2024年高考材料：幾何綜合壓軸題

高考復(fù)習(xí)材料

幾何綜合壓軸題

特殊三角形性質(zhì)及判定

特殊四邊形性質(zhì)及判定化VaB想

整體思想

分類思想

勾股定理方程思想

全等和相似

三角函數(shù)

1.【問題情境工

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們開展了以折疊為主題的探究活動(dòng)，如圖1，已知矩形紙片

ABCD（AD>AB）,其中寬/5=8.

(1)【動(dòng)手實(shí)踐1

如圖1,威威同學(xué)將矩形紙片ABCD折疊，點(diǎn)A落在8C邊上的點(diǎn)M處,折痕為8N,連接"N,

然后將紙片展平，得到四邊形則折痕8N的長度為

高考復(fù)習(xí)材料

(2)【探究發(fā)現(xiàn)】：

如圖2,勝勝同學(xué)將圖1中的四邊形48〃乂剪下，取4N邊中點(diǎn)E,將V/8E沿BE折疊得

至Uv/BE，延長84交ACV于點(diǎn)尸.點(diǎn)0為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是邊ACV上一動(dòng)點(diǎn)，將△州0P

沿尸。折疊，當(dāng)點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)AT落在線段8尸上時(shí)，求此時(shí)tan/尸加的值；

⑶【反思提升】：

明明同學(xué)改變圖2中。點(diǎn)的位置，即點(diǎn)。為3W邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸仍是邊MN上一動(dòng)點(diǎn)，按

照(2)中方式折疊△M0尸，使點(diǎn)AT落在線段8尸上，明明同學(xué)不斷改變點(diǎn)。的位置，發(fā)現(xiàn)

在某一位置NQPW與(2)中的/尸。“相等，請直接寫出此時(shí)8。的長度.

【答案】(1)8亞(2)4(3)/

【分析】(1)通過折疊的性質(zhì)可證明是等腰直角三角，利用勾股定理即可求出2N；

(2)先證明=.再證明△￡才尸鄉(xiāng)△ENF,接著證明尸，即有

進(jìn)而求出NF,MF,則在RtABFM中，有tanZFBM=—=-=BPtanZPQM

AENFBM84

得解；

(3)過AT作KS〃兒W交2”于點(diǎn)S,過P點(diǎn)作PK〃BM交KS于點(diǎn)K點(diǎn),根據(jù)(2)的

結(jié)果得到tan/Q尸庇;3，即可得當(dāng)OM'=3=,先證明四邊形K/%岱是矩形，再證

4PM4

叢M'KPs叢QSM',即有理^型二絲二,，設(shè)S0二冽，SM'=n,則有K"二%，

KM'KPPM'473

4〃I------

KP=—'利用勾股定理可表示出“。，--M'Q=^n2+m2=MQ，根據(jù)KP=SM=S0+QM,

4〃/------2424/------25

有——=m+-\ln2+m2,可得〃=——m,BPSM'=n=—m,：.M'Q=MQ=yln2+m2=—m,

3777

24

在結(jié)合tanNFSW=1■可得=進(jìn)而有=―三一=：,解得：加=(,則20得

42s4BS8-必機(jī)48

7

解.

(1)

根據(jù)矩形的性質(zhì)有乙4=乙48/=90。，

根據(jù)折疊的性質(zhì)有乙4=zaW,AB=BM,AN=MN,

：4=UBM=90°=乙BMN,即四邊形48MV是矩形，

:.AB=MN,BM=AN,

■：AB=BM,AN=MN,

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??.矩形4M介是正方形，

?,.MN=BM=AB,

^AB=8,

??.MN=BM=8,

??.△BMN是等腰直角三角形，

■■BN=y]MN2+BM2=A/82+82=8A/2MN=872，

故答案為：8A/2;

(2)

連接ER如圖，

圖2

在(1)中已得矩形/8MN是正方形，

-'-AN=MN=BM=AB=8,ZA=Z.N=90°=Z.M，

?也為ZN中點(diǎn)，。為期中點(diǎn)，

-，-AE=EN=4=BQ=QM,

???根據(jù)翻折的性質(zhì)有=MQ=M'Q,ZA=ZBA'E=90°,AAEB=ZA'EB,

ZMQP=ZM'QP,

：.AE=4'E=EN=4,MQ=M'Q=BQ=4,NEA'F=NBA'E=90°

ZBM'Q=ZM'BQ,

■：ABM'Q+AM'BQ=AM'QM=AMQP=ZM'QP,

...ZM'BQ=ZPQM.

