四川省學(xué)校2023屆高三模擬預(yù)測(cè)理數(shù)試題（解析版）

2023屆高考適應(yīng)性考試

理科數(shù)學(xué)試題

一、選擇題(本題共12小題共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求

的)

1,設(shè)集合/{口卷刊，殷以知必<4},則山§=()

A.[-2,+<?)B.(1,-Ko)C.(1,2]D.(一.+8)

【答案】A

【解析】

【分析】

解不等式求得集合3,再利用并集的運(yùn)算求得結(jié)果.

【詳解】由已知5={1￡尺[%2<4}={犬￡尺|—2<]<2}=[—2,2],

又A==(l,+oo),/.AUB=[-2,+oo).

故選：A

2.復(fù)數(shù)z=二2,則口=()

1-i11

A.回B.叵C.-

D.75

22

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再計(jì)算求得復(fù)數(shù)的模.

l+2i(l+2i)(l+i)_-l+3i_13._13.

【詳解】z=————1,

(l-i)(l+i)22222

故選：B

n

3.設(shè)(1+xf=4+〃]%+〃2%2++anX,若。2=。3，則〃=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【解析】

【分析】先求出(I+X)"展開式第r+1項(xiàng)，再由出=%列出方程，即可求出〃的值.

【詳解】(1+x)"展開式第r+1項(xiàng)4+i=C；X，

,:。2=。3,：.C；=C：,

,7/=2+3=5.

故選：A.

2

4.在A4BC中，^a-+c-b-=-ac，那么角3等于()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】由余弦定理先求得COS8,再得8。

2.2r21

【詳解】AABC中，由題意cos5=a??.5=120。。

2ac2

故選：Co

【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理，考查用余弦定理求角。余弦定理公式較多，注意選用：如

2,2_T2

b2=a2+c2-2accosB，變形為cos5=^—-------。

lac

5.若|〃|=2cosl5。，仍|=4sinl5。，a,〃的夾角為30。,則〃?歸等于()

A.與B.73C.2百D.1

【答案】B

【解析】

【詳解】分析：先根據(jù)向量數(shù)量積定義化簡(jiǎn)，再根據(jù)二倍角公式求值.

詳解：因?yàn)?2cosl5°x4sinl5°xcos30°=4sin30°cos30°=2sin60°=若，

所以選B.

點(diǎn)睛：平面向量數(shù)量積的類型及求法

(1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式a-6=|a|?|6|cosd；二是坐標(biāo)公式a-Z?=；

三是利用數(shù)量積的幾何意義.

(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn).

6'L>[￡!"是"“<"+1”()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，即可判斷.

【詳解】不等式(g)等價(jià)于

由〃</?可推出々</?+1,

由avb+1不一定能推出〃<6,例如〃=3/=3時(shí)，QVZ?+1,但〃=/?,

所以“[￡!"是'。<人+「的充分不必要條件

故選：A.

7.三棱錐A—BCD中，AC,平面5Q),BDLCD.若AB=3,BD=1,則該三棱錐體積的最大值為

()

42

A.2B.-C.1D.-

33

【答案】D

【解析】

【分析】先利用線面垂直判定定理與性質(zhì)定理依次證得3。1平面ACD、5。LAD與ACJ_CD,從而

2

利用基本不等式求得SACD<2,進(jìn)而得到VA_BCD=VB^ACD<-,由此得解.

【詳解】因AC,平面BCD,BDu平面BCD,所以AC13D,

又BDLCD,ACCD=C,AC,COu平面ACD,所以二平面ACD,

因?yàn)锳Du平面ACD,所以BDLAD,

在中，AB=3,BD=\,則AD=而匚壽=2日

因?yàn)锳C,平面BCD,CDu平面BCD,所以ACLCD,

在Rtz\ACD中，不妨設(shè)AC=a,CD=6(a>0力>0),則由AC?=人。2得/+/=&,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b且4+02=8,即”=b=2時(shí)，等號(hào)成立,

11?

