2023年高考數(shù)學(xué)考前押題沖刺測(cè)評(píng)卷3（新高考地區(qū)專(zhuān)用） (解析版)

絕密★啟用前

測(cè)評(píng)卷03

新高考地區(qū)專(zhuān)用（解析版）

注意事項(xiàng)：

i.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。

寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A={尤尤＜a+2},3={x[y=ln（6+x-x2）},且AgB,貝Ij（）

A.—B.—1<，<2C.-2<a<1D.—2<a<1

【答案】C

【詳解】由6+%—％2>0,(犬+2)(九一3)<0,解得一2<元<3,

所以3={jr|y=ln(6+%-%2)}={%|_2<%v3},

集合A=[x\a<x<a+2^^0,

[a>-2

因?yàn)锳=所以<,解得—

[a+2<3

故選：C.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z(l+i)=-2+i(i是虛數(shù)單位)，則忖=()

A.叵B.上C.SD.與

2422

【答案】A

【詳解】依題意，z(l+i)=-2+i,

_-2+i(-2+i)(l-i)一l+3i_13.

z-i+i-(i+i)(i-i)2—一Q+QI，

故選：A

442

3.(x-1)=a4x+a3xi+a2x+axx+a0,貝U%—%+生一q=()

A.-1B.1C.15D.16

【答案】C

32

【詳解】因?yàn)?％-1)，=+a3x+a2x+axx+aQ,

令％=0得，％=1,

令*x——1得',%一%+32—4+%=(-2)=16,

以，2_Q3+4_"i=16—1—15.

故選：C.

4.已知a,/?￡R,貝『匕+/>。"是"。+/?>以為。一以)$尸”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要

條件

【答案】C

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/(x)=x-cosx,

則/(尤)=1+sinxN0在定義域R上恒成立，

所以函數(shù)/(X)=X-COSX在定義域R上單調(diào)遞增，

又因?yàn)椤?￡>0,所以&>-〃，所以/■(&)>/(一/?),

即a-cosa>-13-cos(-/3),即a-cosa>-j3-cos/3,

所以a+/?>cosa-cos(3,

即“a+￡>0"能推出"a+4>cosa-cos尸”,

根據(jù)a+夕>cosa-cos(3,

可得a-cosar>-)3-cos0,即a-cosa>-f3-cos(-/7),

所以/(a)>/(-0,所以a>->,即a+分>0,

所以“a+尸>cosa-cos尸"能推出“a+￡>0”,

所以“a+￡>0”是“a+夕>cosa-cos夕”的充分必要條件,

故選:C.

5.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，

他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差

或者高次差相等.對(duì)這類(lèi)高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱(chēng)為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階

等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1,5,11,21,37,61,則該數(shù)列的第8項(xiàng)為()

A.95B.101C.141D.201

【答案】C

【詳解】由題意可知，1,5,11,21,37,61,……,的差的數(shù)列為

4,6,10,16,24,...,

則這個(gè)數(shù)列的差組成的數(shù)列為：2,4,6,8,……，是一個(gè)等差數(shù)列,

設(shè)原數(shù)列的第7項(xiàng)為x,貝1-61=24+10,解得x=95,設(shè)第8項(xiàng)為V,貝lj＞-95=34+12,

解得＞=141

故選：C

6.已知函數(shù)/(彳)=4$m(0%+,”0＞0,|夕|＜］｝勺部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的

B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)［w，Oj中心對(duì)稱(chēng)

C.若/(x)在區(qū)間［笥，、上存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為1+國(guó)

D.〃x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)

O

【答案】c

【詳解】由題圖知，“X)的最小正周期7=$［+言］=兀，則。=B=2-

所以/(%)=Asin(2x+0).

將［4'°)代入得Asin^_|+夕)=°,則-三+夕=2而化￡Z),

JT

即9=§+2far(%eZ).

