2023-2024學年黑龍江省齊齊哈爾市九年級(上)期末數(shù)學試卷 答案解析(附后)

2023-2024學年黑龍江省齊齊哈爾市鐵鋒區(qū)九年級（上）期末數(shù)學

試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.觀察下列圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

2.下列事件中，是必然事件的是（）

A.水中撈月B.水漲船高C.守株待兔D.百步穿楊

3.如圖，在正方形網(wǎng)格上有兩個相似三角形和AOEF,則NBA1的度數(shù)為

A.1()51B.115C.125

4.若點（-2.%），（-1.Q,（2,以）在雙曲線"-（A<（?±,則小，加，山的大小關系是（）

X

A.1/1<JA!<1/3B..V3<V2<.71c.7.1/1<1/3D.</:?<1/1

5.如圖，以點。為位似中心，將「縮小后得到已知

。目則與△ABC'的面積的比為（）

A.1：3

B.1：4

C.1：5

D.1：9

6.如圖，DE是△.13「的中位線，F(xiàn)是DE的中點，CF的延長線交AB于點G,若△C'EF的面積為

則的值為（）

第1頁，共22頁

7.下列命題中，假命題的個數(shù)為（）

”）"a是任意實數(shù)，“5＞（）”是必然事件；

（2）拋物線y?1）」的對稱軸是直線」,一」；

（：，）若某運動員投籃2次，投中1次，則該運動員投1次籃，投中的概率為：；

（1）某件事情發(fā)生的概率是1,則它一定發(fā)生；

（5）某彩票的中獎率為11以，則買100張彩票一定有1張會中獎；

（⑴函數(shù)y9（1.2（111r.兩叵與X軸必有兩個交點.

A.2B.3C.4D.5

8.在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y，江卜6與？''，其中a,b是常數(shù)，ab/U）的大致圖象是（）

ar

A.XB.JL

廿

AP

clDK

交

9.如圖，已知A、8是反比例函數(shù)“-（A-:（）”＞（））圖象上的兩點，?！读αS，\

X

交x軸于點C動點P從坐標原點。出發(fā)，沿OTAT/J—C勻速運動，終點為

為S,點P運動的時間為t,則s關于才\

U過點P作PQ1J-軸于Q.設△。尸Q的面積

t的函數(shù)圖象大致為（）0\Q~~Cx

第2頁，共22頁

A.

10.如圖，直角坐標平面xOy內(nèi)，動點P按圖中箭頭所示方向依次運動，第1次從點，LUj運動到點

⑴」)，第2次運動到點，」.())，第3次運動到點(2.2i,按這樣的運動規(guī)律，動點P第2023次運動

到點()

A.(2023,0)B.2U22.-2)C.(2023,1)D.(2022,0)

二、填空題：本題共7小題，每小題3分，共21分。

11.在半徑為4的圓中，出的圓周角所對的弧長為.

12.若關于x的一元二次方程」■,I：()沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是

第3頁，共22頁

13.反比例函數(shù)—汕刈）與在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點p

在協(xié)上.長方形PC。。交打于點A,B,若圖中四邊形BOAP的面積為6,則

14.已知,（加和?（）」相交，圓心距d5,“九的半徑為3,那么的半徑r的取值范圍是,

15.把長方形紙片ABCD沿對角線AC折疊，得到如圖所示的圖形，AD平分

AC,則

16.如圖，在正方形ABC。的邊長為4,以A為圓心，4為半徑作圓弧.以。為

圓心,2為半徑作圓弧.若圖中陰影部分的面積分別為0、5」.則S'】S>

BC

17.如圖，在邊長為2的正方形A8C。中，點E,F分別為AD,CO邊上的動點（不與端點重合），連接

BE,8F,分別交對角線AC于點P,Q.點E,F在運動過程中，始終保持NE/JF45，連接EF,PF,PD

下列結論：①PB=PO；②NEFD=2NC3F；③PQPA-CQ；④AOPF為等腰直角三角形；⑤

若過點8作垂足為M連接。H,則。H的最小值為八噸2其中所有正確結論的序號是

三、計算題：本大題共1小題，共10分。

第4頁，共22頁

18.解方程：

（1）Z2-4X+1-0

四、解答題：本題共5小題，共49分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

19.（本小題6分）

如圖，在平面直角坐標系中，△.43C'的三個頂點的坐標分別是.4（1.3）,B（l.l）,C（l.l）.

