2024屆江西省上饒高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆江西省上饒高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

ln（2-x）,x,1,,,

1.已知函數(shù)〃x）=2若—ta+a.O恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

—x+1,%>1,

A.—B.[0,1]C.D.[0,2]

2.四人并排坐在連號的四個座位上，其中A與B不相鄰的所有不同的坐法種數(shù)是（）

A.12B.16C.20D.8

3.將一張邊長為12cm的紙片按如圖⑴所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個

有底的正四棱錐模型，如圖⑵放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖（3）所示，則正四棱錐的體積是（）

?⑴圖⑵HR（3）

A.—V6cm3B.—V6cm3C.—\/2cm3D.-42cm3

3333

4.設(shè)集合A={1,2,3},B={x|x2-2x+m=0},若Ac3={3},則3=（）

A.{-1,3}B.{-2,3}C.{-1,-2,3}D.{3}

5.已知AA5C中內(nèi)角A5c所對應(yīng)的邊依次為a,4c,若2a=b+l,c=幣,Cy,則AA5C的面積為（）

A.手B.73C.3A/3D.2出

6.設(shè)a=0.82°5,Z?=sinl,c=lg3,則a,b,c三數(shù)的大小關(guān)系是

A.a<c<bB.a<b<C

C.c<b<aD.b<c<a

1+z

7.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2-i

8.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=（i為虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于（）

i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

9.已知集合。={123,4,5,6},A={1,3,5},B={2,3,4},則集合電（AB）=（）

A.{1,2,6}B.{1,3,6}C.{1,6}D.{6}

10.定義在R上的函數(shù)r=/G）滿足l/（x）匕且y=/G+J）為奇函數(shù)，貝卜=心）的圖象可能是（）

22

11.已知雙曲線C：'一方=1（。＞0力＞0）的焦點為《，工，且c上點p滿足。耳?耽=0，閥|=3,|=4,

則雙曲線C的離心率為

A.巫^B.75C.-D.5

22

12.若點*,y）位于由曲線x=|y_2l+1與X=3圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界），則山的取值范圍是（）

x-2

A-[-3,11B.[-3,5]C-（-00,-3]u\.5,+oo）D-（-oo,-31"L,+oo）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.三棱柱A5C-4與G中，AB=BC=AC,側(cè)棱胡，底面ABC,且三棱柱的側(cè)面積為3相.若該三棱柱的頂

點都在同一個球。的表面上，則球。的表面積的最小值為.

15

14.若公=—,則。=______.

o3

15.三個小朋友之間送禮物，約定每人送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個人的可能性相同），則三人都收到

禮物的概率為.

16.函數(shù)/（X）=3萬的定義域是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（x）=（l+百tanxjcos".

（I）若a是第二象限角，且sina=手，求/（&）的值；

（II）求函數(shù)/（%）的定義域和值域.

18.（12分）選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)/（x）=|2x+a|Tx_2|（xeR,aeR）.

（1）當(dāng)a=—1時，求不等式/（力>0的解集；

（2）若“尤"-1在xeH上恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

19.（12分）如圖，A6c為等腰直角三角形，AB=AC=3,。為AC上一點，將"5。沿80折起，得到三棱

錐A-BCD,且使得人在底面3C。的投影E在線段3C上，連接AE.

（1）證明：BDIAEi

（2）若tanNABD=；,求二面角C—3—。的余弦值.

x=-l+2cos<z?

20.（12分）在直角坐標(biāo)系犬0y中，曲線。的參數(shù)方程為^.（。為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，x軸正

y=2sin0

半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.已知點P的直角坐標(biāo)為（-2,0）,過P的直線/與曲線。相交于"，N兩點.

（1）若/的斜率為2,求/的極坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；

UULOUULV

（2）求PATPN的值.

