江蘇省南京市秦淮區(qū)2023-2024學年九年級下學期期中數(shù)學試題（含答案解析）

江蘇省南京市秦淮區(qū)鐘英中學2023-2024學年九年級下學期

期中數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

i.的相反數(shù)是（）

2

A.-2B.2C.--D.v

22

2.南京長江隧道即將通車，這將大大改善市民過江難的問題.已知隧道洞長3790米，

這個數(shù)用科學記數(shù)法可表示為（）

A.3.79xl02B.3.79xl03C.3.79xl04D.0.379xlO5

3.教練想從甲、乙、丙、丁四名運動員中選拔一人參加400m比賽，故先在隊內舉行了

一場選拔比賽.下表記錄了這四名運動員選拔賽成績的平均數(shù)嚏與方差S?：

甲乙丙T

平均數(shù)I（秒）51505150

方差S?（秒2）3.53.514.515.5

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績好又發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加比賽，應選（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

4.某公司的拓展部有五個員工，他們每月的工資分別是3000元，5000元，7000元，

4000元和10000元，那么他們工資的中位數(shù)為（）

A.4000元B.5000元C.7000元D.10000元

5.下列長度的三條線段能組成銳角三角形的是（）

A.2,3,3B.2,3,4C.2,3,5D.3,4,5

6.如圖，將一張直角三角形紙片8EC的斜邊放在矩形/5CO的BC邊上，恰好完全重

合，BE、CE分別交力。于點尸、G,BC=6,AF：FG：GD=3：2：1,則的長為

（）

A.1B.72C.6D.2

試卷第1頁，共6頁

二、填空題

7.在實數(shù)范圍內有意義，則實數(shù)x的取值范圍是

8.計算反?阿（x*O,y2O）的結果是

9.分解因式/一》的結果是.

2

10.點在反比例函數(shù)y=—的圖象上，則W的值為.

X

II.《九章算術》是中國古代數(shù)學著作之一，書中有這樣一個問題：五只雀、六只燕共

重一斤，雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重.問：每只雀、燕的重量各為多少？設

一只雀的重量為X斤，一只燕的重量為y斤，則可列方程為.

12.若一組數(shù)據(jù)1,2,3,4,X的方差與另一組數(shù)據(jù)2020,2021,2022,2023,2024

的方差相等，則x的值為

5—2.x之一1

13.已知關于x的不等式組…>。有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是.

14.2022年9月29S,C919大型客機取得中國民用航空局型號合格證，這標志著我國

具備按照國際通行適航標準研制大型客機的能力（單位：米）關于滑行的時間，（單位:

秒）的函數(shù)解析式是g=54-1”,則該飛機著陸后滑行最長時間為秒.

15.如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數(shù)y=4的圖象上，第二象限的點3在反

x

比例函數(shù)卜=人的圖象上，且。/1。8,tan/5/O=2,則上的值為.

X

16.已知二次函數(shù)歹=改2+6x+c（aw0）圖象的對稱軸為直線X=-1,部分圖象如圖所

示，下列結論中：①必c>0：②從-4ac>0:③4a+c>0：④若f為任意實數(shù)，則有

a-bt&aF+b;⑤當圖像經過點（；,2）時，方程亦2+bx+c-2=0的兩根為為，

々（玉<x?）則占+2迎=-5,其中正確的結論有.（填序號）

試卷第2頁，共6頁

三、解答題

2（x-2）<3x-3

17.解不等式組xx+1并寫出不等式組的整數(shù)解.

—<---

123

18.（1）計算：（-2）0-3121130。-|6-2|.

a2—b1

⑵化簡：T

19.有下列命題

①一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形.

②兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

③一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形.

④一組對邊平行，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形.

