,

故其面積為電(20)2=273,

4

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何體的三視圖問題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖解析出原幾何體，從而解決問題.

11、C

【解析】

OF1c1

連接OM,為AABC的中位線，從而△OKI/AAFB,且二l=彳，進(jìn)而——=—,由此能求出橢圓的離心

FA2a-c2

率.

【詳解】

如圖，連接

橢圓E：二+亡l(a〉6〉0)的右頂點(diǎn)為4,右焦點(diǎn)為尸,

/b2

5、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，不妨設(shè)3在第二象限,

直線8尸交直線AC于M,且M為AC的中點(diǎn)

???O”為AA5C的中位線，

\OF\1

AOFMAAFB,且七十二，

\FA\2

c_1

??一9

a-c2

c1

解得橢圓E的離心率e=—=；；.

a3

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、B

【解析】

根據(jù)條件可知方程/(x)+x-。=0有且只有一個(gè)實(shí)根等價(jià)于函數(shù)v=/(%)的圖象與直線V=-只有一個(gè)交點(diǎn),

作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可.

【詳解】

解：因?yàn)闂l件等價(jià)于函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=—只有一個(gè)交點(diǎn)，作出圖象如圖，

由圖可知，<2>1,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)圖象與方程零點(diǎn)之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理求出n,然后再由二項(xiàng)式定理或多項(xiàng)式的乘法法則結(jié)合組合的知識(shí)求得x系數(shù).

【詳解】

由題意C；+2C：+224++2”C；=(l+2)"=243,n=5.

：.(x2+x+'I的展開式中x5y2的系數(shù)為ClCj=30.

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理，掌握二項(xiàng)式定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

14、{-6}

【解析】

根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)三角形各點(diǎn)的坐標(biāo)，依題意求出NT，TM，又N,的表達(dá)式，再進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算,最后求

和即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：以的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為x軸,線段BC的垂直平分線為V軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則A(0,網(wǎng),5(—1,0),C(l,0),M

則=百)避=(2,0),C4=(-l6),

設(shè)N(f,0),ATAAC,

OT=OA+AT=OA+XAC=(Q,43)+^(1,-^)=(2,^(1-2)),

即點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,73(1-2)),

/2^-73(l-2)lw=p+|,-^

則NT=(2_/,6(l_；l)),77Vf=------A

(33)k33J

所以ABNT+BCTM+CAMN

)x#-6(1-2)+

=-lx(2-f)+(-A/3)xA/3(l-2)+2x^-1-2^+(

(-l)xf+|+

故答案為：{-6}

本題考查平面向量的坐標(biāo)表示和線性運(yùn)算，以及平面向量基本定理和數(shù)量積的運(yùn)算，是中檔題.

15>a<\

【解析】

先求得與g(x)關(guān)于X軸對(duì)稱的函數(shù)h(x)=x+l,將問題轉(zhuǎn)化為f(x)=ae'與h(x)=x+l的圖象有交點(diǎn)，即方程

aex=x+l有解.對(duì)。分成a=0,a<0,a>0三種情況進(jìn)行分類討論，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

因?yàn)間(x)=1關(guān)于x軸對(duì)稱的函數(shù)為h(x)=x+l,因?yàn)楹瘮?shù)/?=ae1與g(x)=-x-l的圖象上存在關(guān)于x軸的

對(duì)稱點(diǎn)，所以〃x)=ae*與〃(x)=x+l的圖象有交點(diǎn)，方程03=工+1有解.

a=0時(shí)符合題意.

。/0時(shí)轉(zhuǎn)化為/=工(％+1)有解，即〉=二，y=^(x+l)的圖象有交點(diǎn)，y=^(x+l)是過定點(diǎn)(—1,0)的直線，其

aaa

斜率為工，若。<0,則函數(shù)y=e'與y=L(x+l)的圖象必有交點(diǎn)，滿足題意；若。>0,設(shè)>=/,y=4(x+l)相

aaa

.e7_1

切時(shí)，切點(diǎn)的坐標(biāo)為貝！Jm+1a,解得a=L切線斜率為2=1,由圖可知，當(dāng)即0<aWl時(shí)，

1aa

em=—

、a

y=e”，y=，(x+l)的圖象有交點(diǎn)，此時(shí)，/(x)=ae*-x?與/z(x)=-f+》+1的圖象有交點(diǎn)，函數(shù)/(%)=恁*一f

a

與g(x)=f—x-1的圖象上存在關(guān)于左軸的對(duì)稱點(diǎn)，綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍為aWl.

故答案為：a<l

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)以及對(duì)稱性，函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力,

推理與運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想和應(yīng)用意識(shí).

16、V2

【解析】

根據(jù)題意，利用余弦定理求得c=2,再運(yùn)用三角形的面積公式即可求得結(jié)果.

【詳解】

解：由于a=sinA->b=R,

a<b>??A<B>cosA=-，

3

由余弦定理得逅=匕工二二，解得c=2,

32bc

ABC的面積S=LX2X#X《I=0.

23

故答案為：、歷.

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理的應(yīng)用和三角形的面積公式，考查計(jì)算能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

3

、1

17(1)dn—3n{n—1,2,??),bn=3n+2"(n=1,2,■)；(2)—n{n+1)+2"-1

【解析】

試題分析：(1)利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求得公差和公比，即得到結(jié)論；(2)利用分組求和法，由等差

數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列也J前n項(xiàng)和.

