廣東省廣州市2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

廣東省廣州市第七中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期月考數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:.姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.中國是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量的國家.如果水位上升3m記作+3m,那

么水位下降2m記作（）

A.+2mB.—2mC.+lmD.-Im

2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是（

A.三棱柱B.三棱錐C.四棱柱D.圓錐

3.下列運算正確的是（)

丫32

A.B.|2-73|=^-2C.(-2/=_8/D.a-aa6

4.如圖，點A、B、C在。上，AC//OB,=130°,則NBOC的度數(shù)為（）

B.50°C.40°D.80°

5.如圖，在ABC中，點分別在",AC上，,且AZ）:=2:3,則VADE

與，ABC的周長比是（）

A

4:9C.2:5D.4:25

6.“綠水青山就是金山銀山”.為了改造水質(zhì)，某工程隊對2400平方公里的水域進行水

質(zhì)凈化，實際工作時每天的工作效率比原計劃提高了20%,結(jié)果提前了40天完成任

務(wù).設(shè)原計劃每天凈化的水域面積為X平方公里，則下列方程中正確的是（）

A2400x(1+20%)2400_24002400

4QB.40

xx(l+20%)xx

C2400_2400x(1+20%)_24002400

D.40

xXx(l+20%)x

3%+y=6〃

7.已知關(guān)于工、y的方程組的解滿足x—y=i,貝|J〃二（)

x+3y=2n—4

ABcD.

-1-4-42

8.二次函數(shù)>=以2+法的圖象如圖所示,則而_()

—2〃+/?C.—2a—bD.

9.如圖，A5是。的直徑，。。是。的弦，CD.LAB,垂足為E,連接5。并延長,

與過點A的切線AM相交于點P,連接AC.若O的半徑為5,AC=8,則尸。的長是

().

35

A,B.10C.D.11

3T

點A在反比例函數(shù)y=9（x>0）的圖象

10.如圖，的直角頂點O為坐標(biāo)原點,

X

上，點B在反比例函數(shù)y=：（x<0）的圖象上，NQ4B=30。，則上的值為（）

試卷第2頁，共6頁

C.-3D.-4

二、填空題

11.若同=8,貝！J〃=

1

12.若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則％的取值范圍是

Jx+3

13.在反比例函數(shù)y=“口一1的圖象的每一支上,y都隨尤的增大而增大,且整式尤2+區(qū)+16

X

是完全平方式，則該反比例函數(shù)的解析式為

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰三角形，Q4=AB=5,點B到x軸的距

離為4,若將。鉆繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△04?,則點8'的坐標(biāo)為

15.如圖，是一個圓錐的主視圖，/ABC的余弦值等于：，則該圓錐側(cè)面展開扇形的

圓心角的度數(shù)為.

16.如圖，在正方形ABCD中，點E為邊上的一個動點，連接AE,將"E沿AE

折疊得到△川汨，"交8。于點P.

當(dāng)44￡=30。時，ZAPD=

當(dāng)E為BC的中點時，—=

三、解答題

x+l<2

17.解不等式組:

6-3x>0

18.如圖，/1=/2,/3=/4,求證：AC^AD.

⑴化簡P;

(2)若關(guān)于尤的方程尤,+(。+1卜+萬=0有兩個相等的實數(shù)根，求P的值.

20.某中學(xué)為了解學(xué)生“誦讀經(jīng)典”的情況，在全校范圍內(nèi)隨機抽查了部分學(xué)生的閱讀量,

學(xué)校將閱讀量分成優(yōu)秀、良好、較好、一般四個等級，繪制如下統(tǒng)計表：

等級一般較好良好優(yōu)秀

閱讀量/本3456

頻數(shù)12a144

頻率0.240.40b0.08

根據(jù)統(tǒng)計表中提供的信息，解答下列問題：

(1)本次調(diào)查一共隨機抽取了名學(xué)生；

(2)求所抽查學(xué)生閱讀量的平均數(shù)；

(3)樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀等級學(xué)生有4人，其中只有1名男生，其余都是女生.現(xiàn)從中任選派

試卷第4頁，共6頁

2名學(xué)生去參加讀書分享會，請用樹狀圖法或列表法求所選2名同學(xué)中有男生的概率.