（1）上述四個命題中，是真命題的是（填寫序號）;

（2）請選擇一個真命題進行證明.（寫出已知、求證，并完成證明）

己知：_____

求證：_____

證明：

20.光明中學全體學生900人參加社會實踐活動，從中隨機抽取50人的社會實踐活動

成績制成如圖所示的條形統(tǒng)計圖，結合圖中所給信息解答下列問題:

⑴填寫下表:

中位數(shù)眾數(shù)

試卷第3頁，共6頁

隨機抽取的50人的社會實踐活動成績（單位：分）

（2）估計光明中學全體學生社會實踐活動成績的總分.

21.甲口袋中有2個白球、1個紅球，乙口袋中有1個白球、1個紅球，這些球除顏色

外無其他差別.分別從每個口袋中隨機摸出1個球.

（1）求摸出的2個球都是白球的概率.

（2）下列事件中，概率最大的與最小的差為.

A.摸出的2個球顏色相同B.摸出的2個球顏色不相同

C.摸出的2個球中至少有1個紅球D.摸出的2個球中至少有1個白球

22.已知：如圖，矩形ABCD的一條邊AB=10,將矩形ABCD折疊，使得?頂點B落

在CD邊上的P點處，折痕為AO.（1）求證：△OCPs/\PDA：

（2）若△OCP與4PDA的面積比為1：4,求邊AD的長.

23.張師傅駕駛某種型號轎車從甲地去乙地，該種型號轎車每百公里油耗為10升（每

行駛100公里需消耗10升汽油）.途中在加油站加了一次油，加油前，根據(jù)儀表盤顯示,

油箱中還剩4升汽油.假設加油前轎車以80公里〃J、時的速度勻速行駛，加油后轎車以

90公里/小時的速度勻速行駛（不計加油時間），已知油箱中剩余油量y（升）與行駛時

間/（小時）之間的函數(shù)關系如圖所示.

（1）加油前，該轎車每小時消耗汽油一升；加油后，該轎車每小時消耗方油一升；

（2）求加油前油箱剩余油量y（升）與行駛時間f（小時）之間的函數(shù)表達式；

（3）求張師傅在加油站加了多少升汽油.

試卷第4頁，共6頁

24.圖1是安裝在傾斜屋頂上的熱水器，圖2是安裝熱水器的側面示意圖.已知屋面NE

的傾斜角NE/1。為22。，長為2米的真空管48與水平線49的夾角為37。，安裝熱水器

的鐵架豎直管CE的長度為0.5米.

(1)真空管上端B到水平線AD的距離.

3

(2)求安裝熱水器的鐵架水平橫管5c的長度(結果精確到0.1米)(參考數(shù)據(jù)：sin37°?-,

433152

cos37°?,tan37°?—,sin22°^-,cos22°勺一,tan22°^—)

548165

25.如圖，在中，AB=BC,。。是IBC的外接圓，過點C作Z4CZ)=乙4C8,

且交。。于點￡).連接8。交NC于點E,延長。C到尸，使得CF=CB,連接8尸.

(1)求證：ED=EC.

⑵求證：8尸是。。的切線.

(3)若點G為△8C。的內心，AEAC=\0.

①利用無刻度的直尺在圖中畫出點G的位置.(保留作圖痕跡，不寫作法)

②求/G的長.

26.已知二次函數(shù)y=a(x-l)(x-l—。)(。為常數(shù)，且axO).

試卷第5頁，共6頁

(1)求證：該函數(shù)的圖像與X軸總有兩個公共點：

(2)若點(0,%)，(3,%)在函數(shù)圖像上，比較乂與力的大小;

⑶當0<x<3時，y<2,直接寫出。的取值范圍.

27.【回顧思考】

翻折，常常能為解決問題提供思路和方法.

【初步嘗試】

(1)如圖1,在三角形紙片/8C中，AC=BC=6,AB=10,將“8c折疊，使點B與點

C重合，折痕為MN,求給的值；

【拓展延伸】

(2)如圖2,在三角形紙片/8C中，AB=9,BC=6,ZACB=2ZA,將“18C沿過頂

點C的直線折疊，使點B落在邊/C上的點"處，折痕為CM.