所以^A-BCD~%-AC。=§SACD?BD<—x2xl=—,

所以該三棱錐體積的最大值為2;.

故選：D.

8.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，輸出，和S的值分別為（）

（結(jié)束）

A.2,15B.2,7C.3,15D.3,7

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)程序框圖，依次運(yùn)行，直到滿足條件退出循環(huán)，即可得到結(jié)論.

【詳解】模擬循環(huán)如下：

r=1,不滿足條件，n=2,不滿足條件；

r=2,滿足條件，7=1,S=2,n=3,不滿足條件；

r=0,不滿足條件，n=4,不滿足條件；

r=l,不滿足條件，〃=5,不滿足條件；

r=2,滿足條件，i=2,S=7,n=6,不滿足條件；

r=0,不滿足條件，n=7,不滿足條件；

r=1,不滿足條件，〃=8,不滿足條件;；

r=2,滿足條件，1=3,S=15,n=9,不滿足條件；

r=0,不滿足條件，n=10,滿足條件，退出循環(huán)，輸出，=3,5=15.

故選：C.

31m

9.已知a>0,b>0,若不等式一+一之-----恒成立，則:"的最大值為（）

aba+3b

A.9B.12

C.18D.24

【答案】B

【解析】

【分析】變形利用基本不等式即可得出結(jié)果.

31m

【詳解】由一+—>------,

aba+3b

/日zC7-319ba.

得加<（a+3b）（—+—x）=11-6.

abab

9bai-9ba

又一+—+622而+6=12（當(dāng)且僅當(dāng)一=—,即a=3b時(shí)等號(hào)成立），

abab

日12,...機(jī)的最大值為12,

故選：B.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)求參數(shù)最值的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用基本不等式求最值，屬于簡(jiǎn)單題目.

10.已知耳，鳥是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，且/4時(shí)=60°,|?浦=3歸耳則C的離心率

為（）

A.叵B.叵C.幣D.V13

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出I。耳尸耳|,結(jié)合余弦定理可得答案.

【詳解】因?yàn)閨尸周=3|尸閭,由雙曲線的定義可得|尸制T尸鳥|=2|尸閶=2a,

所以|尸閭=”"尸耳|=3a；

因?yàn)閆FJP&=60。,由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2x3?-?-cos60°，

整理可得4c2=7",所以e?=￡_=?,即6=正.

a242

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立〃，。間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.

11.已知函數(shù)/(x)=sin"x+cos"x(〃eN*),則下列結(jié)論正確的是()

7171

A.〃=1時(shí)，/⑺在——上單調(diào)遞增

_24_

B.“=4時(shí)，/(無)的最小正周期為兀

C.〃=4時(shí)，/⑺在R上的最小值為1

JT

D.對(duì)任意的正整數(shù)“，/(x)的圖象都關(guān)于直線尤=三對(duì)稱

4

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)輔助角公式、降幕公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的最值、最小正周期公式、對(duì)稱性逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：”=1時(shí)，JU!]/(x)=sinx+cosx=0sin|x+2],

7t71兀兀兀7C7C

因?yàn)閤e則x+：e,且y=sinx在上單調(diào)遞增,

5'Z44242

n7i

所以/(無)在一彳,：上單調(diào)遞增，故A正確;

24

對(duì)于選項(xiàng)B、C：〃=4時(shí)，則

.4(-22、2c「，1I.”l-cos4x3+cos4%

f(x)=sin4x+cos%=sinx+cosx]-2sinxcos-x=l——snr2x=l——x--------=---------

I>2224

2冗7L

所以/(x)的最小正周期為T=——=—,故B錯(cuò)誤;

42

當(dāng)4%=2也+兀水eZ,即％=包+巴狀eZ時(shí)，則/（x）=出/取到最小值;，故C錯(cuò)誤;

2442

兀

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榱?-X

JT

所以對(duì)任意的正整數(shù)“，/（X）的圖象都關(guān)于直線X=—對(duì)稱，故D正確;

4

故選：AD.

