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2024年1月“七省聯(lián)考”押題預(yù)測(cè)卷05
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要
求的.
1.已知集合"一1'飛-2x],5={Ny=ln(2,-2)},則2門(mén)8=()
A.1x|0<x<-||B."
C,卜D,卜
2.復(fù)數(shù)Z滿(mǎn)足(1+Z>Z=1—產(chǎn)25,則三的虛部為()
A.iB.-1C.-iD.1
3.英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特最先使用“〈”和“>”符號(hào),并逐漸被數(shù)學(xué)界接受,不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影
響深遠(yuǎn).對(duì)于任意實(shí)數(shù)。、b、c、d,下列命題是真命題的是()
A.若/<〃,貝!|a<6B.若a<6,則ac<be
C.若a<b,c<d,則D.若a<b,c<d,則a+c<b+"
4.如圖所示,a為射線(xiàn)CM,03的夾角,ZAOx=-,點(diǎn)尸(T3)在射線(xiàn)08上,則$皿。+學(xué)_()
4cosa―
v
:4123\
.2+V3-2+V3-2V3+1D.三
r\.------tR5.-------L.------
2222
5.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,2)上單調(diào)遞減的是()
y=2.B.y=-x3
X2—x
C.y=cos—D.y=In----
,2-2+x
6.已知圓c:(x-1)2+3-1)2=1上兩動(dòng)點(diǎn)4,8滿(mǎn)足為正三角形,。為坐標(biāo)原點(diǎn),貝|力+礪的最
大值為()
A.2MB.2V2
C.2V2-V3D.2V2+V3
7.現(xiàn)有4名男生和3名女生計(jì)劃利用假期到某地景區(qū)旅游,由于是旅游的旺季,他們?cè)诰皡^(qū)附近訂購(gòu)了一
家酒店的5間風(fēng)格不同的房間,并約定每個(gè)房間都要住人,但最多住2人,男女不同住一個(gè)房間,則女生
甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是()
123
A.B.一C.D.——
46710
8.o=21nl.01,Z>=lnl.O2,c=VfO4-b則<)
A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在;每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部
選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.
9.下列命題正確的是()
A.若樣本數(shù)據(jù)石戶(hù)2,…戶(hù)6的方差為2,則數(shù)據(jù)2/一L2/-1,,2.-1的方差為8
2
B.若尸(4)=0.6,P(5)=0.8,尸(41B)=0.5,則尸(51Z)=:.
在一組樣本數(shù)據(jù)(七,必),(馬,%),…,(天,打),(〃22,X1;X2,不全相等)的散點(diǎn)圖中,若所有
樣本點(diǎn)(x,,M)(i=L2,…都在直線(xiàn)y=-;x+l上,則這組樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)為一;
D.以模型y=ce"去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程,設(shè)二=lay,求得線(xiàn)性回歸方程為
2=4x+0.3,則c,4的值分別是e°3和4
711
10.已知函數(shù)/(x)=cos2X+yj(0<^<7T)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為,則()
652
A./(x)的最小正周期為兀
7T
B.
12
直線(xiàn)X='是函數(shù)/(X)圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸
C.
D.若函數(shù)y=/(0x)3>。)在[o,兀]上單調(diào)遞減,則。
1
11.已知正項(xiàng)數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S”,1=],且2(S〃++1(〃32),eN
/+1
北為{〃}的前〃項(xiàng)和.下列說(shuō)法正確的是()
A.a2=2B.??=(-1)"
T1
c.an=2n-1ay
12.如圖所示的六面體中,SA,SB,SC兩兩垂直,ST連線(xiàn)經(jīng)過(guò)三角形48C的重心“,且
SM=>0),貝I()
A.若4=則TC,平面力45
2
B.若;1=2,則S4〃平面CSC
C.若S,48,C,T五點(diǎn)均在同一球面上,則4=工
2
D.若點(diǎn)T恰為三棱錐S-48c外接球的球心,則2=2
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知非零向量£,B,1滿(mǎn)足同=忖,若"為B在z上的投影向量,則向量z,B夾角的余
弦值為_(kāi)_______
14.(/+1)(%—2)4展開(kāi)式中丁項(xiàng)的系數(shù)為.