因?yàn)榫W(wǎng)＜§，所以展『將停廠(chǎng)21代入得Asin俘+?］=-2,則4=2,

所以〃x)=2sin12尤+,,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

2兀c.2兀71

當(dāng)無(wú)T時(shí)，f2sin2x---1—=w0,

(33

所以點(diǎn)，0)不是/(元)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

當(dāng)x=時(shí)，4胃=2sin「x＞三］用＜2,

所以直線(xiàn)X=￡不是/(X)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

易得〃尤)在「工，匕)上單調(diào)遞增，M/M=2sinf2x-^+^=2sin^=2,

即〃尤)在》=限時(shí)取得最大值，所以

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為［力,+3),c正確.

故選：c

7.己知函數(shù)〃x)=ei+e2f+2d-8x+7則不等式“2尤+3)>〃x+2)的解集為()

A.(-1,--)B.(-℃,-1)1(--,+oo)

C.D.(-8,-；)U(1,+8)

【答案】B

【詳解】由函數(shù)/(X)=e>2+e2-'+2%2-8x+7=尸+e2r+2(x-2)2-l,

所以/(x+2)=e*+/+2f-i,令g(x)=+2)=e*+b+2f-1,

可得g'(x)=e*-eT+4x

-^-7z(x)=g,(x)=eA-e-A+4xJ=L/z(0)=0,

可得//(x)=ev+0+4>0在(0,+co)上恒成立，所以/z(x)>7z⑼=0,(x>0),

所以g(x)在(0，+s)上單調(diào)遞增，

又由g(-x)=0+ev+2(-x)2-1=e'+e-T+2x2-l=g(x),

所以函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，則在(f，0)上單調(diào)遞減，

又由/(2x+3)>/(x+2),即g(2x+l)>g(x),即|2彳+1|>國(guó)，

整理得3/+4X+1>0,解得或X<-1,

即不等式F(2x+3)>〃x+2)的解集為(-?,-1)(-；,+◎.

故選：B.

8.如圖，已知正方體ABCD-44cA的棱長(zhǎng)為2,M,N分別為四,CO的中點(diǎn).則下列選項(xiàng)中

錯(cuò)誤的是()

B.在棱8C上存在一點(diǎn)E,使得平面，平面政VB

C.三棱錐A-MNQ在平面ABC。上的正投影圖的面積為4

D.若尸為棱A2的中點(diǎn)，則三棱錐N-MBb的體積為g

【答案】C

【詳解】對(duì)于A:如圖1,連接OG,交RC于點(diǎn)0,連接80、ON,顯然。為。G的中點(diǎn)，又

分別為8片，CO的中點(diǎn).

所以O(shè)NHCG且ON=gcq,B\MHCC[且4M=gC￡,

所以O(shè)N//B.M且ON=BjM,

所以四邊形ONMB、為平行四邊形，所以。耳〃MN,

又MNU平面CBtDt,OB[u平面CBR,所以MN//平面CB{D{，故A正確；

對(duì)于B:如圖2,取8C中點(diǎn)E,連接

顯然ABE與BCN,所以ZAEB=NBNC,又ZNBC+NBNC=90。,所以ZNBC+ZAEB=90。

所以AELBN,

由正方體ABCD-A4GA，可得BB,1平面ABCD.AEu平面ABCD.

AE[BB\,BB\CBN=B,

.?.AE_L平面MA?,

AEu平面AEB],.?.平面_L平面MNB,故B正確.

對(duì)于C:如圖3,連接BN，則四邊形ABND為三棱錐A-MN?在平面ABCD上的正投影，

因?yàn)椤皏L；(l+2)x2=3,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D:VN_MBF=，故D正確.

故選：C

Si圖2圖3

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖，所為圓。的一條直徑，點(diǎn)尸是圓周上的動(dòng)點(diǎn)，Af,N是直徑所上關(guān)于圓心。對(duì)

稱(chēng)的兩點(diǎn)，且所=8,MN=6,則（）

P

C.PMPN>PEPF

D.PF-PE>PN-PM

【答案】BC

IuuirIIumn?