12.設(shè)〃尤）是定義在7?上的增函數(shù)，且對(duì)于任意的x都有〃lr）+〃l+x）=。恒成立，如果實(shí)數(shù)相、"

f（m2-6m+23\+f（n2-8n}<0

滿足不等式組'）'），那么77?+*的取值范圍是（）

m>3

A.（3,7）B.（9,25）C.（13,49）D,（9,49）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)任意的x都有〃lr）+〃l+x）=O恒成立，將不等式/（蘇-6切+23）+/（〃2—8〃）<0化為

/（m2-6m+23）<f（2-rr-8n）,結(jié)合單調(diào)性，可得%2一6加+23<2—"一即？，然后根據(jù)圓的幾何意

義，即可求得《?+”2的取值范圍.

【詳解】：對(duì)于任意的X都有/(I-X)+/(1+X)=0恒成立，

Af(l-x)=-f(l+x),

于卜￡-6機(jī)+23)+/(z?-8")<0,

f0/-6m+23)<-f[1+-8〃-1)],

f(m1-6m+23)<f^l-(rr-8n-^=f(2-rr-Sn),

?；/(%)在R上是增函數(shù)，

nr—6m+23<2—n2—8n>即(m—3)"+(n+4)2<4,

?；(m—3)2+(“+4)2=4的圓心坐標(biāo)為(3,T),半徑為2,

...(7〃—3)2+("+4)2=4(7〃>3)內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的取值范圍為(江淳,5+2)，即(JB,7),

...根2+/的取值范圍為(13,49).

故選：C.

n

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

7T257c

13.cos2--------COS一

1212

【答案】

2

【解析】

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)即可求解.

兀兀

■、坐用刀、2兀25兀2兀22兀.2兀兀V3

【詳角?！緾OS--------COS——=COS---------COS=cos-----sm—=cos—=——,

121212212121262

故答案為：B

2

2

14.若雙曲線V—二=1（加〉0）的漸近線與圓爐+/―4y+3=0相切，則機(jī)=

m

【答案】唐

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線方程,寫出漸近線方程，整理圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，明確圓心與半徑，結(jié)合直線與圓相切，建

立方程，可得答案.

2

【詳解】由雙曲線方程/工=1（加〉0）,則其漸近線方程丁=土初X,

m

由圓方程X2+y2—4y+3=0,整理可得/+（y—2『=1,其圓心為（0,2）,半徑r=1,

由兩個(gè)漸近線關(guān)于y對(duì)稱，則不妨只探究漸近線y=爾，整理可得爾-y=0,

|0-2|「

由題意，可得~i=,=1,解得加=也.

Vl+m2

故答案為：陋.

15.為舒緩高考?jí)毫?，中學(xué)高三年級(jí)開展了“葵花心語”活動(dòng)，每個(gè)同學(xué)選擇一顆葵花種子親自播種在

花盆中，四個(gè)人為一互助組，每組四人的種子播種在同一花盆中，若盆中至少長(zhǎng)出三株花苗，則可評(píng)為

“陽光小組”.已知每顆種子發(fā)芽概率為0.8,全年級(jí)恰好共種了500盆，則大概有個(gè)小組能評(píng)

為“陽光小組”.（結(jié)果四舍五入法保留整數(shù)）

【答案】410

【解析】

【分析】根據(jù)題意可計(jì)算出一盆花苗能被評(píng)為“陽光小組”的概率為0.8192,再根據(jù)二項(xiàng)分布的期望值即可

求得結(jié)果.