1k

2,?如圖‘已知正比例函數(shù)片亍的圖象與反比例函數(shù)片1的圖象交于人2兩點，

⑴求k的值;

Ik

(2)結(jié)合圖象，直接寫出不等式：工〉人的解集;

3x

⑶點尸是y軸上一點，連接,PB,若5寸的=24,求點尸的坐標(biāo).

22.如圖，在某大樓觀測點P處進行觀測，測得山坡A8上A處的俯角為15。，測得山

腳8處的俯角為60。.已知該山坡A8的坡度i=l:若，3”=10米，點、P,H,B,C,

A在同一個平面上，點X,B,C在同一條直線上，且

口

口P

口

口

口

口

口

HBC

(1)求觀測點尸與山腳8點之間的距離；

(2)求觀測點尸與山頂A點之間的距離.

23.如圖，48是(O的直徑，點C在。上.

(1)尺規(guī)作圖：在弦8c的右側(cè)作NBCD=NC4B,交A3的延長線于點。；(保留作圖痕

跡，不寫作法)

⑵在(1)所作的圖中，

①求證：8是；O的切線；

②若BD=2OB,求tan/C鉆的值.

24.已知拋物線yn-r-Zx+ag〉。)與y軸相交于點A,頂點為M.

⑴求點A/的坐標(biāo)；(用含。的式子表示)

(2)直線y=與直線M4相交于點N,與拋物線的對稱軸相交于點B.

①求二8M0的面積的取值范圍；

②直線y=；尤-。與y軸相交于點C,拋物線上是否存在點P,使得以尸、A、C、N為

頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求y=-/-2x+a在-時的取值范圍；

若不存在，請說明理由.

25.如圖，在等邊ABC中，AB=6,點。在3C邊的延長線上，將線段0c繞點。逆

時針旋轉(zhuǎn)120。得到線段DE,P為8E的中點.

⑴求A到5C的距離；

(2)連接AP,PD,求NAPD的度數(shù)；

(3)連接CP,求尸。+且CP的最小值.

3

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.B

【分析】

本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用

負(fù)表示，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：如果水位上升3m記作+3m,那么水位下降2m記作-2m,

故選：B.

2.A

【分析】

本題主要考查由三視圖判斷幾何體.由主視圖和左視圖得出該幾何體是柱體，再結(jié)合俯視圖

可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意得：該幾何體是三棱柱.

故選：A

3.C

【分析】本題考查了整式的運算，實數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式概念，絕對值和

整式的運算法則.根據(jù)二次根式的概念、絕對值、同底數(shù)幕的乘法和暴的乘方逐一判斷即可.

【詳解】解：A、6正=后=5,故該選項錯誤，不符合題意；

B、|2-6卜2-百，故該選項錯誤，不符合題意；

C、(-2a2)3=(一2丫“6=_8a6,故該選項正確,符合題意；

D、°3./=蘇，故該選項錯誤，不符合題意；

故選：C.

4.B

【分析】

本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這

條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.

先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，04=03,得出4=25。，再由平行線的性質(zhì)得出ZB=ZCAB=25°,

根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：OA=OB,ZAO8=130。，

答案第1頁，共22頁

5A。-130。*

2

AC//OB,

ZB=ZCAB=25°,

:.ZBOC=2ZCAB=50a.(同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍)

故選：B.

5.C

【分析】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.先求

出">:AB=2:5,再證出△ADESAMC,然后根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比即可

得.

【詳解】解：：AO：D3=2:3,

AD,AB=2:5,

DE//BC,

AADE^AABC,

則VADE與ABC的周長比等于AD:AB=2:5,

故選：C.

6.D

【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用.根據(jù)題意列出分式方程，即可得到結(jié)果；

【詳解】解：：設(shè)原計劃每天凈化的水域面積為x平方公里，實際工作時每天的工作效率比

原計劃提高了20%,

實際工作時每天凈化的水域面積為(l+20%)x平方公里.

24002400

=40,

依題意，得:x_―(1+20%)%

故選：D.

7.C

【分析】

本題考查根據(jù)方程組的解的情況求參數(shù)，根據(jù)x-y=l,得到X=y+1,將方程組轉(zhuǎn)化為未

知數(shù)為的方程組，進行求解即可.

【詳解】解：：x-y=i,

答案第2頁，共22頁

x=y+l,

3

3（y+l）+y=6n2

???原方程組化為:

y+l+3y=2〃-4j_

n=-

2

故選C.

【分析】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及二次根式的化簡，根據(jù)二次函數(shù)圖象得到。<0,b-a>0,

再利用二次根式性質(zhì)化簡病-J伍”)2,即可解題.

