四川省儀隴縣2023年八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

四川省儀隴縣2023年八上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.已知反比例函數(shù)丁=人圖像經(jīng)過點(diǎn)（2,—3），則下列點(diǎn)中必在此函數(shù)圖像上的是（）

x

A.(2,3)B.(1,6)C.(―1,6)D.(—2,—3)

2.下列因式分解正確的是()

A.x2-9=(x+9)(x-9)B.9x2-4y2=(9x+4y)(9x-4y)

D.-x2-4xy-4y2=-(x+2y)2

3.如圖，四邊形ABCD與四邊形FGHE關(guān)于一個(gè)點(diǎn)成中心對稱，則這個(gè)點(diǎn)是（）

A.OiB.。2C.O3D.O4

4.現(xiàn)實(shí)世界中，對稱現(xiàn)象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對稱性，下列美術(shù)字是軸對稱圖形的是（）

A.誠B.信C.友D.善

5.如圖，在AABC中，ZACB=90°,ZB=15°,DE垂直平分A3,交BC于點(diǎn)E若BE=6,則AC等于（）

A.3B.4C.5D.6

6.篆刻是中國獨(dú)特的傳統(tǒng)藝術(shù)，篆刻出來的藝術(shù)品叫印章.印章的文字刻成凸?fàn)畹姆Q為“陽文”，刻成凹狀的稱為“陰

文”.如圖所示的“希望”即為陽文印章在紙上蓋出的效果，此印章是下列選項(xiàng)中的（陰影表示印章中的實(shí)體部分，

白色表示印章中的鏤空部分）（）

希翟

A.B.

OIc希慳D?蜀前

7.下列四個(gè)標(biāo)志是關(guān)于安全警示的標(biāo)志，在這些標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）

念B企

cA°A

8.已知3°=8,9"=2,則32°-但1+（_3）。的值是（）

A.48B.16C.12D.8

9.以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.4,5,6C.叵百，&D.32,42,52

10.甲、乙兩人同時(shí)分別從A,B兩地沿同一條公路騎自行車到C地.已知A,C兩地間的距離為110千米，B,C兩

地間的距離為100千米.甲騎自行車的平均速度比乙快2千米/時(shí).結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)C地.求兩人的平均速度，為解

決此問題，設(shè)乙騎自行車的平均速度為x千米/時(shí).由題意列出方程.其中正確的是（）

110100110100110100110100

A.-------=——B.——=--------C.-------=D.------=--------

x+2xxx+2x-2xxx-2

二、填空題（每小題3分，共24分）

11.如圖，AD是ABC的外角平分線,ADIIBC,若乙C=70°,則ABAC的度數(shù)為.

13.如圖，已知AABC中，NACB=90°,CD1,AB,垂足為點(diǎn)O,CE是AB邊上的中線，若"=55。，則NEC。

的度數(shù)為____________

14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y=2x+l的圖象經(jīng)過Pi(-1,yi),P2(2,y2)兩點(diǎn)，則yiy2(填“>”

或“〈”或

15.一次函數(shù)的y=-6x+l圖象不經(jīng)過象限.

16.一個(gè)n邊形的內(nèi)角和為1260。，則n=.

17.如圖，ABLBC,DC±BC,垂足分別為6、C,AB=4,3c=6,CD=2,點(diǎn)P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)

BP=時(shí)，形成的RtAABP與RtNPCD空等.

18.如圖，在及AA6C中，ZABC=9Q°,AB=6,AC-10,BC=8,D、￡分別為AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OE

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接8尸、CP,則AfiFC的周長的最小值等于

三、解答題(共66分)

19.(10分)如圖，AC8和EC。都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=90°,。為A3邊上一點(diǎn).

(1)求證：AE=DB；

(2)若AO=2,DB=3),求EO的長.

20.(6分)(1)在等邊三角形ABC中,

n

①如圖①，D,E分別是邊AC,AB上的點(diǎn)，且AE=CD,BD與EC交于前F,則NBEE的度數(shù)是

度；

②如圖②，D,E分別是邊AC,歷1延長線上的點(diǎn)，且AE=CD,8。與EC的延長線交于點(diǎn)尸，此時(shí)莊的

度數(shù)是____________度；

(2)如圖③，在AABC中，AC=BC,NACB是銳角，點(diǎn)。是AC邊的垂直平分線與8C的交點(diǎn)，點(diǎn)、D,E分別

在AC,的延長線上，且AE=CD,BD與EC的延長線交于點(diǎn)P，若NACB=a,求NBEE的大小(用含法戊

的代數(shù)式表示).