15.已知直線(xiàn)y=%X與y=左2》(《>左2)是曲線(xiàn)y=ax+2M|x|(aeR)的兩條切線(xiàn),則左一左2=.
丫2
16.已知橢圓。:二+卜2=1的左、右焦點(diǎn)分別為片,居,〃是c上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn),E
4"
為線(xiàn)段〃片的中點(diǎn),/片〃區(qū)的平分線(xiàn)與直線(xiàn)£0交于點(diǎn)尸,當(dāng)四邊形出尸鳥(niǎo)的面積為20時(shí),
sinZMF^=.
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.在A(yíng)48C中,角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a=b(GsinC+cosC).
A
(1)求B;
(2)己知3。=20,。為邊45上的一點(diǎn),若BD=1,ZACD」,求4c的長(zhǎng).
2
18.如圖,三棱錐尸—N5C的平面展開(kāi)圖中,AB1BC,RB=AB=&,P2A=AC=4,6c=2五,
E為Q2的中點(diǎn).
(1)在三棱錐尸—48C中,證明:BELAC^
(2)求平面P5C與平面/5C夾角的余弦值.
19.已知數(shù)列{&}是各項(xiàng)都為正整數(shù)的等比數(shù)列,%=3,且%是。2與:4的等差中項(xiàng),數(shù)列{4}滿(mǎn)足
b1=1"+i=26“+1.
(1)求數(shù)列{4},{4}的通項(xiàng)公式;
(2)若左?4公―428〃+2左—24對(duì)任意〃eN*恒成立,求實(shí)數(shù)左的取值范圍.
20.某中學(xué)有4,8兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù),王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都
在學(xué)校就餐,近一個(gè)月(30天)選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下:
選擇餐廳情況(午餐,晚餐)(4Z)(48)(民⑷(B,B)
王同學(xué)9天6天12天3天
張老師6天6天6天12天
假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立,用頻率估計(jì)概率.
(1)估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率;
(2)記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望£(X);
(3)假設(shè)M表示事件"/餐廳推出優(yōu)惠套餐”,N表示事件“某學(xué)生去/餐廳就餐”,P(M)>0,已知推出
優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大,證明.
尸可.
21.如圖,在平面直角坐標(biāo)系X0中,歹為x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).以少為焦點(diǎn)、。為頂點(diǎn)作拋物線(xiàn)
C:/=2pH°>0).設(shè)尸為第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)C上的一點(diǎn),。為X軸負(fù)半軸上一點(diǎn),設(shè)。(—a,0),使得尸0
為拋物線(xiàn)C的切線(xiàn),且|尸。|=2.圓G、。2均與直線(xiàn)0P切于點(diǎn)尸,且均與x軸相切.
(1)試求出凡夕之間的關(guān)系;
(2)是否存在點(diǎn)歹,使圓q與。2的面積之和取到最小值.若存在,求出點(diǎn)少的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明
理由.
22.已知aeR,函數(shù)/(x)=q+lnx,g(x)=ax-tax-2.
(1)當(dāng)/(X)與g(x)都存在極小值,且極小值之和為。時(shí),求實(shí)數(shù)。的值;
112
(2)若石)=/(%2)=2(再W%2),求證:---1--->一.
X]x?a
2024年1月“七省聯(lián)考”押題預(yù)測(cè)卷05
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要
求的.
A=<x\y=/[B=m=ln(2<2)},則//=()
1.已知集合〔43-2"
A.卜0<x<-||B.|x|l<x<
C.1<x<-|jf13J
D.<x\x<—
I2J
【答案】B
3“f?31
【解析】由3—2x〉0解得x<一,所以/=<|x|x<5),
2
由2"-2>0解得x>l,所以5={[x|x>l},
所以4cB=<x<g.
故選:B
2.復(fù)數(shù)Z滿(mǎn)足。+z>2=l—產(chǎn)25,則三的虛部為()
A.iB.-1C.-iD.1
【答案】D
【解析】???(l+z)-z=l-z2025=l-z,
2
zl-i_(1-Q_-2z^
"1+z(l+z)(l-z)2二—i9
二.z=z,
所以I的虛部為1.