???ZEA'F=ZBA'E=90°,A'E=EN,FE=EF,

:AEAF冬AENF,

:.NA'EF=ANEF,

又,：NAEB=ZA'EB,ZAEB+ZA'EB+ZA'EF+NNEF=180°,

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???/AEB+/NEF=90°,

?；/AEB+/ABE=90°,

ZNEF=/ABE,

???結(jié)合ZA=ZN=90°有LABEs叢NEF,

ABNE

??五一訴‘

,?弘5=8,AE=EN=4,

84口口

???一=—,即NF=2,

4NF

:?MF二MN-NF=8-2=6,

FM63

???在Rt/^BFM中，tan/FBM=-----=—=—,

W84

???ZMBrQ=ZPQM,

3

tanZ.PQM-tanZ.FBM=—；

(3)

過AT作KS〃肱V交以/于點(diǎn)S,過P點(diǎn)作尸K〃3交KS于點(diǎn)K點(diǎn)，如圖,

3

在(2)中求得tanzPQM=w，

?:(QPM與(2)中的乙相等，

???可知tanzQPM=tsnz.PQM=,

在及△尸。M中，喘=3,

???根據(jù)翻折的性質(zhì)有察=；ZPM'Q=ZM=90°,

PM4

???NKM'P+4QM'S=90°,

?:KS〃MN,PK//BM,PMLBM,

???KS1KP,KS工BM,KPVMN,

；/K=90°=乙KSQ,且四邊形K/加岱是矩形，

高考復(fù)習(xí)材料

^SMrQ+^MrQS=90°,

:/KPM'"SM'Q,

.?.AM'KPs叢QSM',

SQ_SMr_QMr_3

,,KM，一石―PM「1’

設(shè)SQ=m,SM'二n,

47774〃

則有K"=(KP=y,

.?.在RtAQSM'中，M'Q=yjM'S2+SQ2=+m2，

.?.可。=，川+加2=WQ,

,?,四邊形K7%岱是矩形,

.,.KP=SM=SQ+QM,

4〃/--------2424

???——=m+yjn2+m2,可得〃=—m,BPSMf=n=——m,

377

_____)c

：.M'Q=MQ=\n2+m2=—m,

」..，3

??,在(2)中已求得tanzJ7BA/=一，

4

SMr_3

~W~49

25032

-BS=BM-SQ-QM=8-m--m=8---m,

24

SMr~m37

=-，解得:m=—

~BS~~o32

8-----m8

7

2525739

：.BQ=BM-QM=8——m=8——x-=—.

*上7788

【我思故我在】本題主要考查了翻折的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定

與性質(zhì)、勾股定理、平行的判斷與性質(zhì)、解直角三角形、正方形的判定與性質(zhì)等知識，構(gòu)造

合理的輔助線證得是解答本題的關(guān)鍵.

2.綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以〃矩形的折疊〃為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).

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⑴操作判斷

操作一：對折矩形紙片/BCD,使/。與3C重合，得到折痕ER把紙片展平；

操作二：在4D上選一點(diǎn)尸，沿AP折疊，使點(diǎn)N落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接

PM,BM.

根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在歷上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)30。的角：.

(2)遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片48co按照(1)中的方式操作，并延長尸“交CD于點(diǎn)。，連接8。.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)“在斯上時(shí)，乙MBQ=。，4CBQ=°；

②改變點(diǎn)P在/。上的位置(點(diǎn)P不與點(diǎn)/,。重合)，如圖3,判斷與NC80的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由.

⑶拓展應(yīng)用

在(2)的探究中，己知正方形紙片/BCD的邊長為8cm,當(dāng)尸0=1cm時(shí)，直接寫出4P的

長.

L答案］(1)NBME或ZABP或NPBM或4MBe

(2)①15,15；@ZMBQ=ZCBQ,理由見解析

40、24

(3)AP=—cm或一cm

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)，得BE=；BM,結(jié)合矩形的性質(zhì)得乙劭==30。，進(jìn)而可得

NABP=NPBM=ZMBC=30°；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證RtAB0M=RtA50c(HL),即可求解；

(3)由(2)可得0M=0C,分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)尸的下方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)0在點(diǎn)尸的上

方時(shí)，設(shè)4P=P〃=x，分別表示出PD,DQ,PQ,由勾股定理即可求解.

