江蘇省四校聯(lián)合2024屆高三新題型適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題 含答案【九省聯(lián)考模式】

江蘇省四校聯(lián)合2024屆高三新題型適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在

本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.使用斜二測畫法作一個(gè)五邊形的直觀圖，則直觀圖的面積是原來五邊形面積的

A.工倍B.立倍C.工倍D.立倍

2244

2.已知N,B是兩個(gè)不共線的單位向量，向量5=+則“幾>0且〃>0

是“濟(jì)m+的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S4=l,S8=4,則％7+%+%9+%0=

A.7B.8C.9D.10

4.設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)匕色為純虛數(shù)，則。=

1+i

A.-1B.1C.0D.2

5.甲、乙、丙、丁四人參加書法比賽，四人對于成績排名的說法如下.甲說：“乙在丙之前”，

乙說：“我在第三名”，丙說：“丁不在第二名，也不在第四名”，丁說：“乙在第四名”.若

四人中只有一個(gè)人的說法是錯(cuò)誤的，則甲的成績排名為

A.第一名B.第二名C.第三名D.第四名

6.已知尸為拋物線f=4y上一點(diǎn)，過尸作圓f+(y_3)2=l的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,

則cos/APB的最小值為

數(shù)學(xué)試題第1頁(共4頁)

7.若全集為U,定義集合A與B的運(yùn)算：A?B={x|xeAUBSx^AnB),貝U(AB3)區(qū)3=

A.AB.BC.AAQ/BD.BAQyA

8.設(shè)4=,，b=2ln(sin—+cos—),c=—In—,則

48844

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<c

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分。

9.若m,〃為正整數(shù)且〃＞相＞1,貝!I

A.C；=C；B.G=苧

C.mCXn-DC：：；D.A：+mA：T=A3

10.設(shè)函數(shù)/(x)=Zsin?%—3sin|x|+1,則

A./(x)是偶函數(shù)B./(x)在(-四,0)上單調(diào)遞增

4

C./(x)的最小值為D./(x)在［-兀,兀］上有4個(gè)零點(diǎn)

8

11.已知圓M：(x-l)2+y2=16,點(diǎn)A是“所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)尸是M上的動(dòng)點(diǎn)，若線

段PA的中垂線交直線于點(diǎn)Q,則Q的軌跡可能為

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.有一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：3,5,x,8,9,10,若其極差與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)

的中位數(shù)為.

13.圍棋起源于中國，至今已有4000多年的歷史.在圍棋中，對于一些復(fù)雜的死活問題，比如

在判斷自己單個(gè)眼內(nèi)的氣數(shù)是否滿足需求時(shí)，可利用數(shù)列通項(xiàng)的遞推方法來計(jì)算.假設(shè)大

小為〃的眼有a“口氣，大小為"+1的眼有見+］口氣，則a"與里什］滿足的關(guān)系是

%=1，a2-2,a,#］-〃=a“一1(〃N2,"eN*)

則an的通項(xiàng)公式為.

14.若A,B,C,。四點(diǎn)均在同一球面上，ZBAC=—，A8CD是邊長為2的等邊三角形，

3

則AABC面積的最大值為,四面體A3CD體積取最大值時(shí)，球的表面積為

數(shù)學(xué)試題第2頁(共4頁)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是邊長為2的正方形，PC工PD,二面角A-CD-尸

為直二面角.

(1)證明：PB工PD；

⑵若PC=PD,求直線PC與平面PA3所成角的正弦值.

16.(15分)

在游戲中，玩家可通過祈愿池獲取新角色和新武器.某游戲的角色活動(dòng)祈愿池的祈愿規(guī)則

為：①每次祈愿獲取五星角色的概率為=0.006；②若連續(xù)89次祈愿都沒有獲取五星角色，那

么第90次祈愿必定通過“保底機(jī)制”獲取五星角色；③除觸發(fā)“保底機(jī)制”夕卜，每次祈愿相互

獨(dú)立.設(shè)X表示在該祈愿池中連續(xù)祈愿直至獲取五星角色為止的祈愿次數(shù).

(1)求X的概率分布；

(2)求X的數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：0.9949嗅0.582.

17.(15分)

已知函數(shù)/'(x)=a*-elog。x-e,其中a>I.