【詳解】由題意知，每一盆至少長(zhǎng)出三株花苗包括“恰好長(zhǎng)出三株花苗”和“長(zhǎng)出四株花苗”兩種情況，

其概率為C：x0.84+c；x（1—0.8）x0.83=08192,

即一盆花苗能被評(píng)為“陽光小組”的概率為0.8192,且被評(píng)為“陽光小組”的盆數(shù)X服從二項(xiàng)分布

XB（500,0.8192）,

所以500盆花苗中能被評(píng)為“陽光小組”的有500x0.8192=409.6-410.

故答案為：410

16.已知函數(shù)/'（X）,eH,則下列命題中正確的有.

ln（l-x）,xe（-oo,0]

①函數(shù)/（龍）有兩個(gè)極值點(diǎn)；

②若關(guān)于x的方程〃尤）=/恰有1個(gè)解，貝卜＞1；

③函數(shù)/（無）的圖像與直線x+y+c=0（ceR）有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

④若/（%）=/（X2）=/（七），且％＜々＜七,則（1一%）（9+&）無最值.

【答案】①③

【解析】

【分析】對(duì)函數(shù)/（%）的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)并畫出函數(shù)圖象，由圖可知函數(shù)/（九）有兩個(gè)極值點(diǎn)，即①正確；

利用函數(shù)與方程的思想可得f（x）=t恰有1個(gè)解時(shí)f＞1或/=0,可知②錯(cuò)誤；易知丁=一%和y=—%+2是

函數(shù)/（%）的兩條切線，分類討論參數(shù)c并通過構(gòu)造函數(shù)證明即可得出了（龍）的圖像與直線

X+y+c=0（ceR）有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故③正確；分別解出石,々,馬的表達(dá)式，代入（1一%）（七+七）并

構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得(1-%)(9+毛)有最小值，即④錯(cuò)誤.

1n\

/\||W(0,+8)X

【詳解】由函數(shù)/(x)='e網(wǎng)')可得=<

€(0,1)

ln(l-x),xe(-a),0]

函數(shù)/(力的圖像如下圖所示:

對(duì)于①，由圖可知，X=0和1=1是函數(shù)/(%)的兩個(gè)極值點(diǎn)，故①正確；

對(duì)于②，若函數(shù)g(x)=/(x)T恰有1個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)〃力與的圖像僅有一個(gè)交點(diǎn)，可得”1或

/=0,故②不正確；

對(duì)于③，因?yàn)楹瘮?shù)y=ln(l—%),爐=」一在點(diǎn)(0,0)處切線斜率左=4=—1,在點(diǎn)(0,0)處的切線為

x~l0—1

y=T,

函數(shù)y=L,y=—士在(1,1)處的切線斜率為左==-1,在(1,1)處切線為y=-x+2,如圖中虛線所示，

易知當(dāng)0W—cW2,即—2?c?0時(shí)，“X)的圖像與直線x+y+c=。恰有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)一。>2,即。<一2時(shí)，令，=一九一。，得%2+C%+1=0，

x

令夕(x)=f+cx+l(x>l),則夕(l)=2+c<0,p(-c)=l>0,

由二次函數(shù)的圖像及零點(diǎn)存在定理可知，方程p(x)=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

當(dāng)一c<0,即c〉0時(shí)，令ln(l—x)=—x—c,設(shè)9(工)=111。-%)+X+。,工<0,

V

則q'(x)=——三0(僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào))，

X1

即函數(shù)姓犬)在(-8,0)上單調(diào)遞增，由于q(0)=c>0,

11—jr1—x

設(shè)％(x)=hix-x+l,%￡(o,+8)j'(x)=—1=---,XG(0,l),f(%)=----單調(diào)遞增，

xe(l,+oo),f(%)=-―^<0/(九)單調(diào)遞減，.,J(x)max=Z(l)=lnl-l+l=0,.*.Z(x)<0,.,.lnx<x-l,

