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認(rèn)證信息

認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：常**（實(shí)名認(rèn)證）

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2024屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考（天津?qū)Ｓ茫?/p>

數(shù)學(xué)

第I卷

一、選擇題

1.已知集合4=卜|04題3%<2},B={^||x-3|<3）,則AB=（）

A.[0,1]B.[0,9]C.[1,6]D,[6,9]

【答案】C

【解析】由0Vlog3尤<2,gplog31<log3x<log39,所以14x49,

所以A={x|。4log3xV2}={x|14xW9},

由上一3歸3,§P-3<x-3<3,解得0WxW6,

所以8={目卜_3歸3}={x|04x46},

所以AcB={x|14x46}.故選：C.

jr1

2.已知〃：a=y+2fai（Z:eZ）,q：cos?=-,則〃是0的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

|JTJT

【解析】由cosa=—,貝Ija=—+2E（左￡2）或二=——+2fai（A;GZ）,

233

jrjr

即q：a=—+2lat（^keZ）=-—+1kit（keZ）,

所以由。推得出q,故充分性成立；

由q推不出〃，故必要性不成立，所以〃是q的充分不必要條件.故選：B.

3.己知函數(shù)/（X）的部分圖象如圖所示，則〃x）的解析式可能是（）

A.f(x)=xsin2xB./(x)=------

2X+2T

2X-1.2X-1

C./(x)=-----sinxD.f(x)-------cosx

2X+12X+1

【答案】D

【解析】由圖可知，函數(shù)〃元)為奇函數(shù)，且/⑴>。，/(2)<0.

對(duì)于A,f(-x)=-xsin(-2x)=xsin2x=/(x),則該函數(shù)為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,=sm(-'=一1^_⑴,則該函數(shù)為奇函數(shù)，

\72T+2"2X+2~xv7

,小sinl2.[八小sin24.__

/(1)=----=—sinl>0/(2)=----=—sin2>0,,上什、口

」2+j_5，」')4+j_9，故B錯(cuò)誤；

24

對(duì)于C,f(-x\=-----sin(-x)=-―—(-sinx)=-——-sinx=/(x),則該函數(shù)為偶函數(shù),

v72-x+lv71+2八72X+1'」

故C錯(cuò)誤；

2-x-l1-2X2"—1

對(duì)于D,〃f)=cos(-x)=----COSX=----c-o-sx=-/(x),則該函數(shù)為奇函數(shù),

2-x+l1+2"2x+l

,2-1I4-13

且/⑴~j^cosl=]COsl>0,/(2)=---cos2=-cos2<0,故D正確.

故選：D.

4.下列命題中，真命題的是（）

A.若回歸方程，=_（）,45X+0.6，則變量〉與工正相關(guān)

B.線性回歸分析中相關(guān)指數(shù)R2用來(lái)刻畫回歸的效果，若心值越小，則模型的擬合效果越

好

C.若樣本數(shù)據(jù)毛，巧，…，%的方差為2,則數(shù)據(jù)2再-1,2%-1,…，2/-1的方差

為18

D.一個(gè)人連續(xù)射擊三次，則事件“至少擊中兩次”的對(duì)立事件是“至多擊中一次”

【答案】D

【解析】A選項(xiàng)，回歸方程（=一0.45》+0.6,則變量＞與無(wú)負(fù)相關(guān)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B選項(xiàng)，R?值越小，則模型的擬合效果越差，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)，數(shù)據(jù)物-1,2X2-1,2/-1的方差為2~2=8,C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，連續(xù)射擊三次，

事件“至少擊中兩次”的對(duì)立事件是“至多擊中一次“，D選項(xiàng)正確.

故選：D

5.已知奇函數(shù)八>)在R上是增函數(shù)，g(x)=W(尤).若。=8(1。852),b=gQn拈,

c=g(log83),則a,6,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

【解析】由/(x)為奇函數(shù)知g(x)=#(x)為偶函數(shù).

因?yàn)?X)在R上單調(diào)遞增且/(0)=0,所以當(dāng)x>0時(shí)，/(%)>0,

所以g(x)在(。，+⑹上單調(diào)遞增，且g(x)>。.