①求線段/C的長；

②若點。是邊/C的中點，點尸為線段上的一個動點，將△4PM沿P/W折疊得到

PF

點A的對應點為點0,AM與CP交于點、F,求f的取值范圍.

MF

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.D

【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質，互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0即可求解.

【詳解】解：因為-g+g=O,

所以的相反數(shù)是g.

故選：D.

【點睛】本題考查求一個數(shù)的相反數(shù)，掌握相反數(shù)的性質是解題關鍵.

2.B

【分析】將3790寫成ax10"的形式即可，其中14“<10,〃為正整數(shù).

【詳解】解：3790=3.79x10%

故選B.

【點睛】本題考查用科學記數(shù)法表示大于1的數(shù)，解題的關鍵是注意axlO”中〃的取值方法.〃

的值等于小數(shù)點向左移動的位數(shù).

3.B

【分析】根據(jù)四名運動的平均數(shù)和方差的意義進行選擇即可.

【詳解】解：?.?甲和丙運動員跑400m平均所用時間大于乙、丁運動員，

二甲、丙運動員的成績不如乙、丁運動員好，

?.?乙的方差小于丁的方差，

.?.乙運動員的成績比較穩(wěn)定，

,應該選乙運動員參加比賽，故B正確.

故選：B.

【點晴】本題主要考查了平均數(shù)和方差，解題的關鍵是熟練掌握平均數(shù)和方差的意義，方差

越小說明數(shù)據(jù)波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

4.B

【詳解】將所給數(shù)據(jù)排序：3000、4000、5000、7000、10000,所以中位數(shù)是5000,

故選B.

5.A

【分析】根據(jù)勾股定理求出以較短的兩條邊為直角邊的三角形的斜邊的長度，然后與較長的

邊進行比較作出判斷即可.

答案第1頁，共21頁

【詳解】解：A、：，2?+32=而>3，2+3>3,.?.能組成銳角三角形；

B、；斤方=舊<4，2+3>4,...不能組成銳角三角形；

C、?；2+3=5,...不能組成三角形；

D、???廬不=5,是直角三角形，，不能組成銳角三角形.

故選：A.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜邊是解題的關鍵.

6.C

【分析】由四邊形力8c。是矩形，得至IJ/8=C￡),AD=BC=6,ZA=ZD=90°,根據(jù)余角

的性質得到NZ5E=NOGC,推出ZUFBsZSoCG,根據(jù)相似三角形的性質得到AB2=AF-DG

=3,于是得到結論.

【詳解】解：???四邊形ABCD是矩形，

.*.AB=CD,AD=BC=6,ZA=ZD=90°,

VZE=90°,

/.ZEFG+ZEGF=90%

.,.ZAFB+ZDGC=90°,

VZAFB+ZABF=90°,

，NABF=NDGC,

/.△AFB^ADCG,

?AFAB

"CDDGf

VAF：FG：GD=3：2：1,

；.AF=3,DG=1,

；.AB2=AF?DG=3,

AB=-^3?

故選C.

【點睛】本題主要考查的是相似三角形的判定和性質、矩形的性質，熟練掌握相似三角形的

判定和性質是解題的關鍵.

7.x>2

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)，分式的分母不等于零列式計算可求解.

答案第2頁，共21頁

【詳解】；7=5在實數(shù)范圍內有意義

二由題意得X-2>0,

解得x>2,

故答案為：x>2.

【點睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，掌握二次根式有意義的

條件，分式有意義的條件是解題的關鍵.

8.4x6

【分析】直接利用二次根式的性質化簡得出答案.

【詳解】--J^xy(x>0,y>0)

=yj\6x2y

=4x6■

故答案為4x4.

【點睛】考查了二次根式的性質，正確化簡二次根式是解題關鍵.

9.x(x+l)(x-l)

【分析】首先提取公因式X,再利用平方差進行分解即可.