【詳解】解：由圖知，二次函數(shù)開口向下，

a<0,

對稱軸在y軸右側(cè)，

；.b>0,

:.b—a>0,

貝！1-小(b-af=-a—(b-=—b>

故選：D.

9.A

【分析】

本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理，垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì).連

接AD,根據(jù)勾股定理可求出8。，證明qBZMs42MP,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算，即

可求得線段陽的長.

【詳解】解：如圖，連接AD,

APM

是。的直徑，CDLAB,

：.CE=DE,

：.AD=AC=8,

答案第3頁，共22頁

TAB是。的直徑，。的半徑為5,

AZADB=9Q°fAB=10f

BD=y/AB2-AD2=V102-82=6,

?「AM是圓。的切線，

ZADB=ZBAP=90°f

,:ZB=ZB，

:?一BDAS-BAP,

,BDBA

??BA~BP9

即9」

10BP

解得：BP=y

5032

PD=BP-BD=--6=—

33

故選：A

10.B

【分析】

本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作x軸于點M,

期,彳軸于點雙，先證“MBOs推出泮^=（等）:tanNOAB=g^=立，由反比

SNOA。4OA3

例函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得S.M=goMMl=3,進而求出S“BO,即可得出人的值.解題的關(guān)

鍵是理解反比例函數(shù)比例系數(shù)上的幾何意義.

【詳解】

解：如圖，作3M_Lx軸于點Af,AN_Lx軸于點N,

則ZBMO=ZONA=90°,

ZMBO+ZBOM=90°,

答案第4頁，共22頁

RtAAOB中ZBOA=90°,

:.ZAON+ZBOM=90°f

:.ZMBO=ZNOAf

.-.AMBO^ANOA,

,S(°B2

?-5MB0-=(市)'

。.NOAUA

Z(MB=30°,

「?tanZOAB=—,

OA3

.SMBO_(73、2_J_

?,飛"3'

uNOAJJ

點A在反比例函數(shù)y=9(x>0)的圖象上，

X

???S.N°A=；ON.NA=3,

,，*SMBO=§x3=l,

k

點8在反比例函數(shù)>=—(尤<0)的圖象上，

x

k=-2SMBO=-2xl=-2,

故選：B.

11.±8

【分析】

本題考查絕對值的性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).

【詳解】解：???時=8,

〃=±8.

故答案為：±8.

12.x>-3

【分析】

此題主要考查了二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件.根據(jù)二次根式有意義的條件

以及分式有意義的條件，即可求解.

【詳解】解:根據(jù)題意得：x+3"且X+3H0,

/.x>—3.

故答案為：x>-3

答案第5頁，共22頁

【分析】

本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、完全平方式，先根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到左<1,再

根據(jù)完全平方式的特點求得左=±8,進而求得％即可求解，熟知完全平方式的結(jié)構(gòu)是解答的

關(guān)鍵.

【詳解】

解：：在反比例函數(shù)y=的圖象的每一支上，y都隨尤的增大而增大，

X

***k-l<01

/.k<\

;整式/+區(qū)+16是完全平方式，

—k=土2x4=±8

左=±8

'：k<l

左=—8

.??該反比例函數(shù)的解析式為y=-‘；

X

9

故答案為：y=--.

X

14.?8)

【分析】過B作3C_LQ4于C,過皆作軸于。，構(gòu)建=A03C,即可得出答

案.

【詳解】過B作BCJLQ4于C,過8'作軸于。，

答案第6頁，共22頁

/B'DO=ZBCO=90。,

/?Z2+Z3=90,

由旋轉(zhuǎn)可知ZBOB'=90°,OB=OB,

Zl+Z2=90°,

Z1=Z3,

VOB=OB，Z1=Z3,ZB'DO^ZBCO,

：.AOB'D-OBC,

：.B'D=OC,OD=BC=4,

"：AB=AO=5,

?*-AC=ylAB2-BC2=^52-42=3，

，OC=8,

：.B'D=8,

故答案為：（-4,8）.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及如何構(gòu)造全等三角形求得線段的長度，準(zhǔn)確構(gòu)造全等三

角形求得線段長度是解題的關(guān)鍵.

15.120°/120度

【分析】本題考查了圓錐的計算，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底

面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.設(shè)圓錐的底面半徑8。為則圓錐的母線長為

AB=3a,設(shè)圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角為廢，根據(jù)圓錐側(cè)面積公式列方程解出即可.