21.（12分）這次新冠肺炎疫情，是新中國成立以來在我國發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一

次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.中華民族歷史上經(jīng)歷過很多磨難，但從來沒有被壓垮過，而是愈挫愈勇，不斷在磨難中成長,

從磨難中奮起.在這次疫情中，全國人民展現(xiàn)出既有責(zé)任擔(dān)當(dāng)之勇、又有科學(xué)防控之智.某校高三學(xué)生也展開了對這次疫

情的研究，一名同學(xué)在數(shù)據(jù)統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)，從2020年2月1日至2月7日期間，日期x和全國累計報告確診病例數(shù)量丁

（單位：萬人）之間的關(guān)系如下表：

日期X1234567

全國累計報告確診病例數(shù)量y（萬人）1.41.72.02.42.83.13.5

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，運用相關(guān)系數(shù)進行分析說明，是否可以用線性回歸模型擬合V與x的關(guān)系？

（2）求出V關(guān)于％的線性回歸方程y=+a（系數(shù)精確到0.01）.并預(yù)測2月10日全國累計報告確診病例數(shù).

77

參考數(shù)據(jù)：2丫=16§，Z%X=77.5,思X-5)=1.88,幣a265.

z=lZ=1

回歸方程§=?+%中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:

，a-y-bx-

22.(10分)已知橢圓C：￡+與=1(a>b>0)的離心率為且，且經(jīng)過點

a2b22

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(6,0)作直線/與橢圓C交于不同的兩點4,B,試問在x軸上是否存在定點。使得直線QA與直線恰

關(guān)于x軸對稱？若存在，求出點。的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解題分析】

由◎+&.()恒成立，等價于y=|/(x)|的圖像在y=a(x—l)的圖像的上方，然后作出兩個函數(shù)的圖像，利用

數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.

【題目詳解】

,?fln(2-x),x,1,?,

因為I.f(x)|=211由|/(尤)|..a(x—1)恒成立，分別作出y="(x)l及y=a(x—l)的圖象，由圖知，當(dāng)"0

X—1,X>1,

時，不符合題意，只須考慮a.O的情形，當(dāng)y=a(x-1)與y=|/(刈(x..l)圖象相切于(1,0)時，由導(dǎo)數(shù)幾何意義，此

時。=（爐—1）'|曰=2,故2.

此題考查的是函數(shù)中恒成立問題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.

2、A

【解題分析】

先將除4,3以外的兩人先排，再將4,3在3個空位置里進行插空，再相乘得答案.

【題目詳解】

先將除A,5以外的兩人先排，有用=2種；再將A,5在3個空位置里進行插空，有方=3*2=6種，所以共有

2義6=12種.

故選：A

【題目點撥】

本題考查排列中不相鄰問題，常用插空法，屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解題分析】

設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為高為〃，則用=正。，故由題設(shè)可得工。+。=12、變=＞。=40,所以

222

四棱錐的體積V=；（4夜）2x#x40=學(xué)°加，應(yīng)選答案B.

4、A

【解題分析】

根據(jù)交集的結(jié)果可得3是集合3的元素，代入方程后可求M的值，從而可求

【題目詳解】

依題意可知3是集合3的元素，即32—2x3+m=0,解得772=-3,由%2—2%—3=0,解得x=-1,3.

【題目點撥】

本題考查集合的交，注意根據(jù)交集的結(jié)果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎(chǔ)題.

5,A

【解題分析】

由余弦定理可得力+〃一。b=7,結(jié)合2a=6+1可得a,b,再利用面積公式計算即可.

【題目詳解】

7=/+/—aba=2

由余弦定理，^7=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab.由＜C7I，解得

2a=b+lb=3

所以‘SMBC=ga6sinC=gx2x3x#=孚.

故選：A.

【題目點撥】

本題考查利用余弦定理解三角形，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道容易題.

6、C

【解題分析】

工比較即可.

利用對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計算公式，將a,b,c與

52

【題目詳解】

由a=0.82°§>O.8O5=J|,

」

1R.兀拒[3[4

232\4V5

c=lg3<lgVld=|lgl0=1,

所以有選C.

【題目點撥】

本題考查對數(shù)值，指數(shù)值和正弦值大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵，注意合理地進行等

價轉(zhuǎn)化.