32

【詳解】解：x-x=x(x-l)=x(x+l)(x-l);

故答案為：x(x+l)(x-l).

【點睛】本題主要考查了提公因式法與公式法的綜合運用，掌握提公因式法與公式法的綜合

運用是解題的關鍵.

10.-2

【分析】將點/(T,機)代入函數(shù)解析式，求解即可.

【詳解】解：?.?點力在反比例函數(shù)的圖象上，

X

.二2=-1?加，

/.加=-2,

故答案是：-2.

【點睛】本題考查求反比例函數(shù)的函數(shù)值，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上的點的橫縱坐標，滿

答案第3頁，共21頁

足函數(shù)解析式，是解題的關鍵.

[4x+y=by+x

【分析】根據(jù)五只雀、六只燕共重一斤可得5x+6y=l,根據(jù)互換其中一只，恰好一樣重可

得4x+y=5y+x,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：設一只雀的重量為x斤，一只燕的重量為了斤，

f5x+6y=1

由題意得：L,

故答案為：.

【點睛】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是明確題意，列出相

應的方程組.

12.0或5

【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)為，X2,…，毛與數(shù)據(jù)王+4,x2+a,X.+。的方差相同這個結論

即可解決問題.

【詳解】解：I?一組數(shù)據(jù)1,2,3,4,x的方差與另一組數(shù)據(jù)2020,2021,2022,2023,

2024的方差相等，

.?.這組數(shù)據(jù)可能是1,2,3,4,5或0,1,2,3,4,

，x=0或5.

故答案為：0或5.

【點睛】本題考查方差，解題的關鍵利用結論：數(shù)據(jù)為，/，…，匕與數(shù)據(jù)%+“，%+%…，

相+a的方差相同.

13.0<a<l

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)不等式組的整數(shù)解個數(shù)可得答案.

【詳解】解：解不等式5-2x"l,得：x<3,

解不等式x-a>0,得：x>a,

???不等式組有3個整數(shù)解，

r.0<a<l,

故答案為：0Wa<l.

答案第4頁，共21頁

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同

大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

14.18

【分析】把二次函數(shù)解析式化為頂點式，即可求解.

［詳解］解：S=54/-|Z2=-|(Z-18)2+486,

3

——<0,

2

二拋物線開口向下，

...當f=18時，s有最大值，

???飛機滑行到最大距離停下來，此時滑行的時間最長，

.?.該飛機著陸后滑行最長時間為18秒.

故答案為：18.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應用，明確題意并正確地將二次函數(shù)的一般式

寫成頂點式是解題的關鍵.

15.—8

【分析】過點力、3分別作軸、BCx軸，垂足分別為點C、D,如圖，易證

△AOCSMOBD、則根據(jù)相似三角形的性質可得當空］=1,再根據(jù)反比例函數(shù)系

S&BODVOB)4

數(shù)k的幾何意義即可求出k的值.

【詳解】解：過點力、8分別作ZC_Lx軸、BO_Lx軸，垂足分別為點C、D,如圖，則

/.ZAOC+ZBOD=90°fOA:OB=\:2,

：.ZOAC=ZBOD,

答案第5頁，共21頁

???△AOCSXOBD，

*,S4Aoe=5X2=1'=萬陽,

1_1

,國屋

???岡=8,

???％<o,

/.k-—S.

故答案為：-8.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)"的幾何意義、相似三角形的判定和性質以及三角函數(shù)

的定義等知識，熟練掌握所學知識、明確解答的方法是解題的關鍵.

16.②③④⑤

【分析】利用拋物線開口方向得到。>0,利用拋物線對稱軸的方程得到b=2a>0,利用拋

物線與V軸的交點位置得到C<0,則可對①進行判斷；根據(jù)判別式的意義對②進行判斷；

利用x=l時得至Ua+6+c>0,把b=2a代入得至ij3q+c>0,然后利用a>0可對③進行判斷：

利用二次函數(shù)當x=-l時有最小值可對④進行判斷：由于二次函數(shù)+c與直線

V=2的一個交點為利用對稱性得到二次函數(shù)、=?2+法+￡>與直線；；=2的另一個交

點為從而得到看=-g,與=；,則可對⑤進行判斷.

