2024高考數學一輪復習 空間向量與立體幾何 講義

空間向量與立體幾何一一講義

第01講空間向量及其運算

【知識點梳理】

知識點一：空間向量的有關概念

1.空間向量

(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量.

⑵長度或模：空間向量的大小.

(3)表示方法：

①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；

②字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量a的起點是A,終點是8,也可記作：AB,其模記為⑷或|盛

知識點詮釋：

(1)空間中點的一個平移就是一個向量；

(2)數學中討論的向量與向量的起點無關，只與大小和方向有關，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間

內任意平移，故我們稱之為自由向量。

2.幾類常見的空間向量

名稱方向模記法

零向量任意00

單位向量任意1

_

a的相反向重：—a

相反向量相反相等—>—>

AB的相反向量：BA

相等向量相同相等a=b

知識點二：空間向量的線性運算

(1)向量的加法、減法

—>—>—>

加法

空間向量的OB=OA+OC=a+b

—>—>—>

運算減法

CA=OA~OC=a~b0aA

①交換律：a+b=b+a

加法運算律

②結合律：(a+b')+c=a+(b+c')

(2)空間向量的數乘運算

①定義：實數九與空間向量a的乘積而仍然是一個向量，稱為向量的數乘運算.

當X>0時，解與向量。方向相同；

當入<0時，解與向量。方向相反；

當入=0時，3=0；貓的長度是a的長度的囚倍.

②運算律

結合律：A4Mi)=〃(Xa)=(M)a.

分配律：Q+M)a=Mt+〃a,X(a+fe)=Xa+XZ>.

知識點詮釋：

(1)空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則.而且

滿足交換律、結合律，這樣就可以自由結合運算，可以將向量合并；

(2)向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則.

(3)空間向量加法的運算的小技巧：

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量,

即：44+4A+A4++4_4=44

因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量；

②首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，

即：A4+AA+A4++4-4+44=。；

知識點三：共線問題

共線向量

(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量.

(2)方向向量：在直線/上取非零向量0,與向量a平行的非零向量稱為直線/的方向向量.

規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a,都有0〃a.

⑶共線向量定理：對于空間任意兩個向量a,優(yōu)厚0),?！ǚ降某湟獥l件是存在實數兒使。=肪.

(4)如圖，。是直線/上一點，在直線/上取非零向量a,則對于直線/上任意一點P,由數乘向量定義及向量共線

的充要條件可知，存在實數九，使得分=版.

知識點詮釋：此定理可分解為以下兩個命題：

(1)°//灰620)0存在唯一實數/1,使得a=4b；

(2)存在唯一實數4,使得°=助9*0),則a//6.

注意：b不可丟掉，否則實數力就不唯一.

(3)共線向量定理的用途：

①判定兩條直線平行；(進而證線面平行)

②證明三點共線。

注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以

得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即

可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點。

知識點四：向量共面問題

共面向量

(1)定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量.

(2)共面向量定理：若兩個向量”，6不共線，則向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對

y)，使。=雙+油.

____>-->-->-->

(3)空間一點尸位于平面ABC內的充要條件：存在有序實數對(x,y),使AP=xAB+yAC或對空間任意一點O,有0P

-->-->-->

^OA+xAB+yAC.

(4)共面向量定理的用途：

①證明四點共面

②線面平行(進而證面面平行)。

知識點五：空間向量數量積的運算

空間向量的數量積

(1)定義：已知兩個非零向量a,b,則|a|161cos〈a,b}叫做a,占的數量積，記作即。仍=|a||臼cos{a,b).

規(guī)定：零向量與任何向量的數量積為0.

(2)常用結論(a,5為非零向量)

①a=0.

②。a=|a||a|cos(a,a)=|a|2.

③cos〈a,b)=獻

(3)數量積的運算律

數乘向量與數量積的結合律(丸〃)?一=2(〃?5)—)

交換律ab=ba

分配律a(b+c)=ab+ac

知識點詮釋：

(1)由于空間任意兩個向量都可以轉化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直

的定義和表示符號及向量的模的概念和表示符號等，都與平面向量相同.

(2)兩向量的數量積，其結果是數而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的

余弦值決定.

(3)兩個向量的數量積是兩向量的點乘，與以前學過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時一定要將它們區(qū)別

開來，不可混淆.

知識點六：利用數量積證明空間垂直關系

當“_1/?時，ab=0.

