【初中數(shù)學(xué)】第一章+特殊平行四邊形++課件++北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)+

總復(fù)習(xí)期末復(fù)習(xí)課期末復(fù)習(xí)課（一）（第一章特殊平行四邊形）數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版知識(shí)梳理典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版01知識(shí)梳理1.特殊平行四邊形的網(wǎng)絡(luò)圖（特殊平行四邊形的判定）.2.菱形的性質(zhì).（1）邊：菱形的四條邊

?.（2）對(duì)角線：菱形的對(duì)角線互相

，并且平分每一

組

?.（3）對(duì)稱性：①菱形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸；②菱形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).注：菱形的對(duì)角線把菱形分成四個(gè)全等的直角三角形.相等

垂直平分

對(duì)角

3.矩形的性質(zhì).（1）角：矩形的四個(gè)角都是

?.（2）對(duì)角線：矩形的對(duì)角線

，

且互相

?.（3）對(duì)稱性：①矩形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸；②矩形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).直角

相等

平分

4.正方形的性質(zhì).（1）角：正方形的四個(gè)角都是

?.（2）邊：正方形的四條邊

?.（3）對(duì)角線：正方形的對(duì)角線

且互相

?.（4）對(duì)稱性：①正方形是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸；②正方形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).注：正方形具有菱形、矩形的一切性質(zhì).直角

相等

相等

垂直平分

5.面積問題.（1）菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半；（2）矩形的面積等于長×寬；（3）正方形的面積等于邊長的平方，也等于對(duì)角線乘積的

一半.6.直角三角形斜邊中線定理.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

?.一半

數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版02典例講練

①②③④

【思路導(dǎo)航】推出

FG

是△

ACD

的中位線，即可判斷①是否正

確；證明四邊形

ADBE

是菱形，得到

AD

＝

BD

，再利用Rt△

ACD

得到

AD2－

CD2＝

AC2，即可判斷②是否正確；根據(jù)

FG

是

△

ACD

的中位線，證得

S△

AOD

＝2

S△

AOG

，即可判斷③是否正

確；設(shè)

OA

＝

x

，根據(jù)

OA2＝

OF2＋

AF2，求出

OA

得到

AB

，進(jìn)而

求得

BC

，再根據(jù)

BD2－

CD2＝

AC2，求出

BD

，即可判斷④是否

正確.【解析】①由題意可知，

MN

垂直平分

AB

，∴

OA

＝

OB

，

ED

⊥

AB

.

又∵

OF

⊥

AC

，∠

ACB

＝90°，∴

OF

∥

BC

，

AF

＝

CF

，

∴

FG

是△

ACD

的中位線，∴

CD

＝2

GF

.

故①正確.②又∵

OE

＝

OD

，∴

DE

與

AB

互相垂直平分.∴四邊形

ADBE

是菱形.∴

AD

＝

BD

.

在Rt△

ACD

中，

AD2－

CD2＝

AC2，∴

BD2－

CD2＝

AC2.

故②正確.③∵

FG

是△

ACD

的中位線，∴點(diǎn)

G

是

AD

的中點(diǎn).

∴

S△

AOD

＝2

S△

AOG

.

易知

S△

AOD

＝

S△

BOE

，∴

S△

BOE

＝2

S△

AOG

.

綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④.故答案為①②③④.【點(diǎn)撥】本題考查了線段垂直平分線的作圖方法、線段中垂線

的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)定理、勾股定理等，是中考的一個(gè)

?？键c(diǎn).熟練掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.

BA.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)【解析】如圖，設(shè)

AC

與

MN

的交點(diǎn)為點(diǎn)

O

.根據(jù)作圖可得，

MN

垂直平分

AC

.

∴

AO

＝

CO

.

∵四邊形

ABCD

是矩形，∴

AD

∥

BC

.

∴∠

EAO

＝∠

OCF

.

又∵∠

AOE

＝∠

COF

，

AO

＝

CO

，∴△

AOE

≌△

COF

（

ASA

），∴

AE

＝

FC

.

又∵

AE

∥

CF

，∴四邊形

AFCE

是平行四邊形.

∵

MN

垂直平分

AC

，∴

EA

＝

EC

，∴四邊形

AECF

是菱形.故①正確.

綜上所述，①②④正確，共3個(gè).故選B.類型二

矩形的性質(zhì)與判定

在四邊形

ABCD

中，已知

AC

，

BD

相交于點(diǎn)

O

，

AD

∥

BC

，∠

ADC

＝∠

ABC

，

OA

＝

OB

.

（1）如圖1，求證：四邊形

ABCD

為矩形；圖1（2）如圖2，點(diǎn)

P

是邊

AD

上任意一點(diǎn)，

PE

⊥

BD

，

PF

⊥

AC

，

垂足分別是

E

，

F

，若

AD

＝12，

AB

＝5，求

PE

＋

PF

的值.圖2

圖1（2）解：如圖，連接

OP

.