【詳解】???拋物線開口向上，

..a>0,

???拋物線的對稱軸為直線X=-1,即=

2a

=2a>0,

?.?拋物線與y軸的交點在X軸的下方，

c<0,

ahc<0,所以①錯誤；

?.?拋物線與x軸有2個交點，

/.A=fc2-4ac>0>所以②正確；

答案第6頁，共21頁

,/x=1時，y>o,

.二q+b+c>0,

而b=2。，

..3〃+c>0,

,/a>0,

.-.4a+c>0,所以③正確；

vx=-l,歹有最小值，

:.a-b+c<at2+bt+c（，為任意實數(shù)），

即a-4工々/+臺，所以④正確；

:圖象經過點（；,2）時，方程女2+反+°-2=0的兩根為七，X?（王<3）,

???二次函數(shù)夕=#+隊+。與直線尸2的一個交點為忤2）,

???拋物線的對稱軸為直線x=7,

???二次函數(shù)y="2+bx+c與直線y=2的另一個交點為

513

X]+2x,=---l-2x-=,所以⑤正確.

222

故答案為：②③④⑤

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：二次項系數(shù)。決定拋物線的開口方向和大

小，當。>0時，拋物線開口向上；當”0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)/）和二次項系數(shù)

。共同決定對稱軸的位置：當。與6同號時，對稱軸在了軸左；當。與。異號時，對稱軸在>

軸右：常數(shù)項。決定拋物線與丁軸的交點：拋物線與v軸交于（0,。）；拋物線與x軸交點個數(shù)

由判別式確定.

17.原不等式組的整數(shù)解為-1,0,1.

【分析】首先解出兩個不等式的解集，然后求出公共解集，找出符合條件的整數(shù)解即可.

'2（x-2）<3x-3?

【詳解】W：,XX+1小

-<---②

123

解不等式①得，

X2-1,

解不等式②得，

答案第7頁，共21頁

x<2,

原不等式組的解集為-1<x<2.

...原不等式組的整數(shù)解為-1,0,1.

【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，解一元一次不等式組，掌握一元一次

不等式組的整數(shù)解，解一元一次不等式組是解題的關鍵.

18.(1)—1；(2)—(1—b

【分析】(1)分別計算零指數(shù)累、絕對值，代入特殊角的三角形函數(shù)值，進一步計算即可求

解：

(2)括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得

到最簡結果即可.

【詳解】解：(1)(-2)°-3tan30°-1^-2|

=1-6-2+6

=-1;

⑵彳心"

ab\abJ

(a+b)(a-b)ab

=---------------------x--------

abb-a

=-a-b.

【點睛】本題主要考查了實數(shù)的混合運算，分式的加減乘除混合運算，解題的關鍵是掌握分

式混合運算順序和運算法則.

19.(1)①②④(2)在四邊形ABCD中，/A=NC,NB=/D；四邊形ABCD是平行四

邊形

【分析】(1)根據(jù)平行線的判定定理寫出真命題；

(2)乙②為例，寫出已知、求證.利用四邊形的內角和和已知條件中的對角相等得到鄰角

互補，從而判定兩組對邊平行，進而證得結論.

【詳解】(1)①一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形.故正確；

②兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.故正確；

③一組對邊相等，一組對角相等的四邊形不一定是平行四邊形.故錯誤；

④一組對邊平行，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形.故正確.

答案第8頁，共21頁

故答案是：①②④；

（2）以②為例:

已知：在四邊形ABCD中，NA=/C,NB=ND,

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明：VZ1+Z3=18O°-ZA,Z2+Z4=180°-ZC,NA=/C,

/.Z1+Z3=Z2+Z4.①

VZABC=ZADC,

即N1+N2=N3+N4,②

由①②相加、相減得：Nl=/4,/2=/3.