7、B

【解題分析】

化簡復(fù)數(shù)為a+方的形式，然后判斷復(fù)數(shù)的對應(yīng)點所在象限，即可求得答案.

【題目詳解】

1+z_l+z（l+z）z

（1-02-2i-i

-1+z11.

=---=--1—I

222

對應(yīng)的點的坐標(biāo)為1-ggj在第二象限

故選：B.

【題目點撥】

本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

8、C

【解題分析】

化簡復(fù)數(shù)為a+初（。、匕eH）的形式，可以確定z對應(yīng)的點位于的象限.

【題目詳解】

解：復(fù)數(shù)2="=上3=一（2"產(chǎn)）=一1-2?

II

故復(fù)數(shù)2對應(yīng)的坐標(biāo)為（-L-2）位于第三象限

故選：C.

【題目點撥】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算，復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解題分析】

根據(jù)集合的混合運算，即可容易求得結(jié)果.

【題目詳解】

AOB={1,2,3,4,5},故可得令（4B）={6}.

故選：D.

【題目點撥】

本題考查集合的混合運算，屬基礎(chǔ)題.

10、D

【解題分析】

根據(jù)y=&+1）為奇函數(shù)，得到函數(shù)關(guān)于（，0）中心對稱，排除物計算卜也排除。,得到答案.

【題目詳解】

y=/G+l）為奇函數(shù)，即&+1）=-/（-x+1）,函數(shù)關(guān)于Q,0）中心對稱，排除48.

I/；,5）I<2]L5-A=y/2,排除C.

故選：D.

【題目點撥】

本題考查了函數(shù)圖像的識別，確定函數(shù)關(guān)于（1,0）中心對稱是解題的關(guān)鍵.

11、D

【解題分析】

根據(jù)雙曲線定義可以直接求出。，利用勾股定理可以求出c,最后求出離心率.

【題目詳解】

依題意得,2a=|P段—|尸山=1,|耳鳥|/耳『=5,因此該雙曲線的離心率6=Ml=5.

|P段-|P用

【題目點撥】

本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率，考查了運算能力.

12、D

【解題分析】

畫出曲線x=|y_2l+1與x=3圍成的封閉區(qū)域，口表示封閉區(qū)域內(nèi)的點位力和定點（2_口連線的斜率，然后結(jié)合圖形

x-2，，

求解可得所求范圍.

【題目詳解】

設(shè)ZP+1，結(jié)合圖形可得上之如4或左wk正方，

Jx-2

由題意得點A,B的坐標(biāo)分別為力⑶。）/〃,2），

/.12-（-1）,

kpA=y72=l，kpB=J_2=-3

.?.士的取值范圍為（一8,-3]+8）.

x-2

故選D.

【題目點撥】

解答本題的關(guān)鍵有兩個：一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解問題，即把山看作兩點間連線的斜率；二是要正確畫出兩曲線

x-2

所圍成的封閉區(qū)域.考查轉(zhuǎn)化能力和屬性結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、4萬

【解題分析】

分析題意可知，三棱柱ABC-為正三棱柱，所以三棱柱的中心即為外接球的球心。,

設(shè)棱柱的底面邊長為。，高為五,則三棱柱的側(cè)面積為3a/=34，球的半徑表示為尺=,再由重要

不等式即可得球。表面積的最小值

【題目詳解】

如下圖,

三棱柱A8C-A4G為正三棱柱

:.設(shè)A。1=a9BB]=h

三棱柱的側(cè)面積為3a-h=3A/3

a-h=yf3

又外接球半徑八

，夕卜接球表面積S=4/rR2>4TT.

故答案為：4%

【題目點撥】

考查學(xué)生對幾何體的正確認識，能通過題意了解到題目傳達的意思，培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，能夠利用題目條件，畫出

圖形，尋找外接球的球心以及半徑，屬于中檔題

14、2

【解題分析】

直接利用關(guān)系式求出函數(shù)的被積函數(shù)的原函數(shù)，進一步求出a的值.