q（l-（c+2））=ln（c+2）2+l-（c+2）2+c

=21n（c+2）-c2-3c-3<2（c+l）-c2-3c-3=-c2-c-l<0,

所以函數(shù)q（九）有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；故③正確；

對(duì)于④，由/（%）=/（%）=/（%3）=《'€（°，1））（不<龍2<七），

則X]=l—e',x2=t,%3=；，則（1—%）（工2+%3）=e（/+，，

設(shè)/z?）=e[/+，，則〃0）=”+：卜（1_口二/+；+—）,

設(shè)W（r）=r3+r2+f-l,顯然m（t）在（0,1）上單調(diào)遞增，

且加（0）<0,加⑴>。，所以存在%e（0,l）,使加&）=0,

且當(dāng)正（0,幻時(shí),〃'⑺<0,力⑺單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí),〃⑺>0,入⑺單調(diào)遞增，所以人⑺存在

最小值。（之），故④不正確；

故選：①③.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)和方程根的問題往往利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖像交點(diǎn)的問題，極值和最值問

題通常構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出結(jié)論.

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和S“=Aq"+3其中A,B,q為常數(shù).

（1）若4+6=0,求證：數(shù)列｛%,｝是等比數(shù)列；

（2）在（1）的條件下，若勾=1,4+2=4%,求數(shù)列｛“+4｝的前10項(xiàng)和九.

【答案】（1）證明見解析

（2）1078

【解析】

【分析】（1）由q,的關(guān)系及等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；

（2）先由%+2=4可求得4=2,又q=l,即得4=2"T,再由分組求和法求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)?+5=0,所以S“=Aq”—A,

當(dāng)九22時(shí)，S，_i=Aq"T—A,

annX

則n=S,「S,T=Aq-A—（Aqi—A）=A（q-1）q,

當(dāng)”=1時(shí)，a1=Sl=Aq-A=A（^q—1^,也符合上式，

所以%=A（q—l）q"T,

由正項(xiàng)數(shù)列｛4｝,可得q>0且“wl,AwO,

又4+i=A（q-l）q",則」^=4,

an

故數(shù)列｛4｝是以A（q—1）為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列；

【小問2詳解】

因?yàn)閿?shù)列｛4｝為等比數(shù)列，由%+2=4%可得/=4,

又正項(xiàng)數(shù)列｛4｝可得（/>0,則4=2,

又4=1,則a“=2"T,

所以加=（1+2+…+10）+（1+2+…+2,=0+10）x10+]-*

=1078.

18.某超市從2014年甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數(shù)據(jù)中分別隨機(jī)抽取100個(gè)，并按[0,

10],（10,20],（20,30],（30,40],（40,50]分組，得到頻率分布直方圖如下：

甲乙

假設(shè)甲、乙兩種酸奶獨(dú)立銷售且日銷售量相互獨(dú)立.

（1）寫出頻率分布直方圖（甲）中的。的值；記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的方差分別為

s；,S；,試比較S；與的大小；（只需寫出結(jié)論）

（2）估計(jì)在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個(gè)高于20箱且另一個(gè)不高于20箱的概率;

(3)設(shè)X表示在未來3天內(nèi)甲種酸奶的日銷售量不高于20箱的天數(shù)，以日銷售量落入各組的頻率作為概

率，求X的數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)a=O.O15,(2)0.42；(3)0.9.

【解析】

【詳解】試題分析：(I)由各個(gè)小矩形的面積和為1,先求出“，由頻率分布直方圖可看出，甲的銷售量比

較分散，而乙較為集中，由此可得出與差的大小關(guān)系；(II)首先設(shè)事件,心在未來的某一天里，甲種酸

奶的銷售量不高于20箱；事件8：在未來的某一天里，乙種酸奶的銷售量不高于20箱；事件C：在未來

的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰好一個(gè)高于20箱且另一個(gè)不高于20箱；然后分別求出事件a和

事件8的概率，最后由相互獨(dú)立事件的概率乘法計(jì)算公式即可得出所求的結(jié)果；(III)首先由題意可知X的

可能取值為0,1,2,3,然后運(yùn)用相互獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式分別計(jì)算相應(yīng)的概率，最后得出其分

布列即可.