【詳解】由題意可得：==L

uuauuruuu-uuriuunuuriuunuur、7uur1uun

對(duì)于A：^^PM=PE+EM=PE+—EF=PE+—[zPF-PE)=—PE+—PF,故A錯(cuò)誤;

88'，88

_UUULUUIUUUUUULUUUUUU

對(duì)于B：?：EM=NE，可得PM—PE=PF—PN，

整理得：PE+PF=PM+PN，故B正確；

對(duì)C：由題意可得：0。<ZMPN<NEPF=90。,EPYPF,

uuirumnIUUITIlUiuniuuruun

則PM,PN=\PMi\PN\cosZMPN>0,PEPF=0,

即PM-PN>PE-PF，故C正確；

ULILlUULUUULlUIUL1LIL1ULUJL

對(duì)D：^；PF一PE=EF,PN—PM=MN，但向量不能比較大小，故D錯(cuò)誤；

故選：BC.

10.十項(xiàng)全能是田徑運(yùn)動(dòng)中全能項(xiàng)目的一種，是由跑、跳、投等10個(gè)田徑項(xiàng)目組成的綜合

性男子比賽項(xiàng)目，比賽成績(jī)是按照國(guó)際田徑聯(lián)合會(huì)制定的專(zhuān)門(mén)田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)全能評(píng)分表將各個(gè)

單項(xiàng)成績(jī)所得的評(píng)分加起來(lái)計(jì)算的，總分多者為優(yōu)勝者.如圖，這是某次十項(xiàng)全能比賽中甲、

乙兩名運(yùn)動(dòng)員的各個(gè)單項(xiàng)得分的雷達(dá)圖，則下列說(shuō)法正確的是()

——甲的得分

——乙的得分

A.在400米跑項(xiàng)目中，甲的得分比乙的得分低

B.在跳高和標(biāo)槍項(xiàng)目中，甲、乙水平相當(dāng)

C.甲的各項(xiàng)得分比乙的各項(xiàng)得分更均衡

D.甲的各項(xiàng)得分的極差比乙的各項(xiàng)得分的極差大

【答案】BD

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由雷達(dá)圖可知，400米跑項(xiàng)目中，甲的得分比乙的得分高，A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，由圖可知，在跳高和標(biāo)槍項(xiàng)目中，甲、乙水平相當(dāng)，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，甲各項(xiàng)得分的波動(dòng)較大，乙的各項(xiàng)得分均在(600,800］內(nèi)，波動(dòng)較小，C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，甲的各項(xiàng)得分的極差約為1000-470=530,乙的各項(xiàng)得分的極差小干200,D

對(duì).

故選：BD.

11.已知曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)尸到4(1,3),8(4,0)的距離之比為2,直線(xiàn)/：尤-⑺-4=0與

s

曲線(xiàn)C交于P,。兩點(diǎn)，若不皿=3,則下列說(shuō)法正確的是()