21.(6分)在等腰R3ABC中，AB=AC,ZBAC=90°

(1)如圖1,D,E是等腰RtAABC斜邊8C上兩動(dòng)點(diǎn)，且ND4E=45。，將A4BE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，得到AAFC,

連接。尸

①求證：AAE￡)gZ\AbO；

②當(dāng)3E=3,CE=7時(shí)，求OE的長；

(2)如圖2,點(diǎn)O是等腰RtAABC斜邊3c所在直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接A。，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰R3AOE,當(dāng)

30=3,8c=9時(shí)，求。E的長.

22.(8分)求證：等腰三角形兩腰上的中線相等.

(1)請用尺規(guī)作出AABC兩腰上的中線80、CE(保留痕跡，不寫作法)；

(2)結(jié)合圖形，寫出已知、求證和證明過程.

4A

B'C

23.（8分）閱讀解答題：

（幾何概型）

條件：如圖1：A,3是直線/同旁的兩個(gè)定點(diǎn).

問題：在直線/上確定一點(diǎn)P,使7U+尸3的值最??；

方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線/對稱點(diǎn)4,連接交/于點(diǎn)P,則/N+PBuAP+PBuAM,

如圖2所示：兩村A,3在一條河CD的同側(cè)，A3兩村到河邊CD的距離分別是AC=1千米,5。=3千米，CD=3

千米，現(xiàn)要在河邊。上建造一水廠，向A8兩村送水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米20000元，請你在CD上選擇

水廠位置，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出最省的鋪設(shè)水管的費(fèi)用W.

（拓展延伸）

如圖，AABC中，點(diǎn)。在邊上，過。作。EL3c交AB于點(diǎn)E,P為。C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接,若上4+PE

最小，則點(diǎn)尸應(yīng)該滿足（）（唯一選項(xiàng)正確）

A.ZAPC^ZEPDB.PA=PE

C.ZAPE=90°D.ZAPC=ZDPE

24.（8分）先化簡，再求值：4（x-1）2-（2x+3）（2x-3）,其中x=-1.

25.（10分）某區(qū)的校辦工廠承擔(dān)了為全區(qū)七年級(jí)新生制作夏季校服3000套的任務(wù)，為了確保這批新生在開學(xué)時(shí)準(zhǔn)時(shí)

穿上校服，加快了生產(chǎn)速度，實(shí)際比原計(jì)劃每天多生產(chǎn)50%,結(jié)果提前2天圓滿完成了任務(wù)，求實(shí)際每天生產(chǎn)校服多

少套.

26.（10分）閱讀探索題：

（1）如圖1,OP是NMON的平分線，以。為圓心任意長為半徑作弧，分別交射線ON、OM于C、B兩點(diǎn)，在射線

OP上任取一點(diǎn)A（點(diǎn)。除外），連接AB、AC.求證：AAOB^△AOC.

（2）請你參考以上方法，解答下列問題：

如圖2,在RtAABC中，ZACB=90°,ZA=60°,CD平分NACB,試判斷BC和AC、AD之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

D

圖2

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1、C

【解析】先根據(jù)反比例函數(shù)y=月經(jīng)過點(diǎn)（2,-3）求出k的值，再對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】?.?反比例函數(shù)y=&經(jīng)過點(diǎn)（2,-3）,

A、???2x3=1齊1,.?.此點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、?.Txl=lA1,.?.此點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、（-1）xl=-l,.?.此點(diǎn)在函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)正確；

D,V（-2）x（-3）=1A1,??.此點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此

題的關(guān)鍵.

2、D

【分析】利用"一〃=（〃+?（〃—9以及片±2"+/=（々±4進(jìn)行因式分解判斷即可.

【詳解】A.原式二(x+3)(x-3),選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.原式二(3x+2y)(3x-2y),選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.原式二(X-')2,選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2

D.原式=-(x2+4xy+4y2)=-(x+2y)2,選項(xiàng)正確.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了因式分解，熟練掌握相關(guān)公式是解題關(guān)鍵.

3、A

【分析】連接任意兩對對應(yīng)點(diǎn)，連線的交點(diǎn)即為對稱中心.

【詳解】如圖，連接HC和DE交于Oi,

故選A.

【點(diǎn)睛】

此題考查了中心對稱的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解成中心對稱的兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對稱中心，難度不大.

4、D

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念逐一進(jìn)行分析即可得.

【詳解】A.不是軸對稱圖形，故不符合題意；

B.不是軸對稱圖形，故不符合題意；

C.不是軸對稱圖形，故不符合題意；

D.是軸對稱圖形，符合題意，

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了軸對稱圖形的識(shí)別，熟知“平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形是軸對

稱圖形”是解題的關(guān)鍵.