X?=g(log52),6=g(lnC)=g(；),c=g(log83),

因?yàn)?10g52=log54<l,所以log52<g,

因?yàn)?10g83=610g2,3=6x1log23=2log,3=log,9>log,8=3,所以log83>；,

所以0<log52<；<log83,

所以故A正確.

故選：A

6.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱之為

“三角垛”.“三角垛”的最上層(即第1層)有1個(gè)球，第2層有3個(gè)球，第3層有6個(gè)

球，…設(shè)“三角垛”從第1層到第〃層的各層的球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{%},則第21層的球數(shù)為

()

【答案】B

【解析】設(shè),

由〃2_q=3—l=2,q—%=6-3=3,

a4—a3=10—6=4,

可知｛2｝為等差數(shù)列，首項(xiàng)為2,公差為1,

故4=2+(〃-1)=〃+1,

故a”+i-4,="+1，

貝U/-%=2,/-〃2=3,_〃3=4,

…，見(jiàn)一%=〃(〃22),

甲士”曰(〃一1)(〃+2)

累力口得%―%=-----------,

即％=(〃_1)；"+2)+1,顯然該式對(duì)于”=1也成立,

故a21=230+1=231.

故選：B

7.虎殿式屋頂是中國(guó)古代建筑中等級(jí)最高的屋頂形式，分為單檐尻殿頂與重檐疣殿頂.

單檐尻殿頂主要有一條正脊和四條垂脊，前后左右都有斜坡（如圖①），類似五面體

FE-ABCD的形狀（如圖②），若四邊形A3CD是矩形，AB//EF,且AB=CD=2EF

=2BC=8,EA=ED=FB=FC=3,貝！I五面體FE-ABCD的表面積為（）

A.48B.32石C.16+16君D.32+16石

【答案】D

【解析】分別取AD,BC的中點(diǎn)G,H,連接G”，F(xiàn)H,

過(guò)點(diǎn)F作48的垂線77,垂足為/,

因?yàn)镕B=/C=3,3C=4,所以切LBC,所以FH=布,

根據(jù)對(duì)稱性易得BBC冬AEAD,

所以以改=；屆*9=34X6=2石，

在RtAFB/中，BI==2,所以打=，時(shí)-Bl?=生,

S梯形“=1(EF+AB)XF/=1X(4+8)X75=6A/5,

又S矩形ABCD=A3xBC=32,

所以^FE-ABCD=2sAFBC+2s梯形的§+S矩形245cD=32+1675.

故選：D.

8.已知拋物線y2=2pMp>0）上一點(diǎn)加（1,根）（租>。）到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線

的左頂點(diǎn)為A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）

a

B.—

A.—34C.—9D.—2

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，拋物線V=2px（p>0）上一點(diǎn)M（1,M（利>0）到其焦點(diǎn)的距離為5,

則點(diǎn)〃到拋物線的準(zhǔn)線x=/的距離也為5,即1+g5,解得p=8,

所以拋物線的方程為V=i6x,則病=16,所以根=4,即加的坐標(biāo)為（1,4）,

又雙曲線W-y2=i的左頂點(diǎn)A（_q,0）,一條漸近線為y=

aa

4411

而心—，由雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則有;一=一，解得。=不

1+。1+。a3

故選：A

9.已知函數(shù)/'(x)=<若有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)a,仇c,使得

/(a)=/(&)=/(c),則a+6+c的取值范圍為()

A.(271,201771)B.(271,201871)

3兀4035兀）

C.D.(71,201771)

T，2）

【答案】B

sinX,XG[0,TC]

【解析】由題意得:/（X）二

10g2017一，%￡(兀，+8)

71

jrjr

當(dāng)xe0,-時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)xe-,7i時(shí)，〃尤）單調(diào)遞減；且x?0,可時(shí)，

〃x）關(guān)于x對(duì)稱；當(dāng)行（兀,”）時(shí)，〃x）單調(diào)遞增；

又/（0）=/（兀）=0,=/（20177i）=log20172017=1,

TT

設(shè)a<b<c,由/（?）=/伍）=/（c）知：a+b=2x—=7r,兀<0<2017兀，

:.a+b+c&（271,2018K）.