，■畫出與△zlOC'關于x軸成軸對稱的△.11；

（2）畫出以點O為位似中心，與的相似比為2：1的

20.（本小題7分）

2如）不停車收費系統(tǒng)是目前世界上最先進的路橋收費方式，安裝有ETC的車

輛通過路橋收費站無需停車就能交納費用.某高速路口收費站有A,B,C,。四個ETC通道，車輛可任意

選擇一個ETC通道通過，且通過每個ETC通道的可能性相同，一天，張叔叔和李叔叔分別駕駛安裝有ETC

的汽車經(jīng)過此收費站.

」）求張叔叔從8通道通過的概率；

（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，求出張叔叔和李叔叔從相同通道通過的概率.

21.（本小題10分）

小明家飲水機中原有水的溫度為加「，通電開機后，飲水機自動開始加熱（此過程中水溫MO與開機時

間1（分）滿足一次函數(shù)關系），當加熱到100個時自動停止加熱，隨后水溫開始下降［此過程中水溫”C）

與開機時間〃分）成反比例關系，當水溫降至20c時，飲水機又自動開始加熱…，重復上述程序（如圖所

示），根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

”）當時，求水溫M。）與開機時間」?（分）的函數(shù)關系式；

第5頁，共22頁

（2）求圖中t的值；

（；，）若小明上午八點將飲水機在通電開機（此時飲水機中原有水的溫度為2。C后即外出散步，預計上午八點

半散步回到家中，回到家時，他能喝到飲水機內(nèi)不低于:對廣的水嗎？請說明你的理由.

22.（本小題12分）

如圖①，NQP.V的頂點P在正方形入8CD兩條對角線的交點處，NQRVc,將NQP.V繞點P旋轉，

旋轉過程中NQP.V的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E和點F（點F與點C,D不重合）.

（1）如圖①，當。JHI時，DE,DF,A0之間滿足的數(shù)量關系是；

（2）如圖②，將圖①中的正方形入8CD改為乙ADC'12（1的菱形，其他條件不變，當，、（HI時，中的

結論變?yōu)?。E+OF請給出證明；

（3）在（與的條件下，若旋轉過程中NQP.V的邊PQ與射線AD交于點E,其他條件不變，探究在整個運動

變化過程中，DE,DF,A0之間滿足的數(shù)量關系，直接寫出結論，不用加以證明.

23.（本小題14分）

如圖，已知二次函數(shù)?/-/一%+，?的圖象交x軸于點41.⑴和點B,交y軸于點］川.1）.

H）求這個二次函數(shù)的表達式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得PAPC的值最大？若存在，求出P點坐標；若不存在,

請說明理由.

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⑶在平面直角坐標系內(nèi)，是否存在點Q，使A，8,C,Q四點構成平行四邊形？若存在，直接寫出點Q

的坐標；若不存在，說明理由?

第7頁，共22頁

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：.4.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

8.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

。.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意.

故選：D.

根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可.

本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可

重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與自身重合.

2.【答案】B

【解析】解：A、水中撈月是不可能事件，不符合題意；

8,水漲船高是必然事件，符合題意；

C,守株待兔是隨機事件，不符合題意；

。、百步穿楊是隨機事件，不符合題意.

故選：B.

根據(jù)隨便事件的定義對各選項進行逐一分析即可.

本題考查的是隨機事件，熟知在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件是解題的關

鍵.

3.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查的是相似三角形的性質，兩三角形相似，對應的角相等.根據(jù)相似三角形的對應角相等即可得

出.

【解答】

解：?.△AZKS△EDF,

：.￡BAC-乙DEF,

又乙DEF90,15135,

Z.BAC135,

第8頁，共22頁

故選D

4.【答案】D

【解析】解：?.?點（-2.助），（-1.電），（2.山）在雙曲線y-（A-<0）.h,

X

/.（2.1/j,1:1.也）分布在第二象限，（2.1川在第四象限，每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，

/.V3<lft<92-

故選:D.