試題解析：

(I)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,由題意得

d=.---?-l=———-=1.an=ai+(n-1)d=ln

33

設(shè)等比數(shù)列｛bn-an｝的公比為q,則

nlnn1

bn-an=(bi-ai)q=2-1,.\bn=ln+2

(II)由(I)知bn=ln+2ni,?.?數(shù)列｛In｝的前n項(xiàng)和為*(n+1),

1-嚴(yán)

數(shù)列｛2n-1｝的前n項(xiàng)和為lx；二=2n

???數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為；■域〃+1)+2”-1

考點(diǎn)：1.等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用；2.等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用；1.數(shù)列求和.

18、(1)降低一(2)—

56

【解析】

(1)計(jì)算出罰金定為10元時(shí)行人闖紅燈的概率，和不進(jìn)行處罰時(shí)行人闖紅燈的概率，求解即可;

(2)闖紅燈的市民有80人，其中A類市民和3類市民各有40人，根據(jù)分層抽樣法抽出4人依次排序，計(jì)算所求的

概率值.

【詳解】

401

解：(1)當(dāng)罰金定為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率為荻=3；

on9

不進(jìn)行處罰，行人闖紅燈的概率為右=一；

2005

211

所以當(dāng)罰金定為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰降低《-§=不；

(2)由題可知，闖紅燈的市民有80人，A類市民和3類市民各有40人

故分別從A類市民和3類市民各抽出兩人，4人依次排序

記A類市民中抽取的兩人對(duì)應(yīng)的編號(hào)為L2,3類市民中抽取的兩人編號(hào)為3,4

則4人依次排序分別為(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),次,3,4,2),(1,4,3,2),(1,4,2,3),(2,1,3,4),(2,1,4,3),

(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),(3,1,2,4),(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(3,4,2,1),

(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),(4,3」,2),(4,3,2,1),共有24種

前兩位均為3類市民排序?yàn)?341,2),(3,421),(4,3,1,2),(4,3,2,1),有4種，所以前兩位均為3類市民的概率是

—

246

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了計(jì)算古典概型的概率，屬于中檔題.

22

19、(1)—+2_=1(2)證明見解析

42

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的定義可得。=2,將"代入橢圓方程，即可求得萬的值，求得橢圓方程；

(2)設(shè)直線的方程，代入橢圓方程，求得直線和MB的方程，求得。和E的橫坐標(biāo)，表示出根

據(jù)韋達(dá)定理即可求證+。石|為定值.

【詳解】

(1)因?yàn)閨咋|+9閶=4,由橢圓的定義得2a=4,a=2,

點(diǎn)/(a』)在橢圓C上，代入橢圓方程，解得尸=2,

22

所以。的方程為三+上=1；

42

(2)證明：設(shè)A(wx),B(x2,y2),直線AB的斜率為乎，設(shè)直線/的方程為y=^x+/,

y=----x-^-t

聯(lián)立方程組，2,,消去y,整理得夜觀+/—2=0，

工+乙=1

I42

所以玉+%2=—J5,9項(xiàng)％2=%—2,

直線的直線方程為yT="1sL卜一四)，令y=0,則x?=—口^+0,

同理4=—三二走+行，

y2T

正+后一土正+行=2啦—

所以：|OD+OE/

=2s/2

(%-1)(%-1)

=2>/2

(%-1)(%T)

代入整理得|。0+0@=20，

所以|OD+OE］為定值.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問題，屬于中檔題.

20、(1)—+/=1(2)左21+亞或左<—1—逅

222

【解析】

(1)由已知條件得到方程組，解得即可;

(2)由題意得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為y=^+2,M(x“yJ,N(X2，%),聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理,

由/>0得到左2的范圍，設(shè)弦MN中點(diǎn)坐標(biāo)為P(x。,%)則%=土產(chǎn),%=看7>0,所以P在X軸上方，只需

%一為+120

位于AA^E,內(nèi)(含邊界)就可以，即滿足?八，得到不等式組，解得即可；

【詳解】

解：(1)由已知橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),離心率為豐,a—y/2

b-1

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)由題意得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為1=辰+2,河(知乂),7(尤2，%)

x2+2/=2,,8k6

聯(lián)立《“，消元整理得(2/+1)12+8履+6=0,：i+%=一^710X2=^pP

y=kx+27

3

由A=64左2—4(2左2+1)x6〉0,解得上2>5

設(shè)弦MN中點(diǎn)坐標(biāo)為P(x°,y).-.x=%產(chǎn),％=—1—

00>0,

乙乙K十J.

所以P在X軸上方，只需位于AA耳心內(nèi)（含邊界）就可以,

x-y+l>O2左2一4左一INO

即滿足＜o(jì)o即,

jo+yo-l<O2F+4I20

解得出+當(dāng)或g1*

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

21、（1）證明見解析；（2）叵

6

【解析】

（1）連接交CE于G點(diǎn)，連接bG,通過證3D//FG,并說明FGu平面C即，來證明班＞//平面CEF

（2）采用建系法以A3、AC.AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,分別表示出對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)8,C,P,E坐標(biāo)，設(shè)平面尸5c的一個(gè)法向量為拓=（%y,z）,結(jié)合直線對(duì)應(yīng)的CE和法向量〃，利用向量夾角的余

弦公式進(jìn)行求解即可

【詳解】

（1）證明：如圖，

連接PD交CE于G點(diǎn)，連接產(chǎn)G,點(diǎn)E為？A的中點(diǎn)，點(diǎn)。為AC的中點(diǎn),

二點(diǎn)G為AR4C的重心，則PG=2GD,PF=2FB,：.FG/!BD,

又FGu平面CEF,BDU平面CEF,;.BD//平面CEF；

（2）AB=AC,PB=PC,PA=PA,:.APAB=APAC,

PA±AC,:.PA±AB,可得B4=2,又ABLAC,

則以AB、AC.AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),石(0,0,1)

B