；.AB〃CD,AD/7BC.

二四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）.

故答案是：在四邊形ABCD中，ZA=ZC,ZB=ZD；四邊形ABCD是平行四邊形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，解題的關鍵是了解平行四邊形的幾個判定定理，難

度不大.

20.（1）4,4；（2）3150分.

【分析】（1）根據(jù)抽取的人數(shù)可以確定中位數(shù)的位置，從而確定中位數(shù)，小長方形最高的小

組的分數(shù)為該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；

（2）算出抽取的50名學生的平均分乘以全校的總人數(shù)即可得到光明中學全體學生社會實踐

活動成績的總分.

【詳解】解：（1）由題意，將50人的成績從小到大排序后，第25和第26個的平均數(shù)就是中

位數(shù)，V2+9+13=24

.?.第25和第26個成績都是4,故本組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4

成績在4分的同學人數(shù)最多

本組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是4

答案第9頁，共21頁

故填表如下:

中位數(shù)眾數(shù)

隨機抽取的50人的社會實踐活動成績（單位：分）44

（2）隨機抽取的50人的社會實踐活動成績的平均數(shù)是：

_1x2+2x9+3x13+4x14+5x12_八、

X=---------------------------=3.5（分），

估計光明中學全體學生社會實踐活動成績的總分是：3.5x900=3150（分）.

【點睛】考查了條形統(tǒng)計圖的知識，題目相對比較簡單，解題的關鍵是正確的識圖，并從圖

形中整理出有關的解題的信息.

21.⑴！

1

⑵]

【分析】（1）利用列舉法，求出概率即可；

（2）分別求出每個選項的概率，用概率最大值減去最小值，即可得出結果.

【詳解】（1）解：將甲口袋中2個白球、1個紅球分別記為白|、白,、紅

將乙口袋中1個白球、1個紅球分別記為白3、紅

分別從每個口袋中隨機摸出1個球，所有可能出現(xiàn)的結果有：

（白一白3）、（白一紅2）、（白2，白3）、（白2，紅2）、（紅I，白3）、（紅I，紅2），共有6種,

它們出現(xiàn)的可能性相同.

所有的結果中，滿足“摸出的2個球都是白球”（記為事件力）的結果有2種，即（白一白尸、

（白2,白3）,

2I

所以

O3

（2）解：A、摸出2個球顏色相同的結果有3種（白I，白3）、（白2，白3）、（紅I，紅2），

故概率為：

62

B、摸出的2個球顏色不相同的結果有3種（白I，紅2）、（白2，紅2）、（紅]，白3），故概

答案第10頁，共21頁

C、摸出的2個球中至少有1個紅球的結果有4種（白I，紅2）、（白2，紅2）、（紅I，白3），

4?

（紅I，紅2）,故概率為：=

D、摸出的2個球中至少有1個白球結果有5種（白白3）、（白I，紅2）、（白2,白3）、（白2,

紅2）、（紅一白3）,故概率為：4；

6

,?—;

623

故答案為：—.

【點睛】本題考查列舉法求概率.熟練掌握列舉法求概率，是解題的關鍵.

22.（1）證明見解析（2）8

【分析】（1）根據(jù)兩角對應相等的兩個三角形相似即可判定.（2）根據(jù)相似三角形的性質面積比

等于相似比的平方，得到AD=2PC,設PC=x，則AD=2x,在RTAADP中利用勾股定理即可解決

問題.

【詳解】（1）證明：；四邊形ABCD是矩形，

/.AD=BC,DC=AB,ZDAB=ZB=ZC=ZD=90°,

由折疊可得：AP=AB,PO=BO,ZPAO=ZBAO,ZAPO=ZB,J

?,.ZAPO=90°,

.,.ZAPD=90°-ZCPO=ZPOC,

VZD=ZC,ZAPD=ZPOC,

.,.△OCP^APDA.