高考復(fù)習(xí)材料

(1)

解：AE=BE=3AB,AB=BM

：.BE=-BM

2

BE1

ZBEM=90°,sinzBME=——=—

BM2

:?NBME=30。

：.ZMBE=60°

■:/ABP=/PBM

：./ABP=ZPBM=ZMBC=30°

(2)

???四邊形/BCD是正方形

：.AB=BC,44二UBC=乙C二90。

由折疊性質(zhì)得：AB=BM,^PMB=Z.BMQ=/.A=90°

；?BM=BC

①?：BM=BC,BQ=BQ

???RtABQM=RtA50c(HL)

：.ZMBQ=ZCBQ

QE)MBC=30°

：.ZMBQ=ZCBQ=15°

@9：BM=BC,BQ=BQ

：.RtABQM=RtM0C(HL)

：.ZMBQ=ZCBQ

(3)

當(dāng)點(diǎn)0在點(diǎn)尸的下方時(shí)，如圖，

圖3

高考復(fù)習(xí)材料

''FQ=1cm,DF=FC=4cm,AB=8cm

：.QC=CD-DF-FQ=S-4-\=3(cm),DQ=DF+FQ=4+1^5(cm)

由(2)可知，QM=QC

設(shè)4P=PM=x,PD=8-x,

：.PD2+DQ2=PQ2,

即(8-X『+52=(X+3)2

解得：x=-4^0

540

AP=——cm；

11

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)尸的上方時(shí)，如圖,

APD

Q

?C

"：FQ=1cm,DF=FC=4cm,AB=8cm

QC=5cm,DQ=3cm,

由(2)可知，W=QC

1§：AP=PM=x,PD=S-x,

：.PD2+DQ2=PQ2,

即(8-才+32=(x+5y

24

解得：x=—

24

AP=—cm.

13

【我思故我在】本題主要考查矩形與折疊，正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的全等，掌握

相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

高考復(fù)習(xí)材料

3.將正方形4BCD的邊48繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至4夕，記旋轉(zhuǎn)角為連接88',過點(diǎn)。

作DE垂直于直線33',垂足為點(diǎn)E,連接。

RR，

⑴如圖1,當(dāng)夕=60。時(shí)，AZ）E8'的形狀為，連接2。，可求出"的值

（2）當(dāng)0°<a<360°且aw90°時(shí),

①⑴中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立,

請說明理由；

②當(dāng)以點(diǎn)區(qū)E,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請直接寫出隼的值.

-BE

【答案】（1）等腰直角三角形，V2;（2）①結(jié)論不變，理由見解析；②3或1.

【分析】（1）根據(jù)題意，證明V/B夕是等邊三角形，得4483=60,計(jì)算出乙08￡=45°,

DDr

根據(jù)?？傻肁Z）E5'為等腰直角三角形；證明△BOB':△"）/,可得7詬的值；

CE

（2）①連接BD,通過正方形性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)，表示出NEB'D=/AB'D-/AB'B=45°,結(jié)合

DR，

DEIBB',可得AZJEB'為等腰直角三角形；證明:△EDC,可得的值；

CE

②分為以CD為邊和CD為對角線兩種情況進(jìn)行討論即可.

高考復(fù)習(xí)材料

【詳解】（1）由題知/B/8'=60。，NBAD=9Q。,AB=AD=AB'

.-.ZB'AD=30°,且V458'為等邊三角形

AAB'B=60",ZAB'D=1（180°-30°）=75°

ZDB'E=180°-60°-75°=45°

■■■DEIBB'

:.NDEB'=9Q。

:"B'DE=45°

為等腰直角三角形

連接BD,如圖所示

ZBDC=ZB'DE=45°

NBDC-ZB'DC=ZB'DE-ZB'DC即ZBDB'=ZCDE

..CDDE

:?△BDB':ACDE

BB'BD2r-

.?.------==—==72

CECDV2

故答案為：等腰直角二角形，V2

（2）①兩個(gè)結(jié)論仍然成立

連接BD,如圖所示：

BC

高考復(fù)習(xí)材料

VAB=AB',/BAB'=a

.-.ZABB'=90°

2

???ZB'AD=a-90°,AD=AB'

ZAB'D^135°--

2

???AEB'D=NAB'D-NAB'B=45°

■■■DEIBB'

NEDB'=NEB'D=45°

??.△DEB，是等腰直角三角形

??.&&

DE

???四邊形/BCD為正方形

—=V2,ZBDC=45°

CD

BDDB'

"CD-DE

■:AEDB'=ZBDC

NB'DB=NEDC

:AEDC

M①m

CECD

結(jié)論不變，依然成立

②若以點(diǎn)況瓦C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，分兩種情況討論

第一種：以CD為邊時(shí)，則CD//8E,此時(shí)點(diǎn)夕在線段BA的延長線上，

如圖所示：

此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合,

高考復(fù)習(xí)材料

???BE-B'E,得——=1；

DE

②當(dāng)以CD為對角線時(shí)，如圖所示:

此時(shí)點(diǎn)F為CD中點(diǎn)，

■.■DELBB'

：.CB'1BB'

■■ZBCD=90°

：./\BCF:/\CB'F:ABBt

BCCB'BB'c

CFB'FCB'

.-.BB'=4B'F

.?.BE=6B'F,B'E=2B'F

BE°

-----=3

B'E

綜上：黑RF的值為3或1.