故選：B.

第n卷

二、填空題

io.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（2-i）=i3,則復(fù)數(shù)Z的虛部為.

【答案】

【解析】由Z（2—i）=i3可得：z=11--7i,即復(fù)數(shù)2的虛部為9

2

故答案為：-1.

11.1尤-*：的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則'的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】84

【解析】令x=l,得二項(xiàng)式1-告］的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為（1-3）"=64,得〃=6.

二項(xiàng)式卜+J「即卜+其通項(xiàng)心=&卜2廣］￡|'=的心，

由18-3/=0得r=6,所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為C；=84.

故答案為：84.

12.已知直線處尤+2）+y-3=0（4eR）與圓。：（％+4）2+（y-5）2=12交于A,8兩點(diǎn)，則當(dāng)

/ACB取得最小值時(shí)，其余弦值為.

【答案】|

【解析】直線4彳+2）+k3=0（2€2恒過(guò)定點(diǎn)”（一2,3）,

\CM\^J(-4+2)2+(5-3)2=20<2后,所以點(diǎn)M(-2,3)在圓內(nèi),

如圖，當(dāng)，四時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|最小，則/AC3最小,

此時(shí)|AB|=2,產(chǎn)-3『=4,

12+12—161

所以cosZ.ACB=

2X2A/3X2A/33

故答案為：—.

13.函數(shù)〃x）=sin2x-0（cos?%-sir?%）的圖象為。，如下結(jié)論中正確的是

（1）圖象C關(guān)于直線彳=三兀對(duì)稱；

12

（2）圖象C關(guān)于點(diǎn)（與,。）對(duì)稱;

（3）函數(shù)?。┰趨^(qū)間（咱，利內(nèi)單調(diào)遞增；

7T

（4）由>=2sin2x的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.

【答案】（1）（2）（3）

【解析】因?yàn)?sin2x-\/3（cos2x-sin2x）=sin2x-^cos2x=2sin^2x-,

、1,11.7C1IjC7C3兀LL|PI3兀I1LL1,,—L-r-f-l

當(dāng)x=兀時(shí)，2x——=--——=—,所以/q-t=-1,所以（I）正確；

123632V27

當(dāng)x=：7i時(shí)，2x-g=餐q=無(wú)，所以/[4]=0,所以⑵正確；

■jTTCTCTL57T

令——+2kn<2x——<一+2祈，左￡Z,所以----\-k7i<x<----卜kn,kGZ,

2321212

jrSir

?。?0,得一爭(zhēng).二,所以⑶正確；

由y=2sin2x的圖象向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到y(tǒng)=2sin=2sin12x-g

故（4）不正確;

故答案為：（1）（2）（3）.

14.第三次人工智能浪潮滾滾而來(lái)，以ChatGPT發(fā)布為里程碑，開(kāi)辟了人機(jī)自然交流的新

紀(jì)元.ChatGPT所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)并非都是遙不可及的高深理論,概率就被廣泛應(yīng)用于

ChatGPT中，某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題進(jìn)行研究：甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有5個(gè)大小相

同的小球，其中甲箱中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙箱中有4個(gè)紅球、1個(gè)白球，從甲箱中隨

機(jī)抽出2個(gè)球，在已知抽到紅球的條件下，則2個(gè)球都是紅球的概率為；擲一枚

質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)小于等于4,從甲箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)大于等于

5,從乙箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球，若抽到的是紅球，則它是來(lái)自乙箱的概率是.