(2)解：:△OCP與APDA的面積比為1：4,

；.DA=2CP.設PC=x,則AD=2x,PD=10-x,AP=AB=10,

在RtZ\PDA中，VZD=90°,PD2+AD2=AP2,

/.(10-x)2+(2x)2=102,

解得：x=4,

AD=2x=8.

答案第U頁，共21頁

p

ac

產-----------B

【點睛】本題考查了矩形的性質、相似三角形的判定與性質、翻折變換及勾股定理的知識,

解題的關鍵是會用方程的思想來解決問題.

23.(1)8,9；(2)y=-8z+28；(3)48L

【詳解】【分析】⑴由10X爵=8(升)和1OX^=9(升)可得；

(2)原來油箱存油20+8=28(升)，由待定系數(shù)法求加油前函數(shù)解析式.

(3)把x=4代入解析式求a,再算b=34+(5—369=52,可求得b—4=52—4=48.

【詳解】(1)8；9

(2)由題意知t=0時，y=28

設函數(shù)表達式為丫=五+6

6=28

由題意知-

k+b=20

解得k=-8,b=28

所以函數(shù)表達式為y=-8t+28.

(3)當y=4時，求得t=3,所以a=3

b=34+(5-3)x9=52

所以b—4=52—4=48

所以張師傅在加油站加油48升.

【點睛】本題考核知識點：一次函數(shù).解題關鍵點：結合函數(shù)圖象分析信息，用待定系數(shù)法

求函數(shù)解析式，數(shù)學結合，由所求分析必知.

24.(1)真空管上端B到水平線4。的距離為1.2m

(2)安裝熱水器的鐵架水平橫管BC的長度為0.2m

【分析】(1)過點8作8尸，4)交4。于點F,利用8尸=N8-sinN歷進行求解即可；

(2)利用/尸=求出4F的長，根據(jù)8=8尸，以及DE=CD-CE,求出DE

的長度，再根據(jù)=求出。E的長，再用ZD-/尸即可求出8c的長度.

【詳解】(1)解：過點8作交于點尸，

答案第12頁，共21頁

B,

E

i±J__

ED

由題意，得：AB=2m,ZBAD=37°,

3

BF=^5-sinZBAD?2x—=1,2m；

???真空管上端B到水平線AD的距離為1.2m；

(2)解：由題意，得：BC//AD,CD1AD,

：.BF〃CD,

???四邊形DC8/為矩形，

BC=DF,BF=CD,

：.DE=CD-CE=\2-O.5=O.lm,

AD-tan22°=DE,

入27

/?AD~0.7-：———m,

54

48

AF=AB?cos37°?2x—=—m,

55

783

ABC=AD-AF=----=—?0.2m

4520

答：安裝熱水器的鐵架水平橫管8c的長度為0.2m.

【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是添加合適的輔助線，構造直角三角形.

25.(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)①作圖見解析；②布

【分析】(1)根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關系進行證明即可;

答案第13頁，共21頁

(2)連接8。，根據(jù)垂徑定理得到L/C,再根據(jù)角之間的關系推出Z8ZC=N/CD,

從而推出NC〃即，根據(jù)平行四邊形的判定得到四邊形/8FC是平行四邊形，即可得證；

(3)①根據(jù)三角形的內心是三角形角平分線的交點，因此只需證明=利用

圓的垂徑定理進行證明即可；

②根據(jù)圓周角定理得到=從而推出根據(jù)相似三角形的性質得

到會=黑，從而解得45=布，再結合圖形由三角形的外角性質及等量代換推出

ACAB

ZABG=ZAGB,由等腰三角形的性質即可得出結論.