4.如圖（1）,已知點(diǎn)G在正方形/BCD的對角線/C上，GELBC,垂足為點(diǎn)E,

GFLCD,垂足為點(diǎn)尸.

⑴證明與推斷:

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①求證：四邊形CEG尸是正方形：

②推斷：黑的值為_____________;

一BE

⑵探究與證明：

將正方形CEG尸繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)口角（0<a<45°）,如圖（2）所示，試探究線段NG

與3E之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶拓展與運(yùn)用：

正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B,E,尸三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖（3）所示，延長CG

交4D于點(diǎn)巴

①求證：^AHG^/XCHA.

②若/G=8,GH=26，貝=.

【答案】（1）①見解析；②6

⑵AG=^BE，理由見解析

⑶①見解析；②4麗

【分析】（1）①由GE12C、GF,CD結(jié)合/BCD=90?？傻盟倪呅蜟EG尸是矩形，再由

/￡CG=45。即可得證；②由正方形性質(zhì)知NCEG=48=90。，NECG=45。，據(jù)此可得

=V2,GEPAB,利用平行線分線段成比例定理可得；

（2）連接CG,只需證△/CG-ASCE即可得；

（3）①根據(jù)題意可求出N5EC=135。.再根據(jù)△yiCGszXBCE,即得出乙4GC=N8￡C=：L35。，

從而可求出41G//=NC48=45。.即證明A4//GSZ\C7￡4；②由—得

AGGH4H,AGGH82V2

―，設(shè)BC=CD=AD=a,則NC=&a，由下==7得：=從而可

~AC~~AHCrzACAHyflaAH

求出4H=ga,D心,CH=",再由==||得：=太,解出。即可.

【詳解】（1）①???四邊形48Go是正方形,

."CZ)=90°,Z5G4=45°,

??,GEIBC、GF1CD,

???乙CEG=乙CFG=5CF=9G°,

???四邊形CEGF是矩形，乙CGE=乙ECG=45°,

高考復(fù)習(xí)材料

:,EG=EC,

.??四邊形CEG尸是正方形；

②由①知四邊形CEGk是正方形,

.?ZCEG=N5=9O。，NECG=45。，

—=V2,GE?AB,

CE

.??任=”=行，

BECE

故答案為拒；

(2)如圖，連接CG,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知乙CG=a,

亞CB_母

在RtACEG和RtACBA中，—

CG

空=(=應(yīng),

CECB

：2CGFBCE,

二線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=41BE；

(3)①ZCE尸=45。，點(diǎn)2、E、尸三點(diǎn)共線,

???乙BEC=135°.

???△ACGMBCE,

???—GC=4B￡C=135°,

：.UGH=CCAH=45°.

“CHA=UHG,

：?AAHG?ACHA；

②?；AAHG?ACHA,

AG_GHAH

高考復(fù)習(xí)材料

設(shè)BC=CD=AD=a,則/C=缶,

,AGGH,082A/2

則由K=得：~r~

ACAH42a~AH

1

AtTHT=—a,

2

1

：.DH=AD-AH=-a,

2

?-CH=y/CD2+DH2=

-1a

qAGAH382

???由——=——得:VT

ACCH——a

2

解得：a=4而,即BC~4廂,

故答案為：4V10.

【我思故我在】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性

較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定

與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.如圖1,在A42C中，乙4c3=90。，AC=BC=3,點(diǎn)。是直線N3上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。不與

點(diǎn)4,2重合)，以CD為邊作正方形CDEF,連接/E,AF.

圖1圖2備用圖

(1)觀察猜想

高考復(fù)習(xí)材料

當(dāng)點(diǎn)。在線段45上時(shí)，線段2。與/尸的數(shù)量關(guān)系是,NC4E的度數(shù)是.

（2）探究證明

當(dāng)點(diǎn)。不在線段上時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形

進(jìn)行證明；如果不成立，請說明理由.

⑶解決問題

當(dāng)AD=0時(shí)，請直接寫出線段/E的長.