5、A

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得出AE=BE=6,再由三角形外角的性質(zhì)得出NAEC=NABE+NBAE=30。，最后由

含30。的直角三角形的性質(zhì)得出AC的值即可.

【詳解】解：???￡)￡垂直平分AB,BE=6

AE=BE=6,

又/B=15。

AZABE=ZBAE=15O,

JZAEC=ZABE+ZBAE=30°,

又丁ZACB=90°

???在RTZ\AEC中，AC=-AE=3

2

故答案為：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)、含30。的直角三角形的性質(zhì)，熟知上述幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6、D

【分析】可看成鏡面對稱，根據(jù)鏡面對稱的規(guī)律：鏡子中看到的文字與實(shí)際文字是關(guān)于鏡面成垂直的線對稱，即可判

斷.

【詳解】解：易得“望”字應(yīng)在左邊，“?！弊謶?yīng)在右邊，字以外的部分為鏤空部分，

故選D.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是鏡面對稱，掌握鏡面對稱的規(guī)律是解決此題的關(guān)鍵.

7、B

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對

稱圖形，這條直線叫做對稱軸可得答案.

【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)正確；

C、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選:B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的概念.

8、A

【分析】先把9〃=2化成32〃=2,再計(jì)算即可.

【詳解】先把9〃=2化成32&=2,

原式=32。+3%><31

=82-22X3

=48,

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題是對同底數(shù)塞乘除的考查，熟練掌握整式的乘除是解決本題的關(guān)鍵.

9、C

【解析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)是直角三角形判定則可.如

果有這種關(guān)系，這個(gè)就是直角三角形.

【詳解】解：4、?.?12+22再2,.?.該三角形不是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

5、???42+52#62,.?.該三角形不是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

c、?.?（、歷『+（百『=（6『，.?.該三角形是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；

。、???（32）2+（42）2彳（52）2,.?.該三角形不是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選C.

【點(diǎn)睛】

考查勾股定理的逆定理,:如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)是直角三角形.

10、A

【解析】設(shè)乙騎自行車的平均速度為X千米/時(shí)，則甲騎自行車的平均速度為（x+2）千米/時(shí)，根據(jù)題意可得等量關(guān)系:

甲騎110千米所用時(shí)間=乙騎100千米所用時(shí)間，根據(jù)等量關(guān)系可列出方程即可.

解：設(shè)乙騎自行車的平均速度為x千米/時(shí)，由題意得：

110_ioo

x+2%'

故選A.

二、填空題（每小題3分，共24分）

11、40°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/CAD=NC,根據(jù)角平分線的定義可得NEAD=/CAD,再根據(jù)平角的定義求解即可.

【詳解】解：???AD〃BC,ZC=70°,

.\ZCAD=ZC=70o,

VAD平分NCAE,

AZEAD=ZCAD=70°,

:.ZBAC=1800-ZEAD-ZCAD=40°.

故答案為：40°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，屬于基本題型，熟練掌握基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

12、1

【解析】根據(jù)比例的性質(zhì)即可求解.

【詳解】V,.??x=3y,???原式==1.

-=3''

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是得出x=3y.

13、20?

【分析】本題可利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求證邊等，并結(jié)合直角互余性質(zhì)求解對應(yīng)角度解題即可.

【詳解】?.?NACB=90?,CE是AB邊上的中線，

；.EA=EC=EB,

又???/B=55?,

，NACE=NA=35?,

,：CDA.AB,

AZDCB=35?.

故NECD=ZACS—ZACE—"CB=90?—35?—35?=20?.

故填：20?.

【點(diǎn)睛】

本題考查直角三角形性質(zhì)，考查“斜中半”定理，角度關(guān)系則主要通過直角互余性質(zhì)求解即可.

14、<

【分析】根據(jù)函數(shù)的增減性即可得出答案.

【詳解】???一次函數(shù)y=2x+l,k=2>0

???y隨x的增大而增大，

V-l<2

***yi<y2

故填：<.

【點(diǎn)睛】

本題考查一次函數(shù)的增減性，當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小.

15、第三

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象特點(diǎn)即可得.

【詳解】.一次函數(shù)y=—6x+l中的左=—6<03=1>0,

,其圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，

故答案為：第三.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)的圖象特點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

16、1

【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：由一個(gè)n邊形的內(nèi)角和為1260。，則有：

(〃-2)x180。=1260。，

解得：n=9,

故答案為L

【點(diǎn)睛】

本題主要考查多邊形內(nèi)角和，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.