試題解析：(I)由各小矩形的面積和為1可得：(0.01。+。+0.020+0.025+0.03)x10=1,解之的

a=0.015；由頻率分布直方圖可看出，甲的銷售量比較分散，而乙較為集中，主要集中在20-30箱，故

s；〉s；.

(II)設(shè)事件.：在未來的某一天里，甲種酸奶的銷售量不高于20箱；事件B：在未來的某一天里，乙

種酸奶的銷售量不高于20箱；事件C：在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰好一個(gè)高于20箱

且另一個(gè)不高于20箱.則尸(0)=0.20+0.10=0.3,P(B)=0.10+0.20=0.3.所以

P(C)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.42.

(Ill)由題意可知，X的可能取值為0,1,2,3.

P(X=0)=CfX0.3°X0.73=0.343,P(X=1)=C；x0.31x0.72=0.441,

P(X=2)=C；x0.32x0.71=0.189,P(X=3)=C；x0.33x0.7°=0.027.

所以X的分布列為

X0123

P0.3430.4410.1890.027

所以X的數(shù)學(xué)期望EY=0x0.343+1x0.441+2x0.189+3x0.027=0.9.

考點(diǎn)：1、離散型隨機(jī)變量的均值與方差；2、相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；3、頻率分布直方圖.

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖、離散型隨機(jī)變量的均值與方差和相互獨(dú)立事件的概率乘法公

式，屬中檔題.這類題型是歷年高考的必考題型之一，其解題的關(guān)鍵有二點(diǎn)：其一是認(rèn)真審清題意，掌握

二項(xiàng)分布與幾何分布，并區(qū)分兩者的適用范圍；其二是掌握離散型隨機(jī)變量的分布列和均值的求法以及頻

率分布直方圖的性質(zhì)的應(yīng)用.

19.如圖，在五面體A5CDEF中，四邊形A3CD是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF//AD,平面平面

ABCD,且5c=2EF,AE=AF,點(diǎn)G是￡尸的中點(diǎn).

（I）證明：AGL平面A3CD；

（II）若直線B尸與平面ACE所成角的正弦值為亞，求AG的長(zhǎng)；

9

（III）判斷線段AC上是否存在一點(diǎn)使MG〃平面廣？若存在，求出義的值；若不存在，說明

MC

理由.

【答案】（I）詳見解析；（H）AG=1或AG=叵；（III）—=

2MC3

【解析】

【分析】（I）由面面垂直性質(zhì)定理，可得線面垂直；

（II）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACE的一個(gè)法向量，利用線面角的向量求法即得；

（III）利用空間向量確定〃坐標(biāo)，從而得出其位置.

【詳解】（I）因?yàn)轹?AF,點(diǎn)G是斯的中點(diǎn)，

所以AG1EF,

又因?yàn)镋F//AD,

所以AG±AD,

因?yàn)槠矫鍭DEF1平面ABCD,平面ADEF1平面=AGu平面入。石戶，

所以AGL平面A3CD；

（II）因?yàn)锳G,平面A3CD,ABYAD,所以AG,A。,A5兩兩垂直.以A為原點(diǎn)，以A5,AD,

AG分別為x軸、,軸和z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),3(4,0,0),C(4,4,0),

