江蘇蘇州市2024年高一年級(jí)下冊期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題+答案

高一期中調(diào)研試卷

數(shù)學(xué)

2024.04

注意事項(xiàng)

學(xué)生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：

1.本卷共4頁，包含單項(xiàng)選擇題（第1題?第8題）、多項(xiàng)選擇題（第9題?第11題）、填

空題（第12題?第14題）、解答題（第15題?第19題）.本卷滿分150分，答題時(shí)間為

120分鐘.答題結(jié)束后，請將答題卡交回.

2.答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題

卡的規(guī)定位置.

3.請?jiān)诖痤}卡上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效.作答必須

用0.5毫米黑色墨水的簽字筆.請注意字體工整，筆跡清楚.

4.請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損.一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠

筆.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（3-i）（4-i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知單位向量Z,B的夾角為也，則伍-b\=

31

A.1B.V2C.V3D.3

3.i是虛數(shù)單位，則2=’-的共輾復(fù)數(shù)是

1-i

11.11.

AC.1-iD.1+i

2222

4.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若a=l,A=135°,則—一的值為

sinB+sinC

V2V2

A.—B.—c.V2D.2V2

42

5.已知向量￡=（3,—4）,b=（2,0）,則Z在很上的投影向量為

A.（3,0）

6.下列命題正確的是

A.AB-AC=~BC

B.若向量￡=(2023,2024),把Z向右平移2個(gè)單位，得到的向量的坐標(biāo)為(2025,2024)

C.在△A2C中，福??〉()是AABC為銳角三角形的充要條件

D.在△ABC中，若;I為任意實(shí)數(shù)，且而=/(，可?而卜則P點(diǎn)的軌跡經(jīng)過△ABC的內(nèi)心

7.蘇州國際金融中心為地處蘇州工業(yè)園區(qū)湖東CBD核心區(qū)的一棟摩天大樓，曾獲2020年度CTBUH全球

高層建筑卓越獎(jiǎng).建筑整體采用“鯉魚跳龍門”之“魚”作為象征主題，以“魚躍龍門”為設(shè)計(jì)理念，呈鯉

魚飛躍之勢寓意繁榮昌盛，大樓面向金雞湖，迎水展開，如魚尾般曼妙的弧線，從水面沿裙房一直延伸至主

塔樓，某測量愛好者在過國際金融中心底部(當(dāng)作點(diǎn)。)一直線上位于。同側(cè)兩點(diǎn)A,B分別測得金融中心

頂部點(diǎn)尸的仰角依次為30°,45°,已知的長度為330米，則金融中心的高度約為

A.350米B.400米C.450米D.500米

8.在平行四邊形ABC。中，E為的中點(diǎn)，BF=-BC,AF與BE交于點(diǎn)G,若麗=%,BC,

3

則BG=

2-11-21-2

A.一aH—b7B.一aH—b7D.-ciH—b7

777755

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在△ABC中，下列說法正確的是

A.若貝!JsinA>sinB>sinCB.若則sin2A>sin2B>sin2C

C.若貝!JcosA<cosB<cosCD.若貝i」cos2A<cos28<cos2c

10.Z/Z2是復(fù)數(shù)，下列說法正確的是

A.若z；<0,則%是純虛數(shù)

B-若卜上㈤,則z：=z；

C.若ZrZ2互為共朝虛數(shù)，則Z「Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱

D.若z；-z；>0,則z；>z；

11.已知尸是邊長為1的正六邊形ABCOEF內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），且衣二血+力而，2G7?,則下列正確

的是

A.△PCD的面積為定值B.使得|正卜|西|

C.NCPD的取值范圍是D.|正|的取值范圍是[1,6]

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知1,B為兩個(gè)不共線的非零向量，若左％+5與％—2各共線，則左的值為.

13.ZXABC中，^sin|A+—|=,貝Usin（A-2]=.

I4；5I12；

14.已知AABC的外接圓半徑為1,則赤?團(tuán)的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

已知復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)在第一象限，且目=也，Zz的虛部為2.

（1）求復(fù)數(shù)Z；

（2）設(shè)復(fù)數(shù)z、z-z2在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)分別為4B、C,求麗?尼的值.

16.（15分）

已知向量。4,不共線，點(diǎn)P滿足。尸=xQ4+yOB,x,yeR.證明：

（1）若x=y=！，則點(diǎn)P是線段4B的中點(diǎn)；

2

（2）x+y=l是A、B、尸三點(diǎn)共線的充要條件.

17.（15分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B、C滿足:A在x軸的正半軸上,C的橫坐標(biāo)是-哈，|次卜|礪|=|瓦卜1,

OAOB=^~.記NAOB=a,ZAOC=p,a是銳角，尸是鈍角.

(1)求cos(a-77)的值；

(2)求夕一2a的值.

18.(17分)

如圖，在平面四邊形ABCD中，已知AD=1,CD=2,△ABC為等邊三角形，記NADC=e.