【詳解】解：作AD13C,垂足為。，

由題意得AB=AC,則3Z）=CD,

]BD

在Rt/\/47?/?中，cosNA3c=—=----,

3AB

設(shè)圓錐的底面半徑為。，

答案第7頁，共22頁

；?圓錐的母線長為AB=3a,

設(shè)圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角為"。，

??7i-a-3a=——-—―,

360

解得n—120.

即圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的圓心角為120。.

故答案為120。.

3

16.1050/105度-/0.75

【分析】

當(dāng)?shù)摹?30。時，由正方形的性質(zhì)得到N&m=90。，NADB=45。,由折疊的性質(zhì)可得

ZFAE=ZBAE=30P,則可得ZDAP=30°,再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出

ZAPD=180°-ZADP-/DAP=105°；

當(dāng)E為BC的中點時，取AE中點T,連接3T,過點B作BGLAE于G,過點P作尸

于H,設(shè)AB=8C=20,則骸=10,利用勾股定理求出AE=10/，則AT=￡T=56，證

明△AEBSABEG,求出EG=2/BG=4非,則TG=3?,證明NBAT=NABT,進而

PHA

證明得至|J一=一=_,設(shè)尸》=4毋AH=3x,證明△PBH是等腰直角

AHTG3

DPAH3

三角形，得至1」皿=9=4》，再證明P”〃&D,即可得到——=—=：.

BPBH4

【詳解】解：：四邊形ABCD是正方形，

ZBAD=90°,ZADB=45°,

當(dāng)ZBAE=30。時，由折疊的性質(zhì)可得NE4E=ZS4E=30。，

ZDAP=90°-ZFAE-ZBAE=30°,

ZAPD=180°-ZADP-ZDAP=105°；

如圖所示，取AE中點T,連接BT,過點B作BGLAE于G,過點P作尸X，AB于H,設(shè)

AS=3C=20,]OE=10,

AE=yjAB2+BE2=1075，

AT=ET=5y[5,

'：/ABE=ZBGE=90°,ZAEB=/BEG,

AAEBsABEG,

答案第8頁，共22頁

.EGBGBEanEGBG10

99BE~AB~AE'1020IOA/5'

EG=2/BG=4百，

TG=3/,

由折疊的性質(zhì)可得=

ZBAP=2ZBAE,

?:AT=BT,

JZBAT=ZABT,

：.ZBTG=ZBAT+/ABT=2ZBAT=/BAP,

又*；/AHP=NTGB,

:.AAHP^ATGB,

.PHBG_4

AW-7U-3

設(shè)PH=4x,AH=3x,

：NPBH=45。，

??是等腰直角三角形,

*.BH=PH=4x,

：ZBAD=ZBHP=90°,

??PH//AD,

DPAH_3

———，

BPBH4

3

故答案為：105。；

4

BEC

【點睛】本題主要考查了正方形與折疊問題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線

分線段成比例定理，等邊對等角等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

17.x<l

答案第9頁，共22頁

【分析】

本題主要考查的是解一元一次不等式組，先求出每個不等式的解集，再根據(jù)口訣：同大取大,

同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了，確定不等式組的解集.

【詳解】

x+142①

解:

6-3尤＞0②

由①得：X<1

由②得：—3x>-6,解得：x<2

.??不等式組的解集為xVI

18.詳見解析

【分析】

本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法,

ASA,ASA,SSS,SAS,HL.證明ABC當(dāng)ARD(ASA),得出答案即可.

【詳解】

證明：Z3=Z4,

ZABC^ZABD,

Z1=Z2

在,ABC與AABD中｛AB=AB

ZABC=ZABD

：..ABC^ABD(ASA),

：.AC^AD.

19.(1)^—

a+1

Q)P=土逅

2

答案第10頁，共22頁

【分析】

本題考查了分式化簡，一元二次方程根的判別式；

(1)先對括號內(nèi)進行通分運算，同時對分子、分母進行因式分解，再將除轉(zhuǎn)化為乘，進行

約分，結(jié)果化為最簡分式或整式，即可求解；

(2)由根的判別式得(。+1)-4xlx]=。，求出。，代入尸，即可求解；

掌握分式化簡的步驟，一元二次方程根的判別式：“A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根;

△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；A<0時，方程有無的實數(shù)根；”是解題的關(guān)鍵.