17、1

【分析】當(dāng)BP=1時(shí),RtAABP^RtAPCD,由BC=6可得CP=4,進(jìn)而可得AB=CP,BP=CD,再結(jié)合AB±BC,DC±BC

可得NB=NC=90。，可利用SAS判定△ABPgZ\PCD.

【詳解】解：當(dāng)BP=1時(shí)，RtAABP^RtAPCD,

VBC=6,BP=1,

/.PC=4,

.\AB=CP,

VAB±BC,DC1BC,

/.ZB=ZC=90°,

在AABP和APCD中

AB=PC

<ZB=ZC=90°,

BP=CD

.,.△ABP^APCD(SAS),

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS,ASA、AAS和HL）是解題的關(guān)鍵.

18、1

【分析】由題意可得：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，ABPC的周長有最小值，即為AC+BC的長度，由此進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】???NABC=9（T,D、E分另!|為AB、AC的中點(diǎn)，

ADE1AB,

ADE是線段AB的垂直平分線，

二當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，ABPC的周長的最小值；BE=AE,如圖所示：

ABPC的周長=EC+BE+BC=AC+BC,

又；AC=10,BC=8,

/.ABPC的周長=10+8=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

考查了軸對稱-最短路線問題，解題關(guān)鍵利用線段垂直平分線和兩點(diǎn)之間線段最短得到點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，ABPC的周

長有最小值.

三、解答題（共66分）

19、（1）見解析；（2）V13

【分析】（1）根據(jù)兩邊及夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等即可得證；

（2）只要證明NEAZ>=90°,AE=BD=3,AD=2,根據(jù)勾股定理即可計(jì)算.

【詳解】（1）證明：：ACB和EC。都是等腰直角三角形，

：.AC=BC,CE=CD,

,/ZACB=ZECD=90°,

：.ZACB-ZACD=ZECD-ZACD,

即/BCD=NACE.

在ACE和5c。中，

AC=BC

<NACE=ZBCD,

CE=CD

:.AACEmABCDISAS),

；?AE=DB.

(2)解?；△4CB是等腰直角三角形，

：.ZB=ZBAC=45°.

'：AACE^_BCD,

ZB=ZCAE=45°,

：.ZDAE=ZCAE+ABAC=45°+45°=90°,

**-AD2+AE2=DE2-

,/AE=DB,

：?AD2+DB2=DE2-

VAD=2,DB=3,

DE=A/22+32=A/13?

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題,

發(fā)現(xiàn)NEAO=90°是解題的突破口.

20、(1)60；(2)60；(3)NBFE=a

【分析】(1)①只要證明4ACEg4CBD,可得NACE=NCBD,推出

ZBFE=ZCBD+ZBCF=ZACE+ZBCF=ZBCA=60°；

②只要證明△ACEgACBD,可得NACE=NCBD=NDCF,即可推出

ZBFE=ZD+ZDCF=ZD+ZCBD=ZBCA=60°；

(2)只要證明AAEC義ACDB,可得NE=ND,即可推出NBFE=ND+NDCF=NE+NECA=NOAC=a.

【詳解】解：(1)①如圖①中，

D

4EB

圖①

,/△ABC是等邊三角形，

/.AC=CB,ZA=ZBCD=60°,

VAE=CD,

/.△ACE^ACBD,

.,.ZACE=ZCBD,

:.ZBFE=ZCBD+ZBCF=ZACE+ZBCF=ZBCA=60°.

故答案為60；

②如圖②，

/)

圖②

VAABC是等邊三角形，

.\AC=CB,ZA=ZBCD=60°,

.,.ZCAE=ZBCD=Z120°

；AE=CD,

.,.△ACE^ACBD,

:.ZACE=ZCBD=ZDCF,

ZBFE=ZD+ZDCF=ZD+ZCBD=ZBCA=60°.

故答案為60；

(2)如圖③中，

D.

點(diǎn)。是AC邊的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，

OC=OA，

NQ4c=AACO=cc

AEAC=ZDCB=180°-?,

AC=BC,AE=CD,

：./\AEC=ACDB,

:.NE=ND,

:.ZBFE=ZD+ZDCF=ZE+ZECA=ZOAC=a.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和判定以及等邊三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題.

29

21、(1)①見解析；②DE=目；(2)OE的值為3逐或3Jj萬

【分析】(1)①先證明NOAE=NZMF,結(jié)合。4=04,AE=AF,即可證明；②如圖1中，設(shè)Z>E=x,則CD=1-x.在

RtAOC尸中，由。尸=。2+(7產(chǎn)，CF=BE=3,可得好=(7-x)2+32,解方程即可；

(2)分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)E在線段8c上時(shí)，如圖2中，連接8E.由△&1￡)g△AOC,推出NA8E=NC=NA5C=

45°,EB=CD=5,推出NE3O=90°,推出即可解決問題；②當(dāng)點(diǎn)。在C8的延長線

上時(shí)，如圖3中，同法可得。疹=1.