【詳解】(1)證明：???45=5。,

???筋=正，

二ZACB=ZBDC,

又?：ZACD=AACB,

：.ZACD=ABDC,

：.ED=EC；

(2)證明：如圖，連接80,

■:凝=前,

：.OBLACf

;AB=BC,

：.ABAC=NBCA,

又,：ZACD=ZACB,

：.ABAC=/ACD,

???AB//CD,

VCF=CB,

???四邊形ABFC是平行四邊形，

:.AC〃BF,

：.OBLBF,

〈OB是。。的半徑，

:.6戶是。。的切線；

答案第14頁，共21頁

(3)解：①如圖，連接E。并延長交0。于點/，連接3W交力C于點G,則點G即所求,

連接?！辏?、0C,貝(|oo=oc,

點。在CO的垂直平分線上，

由(1)知：ED=EC,

點E在C。的垂直平分線上，

EMXDC,

DM-CM，

二ZDBM=ZCBM,

二BM是NDBC的角平分線，

又：ZACD=ZACB,

ZC是NBCD的角平分線，&W交/C于點G,

二點G是A8Z)C的內心；

②；ZACB=ZACD,

?*,AB=AD'

：.ZABE=ZACB,

又：AEAB=ABAC,

^ABE^AACB,

.ABAE

??就一布‘

又；出好=10,

解得：/8=加或/8=-麗（負數(shù)不符合題意，舍去）,

答案第15頁，共21頁

???點G是△8OC的內心，

???4DBM=4cBM,

，/.ABE+/DBM=/ACB+NCBM,

即N4BG=N4GB,

AG=AB-VTo?

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、圓周角定理、三角形的內

接圓與內心、切線的判定與性質及作圖一復雜作圖，解題的關鍵是結合三角形的內心性質作

出圖形（連接EO并延長交。。于點M,連接3"交ZC于點G,則點G為三角形的內心）,

可以采用逆推的思路，注意運用數(shù)形結合的思想方法，此外注重圓心角及圓周角定理的運用，

從圖形中尋找相等的線段或相等的角.

26.（1）證明見解析

（2）當a<0或a>1時，當a=l時，yt=y2;當o<a<l時，yt<y2

⑶-2d,且"0

【分析】（1）令y=o,可得出X的兩個解，且兩個解不相等即可得出結論；

（2）先求出x-%=3a（a-l）,然后分三種情況討論即可；

（3）先求出拋物線與x軸的交點，對稱軸，頂點坐標，然后在0<x<3范圍內分a>0和a<0

兩種情況確定函數(shù)的最大值，從而得出結論.

【詳解】（1）證明：令y=o,

gpo,

x-l=0或x-1-a=0,

即Xi=1,x2=1+a,

：”0,

131+a,

.?.方程有兩個不相等的實數(shù)根，

...該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個公共點.

（2）解：???點（0,必），（3,%）在函數(shù)圖像上，

答案第16頁，共21頁

???當X=0時，M=,

2

當x=3時，y2=-2a+4a,

2

:.y}-y2=/+。-（-2〃2+4。）=3a-3。=,

???當。”或時，必>必，

當a=1時,必=%,

當0<〃<1時,必<巴.

（3）???二次函數(shù)歹二。（工一1）（工一1一〃），

整理可得：y=ax2一。（Q+2）X+4（Q+1）,

由（1）可知：當y=0時，解得：項=1,工2=1+。，

?,.二次函數(shù)的圖像交x軸于（1,0）和（1+。，0）兩點，

川―。（〃+2）。+2

對稱軸x=----------=----，

2a2

當x=?時,

(4+2,、

...二次函數(shù)圖像的頂點坐標為

由（2）可知：當x=0時，必=/+。，

2

當x=3時，y2--2a+4a,

當。>0時，二次函數(shù)的圖像開口向上,

V0<x<3,

.[a2+a<2

9[-2a2+4a<2'

解得:-2<a<l,

/.0<<1,

當a<0時，二次函數(shù)圖像開口向下，

答案第17頁，共21頁

..?對稱軸'=等，

當0<9<3,即一2<a<0時，

2

二次函數(shù)圖像在頂點處取得最大值，

??-----<L，

4

解得：。>一2,

*,?—2<〃<0,

當*40,即。4-2,