【答案】⑴90°

⑵當(dāng)點(diǎn)。不在線段上時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，證明見解析

⑶線段/E的長為1

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，得出ASC0MA4CF,得到

BD=AF；過E作EHVAD,根據(jù)A5CD三A4CF得到N8/G=90。，確定四邊

形4GE77是矩形，通過在皿E和AAfF中角度關(guān)系得出/瓦汨■=/￡網(wǎng)?,進(jìn)而得到

ADEH二AFEG（AAS）,確定四邊形/GE〃是正方形，根據(jù)正方形對角線性質(zhì)得出

ZCAE=90°；

（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，得出ABCDMA4CF,得到8。=/萬；

過E作EG,反4,EHLAD,根據(jù)ASCD三A4C尸得到/反4，=90。，確定四邊形NGE”是

矩形，再根據(jù)正方形內(nèi)角為直角可以得出NG￡F=N〃ED,進(jìn)而得至UAGE尸=A77DE（44S）,

確定四邊形/GE"是正方形，根據(jù)正方形對角線性質(zhì)得出/C/E=90。；

（3）在等腰直角小臺(tái)。中，利用勾股定理得到斜邊長為3拒〉收，可知。在邊協(xié)上，根

據(jù)（1）中求解過程即可利用全等性質(zhì)及勾股定理求出線段長.

（1）

解：；四邊形CDE尸是正方形，

:.CD=CF,ZDCF=90°,

,?,在中，^ACB=90°,

：./BCD+NDCA=90°,ZACF+ZDCA=90°,

/BCD=ZACF,

在ASCD和A4CF中，

高考復(fù)習(xí)材料

AC=BC

</BCD=ZACF,

DC=CF

NBCD=\ACF(SAS),

BD=AF；

過E作￡G_LE4,EHYAD,如圖所示:

圖1

由ABCD三A4W得ZCAF=ZB=45°,

???在AA5C中，^ACB=9Q°,AC=BC=3,

/./B4c=45。,

/FAB=90°,

ZBAG=90°,

.??四邊形是矩形，

令EF與AB交于I,在AZYE和A47F中，ADIE=AA1F,ZDEI=ZFAB=90°,

ZEDH=NEFG,

在AZ)￡H和AFEG中，

ZDHE=ZG=90°

<NEDH=ZEFG,

DE=EF

高考復(fù)習(xí)材料

:.\DEH=\FEG（AAS'）,

EG=EH,

四邊形/GE"是正方形，

VAE是正方形AGEH的對角線，

NEAB=45°,

ZCAE=ZCAB+NEAB=90°；

故答案為：BD=AF；/C/E=90。；

（2）

解：當(dāng)點(diǎn)。不在線段48上時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立.

證明如下：

:四邊形COE尸是正方形，

:.CD=CF,ZDCF=90°,

??,在A4BC中，乙4cB=90。，

NBCD=NDCA+9。。,ZACF=ZDCA+90°,

NBCD=ZACF,

在A5c。和A4C尸中，

AC=BC

-/BCD=NACF,

DC=CF

\BCD=AACF（SAS）,

BD=AF■,

過E作EG_LE4,EHLAD,如圖所示：

高考復(fù)習(xí)材料

圖2

由NBCD三AACF得ZCAF=ZB=45°,

???在ZU5C中，。。5=90°,AC=BC=3,

/BAC=45。,

/./FAB=90°,

/FAH=90。,

四邊形是矩形，

???ZDEF=ZGEH=90°9

ZGEF+ZDEG=90°f/HED+/DEG=90。,

ZGEF=ZHED,

在AGE廠和A//0E中，

ZEGF=ZH=90°

<ZGEF=ZHED,

DE=EF

AGEF二gDE(AAS),

EG=EH,

四邊形是正方形，

vAE是正方形AGEH的對角線，

.\ZEAG=45°f

/./CAE=ZCAF+/EAG=90°；

故答案為：BD=AF；ZCAE=90°；

高考復(fù)習(xí)材料

（3）

解：在A42C中，0cB=90。，4。=8。=3,點(diǎn)。是直線N2上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)力,B

重合），

AB=y]AC2+BC2=372，

---BD=4i,

,根據(jù)3也〉正可知點(diǎn)。在線段42上，

由（1）知BD=AF=，F(xiàn)G=DH,AG—GE=EH=HA,

過C作C7LA4于J,如圖所示：

-AC-BC3x3

由等面積法可得67=產(chǎn)

-AB3近2

-AB

在用ACZV中，ACJD=90°,CJ=—,DJ=-AB-BD=—-42=—,

2222

???正方形邊長CD=yjCJ2+DJ2=

在RtMFG中,NG=90。，設(shè)4G=G￡=￡〃=/￡4=x,貝IJ廠G=V^+x，EG=x,EF=M,

根據(jù)勾股定理可得（后+X）2+x2=（VTf,解得尤=*或一乎（舍棄），

在正方形4GE〃中，/E是其對角線，貝==

2

【我思故我在】本題考查幾何綜合，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)與判定、

等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理求線段長等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)、難度較大，根據(jù)題意構(gòu)造

出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解決問題的關(guān)鍵.