∵在矩形

ABCD

中，

AD

＝12，

AB

＝5，

【點(diǎn)撥】（1）判定矩形的關(guān)鍵要素：①平行四邊形；②直角或

對(duì)角線相等.（2）矩形問題中涉及邊長的和的求值或證明問題

時(shí)，一般通過全等三角形或等面積法解決.（3）關(guān)于中點(diǎn)的處

理，主要看中點(diǎn)所在的“環(huán)境”，如等腰三角形底邊中點(diǎn)、直

角三角形斜邊中點(diǎn)、雙中點(diǎn)等，不同環(huán)境處理方法各不相同.

1.如圖，在矩形

ABCD

中，

AB

＝3，

BC

＝6.若點(diǎn)

E

，

F

分別在

AB

，

CD

上，且

BE

＝2

AE

，

DF

＝2

FC

，點(diǎn)

G

，

H

是

AC

的三等

分點(diǎn)，則四邊形

EHFG

的面積為

?.2

2.如圖，已知?

ABCD

的對(duì)角線

AC

，

BD

相交于點(diǎn)

O

，過點(diǎn)

A

作

AF

⊥

CD

，垂足為

F

.

延長

DC

到點(diǎn)

E

，使

CE

＝

DF

，連接

OE

，

BE

.

（1）求證：四邊形

ABEF

是矩形；（1）證明：∵四邊形

ABCD

是平行四邊形，

∴

AB

∥

CD

，

AB

＝

CD

.

∵

CE

＝

DF

，∴

CE

＋

CF

＝

DF

＋

CF

，即

EF

＝

CD

.

∴

AB

＝

EF

.

∴四邊形

ABEF

是平行四邊形.又∵

AF

⊥

CD

，即∠

AFE

＝90°，∴?

ABEF

是矩形.（2）若

AB

＝5，

CF

＝2，

AC

⊥

BD

，求

OE

的長.

類型三

正方形的性質(zhì)與判定

（2022·邵陽）如圖，在菱形

ABCD

中，已知對(duì)角線

AC

，

BD

相交于點(diǎn)

O

，點(diǎn)

E

，

F

在對(duì)角線

BD

上，且

BE

＝

DF

，

OE

＝

OA

.

求證：四邊形

AECF

是正方形.【思路導(dǎo)航】菱形的兩條對(duì)角線互相垂直且平分，再根據(jù)兩條

對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形即可證明四邊形

AECF

是正方形.證明：∵

四邊形

ABCD

是菱形，∴

OA

＝

OC

，

OB

＝

OD

且

AC

⊥

BD

.

又∵

BE

＝

DF

，∴

OB

－

BE

＝

OD

－

DF

，即

OE

＝

OF

.

∵

OE

＝

OA

，∴

OA

＝

OC

＝

OE

＝

OF

，且

AC

＝

EF

.

∴四邊形

AECF

是矩形.又∵

AC

⊥

EF

，∴四邊形

AECF

是正方形.【點(diǎn)撥】掌握菱形的性質(zhì)和正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

1.如圖，已知點(diǎn)

E

，

F

分別是正方形

ABCD

的邊

CD

，

AD

上的

點(diǎn)，且

CE

＝

DF

.

連接

AE

，

BF

，交于點(diǎn)

O

.

下列結(jié)論：①

AE

＝

BF

；②

AE

⊥

BF

；③

S△

AOB

＝

S四邊形

DFOE

；④

AO

＝

OE

；⑤∠

AFB

＋∠

AEC

＝180°.其中正確的有

?

（填序號(hào)）.①②③⑤

2.如圖，在菱形

ABCD

中，已知點(diǎn)

E

，

O

，

F

分別為

AB

，

AC

，

AD

的中點(diǎn)，連接

CE

，

CF

，

OE

，

OF

.

（1）求證：△

BCE

≌△

DCF

.

（2）當(dāng)

AB

與

BC

滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形

AEOF

是正方形？

請(qǐng)

說明理由.

【思路導(dǎo)航】先由線段比設(shè)參數(shù)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)等表示出

DG

；再在四邊形

DEGF

中，由等面積法列方程求出參數(shù)；然后

在△

BFH

中構(gòu)造△

AEG

的相似三角形，求邊長；最后由勾股定

理求出

BH

的長.