【題目詳解】

解：若公=?,貝!||辦一；了3'=：,

即。一g=所以a=2.

故答案為：2.

【題目點撥】

本題考查的知識要點：定積分的應(yīng)用，被積函數(shù)的原函數(shù)的求法，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，

屬于基礎(chǔ)題.

1

15、-

2

【解題分析】

基本事件總數(shù)“=23=8，三人都收到禮物包含的基本事件個數(shù)m=2x2x1=4.由此能求出三人都收到禮物的概率.

【題目詳解】

三個小朋友之間準(zhǔn)備送禮物，

約定每人只能送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個人的可能性相同），

基本事件總數(shù)“=23=8，

三人都收到禮物包含的基本事件個數(shù)777=2x2x1=4.

m41

則三人都收到禮物的概率p=-=-=~.

〃82

故答案為：一.

2

【題目點撥】

本題考查古典概型概率的求法，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、(—8,0]

【解題分析】

由1-2*20,得2'<1，所以x<0,所以原函數(shù)定義域為(7,0]，故答案為(-8,0].

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(I)匕逅(II)函數(shù)的定義域為<xxeR,且+左eZ>,值域為—

【解題分析】

(1)由々為第二象限角及sin。的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosa及tan1的值，再代入/(%)中即

可得到結(jié)果.

(2)函數(shù)/(x)解析式利用二倍角和輔助角公式將/(x)化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)x的范圍，即可得到函數(shù)值域.

【題目詳解】

解：(1)因為a是第二象限角，且sina=Y8，

3

所以cosa=-Vl-sin2a-

3

-sinarr

所以tana=----=—J2,

cosa

所以=_

I3J3

jr

(2)函數(shù)/(尤)的定義域為<xxeR,^x^k7T+—,k&Z>.

化簡，得/(x)=(l+Gtanx)=cos2x

lcosx)

—cos2x+5/3sinxcosx

l+cos2x百._

=----------1----sin2x

22

=sinf2x+—+—,

I6j2

JI

因為xeR,且xw左乃+—，k&Z,

2

TT74

所以2%d——w2k"-----,

66

所以—l<sin[2x+?]<l.

_13-

所以函數(shù)/(x)的值域為-了5.

(注：或許有人會認為“因為"而+半所以〃x)wo”，其實不然，因為=

【題目點撥】

本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，三角函數(shù)函數(shù)值求解以及定義域和值域的求解問題，涉及到利用二倍角公式和

輔助角公式整理三角函數(shù)關(guān)系式的問題，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力，屬于?？碱}型.

18-,(1)(―co,—l)U(l,+co)；(2)[—6,—2]

【解題分析】

(1)當(dāng)a=-1時，將原不等式化簡后兩邊平方，由此解出不等式的解集.(2)對。分成a<-4,a=-4,a>-4三種情

況，利用零點分段法去絕對值，將/(%)表示為分段函數(shù)的形式，根據(jù)單調(diào)性求得。的取值范圍.

【題目詳解】

(1)a=T時,/(%)>0W|2x-l|>|x-2|,即(2x—l『>(%—2『，

化簡得：(3x-3)(x+l)>0,所以不等式/(力>0的解集為(―8,—l)u(l,”).

—x—a—2,x<2

(2)①當(dāng)。<-4時，〃x)=<—3x—。+2,24％三一/由函數(shù)單調(diào)性可得

x+tz+c2,x>---a-

2

/(x)min=/上會='|一22-1，解得；-6<a<-4

②當(dāng)a=T時，/(x)=|x-2|,/(x)min=0>-l,所以a=T符合題意;

-x-a-2,x<~—

2

③當(dāng)a>T時，/(%)=<3x+a—2,—|■<xW2,由函數(shù)單調(diào)性可得,

x+a+2,x>2

=^[_fj=--1解得-4<aW-2

綜上，實數(shù)a的取值范圍為[-6,-2]

【題目點撥】

本小題主要考查含有絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題.