TT

(1)若。=—,求△A3。的面積;

3

(2)若ae1，%,求△A3。的面積的取值范圍.

19.(17分)

某高一數(shù)學(xué)研究小組，在研究邊長為1的正方形ABCO某些問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)可以在不作輔助線的情況下，用

高中所學(xué)知識(shí)解決或驗(yàn)證下列有趣的現(xiàn)象.

若尸，。分別為邊AB,D4上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△APQ的周長為2時(shí)，P。有最小值(圖1)、/PC。為定值(圖

2)、C到尸。的距離為定值(圖3).請你分別解以上問題.

(1)如圖1,求尸。的最小值；

圖1

(2)如圖2,證明：NPCQ為定值;

圖2

（3）如圖3,證明：C到尸。的距離為定值.

圖3

高一期中調(diào)研試卷

數(shù)學(xué)參考答案

2024.04

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分

題號(hào)12345678

答案DCBCADCB

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分

題號(hào)91011

答案ACDACAC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

1473-31

12.一；13.----------；14.-

2102

四、解答題：本題共5小題，共77分

15.解：

⑴設(shè)z=a+6i,則目=Ja?+/,z2=+=(^a2-b2^+2abi,

因?yàn)槟?J/+/,z?的虛部為2,

a2+b2=2

所以《

2ab=2

a—\、a——1

解得：＜或《

b=\b=-l，

又復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)在第一象限,

a—\

所以＜,故z=l+i

b=l

2

(2)因?yàn)閦=l+i,所以d=(l+i『=2i,z-z=i+i-2i=l-i,

所以3(0,2),C(l,-1)

ABAC=(-1,1)(0,-2)=-2

16.證明：

(1)因?yàn)閤=y=工的，所以而=工次+工礪，即2歷=0X+礪,

222

所以而—礪=礪—而，所以彳？=而

所以尸是線段AB的中點(diǎn)

（2）充分性：

若x+y=l,貝!jy=l—尤，

所以麗=x0X+（l—x）礪，

所以而—赤=》赤—x為

所以而=x（宓—礪）=x麗，

所以A、B、P三點(diǎn)共線

必要性：

因?yàn)锳、B、P三點(diǎn)共線，

所以存在實(shí)數(shù)x滿足：BP=xBA

所以而一礪=x（礪一礪），即而_礪=工礪_%礪

所以麗=x0X+（l—x）礪，

所以x+y=1

綜上所述，%+丁=1是4、B、P三點(diǎn)共線的充要條件

17.解：

（1）因?yàn)榫W(wǎng)=|詞=1,點(diǎn)5（cosa,sina）,

所以O(shè)A-OB==cosa

5

所以COS。=4￡

5

________2R

又a為銳角，所以sina=Jl^cos^a=一1

因?yàn)殁g角P的終邊與單位圓0的交點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是-陪

所以cos°-_7個(gè),sin-Jl—cos20-

所以cos一尸）=cosacos￡+sinasin0=~^~x/7收24541V10

H-----------X---------------------

10J51010

(2)由(1)知sina=2,cosa=—,sin/?=—,cosJ3=--

551010

所以sin2a=2sinacosa=2x拽=d

555

T=T

cosla=2cos2a-1=2

67收4V2

所以sin(夕一2a)=sinPcosla-cos/3sinla=^-xX—=——

10J52

因?yàn)閠z為銳角,

TC

所以0<a<—,

2

所以0<2tz<n,

又cos2a<0,

所以?

又再

7171

所以2a—￡e

71

所以/—2a=i

18.解:

(1)在△AC。中，由余弦定理，AC2=AD2+CD2-2ADCDcosa=l+4-2x2xcos—=3,

3

所以AC=所以NZMC=90°,

又因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形,

所以A3=AC=G，且N5A￡>=N5AC+NZMC=150°,

所以S^BD=-AB-AD-sinZBAD=-xV3xlxsinl50°=—

224

(2)不妨設(shè)/D4C=".

在△AC。中，由余弦定理，

AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosa=l+4—2x2xcos。=5—4cosa,

cAC2+AD2-DC25-4cosdZ+1-4l-2cosa

cosp=----------------=---------------=---------.

2ACAD2ACAC

ArcnAC?

在△AC。中，由正弦定理，———=———，即一匕

sin/ADCsinADACsinasin°

.八2sma

所以SHI￡=----------

=-ABAD-sinZBAD=-AC-sin\B+^-\=-Ac\-smB+—cosB

所以SAAB。22(312(22

1.

=—sma+

2

又因?yàn)閍w1],乃

所以sin[a—工71)+且e

3

即△A3。的面積的取值范圍為

19.解:

(1)設(shè)NQP4=6,

因?yàn)椤鰽PQ的周長為2

所以尸Qsine+PQcosO+P。=2

22______

所以PQ=

sin0+cos9+1V2sin[6+：)+1

因?yàn)?/p>

所以<sinf0+—<1,

24

所以l<0sin6+