設(shè)AG=fQ〉0),則E(0,lJ),F(O,-1J),

所以3E=(—4,—11),AC=(4,4,0),AE=(O,1J),

設(shè)平面ACE的法向量為"=(x,y,z),

[AC-n=04x+4y=0,

由<，得｛

AE-n=0y+tz=0,

令z=l,得〃=?,-//)，

因?yàn)锽P與平面ACE所成角的正弦值為亞,

9

師廠瓜

所以cos(BF,n

\BF\\nC9

M_V6

解得『=1或『=

J17+』42產(chǎn)+19'2

所以AG=1或AG

（III）假設(shè)線段AC上存在一點(diǎn)“，使得MG//平面廠,

由AC=(4,4,0),得AM=(44,4/1,0),

設(shè)AG=t(Z>0),則AG=(0,0j),

所以MG=AG-AM=(-4Z,-4A,t),

設(shè)平面ABF的法向量為加=(%,M,Z1),

因?yàn)锳B=(4,0,0),AF=(0,-1,t),

AB-m=0+%=0,

由得｛

AF-m=04石=0,

令4=1,得〃z=(0j,l),

因?yàn)镸G〃平面AB廠,

所以MGm=。，BP-4At+t=0,

解得2=-.

4

AM1?AM1

所以——=一,此時(shí)——=一,

AC4AC4

所以當(dāng)4竺=工時(shí)，MG〃平面A5F.

AC4

22（3、

20.設(shè)耳，8分別為橢圓E：I+g=l（a〉6〉0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)「1L'J在橢圓E上，且點(diǎn)P和

6關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

（I）求橢圓E的方程；

（II）過右焦點(diǎn)B的直線/與橢圓相交于A,3兩點(diǎn)，過點(diǎn)P且平行于A3的直線與橢圓交于另一點(diǎn)Q,問

是否存在直線/,使得四邊形上48Q的對(duì)角線互相平分？若存在，求出/的方程；若不存在，說明理由.

【答案】（I）—+^=1（II）存在直線/為3x—4y—3=0滿足題意，詳見解析

43

【解析】

【分析】（I）根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)白，從而可得出橢圓E兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)，利用橢圓定義求出。的值，結(jié)合c

的值，可求出b的值，從而寫出橢圓E的方程;

3

(II)設(shè)直線/的方程為，=左(％—1),可得出直線PQ的方程為y—2=—1),設(shè)4(西,％),

3(9,方),將直線/的方程與橢圓E的方程聯(lián)立，消去九得出有關(guān)x的一元二次方程，并列出韋達(dá)定

理，同理將直線尸。的方程與橢圓E的方程聯(lián)立可得出點(diǎn)。的坐標(biāo)，由已知條件得出線段A3與尸。的中

點(diǎn)重合，從而可得出有關(guān)化的方程，求出左的值，即可得出直線/的方程.

33

【詳解】(I)解:由點(diǎn)尸(1,一)和左W0關(guān)于點(diǎn)C(0,—)對(duì)稱,得耳(—1,0),

24

所以橢圓E的焦點(diǎn)為耳(一1,0),馬(1,0),

由橢圓定義，得2a=|尸耳|+|P鳥|=4.

所以a=2,b=da2-c2—A/3?

22

故橢圓E的方程為土+匕=1；

43

(H)解：結(jié)論：存在直線/，使得四邊形PA8Q的對(duì)角線互相平行.

理由如下：

由題可知直線/,直線尸。的斜率存在，

設(shè)直線/的方程為y=k(x-1),直線尸。的方程為y—=?x—1)

f22

工+J

由《43，消去y

y=左(x—l)

得(3+4左2)%2—8左2%+4左2-12=0,

由題意，可知A>0，設(shè)5(x2,y2),

則…=羔74/一12

3+442

由〈二消去兒

3

y--=Z:(x-l),

、乙

得(3+4左2)尤2—(8公—12。尤+4左2—12左一3=0,

13

由A〉0,可知左設(shè)。（%,%），又P（l，5），

,842—12左，4k2-12k-3

貝$+1=-----=,占?1=--------z—

3

3+4左233+4V

若四邊形PABQ的對(duì)角線互相平行，則總與AQ的中點(diǎn)重合,

uuzX+W尤2+11

所以」——i——，即Rn七一々=1一%3

22

故（玉+X2）~—4%々=（1一項(xiàng)）？

2

ec,8kY“4^-12（4左2—12左一3丫

（3+4左213+4左213+4左2

3

解得左=:，

4

所以直線/為3x—4y—3=0,四邊形K48Q的對(duì)角線互相平分.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，對(duì)于直線與橢圓的綜合問題，常采用韋

達(dá)定理法，本題中注意到四邊形為平行四邊形，利用兩對(duì)角線互相平分結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行求解，這是解題

的關(guān)鍵，同時(shí)在解題中也要注意韋達(dá)定理法適用的情形.