【點(diǎn)撥】翻折變換中產(chǎn)生的“十字架模型”，常結(jié)合勾股定理

等知識(shí)，利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

1.如圖，有一個(gè)邊長為2的正方形

ABCD

，點(diǎn)

M

，

N

分別是

AD

，

BC

邊的中點(diǎn)，將點(diǎn)

C

折疊到線段

MN

上，落在點(diǎn)

P

的位

置，折痕為

BQ

，則

MP

的長為

?.（第1題圖）

2.如圖，四邊形

OABC

是矩形，點(diǎn)

A

的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)

C

的

坐標(biāo)為（0，4），將矩形

OABC

沿

OB

折疊，點(diǎn)

C

落在點(diǎn)

D

處，

則點(diǎn)

D

的坐標(biāo)為

?.（第2題圖）

類型五

特殊平行四邊形中的旋轉(zhuǎn)問題

如圖，將矩形

ABCD

繞點(diǎn)

C

旋轉(zhuǎn)得到矩形

FECG

，點(diǎn)

E

在

AD

上，延長

ED

交

FG

于點(diǎn)

H

.

（1）求證：△

EDC

≌△

HFE

.

（2）連接

BE

，

CH

.

【思路導(dǎo)航】（1）由旋轉(zhuǎn)和矩形的性質(zhì)可知

CD

＝

EF

，∠

CDE

＝∠

EFH

＝90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠

DEC

＝∠

FHE

，

即可利用“AAS”證明△

EDC

≌△

HFE

.

（2）①解：四邊形

BEHC

是平行四邊形.證明如下：如圖，連接

BE

，

CH

.

∵四邊形

ABCD

是矩形，∴

AD

∥

BC

，即

EH

∥

BC

.

∵△

EDC

≌△

HFE

，∴

EC

＝

EH

.

∵將矩形

ABCD

繞點(diǎn)

C

旋轉(zhuǎn)得到矩形

FECG

，∴

EC

＝

BC

.

∴

EH

＝

BC

.

又∵

EH

∥

BC

，∴四邊形

BEHC

是平行四邊形.②【解析】要使四邊形

BEHC

是菱形，

∵將矩形

ABCD

繞點(diǎn)

C

旋轉(zhuǎn)得到矩形

FECG

，

∴△

BCE

是等邊三角形.∴∠

EBC

＝60°.∴∠

ABE

＝90°－∠

EBC

＝30°.

【點(diǎn)撥】解答本題時(shí)，要綜合運(yùn)用矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、

全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)、

含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí).

1.如圖，將矩形

ABCD

繞點(diǎn)

A

按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜

90°）得到矩形

AB

'

C

'

D

'，此時(shí)點(diǎn)

B

'恰好在

DC

邊上，連接

BB

'.

若∠

B

'

BC

＝15°，則α的大小為

?.（第1題圖）30°

（第2題圖）（6，

4）

類型六

特殊平行四邊形中的最值問題

如圖，在矩形紙片

ABCD

中，已知

AB

＝8，

BC

＝6，點(diǎn)

E

是

AD

的中點(diǎn)，點(diǎn)

F

是

AB

上一動(dòng)點(diǎn).將△

AEF

沿直線

EF

折疊，點(diǎn)

A

落在點(diǎn)

A

'處.在

EF

上任取一點(diǎn)

G

，連接

GC

，

GA

'，

CA

'，則△

CGA

'周長的最小值為

?.

【思路導(dǎo)航】連接

AC

，交

EF

于點(diǎn)

G

，連接

A

'

G

，此時(shí)△

CGA

'

的周長最小，最小值為

A

'

G

＋

GC

＋

CA

'＝

GA

＋

GC

＋

CA

'＝

AC

＋

CA

'.當(dāng)

CA

'最小時(shí)，△

CGA

'的周長最小，再求出

CA

'的最小

值即可解決問題.【解析】如圖，當(dāng)點(diǎn)

F

固定時(shí)，連接

AC

交

EF

于點(diǎn)

G

，連接

A

'

G

，此時(shí)△

CGA

'的周長最小，最小值為

A

'

G

＋

GC

＋

CA

'＝

GA

＋

GC

＋

CA

'＝

AC

＋

CA

'.∵四邊形

ABCD

是矩形，∴∠

D

＝90°，

AD

＝

BC

＝6，

CD

＝

AB

＝8.

∴△

CGA

'的周長的最小值為10＋

CA

'.當(dāng)

CA

'最小時(shí)，△

CGA

'的

周長最小.∵點(diǎn)

E

是

AD

的中點(diǎn)，∴

DE

＝

AE

＝

EA

'＝3.

∵

CA

'≥

CE

－

EA

'，

【點(diǎn)撥】翻折就會(huì)有定點(diǎn)、定長，將其放入三角形中利用三角

形三邊長關(guān)系解決.特殊平行四邊形中的最值問題一般有如下三

種：（1）兩定一動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在直線上的最值問題，

常常利用軸

對(duì)稱解決問題；（2）“兩動(dòng)點(diǎn)之間距離”最小值問題，可轉(zhuǎn)化

為“一定一動(dòng)”最值問題；（3）“一定一動(dòng)”最值問題的關(guān)鍵

是找