DOBQ

A.曲線(xiàn)C的軌跡是圓

B.曲線(xiàn)C的軌跡方程為(x-5r+(y-l)2=8

C.m=l

D.|PQ|=4A/2

【答案】AD

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(％y),

因?yàn)辄c(diǎn)尸到A(l，3),8(4,0)的距離之比為2,所以附=2附B|J|B4|2=4|PB|2,

所以(*-1)2+(>-3)2=4[卜-4)2+力，化簡(jiǎn)得。一5)2+(y+l)2=8,

即選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；

設(shè)尸(馬，%)，。&,均)，

。。葉卬

q

由產(chǎn)=3,知3,即|%1=3兒|，

JOBQJ。件N|

不妨設(shè)力<0,%>°,則力=-3%,

x-my-4=0

22

聯(lián)立>-5)+(,+1)=8'得(療+1"+(2-2㈤卜6=。,

由于直線(xiàn)x-陽(yáng)—4=0過(guò)點(diǎn)(4,0),由0)滿(mǎn)足(4-5戶(hù)+(0+1)2<8,

故(4,0)在(x-5)2+(y+l)2=8內(nèi)，故必有△>(),

s、i2m-26

所以％+%=,,，

m+1

把%=-3%代入,化簡(jiǎn)得帚+2加+1=0,解得〃?=-1,即C錯(cuò)誤；

此時(shí)有2y2+4y-6=0,/+2y-3=0,解得y=-3或y=l,即力=-3,%=1,

所以|尸。卜J1+/回一名|=Jl+(-IF?卜3-1|=40，即D正確，

故選：AD

12.已知定義在R上的奇函數(shù)y=/(x)對(duì)任意的xeR有f(x+2)=-f(x),當(dāng)—iWxWl時(shí),

,I—x,x<0

/(%)=加/1).函數(shù)g(x)=、八，則下列結(jié)論正確的是()

[ln(x+l),x>0

A.函數(shù)是周期為4的函數(shù)

B.函數(shù)g(無(wú))在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞減

C.當(dāng)。=1時(shí)，方程"x)=g(x)在R上有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

D.若方程/Q)=g(尤)在R上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，貝UaAin6

【答案】ABC

【詳解】對(duì)于A,VxeR,f(x+2)=-f(x),則/(x+4)=-/(尤+2)=/(x),因此函數(shù)/(x)是周

期為4的函數(shù)，A正確；

對(duì)于B,當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=-x,因此函數(shù)g(元)在區(qū)間(f,0)上單調(diào)遞減，B正確；

對(duì)于C,因?yàn)楹瘮?shù)Ax)是R上的奇函數(shù)，由/。+2)=-/(無(wú))得：f(x+2)=f(-x),即函數(shù)

y=/(元)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)，

當(dāng)a=l時(shí)，當(dāng)一IWxWl時(shí)，/(%)=%,則當(dāng)1W3時(shí)，-1<2-X<1,f(x)=f(2-x)=1-x,

函數(shù)〃x)在［-1,1］上單調(diào)遞增，在口,3］上單調(diào)遞減，-1</(X)<1,因此函數(shù)f(x)在R上的

值域?yàn)椋?M］,

當(dāng)-lVx<0時(shí)，g(x)>O>f(x),當(dāng)x<T時(shí)，g(x)>l>f(x),即方程f(x)=g(x)在(-8,0)

上無(wú)解，

當(dāng)。XI時(shí),令/z(x)=x-ln(x+l),h'(x)=l,當(dāng)xe(O,l)時(shí)有〃(x)>0,即函數(shù)人(x)在

X+1

［0,1］上遞增，

當(dāng)xe(0,l］時(shí),/7(x)>〃(0)=0,即函數(shù)飄尤)在［0,1］上有唯一零點(diǎn)，

當(dāng)1WXW3時(shí)，令奴工)=2-尤-111(元+1),顯然函數(shù)夕(x)在口,3］上單調(diào)遞減，

。⑴=1-ln2>0,^(3)=-l-ln4<0,因此函數(shù)0(x)在［1,3］上有唯一零點(diǎn)，

當(dāng)x>3時(shí)，g(x)>ln4>l>/(x),即方程/。)=8(幻在(3,+8)上無(wú)解，

所以當(dāng)。=1時(shí)，方程〃x)=g(x)在R上有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，C正確；

對(duì)于D,函數(shù)/⑺在［-M］上單調(diào)遞增，在工引上單調(diào)遞減，f(D=a,而函數(shù)/⑺的周期

為4,

則=f(4k+l)=a,keZ,/(0)=g(0)=0,由選項(xiàng)C知，當(dāng)了e(0,1］時(shí)，oxNx>In(尤+1),

即方程〃x)=g(x)在［01］上有一個(gè)根，當(dāng)1WXW3時(shí)，f{x)=a(2-x),

函數(shù)“(x)=虱2-x)-ln(x+1)在［1,3］上單調(diào)遞減,?(1)>0,M(3)<0,即方程f(x)=g(元)在(1,3)上

有一個(gè)根，

顯然函數(shù)/⑴在［3,5］上單調(diào)遞增,在［5,函上單調(diào)遞減,當(dāng)/(5)>g(5),即。>ln6時(shí),

方程/。)=g(x)在(3,7)上有兩個(gè)根，要方程/(》)=g(x)在R上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