(1)若。=6,證明/(x)20；

(2)討論/(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

數(shù)學(xué)試題第3頁(共4頁)

18.（17分）

22

已知等軸雙曲線C的頂點(diǎn)分別為橢圓T：L+2L=1的焦點(diǎn)耳，F(xiàn)2.

62

（1）求C的方程;

（2）若。為C上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線。耳，。工與橢圓廠的交點(diǎn)分別為尸，R與M,

N,求|PR|+4|MN|的最小值.

19.（17分）

交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦有應(yīng)用.設(shè)A,B,C,。是直線/上

互異且非無窮遠(yuǎn)的四點(diǎn),則稱任.處（分式中各項(xiàng)均為有向線段長度，例如AB=-3A）為A,

BCAD

B,C,。四點(diǎn)的交比，記為（A脫

1

（1）證明:1-（D,B;C,A）=

（民A;C,0

（2）若4，12,/3,乙為平面上過定點(diǎn)尸且互異的四條直線，4,4為不過點(diǎn)尸且互異的

兩條直線，。與小4，4-%的交點(diǎn)分別為A，耳，G，0,4與小12,4，4的交點(diǎn)分

別為4，B2,G，D2,證明：（4,3］；。1，2）=（4,32；。2，。2）；

（3）已知第（2）問的逆命題成立，證明：若AEEG與AE'PG'的對應(yīng)邊不平行，對應(yīng)頂點(diǎn)

的連線交于同一點(diǎn)，則AEFG與AE'F'G'對應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上.

數(shù)學(xué)試題第4頁（共4頁）

江蘇省四校聯(lián)合2024屆新題型適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.D2.A3.C4.B

5.B6.C7.A8.D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得。分。

9.AD10.ABC11.ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

2

n-3/2+6>,V32071

12.7.513.%2'

3；3

1,n-1

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.解:

(1)在四棱錐尸-ABC。中，因?yàn)槎娼茿-CD-P為直二面角，所以平面尸平面

ABCD,因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以3CLDC,而BCu平面ABC。，DC=平面尸

平面A3C。，所以3C_L平面PCD,而POu平面PC。，所以3CJ.PD,又因?yàn)镻C_LBD,

BC,PCu平面P3C,BCHPC^C,所以「平面PBC,又因?yàn)镻Bu平面P3C,所以

PBLPD-,

(2)分別取CD,AB中點(diǎn)為。，E,連接OP,OE,因?yàn)镻C=PZ),pl

所以O(shè)P_LDC,又因?yàn)槠矫鍼C。_L平面ABC。，OC=平面尸CDpI

平面ABC。，OPu平面PCD,所以O(shè)P,平面ABC。，以。為坐標(biāo)/;

原點(diǎn)，OD,OE,0P所在直線分別為無，y,z軸，建立如圖所示/'/

的空間直角坐標(biāo)系。-孫Z,則0(0,0,0),C(-l,0,0),S(-1,2,0),[/，O\/^

P(0,0,l),￡(0,2,0),A(l,2,0),AP=(-1,-2,1),AB=(-2,0,0),%

定=(-1,0,—1),設(shè)三(x,y,z)是平面PAB的一個(gè)法向量，貝小〃,竺=°,即「“一2〉+z=0,

n-AB=O〔一2X=0

不妨取y=l,z=2,則3=(0,1,2)是平面PAB的一個(gè)法向量.

設(shè)直線PC與平面PAB的夾角為。，則sinQ=|cos<n,PC>|=以勺=叵.所以直線PC與

\n\\PC\5

平面PA3所成的角的正弦值為巫.

5

數(shù)學(xué)參考答案第1頁(共4頁)

16.解：

(1)將每次祈愿獲取五星角色的概率記為p0,X的所有可能取值為1,2,3,…，90.

從而P(X=l)=Po,P(X=2)=(11p°)Po，P(x=3)=(1-Po)2Po,…,P(X=89)=(1-p。嚴(yán),

P(X=90)=(1-p0)叫所以X的概率分布為p(X=Q=卜一外產(chǎn)P。，1W左W89,0N*.