19、(1)見解析；(2)巫

2

【解題分析】

(1)由折疊過程知4E與平面垂直，得4后，3。，再取A41中點加，可證A4與平面"BD垂直，得

AA.LBD,從而可得線面垂直，再得線線垂直；

(2)由已知得。為AC中點，以E為原點，E3,EA所在直線為了，z軸，在平面3C。內(nèi)過￡作8C的垂線為V軸建

立空間直角坐標(biāo)系，由已知求出線段長，得出各點坐標(biāo)，用平面的法向量計算二面角的余弦.

【題目詳解】

(1)易知AE與平面5C。垂直，

連接AA],取A/中點連接

MBMD=M,

，M，平面AffiD,HDu平面AffiD,二A4]

又44]AE=A，.?.應(yīng))_1_平面44田，瓦)，人￡；

(2)由tan/ABr>=L,知。是AC中點，

2

令BE=ABC，則AE=A3+3E=(1—X)A3+/IAC，

由=AD-AB=gAC-AB,皮)_LA￡,

__i_,9

/.((1-2)AB+2AC)-(-AC-AB)=0,解得;l=§,故BE=2gCE=也.

以E為原點，EB,E4所在直線為龍，z軸，在平面BCD內(nèi)過E作BC的垂線為），軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

研=(—2血,0,1),3。=(—述,述,0),設(shè)平面4瓦)的法向量為加=Q,y,z),

44

m-BA^=—2^2%+z=0

則<9030，取x=l,則機=(1,3,20).

m-BD=--------xH--------y=0

I44，

又易知平面A}BC的一個法向量為n=(0,1,0),

m-n3y[l

COS<m,Tl〉=1—n~~r=------=-----

|m||n|1-3V22-

二面角C-B\-D的余弦值為史.

2

【題目點撥】

本題考查證明線線垂直，考查用空間向量法求二面角.證線線垂直，一般先證線面垂直，而證線面垂直又要證線線垂

直，注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化.求空間角，常用方法就是建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求空

間角.

20、(1)Z：2夕cos，一夕sin，+4=0,C：(x+1)2+/=4；(2)-3

【解題分析】

(1)根據(jù)點斜式寫出直線/的直角坐標(biāo)方程，并轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，利用sin2°+cos2e=l,將曲線C的參數(shù)方程

轉(zhuǎn)化為普通方程.

(2)將直線/的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義以及根與系數(shù)關(guān)系，求得的值.

【題目詳解】

(1)/的直角坐標(biāo)方程為y=2(1+2),即2x—y+4=0,

則I的極坐標(biāo)方程為2夕cos，一夕sin夕+4=。.

曲線C的普通方程為(％++/=4.

(2)直線/的參數(shù)方程為一一.口為參數(shù)，。為/的傾斜角)，

y-tsma

代入曲線C的普通方程，得/—2,cos￡—3=0.

設(shè)M,N對應(yīng)的參數(shù)分別為乙,弓，所以3,M,N在P(—2,0)的兩側(cè).則

PMPN=\PM\-|PN|-COS7i=-卜i止-3.

【題目點撥】

本小題主要考查直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，考查參數(shù)方程化為普通方程，考查直線參數(shù)方程，考查直線參數(shù)的幾何意義,

屬于中檔題.

21、(1)可以用線性回歸模型擬合y與X的關(guān)系；(2)y=0.35x+l,預(yù)測2月10日全國累計報告確診病例數(shù)約有

4.5萬人.

【解題分析】

9.908“c.?

(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)，利用公式求得53xi88=°"'再根據(jù)"的值越大說明它

們的線性相關(guān)性越高來判斷.

%一y

(2)由(1)的相關(guān)數(shù)據(jù)，求得匕=a=y-bi＞寫出回歸方程，然后將代入回歸方程求解.

2x=10

【題目詳解】

——Ir)w

(1)由已知數(shù)據(jù)得，7=4，y=^-=2.414,

n__n__

所以Z(七一%)(y-y)