必有/(9)<g(9),即"InlO,又/(—3)=a<lnlO<3=g(-3),因此當(dāng)a<lnl0時(shí)，

方程/(%)=g。)在(-吃0)上無(wú)解，所以方程于(x)=g。)在R上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

ln6<a<lnl0,D錯(cuò)誤.

故選：ABC

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在等比數(shù)列｛%｝中，。3,%是函數(shù)“X)=g/一4/+4.X-1的極值點(diǎn)，則a5=

【答案】2

【詳解】r(x)=x2-8x+4,

由題的,%是方程元?-8x+4=0的兩個(gè)不等實(shí)根，

則由韋達(dá)定理4%=4>0,4+%=8>0,所以%>0,%>。

又處是。3，a7的等比中項(xiàng)且。5與%，。7同號(hào)，則。；=4,a5>0=>%=2.

故答案為：2.

14.冬季兩項(xiàng)是冬奧會(huì)的項(xiàng)目之一，是把越野滑雪和射擊兩種不同特點(diǎn)的競(jìng)賽項(xiàng)目結(jié)合在一

起進(jìn)行的運(yùn)動(dòng)，其中冬季兩項(xiàng)男子個(gè)人賽，選手需要攜帶槍支和20發(fā)子彈，每滑行4千米

射擊1次，共射擊4次，每次5發(fā)子彈，若每有1發(fā)子彈沒(méi)命中，則被罰時(shí)1分鐘，總用時(shí)

最少者獲勝.己知某男選手在一次比賽中共被罰時(shí)3分鐘，假設(shè)其射擊時(shí)每發(fā)子彈命中的概

率都相同，且每發(fā)子彈是否命中相互獨(dú)立，記事件A為其在前兩次射擊中沒(méi)有被罰時(shí)，事

件B為其在第4次射擊中被罰時(shí)2分鐘，那么尸(A忸)=.

【答案】|

【詳解】解：由題意得尸(3)=爺［P(A8)=盧

。20。20

z~il「2「2

P(AB)1

P(A|B)=33

P(B)。c20c^203

故答案為：—

15.如圖，在正方體ABC。-A旦中，點(diǎn)尸在線(xiàn)段3G上運(yùn)動(dòng)，有下列判斷:

DC

①平面尸4。，平面AC。一

②與平面ACR；

③異面直線(xiàn)4P與g所成角的取值范圍是；

④點(diǎn)C到平面PQD,的距離不變.

其中，正確的是.（把所有正確判斷的序號(hào)都填上）.

【答案】①④

【詳解】對(duì)于①：如圖所示：

連接8D，A￡）,由正方體的性質(zhì)可知，

BD±AC,BBl±AC,BDBBy=B,BD,BB}u平面DBB、,

所以AC_L平面DBBl,又用。u平面DBBl,

所以ACLBQ,

同理有：AR，4片，4。AB|=A，4。，4月＜=平面a耳。,

所以AQ,平面A片。，又用。U平面A耳。，

所以AQ_LB[D,

因?yàn)锳C_L5Q,ADi1B,D,ACTADt=A,AC,ARu平面ACQ

所以BQ,平面ACR,又BQu平面PBQ,

所以平面尸與。，平面AC，，故①正確；

對(duì)于②：由①知2。，平面ACR,又男尸=與，

由過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線(xiàn)垂直于平面可知，

與尸與平面AC?不垂直；故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：如圖所示：連接AB，4G，4尸，則有VABQ為等邊三角形,

