2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 空間向量與立體幾何 講義

空間向量與立體幾何一一講義

第01講空間向量及其運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一：空間向量的有關(guān)概念

1.空間向量

(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量.

⑵長(zhǎng)度或模：空間向量的大小.

(3)表示方法：

①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；

②字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量a的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是8,也可記作：AB,其模記為⑷或|盛

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

(1)空間中點(diǎn)的一個(gè)平移就是一個(gè)向量；

(2)數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間

內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。

2.幾類常見(jiàn)的空間向量

名稱方向模記法

零向量任意00

單位向量任意1

_

a的相反向重：—a

相反向量相反相等—>—>

AB的相反向量：BA

相等向量相同相等a=b

知識(shí)點(diǎn)二：空間向量的線性運(yùn)算

(1)向量的加法、減法

—>—>—>

加法

空間向量的OB=OA+OC=a+b

—>—>—>

運(yùn)算減法

CA=OA~OC=a~b0aA

①交換律：a+b=b+a

加法運(yùn)算律

②結(jié)合律：(a+b')+c=a+(b+c')

(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

①定義：實(shí)數(shù)九與空間向量a的乘積而仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.

當(dāng)X>0時(shí)，解與向量。方向相同；

當(dāng)入<0時(shí)，解與向量。方向相反；

當(dāng)入=0時(shí)，3=0；貓的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的囚倍.

②運(yùn)算律

結(jié)合律：A4Mi)=〃(Xa)=(M)a.

分配律：Q+M)a=Mt+〃a,X(a+fe)=Xa+XZ>.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

(1)空間向量的運(yùn)算是平面向量運(yùn)算的延展，空間向量的加法運(yùn)算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則.而且

滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運(yùn)算，可以將向量合并；

(2)向量的減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，滿足三角形法則.

(3)空間向量加法的運(yùn)算的小技巧：

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量,

即：44+4A+A4++4_4=44

因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；

②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量，

即：A4+AA+A4++4-4+44=。；

知識(shí)點(diǎn)三：共線問(wèn)題

共線向量

(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.

(2)方向向量：在直線/上取非零向量0,與向量a平行的非零向量稱為直線/的方向向量.

規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a,都有0〃a.

⑶共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a,優(yōu)厚0),。〃方的充要條件是存在實(shí)數(shù)兒使。=肪.

(4)如圖，。是直線/上一點(diǎn)，在直線/上取非零向量a,則對(duì)于直線/上任意一點(diǎn)P,由數(shù)乘向量定義及向量共線

的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)九，使得分=版.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：此定理可分解為以下兩個(gè)命題：

(1)°//灰620)0存在唯一實(shí)數(shù)/1,使得a=4b；

(2)存在唯一實(shí)數(shù)4,使得°=助9*0),則a//6.

注意：b不可丟掉，否則實(shí)數(shù)力就不唯一.

(3)共線向量定理的用途：

①判定兩條直線平行；(進(jìn)而證線面平行)

②證明三點(diǎn)共線。

注意：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以

得到線線平行，這是證明平行問(wèn)題的一種重要方法。證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即

可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn)。

知識(shí)點(diǎn)四：向量共面問(wèn)題

共面向量

(1)定義：平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量.

(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量”，6不共線，則向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)

y)，使。=雙+油.

____>-->-->-->

(3)空間一點(diǎn)尸位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使AP=xAB+yAC或?qū)臻g任意一點(diǎn)O,有0P

-->-->-->

^OA+xAB+yAC.

(4)共面向量定理的用途：

①證明四點(diǎn)共面

②線面平行(進(jìn)而證面面平行)。

知識(shí)點(diǎn)五：空間向量數(shù)量積的運(yùn)算

空間向量的數(shù)量積

(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a|161cos〈a,b}叫做a,占的數(shù)量積，記作即。仍=|a||臼cos{a,b).

規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.

(2)常用結(jié)論(a,5為非零向量)

①a=0.

②。a=|a||a|cos(a,a)=|a|2.

③cos〈a,b)=獻(xiàn)

(3)數(shù)量積的運(yùn)算律

數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(丸〃)?一=2(〃?5)—)

交換律ab=ba

分配律a(b+c)=ab+ac

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

(1)由于空間任意兩個(gè)向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個(gè)向量的夾角的定義和取值范圍、兩個(gè)向量垂直

的定義和表示符號(hào)及向量的模的概念和表示符號(hào)等，都與平面向量相同.

(2)兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號(hào)由夾角的

余弦值決定.