[(1-外汽％=9。

(2)X的數(shù)學(xué)期望E(X)=lxP(X=l)+2xP(X=2)+3xP(X=3)+…+90xP(X=90)

=lxpo+2x(l_po)Po+3x(l_po)2po+...+9Ox(l_po)89,

(1—Po)E(X)=lx(1—Po)p。+2x(1—p0)2%+3x(1—p0)3Po+…+90X(1—p°)9°，

2

PoE(X)=Po+(l-Po)Po+(l-po)Po+-+(1-po/p0+90x(1-por-89x(1-pofp0

-9Ox(l-po)9。，

E(X)=l+"p°)+”Po)2+...+(l-p°)88+90x(l-Po)“-89x(l-po)89-9O><(l-Po)9°

PoPo

88

=1+(1-Po)+(1-Po)2H---H(l-770)+9°"-P。)[1_(1_Po)]_89X(1-0o)89

Po

=1+(1-Po)+(1-Po)2H+(1—Po)88+(1―PO)89=1__Po)_,

Po

因?yàn)閜0=0.006,所以E(X)=1-(1-。。二=JS99*弋lz竺理勺69.67.

Po0.0060.006

17.解：

e

(1)當(dāng)a=e時(shí)，f(x)=ex-elnx-e,/r(x)=ex—,/'⑴=0,/(I)=0,當(dāng)x<l時(shí),

f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>l時(shí)，f\x)>0,/(%)單調(diào)遞增，從而/(%)2/⑴=0；

(2)由題意知，函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)?0,+8),f'(x)=axlna-一—一皿…,設(shè)

x\naxlna

g(x^xax\n2a-e,a>l,顯然函數(shù)g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，g(x)與尸(x)同號，

①當(dāng)a>e時(shí)，g(0)=-e<0,g(l)=oln2?-e>0,所以函數(shù)g(x)在(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),

所以函數(shù)/(x)在(0,+8)上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；

②當(dāng)a=e時(shí)，由第(1)問知，函數(shù)/(x)在(0,+8)上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn);

1i_L_L

In〃1r二匚[、【1

③當(dāng)1<a<e時(shí)，——>1,g(—-—)=a"。_,因?yàn)閕n"11?一^=——>1，所以一

262e2lna

Ina\na\naInaa>e

>o,Xg(l)=flln2a-e<0,所以函數(shù)g(X)在(1,忐)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)/(x)在

(0,+8)上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；

綜上所述，函數(shù)/(x)在(0,+8)上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn).

數(shù)學(xué)參考答案第2頁(共4頁)

18.解:

22

（1）橢圓廠的，="—匕2=4,故耳（_2）0）,F2（2,0），設(shè)等軸雙曲線C的方程為x-y^d,

22

將F2帶入求得d=4,故等軸雙曲線C的方程為x-y=4；

（2）設(shè)直線。耳的方程為x=my-2,直線Q區(qū)的方程為了=町/+2,點(diǎn)尸，R,M,N的

坐標(biāo)分別為（國,％），（工2，%），（尤3，%），（*4，乂），聯(lián)立直線。耳與橢圓，：<尤m,2，得

'1[x+3/=6

（療+3）y2-4my-2=0,％+%="J，從而IPR上水再一々尸+（弘一

m+3m+3

=府F%+%）-%%=府禮/（學(xué)六—一-工）=276，聯(lián)立直線QF2與

一Vm+3m+3m+3

橢圓廠："，：2，W（?2+3）y2+4ny-2=0,%+%=--r~;>V3y4=--7）從而

x~+3y=6-n+3n~+3

IMN|=^（七一七）2+（%-%）2=，〃2+力（%+14）2-4%%=J02+]J（__火_

V〃+3n+3

=2遍￡口，聯(lián)立直線。耳與。&：卜=畋-2,得。（跑斗,」），又。在雙曲線。上，

n+31%=沖+2m-nm-n

帶入得（生且）2_（上一>=4,化簡得”=-L從而|/^|+4|腦7|=2八（"義+^^）

m-nm-nmm+3n+3

10

系….誓104）

+——

525（加_|）5

10

N276（--一,3______）=巫,當(dāng)且僅當(dāng)3（m2_2）=_&_,即加=±V5時(shí)取等,

32、干+期2525（療《）

V2555

故|PR|+41MN|的最小值為也.

2

數(shù)學(xué)參考答案第3頁（共4頁）

19.解：

1DCBABCAD+DCBABC(AC+CD)+C￡)AB

1—(D,D'C,A)=1-----------=------------------------=---------------------------------