由正方體的性質(zhì)知，AB//OC/ADC1且=,

所以四邊形ABGR為平行四邊形，所以AR//BG，

所以異面直線(xiàn)\P與A2所成角即為直線(xiàn)4P與BCi所成角,

在VABG中P在線(xiàn)段BG上運(yùn)動(dòng)，所以：

當(dāng)尸與線(xiàn)段2G的端點(diǎn)重合時(shí)，

直線(xiàn)AP與BG所成的角取得最小值為三；

當(dāng)戶(hù)與線(xiàn)段8c的中點(diǎn)重合時(shí)，

直線(xiàn)A.P與BC,所成的角取得最大值為］7T；

7T7T

所以直線(xiàn)4P與所成角的范圍為,

ITTT

即異面直線(xiàn)4P與AQ所成角的范圍為,

故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④：如圖所示：連接R民。/

因?yàn)辄c(diǎn)P在線(xiàn)段BG上運(yùn)動(dòng)，

所以平面PGA與平面8GA是同一個(gè)平面，

點(diǎn)c與平面BGA都固定不變，

所以點(diǎn)C到平面BCR的距離不變，

所以點(diǎn)c到平面PG2的距離不變.故④正確;

故答案為：①④.

16.如圖所示的六面體由兩個(gè)棱長(zhǎng)為a的正四面體ABC,Q-A3C組合而成，記正四

面體的內(nèi)切球?yàn)榍騛，正四面體A5c的內(nèi)切球?yàn)榍颉?,則002=;若

在該六面體內(nèi)放置一個(gè)球。，則球。的體積的最大值是.

Q

【答案］旦a##?WO

66729

【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn)。，連接AD,設(shè)點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)的射影為N,連接MN,

Q

由四面體ABC是正四面體，知"為_(kāi)46€?的中心，且N在線(xiàn)段AL（上,AD15C,

2

由正四面體的棱長(zhǎng)為a,可得=MN=>JAM2-AN2=Ja-f—aX=^-a,

2VI23J3

C一32

dAABC~~^a

設(shè)球。1的半徑為r,由等體積法可％.ABC二;x4/x曰〃=；x4x,〃2x廠(chǎng),

^r=-a，

12

根據(jù)六面體的對(duì)稱(chēng)性可知正四面體M-ABC的內(nèi)切球和正四面體。-ABC的內(nèi)切球與面

ABC相切于N點(diǎn),

可得002=2r=,。-

當(dāng)球。的體積最大時(shí)，球。與該六面體的六個(gè)面都相切，

此時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性可知球心。即.ABC的中心N,連接MD,MD±BC,

過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)E,由于BCLARBCLMRAZ）MD=D,

A￡）,MDu平面他4。，

故BC1平面AM。,而OEu平面MAD,所以BC_LOE,

又BCMD=D,BC,MDu平面MBC,

故OE_L平面MBC,

則OE為球O的半徑.SMOD=^XMOXOD=^XMDXOE,

即J"x"ax3°=L/axOE,得0E=S,即此時(shí)球。的半徑為必”,

2362299

所以球。的體積的最大值為：7txj曰“]=哈兀".

故答案為:等著力

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在sABC中，內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為。也。，已知

cos（B—C）cosA+cos2A=1+cosAcos（B+C）.

⑴若B=C,求cosA的值;

22

⑵求h的+c值.

7

【答案】⑴g

⑵3

【詳解】（1）若3=C,則cos（3—C）=l.

因?yàn)閏os（B—C）cosA+cos2A=1+cos（5+C）cosA,

所以cosA+cos2A=1+cos—A）cosA,

cosA+2cos2A-1=1-cosAcosA

整理得3cos之A+cosA—2=0,A（0,TT）.

2

解得cosA=—l（舍），cosA=—.