6.已知，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，NBDE=〃且DB=DE,連接BE,EC,

高考復(fù)習(xí)材料

問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖L若〃=60。，N8CE與〃怎樣的數(shù)量關(guān)系？k的值為多少？直接寫出

答案.

類比探究：Q）如圖2,若黑=：,點(diǎn)。在4c的延長線上，N8CE與〃有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

nC2

k的值為多少？請說明理由.

拓展應(yīng)用：（3）如圖3,在RtAABC中，ZB4C=9O°,AB=AC=W,。為AC上一點(diǎn)，以3。為

邊，在如圖所示位置作正方形BDEF,點(diǎn)。為正方形BDEF的對稱中心，且。4=2也，請直

接寫出OE的長.

1?1

3

【答案】(1)NA=/BCE,笈=1；(2)ZBCE=ZA,k(3)DE=24.

【分析】問題發(fā)現(xiàn)：（1）證明DNBO@DCBE（S/S）,可得出=AD=CE,

類比探究：（2）證明ZUBCSADBE,得出"=g￡,證明AXBQSACBE,得出

BDBE

ADAB3//73

—-=--=-.貝|/8CE=/4，k=-

ECBC22

(~)AAR1

拓展應(yīng)用：(3)證明得出==貝求出40=10—4=6,

1JC￡>Cyj2

則8?？汕蟪?

【詳解】解：問題發(fā)現(xiàn)：（1）NBCE=NA=60°；k=l.

-：AB=AC,NBDE=NA=60°,DB=DE,

KABC和NBDE都是等邊三角形,

ZABC=ZDBE=60°,AB=BC,BD=BE,

ZABD=NCBE,

AABD=ACBE(SAS),

:.NA=NBCE,AD^CE,

任”1.

CE

高考復(fù)習(xí)材料

3

類比探究：（2）ABCE=AA,k=~.

理由如下：由于=AB=AC,BD=DE,

/ABC=ZDBE,

\DABCsDDBE,

.AB_BC

一~DB~~BE'

.ABBC

,?訪一耘’

又Q^ABC+ECBD=EDBE+DCBD,

即/ABD=ZCBE,

/.\ABD^\CBE（對應(yīng)邊成比例，夾角相等），

.AD_AB_3

…~EC~5C-2,

3

/.ZBCE=ZA,k=~.

拓展應(yīng)用：（3）DE=2V34.

連接50、0D,

???點(diǎn)0為正方形BDEF的對稱中心，

??.V5O。是等腰直角三角形，

又???RtZkABC中,ABAC=9Q\AB=AC=10f

.?.VZBC是等腰直角三角形，

岫ODs\BAC

——=—,EiOBA+DABD=^ABD+ODBC,

BABC

.BO_BA

?茄-5CNOBA=/DBC,

/.DBOA^DBDC,

.OA_AB_1

一~DC~左一

高考復(fù)習(xí)材料

QOA=2V2,

.2A/2_1

,,京:6

DC=4,

\AD=10-4=6,

\BD=ylAB2+AD2=V102+62=2A/34.

【我思故我在】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相

似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握全等三角形的判

定方法與相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

7.在四邊形N8CD中，點(diǎn)E為42邊上一點(diǎn)，點(diǎn)尸為對角線5。上的一點(diǎn)，且跖

（1）若四邊形/BCD為正方形；

①如圖1,請直接寫出/E與。尸的數(shù)量關(guān)系；

②將AEB尸繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接NE、DF,猜想NE與。尸的數(shù)量

關(guān)系并說明理由；

（2）如圖3,若四邊形/BCD為矩形，BC=mAB,其它條件都不變，將尸繞點(diǎn)B逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)e（0°<c<90°）得到連接4E",DF',請?jiān)趫D3中畫出草圖，并求出4E"

與DF'的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）@DF=V2AE；@DF=V2AE,理由見詳解；（2）DF'=^l+m2AE'■