先分清各點所在的象限，再利用各自的象限內(nèi)利用反比例函數(shù)的增減性解決問題.

此題主要考查了反比例函數(shù)的性質，正確掌握反比例函數(shù)增減性是解題關鍵，注意：反比例函數(shù)的增減性

要在各自的象限內(nèi).

5.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查的是位似變換的概念和性質，根據(jù)位似變換的性質得到根據(jù)平行線的性

質求出△A'SY”與△A3C1的相似比，根據(jù)相似三角形的性質得到面積比.【解答】

解：由位似變換的性質可知，

OA'OB'1

?CM75773J

A'COA'1

"'ACOA3'

.?.△八'3'C"與的相似比為1：3,

.?.△AB'L與的面積比為1：9,

故選D

6.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵是熟練掌握

基本知識，屬于中考?？碱}型.

作「于”交DE于M,根據(jù)三角形中位線定理得到DE〃BC,DE=證明sAGSJ,

根據(jù)相似三角形的性質、三角形的面積公式計算.

【解答】

解：如圖，作于H交DE于M,

第9頁，共22頁

是的中位線，

..DE,BC,DE\BC,

是DE的中點，

..DF[BC,

*4

.DF/BC,

：.△GOFSAG",

GMDF1

■■OH~BC-r

GMI

XIH3'

：DFFE,

:.SIK；F鼻X△('/17?的面積(“,〃了,

?)

故選c

7.【答案】C

【解析】解：H)“a是任意實數(shù)，㈤5>()”是不確定事件，是假命題；

(2)拋物線y(21,1『的對稱軸是直線J是假命題；

(3)若某運動員投籃2次，投中1次，則該運動員投1次籃，投中的概率為1,是假命題；

，1)某件事情發(fā)生的概率是1,則它一定發(fā)生，是真命題；

(5)某彩票的中獎率為11以，則買100張彩票中獎的可能性很大，但不是一定中獎，是假命題;

16)函數(shù)y9(J--2()11/?、保)而與X軸必有兩個交點，是真命題，

則假命題的個數(shù)是4；

故選

分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，從而利用排除法得出答案.

第10頁，共22頁

此題考查了命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關鍵是要熟悉課

本中的性質定理.

8.【答案】A

【解析】解：若">>',6>(),

反比例函數(shù)yL(ab#。)位于一、三象限,

則yar+6經(jīng)過一、二、三象限,

ar

若">0,/><-<1,

則！/ar+b經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)數(shù)y位于二、四象限,

ajr

若“V(),b>0,

則yar+b經(jīng)過一、二、四象限，反比例函數(shù)y位于二、四象限,

ax

若，V(),6<(I,

則!/ar+b經(jīng)過二、三、四象限，反比例函數(shù)y”(畝〃())位于一、三象限,

(11

故選：

根據(jù)a、b的取值，分別判斷出兩個函數(shù)圖象所過的象限，要注意分類討論.

本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象，熟知一次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質是解題的關鍵.

9.【答案】4

【解析】解：①當點P在線段OA上運動時.設。(工y).則Swl”是大于0的常數(shù)，圖象為拋

物線的一部分，排除8、D；

②當點P在A8上運動時，此時的面積S-%?[?>()),保持不變；

③點P在8c上運動時，設路線A?/7?「的總路程為/，點P的速度為b,則

S\ocXPQ*OCX(/-?/),因為/,oc,b均是常數(shù)，所以S與t成一次函數(shù)關系.故排除。

故選：人

①點P在0A上運動時，S與t成二次函數(shù)關系；②點P在AB上運動時，此時PQ的面積不變；③點

P在8c上運動時，S減小，S與t的關系為一次函數(shù)，從而排除「.

本題考查了反比例函數(shù)的綜合題和動點問題的函數(shù)圖象，解題的關鍵是根據(jù)點的移動確定函數(shù)的解析式，

從而確定其圖象.