21.已知函數(shù)/（x）=alnx+L（aw0）

X

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間；

⑵若{x"（x）W0}=也c],（其中b<c）,求。的取值范圍，并說明也c]N（0,l）.

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，/⑺的單調(diào)遞減區(qū)間是（0,+"）,

當(dāng)a>0時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間是〔0,/],單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）（e,+co）,答案見解析

【解析】

【分析】（1）易知函數(shù)/⑺的定義域?yàn)椋?,+。），求導(dǎo)并對(duì)參數(shù)”進(jìn)行分類討論即可得出結(jié)論；

（2）由（1）中的結(jié)論可知，若{x|/（x）K0}=g,c|,則函數(shù)的最小值必須滿足了1:）<0,可得

a〉e,再利用零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)/（元）在內(nèi)分別存在一個(gè)零點(diǎn),即可得

[瓦c]q(O,l).

【小問1詳解】

「，,、a1ax-1/八、

f（%）=----2~--2-（%〉0）?

XXX

當(dāng)4<0時(shí)，f\x）<0,則函數(shù)了⑺的單調(diào)遞減區(qū)間是（0,+8）；

當(dāng)a>0時(shí)，令/'（幻=0,得x=1.

當(dāng)無變化時(shí)，/（X）,"X）的變化情況如下表

X￡

a

f(x)—0+

fM極小值/

所以/（無）的單調(diào)遞減區(qū)間是10,-1,單調(diào)遞增區(qū)間是1-,+a）

Va）\a

【小問2詳解】

由｛x"（x）W0卜二屹,c]可得,函數(shù)/（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)b,c；

由（1）知：當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)"X）在區(qū)間（0,+。）內(nèi)是減函數(shù)，

所以，函數(shù)"X）至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

當(dāng)。>0時(shí)，因?yàn)?（X）在0,：內(nèi)是減函數(shù)，在+8內(nèi)是增函數(shù),

所以要使｛x"（x）<0｝=屹,C],必須/<0,即aln—Fa<0,解得〃>e；

a

當(dāng)。〉e時(shí),

不妨取了+/=-2〃lna+/-，

2r-2

令g(x)=x—21nx(xNe),則g'(%)=l——=----(x>e).

當(dāng)％>e時(shí)，g'(x)>0,所以g(x)在［e,4w)上是增函數(shù).

所以當(dāng)a〉e時(shí)，g(tz)=a-21n?>g(e)=e-2>0,

所以心］”

因?yàn)閍〉e時(shí)士<工<1,/f-Ko,/(1)=1>0,

aa)

因?yàn)樵?-］內(nèi)是減函數(shù)，在L+s］內(nèi)是增函數(shù),

由零點(diǎn)存在定理可知/(%)在=,一內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，不妨記為b,

yaaJ

在1一,1］內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，不妨記為C.

所以{x"(x)K0}=IAc］,

綜上所述，。的取值范圍是(e,+8).

所以［仇c仁(0,1).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用不等式解集與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，將{川/(X)<0}=2,。］轉(zhuǎn)化成

函數(shù)/⑴存在兩個(gè)零點(diǎn)6,C,再利用函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理分別限定出零點(diǎn)的取值范圍即可.

請(qǐng)考生在第22,23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.

選修4-4：極坐標(biāo)和參數(shù)方程選講

22.在直角坐標(biāo)系x0y中，曲線C的