3(。+1)

【詳解】(1)解:

(a+l)(a—1)

_a-13(a+l)

Q+1+—1)

3

a+i'

(2)

解：方程有兩個相等的實數(shù)根,

??\=b1-4-ac=0,

3

二.(a+1)9-4xlx-=0,

解得：a=±^6—1,

當(dāng)"二"T時'0二后石=*'

當(dāng)時'/，=V6^T7T="T,

.?.尸=±逅

2

20.(1)50

(2)所抽查學(xué)生閱讀量的平均數(shù)是4.2

⑶3

【分析】

答案第11頁，共22頁

(1)由一般的頻數(shù)和頻率，求本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)；

(2)由平均數(shù)的定義即可得出答案；

(3)畫樹狀圖，共有12種情況，其中所選2名同學(xué)中有男生的有6種結(jié)果，再由概率公式

即可得出答案.

【詳解】(1)解：本次抽取的學(xué)生共有：12+0.24=50(名)

(2)解：：“=50x0.40=20,

平均數(shù)為：^x(3xl2+4x20+5xl4+6x4)=4.2.

(3)

解：畫樹狀圖如下：

開始

女女女為

小

女女男女/N女男女/N女見女/N女女

共有12種情況，其中所選2名同學(xué)中有男生的有6種結(jié)果，

???所選2名同學(xué)中有男生的概率為4=j.

【點睛】

此題考查的是用樹狀圖法求概率以及頻數(shù)分布表、平均數(shù)等知識.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺

漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗

還是不放回試驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

21.⑴左=12

(2)-6<x<0或無>6

⑶尸(0,4)或尸(0,-4)

【分析】

本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題時注意：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的

圖象的交點坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式.

(1)把A的橫坐標(biāo)為6代入y=可得點A的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法，即可得到反比

例函數(shù)的表達(dá)式；

答案第12頁，共22頁

1k

(2)依據(jù)函數(shù)圖象，即可得到不等式：；x>—的解集；

3x

(3)設(shè)P(O,p),依據(jù)S△皿=24,列方程求解即可得到點尸的坐標(biāo).

【詳解】(1)

1/c

%=§x6=2,

4(6,2),

：.k=12

(2)

:點A與點B是關(guān)于原點成中心對稱

?*.3(—6,—2),

，不等式的解集為：一6<x<0或無>6

⑶

設(shè)P(O,p),依題意得：!xl2x|p|=24\p\=4p=±4

???P(0,4)或P(O,T)

22.(1)觀測點尸與山腳B點之間的距離是20米

⑵觀測點P與山頂點A之間的距離是2072米

【分析】

本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義，數(shù)形結(jié)合.

族=-^--迪=20

(1)先求出ZEPB=ZPBH=60。，根據(jù)三角函數(shù)求出sin60。一扣(米)即可；

~T

(2)過點A作AD13C,交8C的延長線于點D,先求出ZABD=30°,得出

答案第13頁，共22頁

BP_20a。石

/尸54=180。-NABr>-NPB〃=90。，根據(jù)三角函數(shù)求出cos450點~即可得出

V

答案.

【詳解】(1)

解：如圖E

Pm

HBC

VZEPB=60°,PE//CH,

：.ZEPB=ZPBH=60°,

"：PHLHC,

ZPHC=90。，

在RtBPH中,BH=10,

BP—^--^=20

..sin60°3(米)，

~2

觀測點P與山腳B點之間的距離是20米.

(2)

解：如圖，過點A作AD13C,交BC的延長線于點Q,

mP

o

oA

n

HBCD

'：ZEPA=15°,Z.EPB=60°,

ZAPS=NEPB-ZEPA=45°,

..,山坡AB的坡度i=l:0,

.AD1=y/3

在RtABP中，tanZABD=—=^,

BD3

答案第14頁，共22頁

：.ZABD=30°f

：.ZPBA=180°-ZABD-ZPBH=90°,

在RtAftP中，依=20米，

?AP=取=半=2。6

cos45°y/2(米)，

~T

???觀測點P與山頂點A之間的距離是20近米.

23.(1)詳見解析

(2)①詳見解析；②變

2

【分析】(1)根據(jù)作已知角的等角的方法作圖即可；

(2)①連接OC,根據(jù)圓的性質(zhì)可得/C4O=NACO,NACB=90。，結(jié)合=

即可證明；②設(shè)QB=a,則8。=2a,=OC=a,AD=4°,根據(jù)勾股定理求出CD=26a，

由/5DC=/Ar)C,ZBCD=ZCAD,可證明即Cs?CDA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可

求解.