（2）因?yàn)閏os（5—C）cosA+cos2A=l+cos（5+C）cosA,

所以[cos(3-C)—cos(B+C)]cosA=1—cos2A,

整理得2sinBsinCcosA=2sin2A

由正弦定理得2/?ccosA=2a2，

由余弦定理得從+c2—a2=2bccosA=2a2，

18.公比為q的等比數(shù)列｛氏｝滿(mǎn)足％+%=17,&+/=136.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）若a=1y2?！ǎ浺玻那啊?xiàng)和為（，求方+彳++—.

1

，234+1

【答案】⑴氏=2"-

⑵n々+1

q+〃[/=17Cly—1

【詳解】（1）由己知可得＜,解得

%q3+%/=136q=2

（2）由（1）可得仇=log22〃」二〃-l,

.-.7；=0+1+2+9

2

,,12

,當(dāng)“22時(shí)，彳=p-=2

19.某地要舉辦一年一度為期一個(gè)月（30天）的大型商業(yè)峰會(huì)，一商店每天要訂購(gòu)相同數(shù)

量的一種食品，每個(gè)該食品的進(jìn)價(jià)為0.6元，售價(jià)為1元，當(dāng)天賣(mài)不完的食品按進(jìn)價(jià)的半價(jià)

退回，食品按每箱100個(gè)包裝.根據(jù)往年的銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天對(duì)該食品的需求量和當(dāng)天到會(huì)的

人數(shù)有關(guān)，為了確定訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了往年的到會(huì)人數(shù)與需求量和到會(huì)人數(shù)與天數(shù)的有關(guān)數(shù)

據(jù)如下:

到會(huì)人數(shù)

(8000,9000](9000,10000](10000,11000](11000,12000](12000,13000]

/人

需求量/

400450500550600

箱

到會(huì)人數(shù)

(8000,9000](9000,10000](10000,11000](11000,12000](12000,13000]

/人

天數(shù)56874

以到會(huì)人數(shù)位于各區(qū)間的頻率估計(jì)到會(huì)人數(shù)位于各區(qū)間的概率.

(1)估計(jì)商業(yè)峰會(huì)期間，該商店一天這種食品的需求量不超過(guò)500箱的概率；

(2)設(shè)商業(yè)峰會(huì)期間一天這種食品的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y(單位：元)，當(dāng)商業(yè)峰會(huì)期間這種食品一

天的進(jìn)貨量為550箱時(shí)，寫(xiě)出Y的所有可能值，并估計(jì)丫不超過(guò)15000元的概率.

【答案】⑴1?9

(2)y的所有可能值為11500,15000,18500,22000；—

【詳解】(1)由表中數(shù)據(jù)可知商業(yè)峰會(huì)期間30天內(nèi)，該商店一天這種食品的需求量不超過(guò)

500箱的天數(shù)為5+6+8=19,

19

所以商業(yè)峰會(huì)期間該商店一天這種食品的需求量不超過(guò)500箱的概率為三.

(2)當(dāng)峰會(huì)期間這種食品一天的進(jìn)貨量為550箱時(shí)，

若到會(huì)人數(shù)位于區(qū)間(8000,9000]fy,

貝Ijy=400x100x(1-0.6)+150x100x(0.3—0.6)=11500元，

若到會(huì)人數(shù)位于區(qū)間(9000,10000]內(nèi)，

則y=450X100X(1-0.6)+100X100X(0.3-0.6)=15000元，

若到會(huì)人數(shù)位于區(qū)間(10000,11000]內(nèi)，

則￥=500x100x(1-0.6)+50x100x(0.3-0.6)=18500元，

若到會(huì)人數(shù)超過(guò)11000,貝IJY=550X100*(1-0.6)=22000元，

即y的所有可能值為11500,15000,18500,22000

y不超過(guò)15000元，意味著到會(huì)人數(shù)不超過(guò)loooo,

到會(huì)人數(shù)不超過(guò)10000的頻率為4：="，

所以y不超過(guò)15000元的概率的估計(jì)值為2.