【分析】（1）①利用正方形的性質(zhì)得4ABD為等腰直角三角形，則BF=^AB,再證明4BEF

為等腰直角三角形得到BD=V^BE,所以BD-BF=0AB一血BE,從而得到DF=V^AE；

②利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NABE=NDBF,加上喋=岑=&,則根據(jù)相似三角形的判定可得到

BEAB

LLI、IDFBFT

△ABE'^'ADBF,所以---二...-V2[；

AEBE

（2）先畫出圖形得到圖3,利用勾股定理得到BD=7fTUAB,再證明△BEF“ZiBAD得到

高考復(fù)習(xí)材料

箋=空，貝［空="='1+22,接著利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NABE，=NDBF,BE，=BE,BF=BF,

BABDBEBA

RFDT~\I-------

所以"77=3=J1+加2，然后根據(jù)相似三角形的判定方法得到AABE，?△DBF，，再利用相似

BEBA

的性質(zhì)可得與=咨="我了.

AEBA

【詳解】解：(1)①???四邊形ABCD為正方形，

??.△ABD為等腰直角三角形，

.，?BD=^/2AB,

?-?EF1AB,

???ABEF為等腰直角三角形,

BF=V2BE,

;.BD-BF=AB-y/2BE,

即DF=0AE；

故答案為：DF=V^AE；

(2)DF=V2AE.理由如下：

vAEBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置,

.,.ZABE=ZDBF,

BF血,

BE

處=犯=后

BEAB

.-.△ABE-ADBF,

:.空=里=也

AEBE

即DF=V^AE；

(2)如圖3,

高考復(fù)習(xí)材料

圖3

???四邊形ABCD為矩形,

.，.AD=BC=mAB,

???BD=J4B?+AD?=Jl+m2AB,

vEFlAB,

.-.EFIIAD,

/.△BEF-ABAD,

BE_BF

BA~BD

BFBDr2

——=<l+m

BEBA

???△EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)得到△￡儕,,

??ZABE'NDBF',BE=BE,BF=BF,

BF2

+m

BE'

??.△ABE,-ADBF,,

DF'

IFBA

即DF'=yll+m2AE'-

【我思故我在】本題考查了相似形的綜合題：熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形和正方形的性質(zhì);

靈活應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)，會(huì)利用相似比表示線段之間的關(guān)系.

8.(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD=40",連接AC,BD交于點(diǎn)

M.填空：

①的值為_______；

BD

②NAMB的度數(shù)為.

(2)類比探究

如圖2,在ZiOAB和△OCD中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=ZOCD=30°,連接AC交BD的延長

高考復(fù)習(xí)材料

AC1

線于點(diǎn)M.請判斷土的值及NAMB的度數(shù)，并說明理由;

BD

(3)拓展延伸

在(2)的條件下，將aOCD繞點(diǎn)。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),AC,BD所在直線交于點(diǎn)M,若OD=1,

OB=V7,請直接寫出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長.

【答案】⑴①1;②40。；(2)百，90°；(3)AC的長為3百或2VL

【分析】(1)①證明△COAmaDOB(SAS),得AC=BD,比值為1；

②由△COA三△DOB,得NCAO=NDBO,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：ZAMB=180°-

(ZDBO+ZOAB+ZABD)=180°-140°=40°；

(2)根據(jù)兩邊的比相等且夾角相等可得△AOCsZXBOD,則親=要=若，由全等三角形

BDOD

的性質(zhì)得ZAMB的度數(shù)；

(3)正確畫圖形，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，有兩種情況：如圖3和4,同理可得:

4ci-

AAOC^ABOD,貝I|NAMB=90。，一=V3,可得AC的長.

BD

【詳解】(1)問題發(fā)現(xiàn)：

/.ZCOA=ZDOB,

高考復(fù)習(xí)材料

vOC=OD,OA=OB,

.-.△COA=ADOB(SAS),

???AC二BD,

AC1

BD

(2)vAC0A=AD0B,

.,.Z.CAO=Z.DBO,

vZAOB=40°,

.-.ZOAB+ZABO=140°,

在△AMB中,ZAMB=180°-(ZCAO+ZOAB+ZABD)=180°-(ZDBO+ZOAB+ZABD)=180°-140°=40°,

(2)類比探究:

AT

如圖2,——=J3,ZAMB=9O°,理由是：

BD

Rt^COD中，ZDCO=30°,ZDOC=90°,

同理得：^-=tan30°=—,

OA3

OP_OB

'~OC~~OA，

vZAOB=ZCOD=90°,

.,.ZAOC=ZBOD,

.-.AAOC-ABOD,

ACOCr-

——=——=J3,ZCAO=ZDBO,

BDOD

在aAMB中，ZAMB=180°-(ZMAB+ZABM)=180°-(ZOAB+ZABM+ZDBO)=90°；

(3)拓展延伸：

同理得：AAOC-ABOD,

高考復(fù)習(xí)材料

AC/T

/.ZAMB=9O°,—=。3,

BD

設(shè)BD=x,則ACMX,

RtaCOD中，ZOCD=30°,OD=1,

???CD=2,BC=x-2,

Rt^AOB中，ZOAB=30°,OB=V7,

.'.AB=2OB=2V7，

在RtZiAMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(GX)2+(X-2)2=(2V7)2,

x2-x-6=0,

(x-3)(x+2)=0,

Xi=3,X2=-2,

AC=3y/3;

在Rtz^AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(6x)2+(x+2)2=(2J7)2.

x2+x-6=0,

(x+3)(x-2)=0,

Xi=_3,x2=2,

?*?AC=25/3;?

綜上所述，AC的長為3月或2G.

高考復(fù)習(xí)材料

【我思故我在】本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等和相似的性質(zhì)和判定，幾何

變換問題，解題的關(guān)鍵是能得出：△AOCsaBOD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，并運(yùn)用類比的思

想解決問題，本題是一道比較好的題目.

9.解答題

⑴如圖1,V48C和V/DE都是等邊三角形，連接AD、CE,求證，BD=CE；

［類比探究］

(2)如圖2,VZ3C和VNOE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°,連接CE.求

BD....

近的值.

［拓展提升］

Ar4E

(3)如圖3,VZ3C和V4Z)￡都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°,—=—=2.連接

ABAD

BD、CE,延長CE交AD于點(diǎn)尸，連接在\若/4FC恰好等于90。，請直接寫出此時(shí)

AF,BF,(方之間的數(shù)量關(guān)系.

高考復(fù)習(xí)材料

【答案】⑴見解析

理

⑶CF=2BF+&F

【分析】(1)證明△84D也△C4E,從而得出結(jié)論；

(2)證明V84DSVCE,從而得出結(jié)果；

(3)過點(diǎn)2作W,垂足為點(diǎn)H,令48和CF相交于點(diǎn)0.通過證明AOBH^ABCH

以及AAOFSMOH,根據(jù)對應(yīng)邊成比例，即可將/憶BF,C尸三條線段表示出來，即可得

出結(jié)論.

【詳解】(1)解：???V48C和VADE都是等邊三角形，

AB=AC,AD=AE,ZDAE=ABAC=60°,

；.NDAE-NBAE=NBAC-/BAE,即：/DAB=NE4C,

在VB4D和VC/E中，

'AB=AC

<ZDAB=ZEAC,

AD=AE

；.ABAD(SAS),

BD=CE.

(2)解：:V48c和V/DE都是等腰直角三角形，

/DAE=ZBAC=45°,ZADE=ZABC=90°,

AABCs/^ADE,

ADAEr,ADAB

—=—,貝lj—=—,

ABACAEAC

ZDAE-ZBAE=ABAC-ABAE,即：NDAB=NEAC,

在VA4。和VC/E中，

高考復(fù)習(xí)材料

ZDAB=ZEAC,—=—,

AEAC

\IBAD^\ICAE,

BD_AB

"~CE~7cf

令A(yù)B=x,根據(jù)勾股定理可得：AC=6x，

BDAB_x_V2

??蒼一就一忘一于

過點(diǎn)8作5"，C尸，垂足為點(diǎn)"，令和CF相交于點(diǎn)。

AC4E

-ZABC=ZADE=90°—=——=2,

fABAD

,-.ZACB=ZAED=30°fABAC=ZDAE=60°,

：.\ACB^NAED,貝=

/.ADAE-ZBAE=ABAC-ZBAE,即：ZDAB=ZEAC,

ACAEc

v==2,

ABAD

：.\IBAD^\ICAE,

??.AACE=AABD,

在△在和2Moe中，

AACE=ZABD,ZFOB=ZAOC,

ZOFB=ZOAC=60°,

設(shè)FH=x,OH=y,則5尸=2x,5H=瓜，

?：BHLCF,OBIBC,

:,NOBHs曲CH,

2

OHBHyV3xr3x

BHCH瓜CHy

高考復(fù)習(xí)材料

.-.CF=CH+FH=x+—=3x'+xy

y

???ZAFO=ZBHO=90°,ZAOF=/BOH,

■.^AOF^ABOH,

空=",即