12

【答案】if

【解析】記事件A表示“抽出的2個(gè)球中有紅球”，事件B表示“兩個(gè)球都是紅球”，

則尸（4）=1一與=2,P（AB）=^=—,

\'cj10V7Cj10

]_

3

即從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，在已知抽到紅球的條件下，則2個(gè)球都是紅球的概率為g；

設(shè)事件C表示“從乙箱中抽球”，則事件乙表示“從甲箱中抽球”，事件。表示“抽到紅球”,

72

則尸(c)=d

r明吟3

P（必c）=+尸伊@=|，

所以尸（0=尸（C0+P（8）

=P(C)P(D|C)+P(C)P(Z)|C)

14232

=—x—+—x—=—

35353

14

所以「（叫二叫"^力2

5

3

2

即若抽到的是紅球，則它是來(lái)自乙箱的概率是

19

故答案為：—；—

15.在等腰梯形ABCQ中，已知ABDC,ZABC=60°,BC=2,AB=4,動(dòng)點(diǎn)E和F

分別在線段BC和。C上，且BE=2BC，DF=^-DC,則4￡.8尸的最小值為_(kāi)____.

2/t

夕工(

/

--'B

【答案】476-13

【解析】由題意BC=2,AB=4,44BC=6O。，

所以CD=AB-28C.cos60°=4-2=2,/.DC=—,

2

CO<2<1

又動(dòng)點(diǎn)E和/分別在線段3c和QC上，且BE=/LBC，DF=^-DC,所以八1,

2A0<——<1

I22

解得

AEBF=(AB+ABC)?(BC+CF)=(AB+ABC)?(BC-FC)

=(AB+ABC)-[BC-(DC-OF)]=(AB+ABC)-(BC+—DC-DC)

2A

1ARARi_oo

=(AB+XBC)\BC+--------)={AB+ABC)-(BC+———AB)

2A2244

=AB2+(1+-BC+ABC2

444

i—72i—2/14i—

=^-X16+(1+-^—)X4X2XCOS120°+42=-+62-13>2A/24-13=476-13,

當(dāng)且僅當(dāng)。=64時(shí)，即4=通時(shí)取等號(hào)，故AEBP的最小值為4&_13,

故答案為：476-13.

三、解答題

16.在一ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且2a—c=26cosC.

(1)求sin]?+8)的值；

(2)若b=6,求r的取值范圍.

74.扇一川

解：(1)因?yàn)?〃一c=2匕cosC=--------------x2Z?,整理可得，a2+c2-b2=ac^

lab

由余弦定理可得cos8=工，故2=60。，A+C=120°,所以

2

sinf+31=sin120°=—；

I2)2

(2)由正弦定理可得，，—=，=及—，所以。=2sinA,c=2sinC,所以

sinAsinCsin60°

1.J

c-a=2sinC-2sinA=2sinC-2sin(120°-C)=2sinC-2——cosCr+—smC

\227

=sinC-百cosC=2sin(C—60°),

因?yàn)?°<C<120。，所以-60。<。一60。<60。，所以一日<sin(C-60。)〈孝,

故—A/3<c—G<\/3■

所以取值范圍為(-招,6).

17.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，平面ABCD,PA=AD=2,

BD=272.

⑴求證：平面PAC；

(2)求二面角P-CD-3余弦值的大小;

(3)求點(diǎn)C到平面PBD的距離.

(1)證明：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0)、￡>(0,2,0)、尸(0,0,2).

在R"BAD中，AD=2,BD=2及,

AB=^BD2-AD2=2-

.?.3(2,0,0)、C(2,2,0),

/、uuuiUUU

：.AP=(O,O,2),AC=(2,2,0),BD=(-2,2,0),

VAPBD=0>ACBD=0,

即BD_LAP,BD1AC,

又APcAC=A,AP,ACu平面PAC,

，30_L平面PAC；

⑵解：由⑴得PD=(0,2,-2),CD=(-2,0,0).

設(shè)平面PCD的法向量為〃=(x,y,z),

則，即:.八，故平面PCD的法向量可取為〃=(O,Ll),

CD-n=0\j-2x=0

???R4_L平面ABC。，

AP=(0,0,2)為平面ABCD的一個(gè)法向量.

設(shè)二面角P-CD-3的大小為6,由圖易得6為銳角，

\n-AP\J?B

依題意可得cos0=%^=」,即二面角尸—CD—3余弦值為土.

|H|.|AP|22

(3)解:由⑴得尸3=(2,0,—2),PD=(0,2,-2),

PB-m=2a-2c=0

設(shè)平面的法向量為相=(a,6,c),貝卜

PD'm=2b-2c=0

a=b=c,故可取為m=(1,1,1).