【詳解】(1)①如圖1中，

?.?將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到AA尸C,

：./\BAE^/\CAF,

：.AE=AF,ZBAE=ZCAF,

；N5AC=90°,NEAZ)=45°,

:.ZCAD+ZBAE=ZCAD+ZCAF=45°,

ZDAE^ZDAF,

\"DA=DA,AE=AF,

：.AAED^AAFD(SAS)；

②如圖1中，設(shè)OE=x,則CD=7-x.

*：AB=AC9ZBAC=90°9

：.ZB=ZACB=45°9

■:ZABE=ZACF=45°9

：.ZPCF=90°,

9：AAED^AAFD(SAS),

*.DE=DF=x,

222

???在RtADC尸中，DF=CD+CF9CF=BE=3f

/.^=(7-x)2+32,

29

.\x=—，

7

9

(2)：BD=39BC=9,

???分兩種情況如下：

①當(dāng)點(diǎn)￡在線段5C上時(shí)，如圖2中，連接

,:ZBAC=ZEAD=9Q°9

:.ZEAB=ZDAC9

9：AE=AD9AB=AC9

：.AEAB^ADAC(SAS),

:.ZABE=ZC=ZABC=45°,EB=CD=9-3=6f

：.ZEBD=9Q09

22222

：.DE=BE+BL>=6+3=459

:.DE=3下；

②當(dāng)點(diǎn)。在C3的延長線上時(shí)，如圖3中，連接5E.

同理可證△Z>5E是直角三角形，EB=CD=3+9=12,DB=3,

：.DE2=￡B2+BD2=144+9=1,

DE=3J17,

綜上所述，。岳的值為36或3，萬.

E

E

BD

【點(diǎn)睛】

本題主要考查旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)以及勾股定理，添加輔助線，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等模型，是解題的

關(guān)鍵.

22、（1）作圖見解析；（2）見解析.

【分析】（1）分別作AB、AC的垂直平分線得到AB、AC的中點(diǎn)E、D,從而得到AB、AC邊上的中線CE、BD；

（2）結(jié)合圖形寫出已知，求證，然后再根據(jù)已知和圖形進(jìn)行證明.可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出相關(guān)的等角或相等的

線段：DC=BE,ZDCB=ZEBC,BC=CB,可證明△BDCgACEB,所以BD=CE,即等腰三角形的兩腰上的中線相

等.

【詳解】（1）如圖，CE、8。分別為AB、AC邊上的中線；

BC

(2)已知：Z\ABC中，AB=AC,AD=DC,AE=EB,

求證：BD=CE.

證明：VAB=AC,AD=DC,AE=EB,

,\AD=AE,

AB=AC

在^ABD與4ACE中<NBAD=ZCAE,

AD=AE

.,.△ABD三△ACE(SAS).

/.BD=CE.

即等腰三角形的兩腰上的中線相等.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和文字證明題的相關(guān)步驟以及作圖-基本作圖.要注意文字證明題的一般步驟是：①

根據(jù)題意作圖，②根據(jù)圖形寫出已知、求證，③證明.

23、【模型應(yīng)用】圖見解析，最省的鋪設(shè)管道費(fèi)用是10000元；【拓展延伸】D

【分析】1.【模型應(yīng)用】由于鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米15000元，是一個(gè)定值，現(xiàn)在要在CD上選擇水廠位置，

使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，意思是在CD上找一點(diǎn)P,使AP與BP的和最小，設(shè)A'是A的對稱點(diǎn)，使AP+BP最短就是

使AP+卸5最短.

2.【拓展延伸】作點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)F,連接AF交BC于P,此時(shí)PA+PE的值最小，依據(jù)軸對稱的性質(zhì)即

可得至!]NAPC=NDPE.

【詳解】1.【模型應(yīng)用】

如圖所示.延長AC到A,使C4'=AC,連接加交CD于點(diǎn)P,

點(diǎn)P就是所選擇的位置.

一/

g/D_

二二；二二二二二二二二二二:

::■1:二二二二二二二二二二二二早二：：：：：:

圖2'

過A'作ANLBD交5。延長線于點(diǎn)N，

VAC±CD,BDLCD,

二四邊形ANDC是矩形，

AN=CD=3,ND=AC=1,

在直角三角形中，融=3+1=4,4"=3,

AB=JW+AM=V9+16=5千米，

/.最短路線AP+3