(3)兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩向量的點(diǎn)乘，與以前學(xué)過(guò)的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書(shū)寫(xiě)時(shí)一定要將它們區(qū)別

開(kāi)來(lái)，不可混淆.

知識(shí)點(diǎn)六：利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系

當(dāng)“_1/?時(shí)，ab=0.

知識(shí)點(diǎn)七：夾角問(wèn)題

L定義：已知兩個(gè)非零向量d、b,在空間任取一點(diǎn)D,作。4=凡。8=人，則NAOB叫做向量2與6的夾角,

記作〈。,方〉,如下圖。

根據(jù)空間兩個(gè)向量數(shù)量積的定義：a-b=同網(wǎng)cos〈a,?！?

那么空間兩個(gè)向量a、b的夾角的余弦cos〈a,b〉="^。

\a\-\b\

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

(1)規(guī)定:0<(a,b)<7i

(2)特別地，如果〈?？凇?0,那么〃與b同向；如果〈。力〉=萬(wàn)，那么。與匕反向;如果〈。/〉=90°,那么。與b

垂直，記作aLba

2.利用空間向量求異面直線所成的角

異面直線所成的角可以通過(guò)選取直線的方向向量，計(jì)算兩個(gè)方向向量的夾角得到。

在求異面直線所成的角時(shí)，應(yīng)注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面

直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補(bǔ)角。

知識(shí)點(diǎn)八：空間向量的長(zhǎng)度

1.定義：

在空間兩個(gè)向量的數(shù)量積中，特別地0a=|4同8$0。=同°,所以向量。的模：產(chǎn)

將其推廣：

\a+b\=^/(a±￡>)2—\la2+2a-b+b2；\a+b+c\—\](a+b+c')2=\/a2+b2+c2+2a-b+2b-c+2c-a。

2.利用向量求線段的長(zhǎng)度。

將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問(wèn)題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用同2=/

來(lái)求解。

第02講空間向量基本定理

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)01：空間向量基本定理及樣關(guān)概念的理解

空間向量基本定理：

如果空間中的三個(gè)向量a，b,e不共面，那么對(duì)空間中的任意一個(gè)向量P，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使

得°=陽(yáng)+地+2d其中，空間中不共面的三個(gè)向量0，b，4組成的集合｛“，6，c｝，常稱為空間向量的一組基底.

此時(shí)，a,6，c都稱為基向量；如果p—xa+yb+zc，則稱尤a++zc為p在基底｛。，匕，d｝下的分解式.

知識(shí)點(diǎn)2：空間向量的正交分解

單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪保议L(zhǎng)度都為1,那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，

常用｛『,7,4｝表示.

正交分解：把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.

知識(shí)點(diǎn)3：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問(wèn)題

用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

(1)用已知向量來(lái)表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向

末尾向量的終點(diǎn)的向量.

(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立

第03講空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一、空間直角坐標(biāo)系

1.空間直角坐標(biāo)系

從空間某一定點(diǎn)。引三條互相垂直且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz,點(diǎn)。叫做坐

標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別是％。y平面、yOz平面、zOx

平面.

2.右手直角坐標(biāo)系

在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向尤軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱

這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.

3.空間點(diǎn)的坐標(biāo)

空間一點(diǎn)A的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(無(wú)，y,z)來(lái)表示，有序數(shù)組(x,y,z)叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作A(尤，y,z),其中x

叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).

知識(shí)點(diǎn)二、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)

L空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法

通過(guò)該點(diǎn)，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點(diǎn)，交點(diǎn)在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點(diǎn)相應(yīng)的

一個(gè)坐標(biāo).

特殊點(diǎn)的坐標(biāo)：原點(diǎn)(0,0,0)；x,y,z軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z)；坐標(biāo)平面yOz,xOz

上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z).

2.空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)

在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸（x,y,z）,則有

點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是片（―x,—y,—z）；

點(diǎn)P關(guān)于橫軸（x軸）的對(duì)稱點(diǎn)是P,（x,-j,-z）；

點(diǎn)P關(guān)于縱軸（y軸）的對(duì)稱點(diǎn)是片（-%,%—z）；

點(diǎn)P關(guān)于豎軸（z軸）的對(duì)稱點(diǎn)是P4（―尤,—％z）；

點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)是P5（x,y,-z）；

點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)是穌（-%,y,z）；

點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面xOz的對(duì)稱點(diǎn)是P,（羽-y,z）.