???PC=(2,2,-2),

|m-PC|2J3

???C到平面PBD的距離為d=J」=+.

\m\3

18.已知等比數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，且％+4=1。，$3=14.

⑴求｛%｝通項(xiàng)公式；

⑵在為和電之間插入1個(gè)數(shù)如，使％、如、出成等差數(shù)列；在電和“3之間插入2個(gè)數(shù)

%、%,使如、&、%2、。3成等差數(shù)列；…；在4,和巴+1之間插入幾個(gè)數(shù)與、%、

…、b“",使J、%、%、…、b,“、%+i成等差數(shù)列.若小="+（人21+，22）++

（鬣+々2++或），且4-3“2<（-1）"功對(duì)"eN*恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

解：（1）設(shè)｛%｝的公比為4,

ax-10

由〃1+〃3=1。，S3=14得:2，

ax+axq+axq=14

q--8

4=2-

解得4=2或1,

q=3

因?yàn)椋?｝是遞增數(shù)歹U,

%=2

所以4>1,則

（7=2

所以a“=2x2"T=2".

（2）在?！昂鸵恢g插入"個(gè)數(shù)如、b*、…、bnn,

使?！?、%、b?2....%、成等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

此數(shù)列首項(xiàng)為??=2”,末項(xiàng)為an+i=2向，

則的=%+d，bnn=an+l-d,

則如+%+%,="?+dd）/（2"；2向）=3〃.2“一

又（=練+（3+3）++（第+々2++%）,

貝I]7；=3x2°+6x2】++3〃-2"T,

2

2Tn=3X2'+6X2++3/7-2"

1n2

貝lJ（=-3x2°-3（2i+22+2--）+3M-2=_3_3x0-^~'）+3w.2?=（3/1_3）y+3,

貝|]雹-3小2"=-3x20+3,

令c“=-3x2"+3,則數(shù)列匕｝為遞減數(shù)列，

由7；-3"?2”＜（-1）"-m對(duì)〃wN*恒成立,

則當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，m＞-3x2"+3對(duì)〃eN*恒成立，貝卜九＞。2=-9；

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，一機(jī)＞-3x2"+3對(duì)“eN*恒成立，則-相＞仇=-3,即加＜3,

綜上實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為-9〈加＜3.

19.已知橢圓C:[+/=l(a＞6＞0)的離心率為#，長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)為A(2,0).

(1)求C的方程；

⑵不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線/與橢圓C分別相交于N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A,

①試證明直線/過(guò)一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)；

②從點(diǎn)A作垂足為。，點(diǎn)?|，2)寫出忸刈的最小值(結(jié)論不要求證明).

解：(1)橢圓C：￡+￥=1的離心率為正，長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)為A(2,0),

ab2

a2

可得＜4=2,解得〃=2,A=l,c=

c2=a2-b2

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+/=1.

4

(2)①當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為丁=丘+利,

y=kx+m

聯(lián)立方程組/整理得(4左2+1)%2+8kmx+4根2—4=0,

——+V=1

14'

-Skm4m2-4

可得%/=4F7I，V2=4FTT

設(shè)Ma,%),N(%,%)，所以40=(9一2,乂),3=(々一2,為)，

由題意得4M即AM_LAN,

可得=(玉-2,另)?(彳2-2,%)=網(wǎng)々-2(*1+12)+4+乂％

22

=玉%—2(芯+%)+4+(kx1+m)(kx2+m)=(k+l)x,x2+(km-2)(%+x2)+m+4

“，，、4m2-4,c、~~8km“5m2+16km+12k2

=(k~+1)------------F(zkm-2)x——----1-m~2+4

4k-+14k-+14F+1

所以5療+16km+12k2=0,解得根=-2左或根=一|上，

當(dāng)m=-2左時(shí)，直線方程為丁=依-2左=左5-2),此時(shí)過(guò)A(2,0),不符合題意(舍去);

當(dāng)吁-g左時(shí)，直線方程為了=依—-g),此時(shí)過(guò)P(g,O),符合題意,

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線/：x=r,根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)的坐標(biāo)分別為

于是=