【詳解】(1)如圖所示，48為所求.

???ZCAO=ZACO,

ZCAO=ZBCD,

■.ZACO=NBCD

A2是。的直徑

ZACB^90°,

ZACO+ZOCB=Z.BCD+Z.OCB=90°

答案第15頁，共22頁

即OCA.CD,

8是Q的切線

②設(shè)OB=a,則BD=2a,OA=OC=a,AD—4a,

在RtAOCD中，CD=yJOD2-OC2=J(3a)2-a2=1-Jla,

/BDC=ZADC,Z.BCD=Z.CAD,

BDCs,CDA,

,BCCD2缶百

ACAD4〃2

...在RtaABC中，tanZCAB=—=^.

AC2

【點睛】本題考查了圓的相關(guān)性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，基本作圖,

解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解題.

24.⑴J仁4a迫

(2)?5>|；②一24或一

4oooo

【分析】

本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，二次函數(shù)與特殊四邊形問題等知識點，掌握函

數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)將拋物線的一般式寫成頂點式即可求解；

(2)①作于點。，求出直線M4的解析式，根據(jù)1^^^二^加必加即可求解；

②分類討論當(dāng)點P在〉軸左側(cè)時，當(dāng)點P在y軸右側(cè)時，兩種情況即可求解；

【詳解】(1)

施軍：,**y=—(%2+2x)+a=—(%?+2x+1—1)+〃=—(%+1)+1+々，

M(—1,1+；

(2)

解：①作ND,處于點。，

答案第16頁，共22頁

當(dāng)x=0時，y=a,

：.A（O,a）,

設(shè)直線MA的解析式為y=kx+b,把A（O,a）、M（—1,1+a）代入得,

[b=a

[—k+Z?=1+a

\k=-1

解得，，

[b=a

：.直線MA的解析式為y=-x+a

y=-x+a

聯(lián)立方程組得，1,

y=-x-a

12

4a

x=一

3

解得，

a

y=——

I3

當(dāng)%=_；一%

1,———,

'-sMBN=-MB-ND=^a+3

*.*tz>0,

?<4/3丫_3

??S>—x———,

3⑷4

3

即S>J

4

答案第17頁，共22頁

②如圖，當(dāng)點尸在y軸左側(cè)時,

當(dāng)x=o時，y=-a,

.C（0,-a）

?/四邊形APCN是平行四邊形，

AC與PN互相平分，

.?.1；

將點P的坐標(biāo)代入y=-/一2x+a得,

a168

———-----6Z2H-a+a,

393

解得〃￥或。=。(不合，舍去),

O

、1,15,/八223

當(dāng)〃=不n時，y=_(%+i)+k，

oO

，，一,9

當(dāng)％=1時，y取得取小值-三，

O

,9//23

..——<y<一；

88

②當(dāng)點P在y軸右側(cè)時，

：四邊形ACPN是平行四邊形，

NP//ACNP=AC,

???喈,-

，A（0,a）,C（O,—aj,

4a7a

：.P'

33

7〃--a2--a+a,解得Q=°或a=0（舍）,

將點P的坐標(biāo)代入,=一%2-2%+。得,

3938

j__7

???P

2，-8

ao11

當(dāng)q=g時，y=-（x+iy+—

oo

當(dāng)x=l時，y取得最小值一421,

o

2111

?——<y<—

88

答案第18頁，共22頁

25.⑴3若

⑵/APD=90。

(3)尸。+且CP的最小值是回

3

【分析】(1)如圖所示，過點A作于H,利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出

AH=3K,則A至IJBC的距離為3K；

(2)以AD為邊在AD左側(cè)作等邊三角形ADE，連接BF,EP,先證明*AB尸絲.ACD(SAS),

得至?。軳ABF=NACO=120。，BF=CD=DE,進而得到尸=60。，證明3尸DE,得

到NPBF=ZE,進而證明BFP瑪EDP(SAS),得到EP=OP,則由三線合一定理可得

AP1DF,則/AP￡>=90。；

(3)由(2)可知，AP=A/3PD,則CP+J^PD=CP+AP,如圖3,作AF13C于尸，連

接FP,證明，AEPSAC。，得至IJNAFP=NACD=12O。，則/DEP