知識(shí)點(diǎn)三、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

（1）空間兩點(diǎn)的距離公式

若人（%,如4）,3（%2，%/2）,則

①AB=08-OA=（%,%，Z2）-（庫(kù)加4）=（%-冷%-X，Z2）

即:一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。

②IA51-dAB--xj+（8-%）+（Z2-2（，

或J（尤2—%）2+（為一%）2+（22-21）2.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：兩點(diǎn)間距離公式是模長(zhǎng)公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量的坐標(biāo)表示，然后再用模長(zhǎng)

公式推出。

（2）空間線段中點(diǎn)坐標(biāo)

空間中有兩點(diǎn)人（%,％,21）,3（%2，y2,22），則線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為一；”,；丁2,4；Z?.

（3）向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算

若a=（石,乂，4）/=（%,%*2），則

①0+Z?=（%+%2，X+%，Z1+Z2）；

②&_/?=（七一/，弘一%，4_22）；

③4〃二（公,/1n1，以）（2￡尺）；

（4）向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

若a=（玉,X，zJ,Z?=（無(wú)2，%，Z2），則

a-b=x1x2+yly2+ziz2

即：空間兩個(gè)向量的數(shù)量積等于他們的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。

（5）空間向量長(zhǎng)度及兩向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式

若a=b二也四山）,則

(1)|a|=>Ja-a=Qa；+a；1=\/bb=yjbf+b1+bj.

,.,a-b%。+a2b2+a3b3/n,c、

(2)cos<?-b)=---------I,1-2),33(a#o力w0).

\a\-\b\Ja；+ag+a；?Jb；++b：

知識(shí)點(diǎn)詮釋:

①夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出:

n?h

a-b=|a||Z?|cos〈a-?！?>cos〈a-。〉=-------,其中。的范圍是［0,萬(wàn)］

1。1皿1

②（AC,BD）=g<AC,DB）=7L—『<CA,BD>=?！?=<CA,DB>=6.

③用此公式求異面直線所成角等角度時(shí)，要注意所求角度與0的關(guān)系（相等，互余，互補(bǔ)）。

（6）空間向量平行和垂直的條件

若a=（%,%,&）,b=也也加3），則

①a//〃=d=460為=AX2,%=,z；=2z,(2e7?)<?—=-=—豐0)

9%Z2

②a_LZ?<^>a-b=0<=>x1x2+%%+Z］Z,=0

規(guī)定：0與任意空間向量平行或垂直

作用：證明線線平行、線線垂直.

第04講空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一、空間直角坐標(biāo)系

1.空間直角坐標(biāo)系

從空間某一定點(diǎn)。引三條互相垂直且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz,點(diǎn)。叫做坐

標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別是％Qy平面、yOz平面、zOx

平面.

2.右手直角坐標(biāo)系

在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向尤軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱

這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.

3.空間點(diǎn)的坐標(biāo)

空間一點(diǎn)A的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(x,y,z)來(lái)表示，有序數(shù)組(x,y,z)叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作A(x,y,z),其中x

叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).

知識(shí)點(diǎn)二、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)

1.空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法

通過(guò)該點(diǎn)，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點(diǎn)，交點(diǎn)在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點(diǎn)相應(yīng)的

一個(gè)坐標(biāo).

特殊點(diǎn)的坐標(biāo)：原點(diǎn)(0,0,0)；x,y,z軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z)；坐標(biāo)平面yOz,xOz

上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z).

2.空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)

在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y,z),則有

點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是A-z)；

點(diǎn)P關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱點(diǎn)是鳥(niǎo)(羽一y,-z)；

點(diǎn)P關(guān)于縱軸。軸)的對(duì)稱點(diǎn)是g(-x,y,-z)；

點(diǎn)P關(guān)于豎軸(z軸)的對(duì)稱點(diǎn)是且(-x,-y,z)；

點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)是居(九,y,-z)；

點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)是Pb(-九,y,z)；

點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面xOz的對(duì)稱點(diǎn)是P,(x,-y,z).

知識(shí)點(diǎn)三、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)空間兩點(diǎn)的距離公式

若人(%,%烏),5(孫%，&)，則

①=05-OA=(8%，Z2)-4)=(%-/%-X，Z2-4)

即:一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。

②IA31=4AB~=—七)2+(V2-+伍-zj2,

或+(Z2—Zj2.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：兩點(diǎn)間距離公式是模長(zhǎng)公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量A8的坐標(biāo)表示，然后再用模長(zhǎng)

公式推出。

（2）空間線段中點(diǎn)坐標(biāo)

空間中有兩點(diǎn)人（不，乂,21）,3（%2，%，22），則線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為~

\2

（3）向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)