知識點七：夾角問題

L定義：已知兩個非零向量d、b,在空間任取一點D,作。4=凡。8=人，則NAOB叫做向量2與6的夾角,

記作〈。,方〉,如下圖。

根據空間兩個向量數量積的定義：a-b=同網cos〈a,?！?

那么空間兩個向量a、b的夾角的余弦cos〈a,b〉="^。

\a\-\b\

知識點詮釋：

(1)規(guī)定:0<(a,b)<7i

(2)特別地，如果〈。口〉=0,那么〃與b同向；如果〈。力〉=萬，那么。與匕反向;如果〈。/〉=90°,那么。與b

垂直，記作aLba

2.利用空間向量求異面直線所成的角

異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計算兩個方向向量的夾角得到。

在求異面直線所成的角時，應注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面

直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補角。

知識點八：空間向量的長度

1.定義：

在空間兩個向量的數量積中，特別地0a=|4同8$0。=同°,所以向量。的模：產

將其推廣：

\a+b\=^/(a±￡>)2—\la2+2a-b+b2；\a+b+c\—\](a+b+c')2=\/a2+b2+c2+2a-b+2b-c+2c-a。

2.利用向量求線段的長度。

將所求線段用向量表示，轉化為求向量的模的問題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用同2=/

來求解。

第02講空間向量基本定理

【知識點梳理】

知識點01：空間向量基本定理及樣關概念的理解

空間向量基本定理：

如果空間中的三個向量a，b,e不共面，那么對空間中的任意一個向量P，存在唯一的有序實數組(x,y,z),使

得°=陽+地+2d其中，空間中不共面的三個向量0，b，4組成的集合｛“，6，c｝，常稱為空間向量的一組基底.

此時，a,6，c都稱為基向量；如果p—xa+yb+zc，則稱尤a++zc為p在基底｛。，匕，d｝下的分解式.

知識點2：空間向量的正交分解

單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1,那么這個基底叫做單位正交基底，

常用｛『,7,4｝表示.

正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.

知識點3：用空間向量基本定理解決相關的幾何問題

用已知向量表示某一向量的三個關鍵點：

(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結合圖形，以圖形為指導是解題的關鍵.

(2)要正確理解向量加法、減法與數乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向

末尾向量的終點的向量.

(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立

第03講空間向量及其運算的坐標表示

【知識點梳理】

知識點一、空間直角坐標系

1.空間直角坐標系

從空間某一定點。引三條互相垂直且有相同單位長度的數軸，這樣就建立了空間直角坐標系Oxyz,點。叫做坐

標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別是％。y平面、yOz平面、zOx

平面.

2.右手直角坐標系

在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向尤軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱

這個坐標系為右手直角坐標系.

3.空間點的坐標

空間一點A的坐標可以用有序數組(無，y,z)來表示，有序數組(x,y,z)叫做點A的坐標，記作A(尤，y,z),其中x

叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標.

知識點二、空間直角坐標系中點的坐標

L空間直角坐標系中點的坐標的求法

通過該點，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點，交點在這條軸上的坐標就是已知點相應的

一個坐標.

特殊點的坐標：原點(0,0,0)；x,y,z軸上的點的坐標分別為(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z)；坐標平面yOz,xOz

上的點的坐標分別為(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z).

2.空間直角坐標系中對稱點的坐標

在空間直角坐標系中，點尸（x,y,z）,則有

點P關于原點的對稱點是片（―x,—y,—z）；

點P關于橫軸（x軸）的對稱點是P,（x,-j,-z）；

點P關于縱軸（y軸）的對稱點是片（-%,%—z）；

點P關于豎軸（z軸）的對稱點是P4（―尤,—％z）；

點P關于坐標平面xOy的對稱點是P5（x,y,-z）；

點P關于坐標平面yOz的對稱點是穌（-%,y,z）；

點P關于坐標平面xOz的對稱點是P,（羽-y,z）.

知識點三、空間向量的坐標運算

（1）空間兩點的距離公式

若人（%,如4）,3（%2，%/2）,則

①AB=08-OA=（%,%，Z2）-（庫加4）=（%-冷%-X，Z2）

即:一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。

②IA51-dAB--xj+（8-%）+（Z2-2（，

或J（尤2—%）2+（為一%）2+（22-21）2.