10.【答案】B

第11頁，共22頁

【解析】解：由題意可知，第1次運動到點⑴」）、第2次運動到點，1」））、第3次運動到點（22）、第4

次運動到點島.（））、第5次運動到點”」），

，可得到，第。次運動到點的橫坐標為“1,縱坐標為4次一循環(huán)，循環(huán)規(guī)律為1?（?-2—。一I,

?.?20234-4505……3,

,動點P第2023次運動到點的坐標為（2U22.2i,

故選：B.

本題通過尋找到題目中的循環(huán)規(guī)律來得到縱坐標的規(guī)律，通過規(guī)律來得到橫坐標的規(guī)律，最后求得對應的

點的坐標.

本題通過尋找到題目中的循環(huán)規(guī)律來得到縱坐標的規(guī)律，通過規(guī)律來得到橫坐標的規(guī)律，最后求得對應的

點的坐標.

1L【答案】

【解析】解：*）的圓周角所對的弧長為：（1".

lollH

故答案為：［'J

直接利用弧長公式計算得出即可.

此題主要考查了弧長公式的應用，正確記憶弧長公式是解題關鍵.

12.【答案】k>；

【解析】解：；關于x的一元二次方程人j1（）沒有實數(shù)根，

△=（-1）2-4*<0'

k

解得：A->

*4

故答案為：*'>'

由關于X的一元二次方程比廠'-2/-1-（）沒有實數(shù)根可得出關于k的一元一次不等式組，解不等式組即

可得出結論.

本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，根據(jù)一元二次方程的定義結合根的判別羔<（）,列出

關于k的一元一次不等式組是解題的關鍵.

13.【答案】9

第12頁，共22頁

【解析】解：由圖知，點P在反比例函數(shù)的圖象上，四邊形PC。。是長方形，

X

Sf、VCOD=ki,

???點A、8在反比例函數(shù)m'的圖象上，

X

.0c1。3

一、GiX)D,44OC-jXJ,,,

「四邊形BOAP的面積為6,

/.A：??6+2x=9.

故答案為：9.

根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求解即可求解.

本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，熟知反比例函數(shù)比例系數(shù)k與特殊圖形的面積關系是解答的關

鍵.

14.【答案［2<

【解析】解：由題意可知：3r|<5<3.r,

解得：2<r<8,

故答案為：2<r<8.

根據(jù)圓與圓的位置關系即可求出答案.

本題考查圓與圓的位置關系，解題的關鍵是正確運用圓心寬與兩圓半徑的數(shù)量關系來判斷，本題屬于基礎

題型.

15.【答案】30

【解析】解：???△.A3V'由△Aj3c翻折而成，戶

NNB'AC=ABAC.'

、■

\J

?.7/)平分/斤.4「，n

：.￡B'AD=ZD.4C.

￡BACrZ.DAC90,即:"0."'90,

Z.DAC311,

￡B'AD=30；

???N。'=-90,Z.AEI/-￡CED,

.-.ZB,CD=Z0,.4D=：Me.

第13頁，共22頁

故答案為：：對

先根據(jù)翻折變換的性質得出/斤."'-zn.tr,再由八。平分/斤八廠得出/斤八。LD.XC,再由矩形的

性質得出「的度數(shù)，故可得出的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結論.

本題考查的是翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵.

16.【答案】16-

【解析】解：由圖可知，

2

S2+Sj=7TX2X-=JT,

/.(S1+S3)-(S2+S?)=(16-ITT)-7T

即sS21657T,

故答案為：-5?r.

根據(jù)題意和圖形，可以分別計算出S|?8和S?-S：|的值，然后用(S|-S：|)(S2+S3)即可得到S|-金的

值.

本題考查扇形面積的計算、正方形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答.