22

20.已知雙曲線(xiàn)己三-夫=1(〃>08>0),若直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)C交于43兩點(diǎn)，線(xiàn)段A2的中

ab

3

點(diǎn)、為M,且七B?七材=](。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

（1）求雙曲線(xiàn)C的離心率；

（2）若直線(xiàn)/不經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)C的右頂點(diǎn)N（2,0）,且以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)N,證明直線(xiàn)/恒

過(guò)定點(diǎn)E,并求出點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】（1）[

（2）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)E（14,0）

【詳解】（1）設(shè)4（4認(rèn)）,3優(yōu)，》），則

由題意得'b[所以立受-肛或=0,

&_五=1a'”

丁正，

一/%-也2一/一%_2

Xj~X2a玉一X2七+/Q%一%2七+%2

一一22

.,,b2b23

??心"靛，印Bn/二wa2=—b2,c2=a2+b2=—b1,^=^-r=—

3344

因?yàn)殡p曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)N（2,0）,

22

所以雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為3-q=l,

因?yàn)轷U?%/==，所以直線(xiàn)/的斜率一定存在，并且心士且（如果左=±3，則

422

kOM=±^-,AB//OM,這不可能），

y=kx+m

設(shè)直線(xiàn)/的方程為y=h+加，聯(lián)立方程*丁_得:

------=1

143

（3—4發(fā)2卜2一8kmx-4m2-12=0（3-4fc20）,

所以A=64^2m2一4（3—4左2）（Tm2_12）>0,

BPm2-4^2+3>0,

所以&+%=3,2，%.彳2-4m2-12

3-4k2

因?yàn)橐訟3為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)N,

所以NAJ_A?,所以NA.N8=0,

又因?yàn)镹A=（玉-2,%）,可8=（々-2,%）,

所以A?=（占_2）（x?-2）+%%=占超一2（&+彳2）+4+%%=0，

2

又因?yàn)閮礊?（^1+根）（仇+>n）=左2Alw+卜認(rèn)玉+Xj）+m,

12

所以?NA-NB=（k+1）玉龍2+（加一2）（玉+x2）+7?z+4=0,

/,2八-4/7i2-12,c、8km2”c

即Rn（左~+l）x-------——p（zfo//-2）x----^-+m~+4=0,

3—4左3—4k

化簡(jiǎn)得病+16加+28左2=0,即（m+14左）（m+2左）=0,

解得m=-14左或機(jī)=-2左，且均滿(mǎn)足4-4左之+3>0,

當(dāng)利=—2左時(shí)，y=kx-2k=A:（x—2）,

因?yàn)橹本€(xiàn)/不過(guò)定點(diǎn)N（2,0）,故舍去；

當(dāng)加=一14左時(shí)，y=kx—l4k=k（^x-14^,

所以直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)E（14,0）；

綜上，e空,直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)石（14,0）.

21.如圖，已知斜四棱柱ABCD-ABIGR，底面ABC。為等腰梯形，AB〃CD,點(diǎn)4在底

面ABCD的射影為O,且AD=8=44,=1,AB=2,4。=（，

⑵若M為線(xiàn)段皿上一點(diǎn)，且平面地C與平面鉆。夾角的余弦值為理’求直線(xiàn)4加與

平面朋3c所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

⑵更

7

【詳解】(1)證明：等腰梯形ABC。中，AB=2,BC=CD=AD=1,

作CE//AD交AB于E,如圖，則ADCE是菱形，AE=CD=EB=CE=BC,

3CE是等邊三角形，則ZABC=60。，NDCE=NECB=60°,ZACD=ZACE=30°,

所以/ACB=90°,即AC13C,

又BC_LAA|,A4dAB=A,裕,ABu平面A41clC,

所以3c1平面AACq,又BCu平面ABC。,

所以平面ABCD，平面AACC］；

(2)點(diǎn)4在底面ABC。的射影為。，由(1),得。在AC上，且A。，AC,又4。=；,A4,=1,

所以A0=3