知識點詮釋：兩點間距離公式是模長公式的推廣，首先根據向量的減法推出向量的坐標表示，然后再用模長

公式推出。

（2）空間線段中點坐標

空間中有兩點人（%,％,21）,3（%2，y2,22），則線段AB的中點C的坐標為一；”,；丁2,4；Z?.

（3）向量加減法、數乘的坐標運算

若a=（石,乂，4）/=（%,%*2），則

①0+Z?=（%+%2，X+%，Z1+Z2）；

②&_/?=（七一/，弘一%，4_22）；

③4〃二（公,/1n1，以）（2￡尺）；

（4）向量數量積的坐標運算

若a=（玉,X，zJ,Z?=（無2，%，Z2），則

a-b=x1x2+yly2+ziz2

即：空間兩個向量的數量積等于他們的對應坐標的乘積之和。

（5）空間向量長度及兩向量夾角的坐標計算公式

若a=b二也四山）,則

(1)|a|=>Ja-a=Qa；+a；1=\/bb=yjbf+b1+bj.

,.,a-b%。+a2b2+a3b3/n,c、

(2)cos<?-b)=---------I,1-2),33(a#o力w0).

\a\-\b\Ja；+ag+a；?Jb；++b：

知識點詮釋:

①夾角公式可以根據數量積的定義推出:

n?h

a-b=|a||Z?|cos〈a-?！?>cos〈a-?！?-------,其中。的范圍是［0,萬］

1。1皿1

②（AC,BD）=g<AC,DB）=7L—『<CA,BD>=?！?=<CA,DB>=6.

③用此公式求異面直線所成角等角度時，要注意所求角度與0的關系（相等，互余，互補）。

（6）空間向量平行和垂直的條件

若a=（%,%,&）,b=也也加3），則

①a//〃=d=460為=AX2,%=,z；=2z,(2e7?)<?—=-=—豐0)

9%Z2

②a_LZ?<^>a-b=0<=>x1x2+%%+Z］Z,=0

規(guī)定：0與任意空間向量平行或垂直

作用：證明線線平行、線線垂直.

第04講空間向量及其運算的坐標表示

【知識點梳理】

知識點一、空間直角坐標系

1.空間直角坐標系

從空間某一定點。引三條互相垂直且有相同單位長度的數軸，這樣就建立了空間直角坐標系Oxyz,點。叫做坐

標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別是％Qy平面、yOz平面、zOx

平面.

2.右手直角坐標系

在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向尤軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱

這個坐標系為右手直角坐標系.

3.空間點的坐標

空間一點A的坐標可以用有序數組(x,y,z)來表示，有序數組(x,y,z)叫做點A的坐標，記作A(x,y,z),其中x

叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標.

知識點二、空間直角坐標系中點的坐標

1.空間直角坐標系中點的坐標的求法

通過該點，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點，交點在這條軸上的坐標就是已知點相應的

一個坐標.

特殊點的坐標：原點(0,0,0)；x,y,z軸上的點的坐標分別為(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z)；坐標平面yOz,xOz

上的點的坐標分別為(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z).

2.空間直角坐標系中對稱點的坐標

在空間直角坐標系中，點P(x,y,z),則有

點P關于原點的對稱點是A-z)；

點P關于橫軸(x軸)的對稱點是鳥(羽一y,-z)；

點P關于縱軸。軸)的對稱點是g(-x,y,-z)；

點P關于豎軸(z軸)的對稱點是且(-x,-y,z)；

點P關于坐標平面xOy的對稱點是居(九,y,-z)；

點P關于坐標平面yOz的對稱點是Pb(-九,y,z)；

點P關于坐標平面xOz的對稱點是P,(x,-y,z).

知識點三、空間向量的坐標運算

(1)空間兩點的距離公式

若人(%,%烏),5(孫%，&)，則

①=05-OA=(8%，Z2)-4)=(%-/%-X，Z2-4)

即:一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。

②IA31=4AB~=—七)2+(V2-+伍-zj2,

或+(Z2—Zj2.

知識點詮釋：兩點間距離公式是模長公式的推廣，首先根據向量的減法推出向量A8的坐標表示，然后再用模長

公式推出。

（2）空間線段中點坐標

空間中有兩點人（不，乂,21）,3（%2，%，22），則線段AB的中點C的坐標為~

\2

（3）向量加減法、數乘的坐標運