17.【答案】①②④⑤

【解析】解：如圖，：四邊形ABC。是正方形,

..CB=CD,ZBCP=2DCP6，

在ABCP和△OC'P中，

CB-=CD

ZBCPZDCT,

CP-CP

/.△BCP^ADCP(S.lSi,

..PBPD,故①正確；

：4EBF15,

..NPBQ=NFCQ=45°,

又：乙PQB一/(.〃，

..*笥“PQ=N"Q,

.BQCQ

PQFQ,

第14頁，共22頁

/.BQC乙PQF,

"BQCsAPQF,

NQPF￡QBC,

?/Z.QBC+ZCFQ-90°,

Z.BPF=乙BPQ+NQPF=Z.CFQ+AQBC-90°,

..ZPZ?F=ZPFB-45°,

/.PBPF,

.?.△OFF為等腰直角三角形，故④正確；

vZEPF-Z￡7V!Hi,

:.E,D,F,P四點共圓，

Z.PEF=/.PDF,

PB-PD-PF,

：.^PDF-Z.PFD,

：/.AEB+Z.DEP=ISO,ZDEP+ZPFDINI,

:.￡AEB-ZPFD,

：.Z.AEB-NHEB,

,BH1.EF,

Z.DAE=Z/?//E=90°,

在和△/?￡〃中，

'ZBAE=ZBHE

<ZAEB-ZHEB

.BE-BE

:.ABHBCDBC,

在RtZiOF〃和RtZkOFC'中，

fBH=BC

(BFBF

..RtZkBFH^RtAZ?FC(///.i,

4BFH-=Z.I3FC,

:乙CBF?_(1BHiI,

2Z.CBF+2ZCTB-180°,

第15頁，共22頁

?:乙EFD+Z.CFH=ZEFD-2^(7/；Hu,

IEFD2ZCBF,故②正確；

將△.1。，繞點8順時針旋轉皿得到△CB/,連接Q丁,

,.￡ABP-Z.CH1,BP37,APCT,

Z.PBT=NA*!M),

;￡EBF15,

/.ZzIBP+ZCBQ=Z.CBT+Z.CBQ-45

"PBQATBQ45,

在△3QP和中，

BP-BT

ZPBQZTBQ

{BQ=BQ

名△3Q八S.IS),

:.PQTQ,

TQ<CQ+CTCQ+AP,

PQ<PA.CQ,故③錯誤；

連接8。，DH,

?.?正方形ABC。的邊長為2,

BD2y/2,BHAB2,

：.DH》BDBH2v22,

?！ǖ淖钚≈禐?、歷-2,故⑤正確.

故答案為：①②④⑤.

①正確.證明△scp絲△oc,ns.ks),可得結論；

②正確.推出NCBF+NrN3!Ml,2ACBF+2Z.CFB=180°,由

AEFD-Z.CFHAEFD-2Z.CFB18(),可得結論；

③錯誤.可以證明PQ<P.4-CQ；

④正確.利用相似三角形的性質證明N3PP!??,可得結論；

⑤正確.求出80,BH,根據(jù)」。。一/?〃，可得結論.

本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會

添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

第16頁，共22頁

18.【答案】解：，」)方程移項得：z24J-1,

配方得：工2lx?I3,即「r2T3,

開方得：J,2-±)

解得：J,I2-卜瓜,Jj2\/3；

(2)方程移項得：(I--1)=0,

分解因式得："-I2)=(),

可得上一1—()或/3(),

解得：〃1,受=3.

【解析】(I)方程常數(shù)項移到右邊，兩邊加上4變形后，開方即可求出解；

(2)方程移項后，提取公因式化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個為。轉化為兩

個一元一次方程來求解.

此題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵.

19.【答案】解：⑴如圖，&4山C為所作；

(2)如圖，為所作.

【解析】，口利用關于x軸對稱的點的坐標特征寫出一九、31、的坐標，然后描點即可；

(2)①把A、B、C的橫縱坐標都乘以2得到」L、3”的坐標，然后描點即可；②把A、8、C的橫縱

坐標都乘以2得到八八。八的坐標，然后描點即可.

本題考查了軸對稱變換和位似變換，解題的關鍵是掌握位似變換的概念，在平面直角坐標系中，如果位似

變換是以原點為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-上

2。【答案】解：(1);共4個通道,

.?.張叔叔從8通道通過的概率為'；

4

第17頁，共22頁

畫樹狀圖如圖:

開始

由上圖可知，共有16種等可能的結果，其中張叔叔和李叔叔從相同通道通過的結果有4種，

，張叔叔和李叔叔從相同通道通過的概率。

1（）4

【解析】“）根據(jù)概率公式計算即可.

（2）利用畫樹狀圖法計算即可.

本題考查概率的計算，熟練掌握畫樹狀圖法是解題的關鍵.

21.【答案】解：，1）當5—時，設水溫*C）與開機時間〃分）的函數(shù)關系式為人心I貼川）,

將⑴.2。）、N1（叫代入y+b中，

f6-20

[8A--b1（MI,

w1k10

解何：Ib20'

，當時，水溫V（,C）與開機時間1（分）的函數(shù)關系式為y10J-+20.

（2）當8/時，設水溫射。與開機時間/（分）的函數(shù)關系式為U：%〃/（））,

m

將（8.1（H））代入!/，中，

1,M?解得：，"WMI,

O

W1M1

二當84上《/時，水溫貝霓）與開機時間X分）的函數(shù)關系式為y

x

,MN）,.c

當yj20時，工1（1,

，圖中t的值為10

.、，,設X）X00

當/3（）時，!/=<3().

而

答：小明上午八點半散步回到家中時，不能喝到飲水機內(nèi)不低于:對廠的水.

【解析】T）根據(jù)一次函數(shù)圖象上兩點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出當（[《，（8時，水溫y（C）與開機

時間〃分）的函數(shù)關系式;

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（2）由點（H.1（M?）,利用待定系數(shù)法即可求出當8《,號」時，水溫M℃）與開機時間了（分）的函數(shù)關系式，

再將U-如代入該函數(shù)關系式中求出X值即可；

（用將J:爐代入反比例函數(shù)關系式中求出y值，再與30比較后即可得出結論.

本題考查了一次函數(shù)的應用、待定系數(shù)法求一次（反比例）函數(shù)解析式以及一次（反比例）函數(shù)圖象上點的坐

標特征，解題的關鍵是：」”艮據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關系式；（力根據(jù)點的坐標，利

用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)關系式；（3）將j2）代入反比例函數(shù)關系式中，求出y值.

22.【答案】（l）DE?OFAD；

9）如圖②，取AD的中點M,連接PM,

:四邊形ABCO為NADC120的菱形，

.\BD=AD,ND.4P=30°,￡ADP=ZCDP=600,

.?.△MOP是等邊三角形，

PM=PD,^PME=ZPDF=(id,

：￡PAM=30,

.-.Z.WPD(Hl,

NQP.V60,

：.￡MPE-乙FPD,

在PE和中，

\PM=PD

INA/PE=ZFPD

.?.△,1/PE四△DPR.IS.4)

:.ME-DF,

：.DEtDF；.IO；

(3)OE+0F=-0；DF-DE

【解析】解：H)正方形A8c。的對角線AC,8。交于點P,

I'.X=PD,/P.4E=ZPDF=15,

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.?￡APE+乙EPD=ADPF+乙EPD=<M),

￡APE=Z.DPF,

在△JPE和中

'Z.APE=ZDPF

<PA=PD

,ZPAE=NPDF

.?.△4PEg△DPF(.l、h,

.AEDF,

：.DE+DFAD；

Q如圖②，取A。的中點M,連接PM,

?.?四邊形/BCD為，ADC12()的菱形,

：.BD=AD,一/M/'311,^ADP=^CDPiin,

.?.△.I/O。是等邊三角形，

PM=PD,ZP.WE=乙PDF=(i(i,

/ZP.4.W31),

ZA/PD=60,

NQP.V,

Z.WPE=ZFPD,

在和△￡>「「中，

'乙PYE="DF

<PM-PD

,Z.MPE-Z.FPD

ZiMPE絲川

：.MEDF,

：.DEtDF；.I0；

(3)如圖，

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B

①當點E落在AD上時，OE+OF

②當點E落在AD的延長線上時，DFDE'.ID.

，:如圖3,取A。中點M,連接P