故選:D.
3.英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特最先使用和“〉”符號(hào),并逐漸被數(shù)學(xué)界接受,不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影
響深遠(yuǎn).對(duì)于任意實(shí)數(shù)b、c、d,下列命題是真命題的是()
A.若a2cb2,則aB.若a<b,則QC<6c
C.若a<b,c<d,則ac<bdD.若Q<b,c<d,貝lja+c<6+d
【答案】D
【解析】對(duì)A:因?yàn)榭赡芄叔e(cuò)誤;
對(duì)B:當(dāng)c<0時(shí),若a<b,貝故錯(cuò)誤;
對(duì)C:當(dāng)Q<b<0,cvdvO時(shí),則故錯(cuò)誤;
對(duì)D:若4<力,cvd,則a+cv8+d,故正確.
故選:D.
7Tsin(a+1)()
ZAOx=-,點(diǎn)尸(—1,3)在射線(xiàn)。上,則
4
cosa
c273+1
2
【答案】A
33M01Vio
【解析】設(shè)射線(xiàn)OB所對(duì)的角為夕,則有sin/
y/io10Vio10
71
又因?yàn)橄Χ?—,
4
7T
所以。二夕一一,
4
立,
sina=sin(j0一£)=~~6山P-cos4)=,cosa-COs(/7一:)
5,
所以sin(a+g)=gsina+^^cosa=2V5+V15
10
275+715
sin(<z+—)2+V3
10
所以--------
cosa逅2
5
故選:A.
5.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,2)上單調(diào)遞減的是()
W
A..v=2B.y=-x3
X2-x
C.V=COS—D.y=ln
.22+x
【答案】C
【解析】對(duì)于A(yíng),函數(shù)/(x)=2兇的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),
且/(—x)=2^=2?=/(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù),
當(dāng)xe(0,2)時(shí)/(x)=2\函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,故A不符合題意;
對(duì)于B,函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),
且/(-X)=-(-X)3=X3=-/(X),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),
由嘉函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)y=*3在R上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)/(x)=-在R上單調(diào)遞減,故B不符合題意;
對(duì)于C,函數(shù)/(x)=cos;的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),
且/(--口二以雙一卞二以吟=/1*),所以函數(shù)/1(X)為偶函數(shù),
當(dāng)xe(0,2)時(shí)1e(o,l),又(0,1)=(0,1),
所以函數(shù)/(x)=cos|在(0,1)上單調(diào)遞減,故C符合題意;
2—Y
對(duì)于D,函數(shù)/(x)=ln——的定義域?yàn)?-2,2),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),
2+x
且/(-)=*
兩公尸心蕓=—/(x),
11_2x
所以/(X)是奇函數(shù),又/'(x)=
2—x2+x(2—x)(2+x)
令,(x)<0=—2<x<0,令/'(x)>0=0<xv2,
所以函數(shù)/(X)在(-2,0)上單調(diào)遞減,在(0,2)上單調(diào)遞增,故D不符合題意.
故選:C
6.已知圓C:(x-l)2+(y-l)2=l上兩動(dòng)點(diǎn)4,5滿(mǎn)足"BC為正三角形,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則|近+麗|的最
大值為()
A.B.2亞
C.2V2-V3D.2&+0
【答案】D
【解析】由題可知AZ8C是邊長(zhǎng)為1的正三角形,
“48的中點(diǎn)為Af,貝"|CA/|=孝.
又。(1,1),所以點(diǎn)M的軌跡方程為(x—l)2+(y—1)2=(,且|0。=
因?yàn)榉?3=2而7,所以|。4+。研,
____/7
因?yàn)榭刹芬?|咐=&+事,
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段0M上時(shí)等號(hào)成立,
所以P而I的最大值為夜+日,
所以口7+礪|的最大值為2&+石.
故選:D.
7.現(xiàn)有4名男生和3名女生計(jì)劃利用假期到某地景區(qū)旅游,由于是旅游的旺季,他們?cè)诰皡^(qū)附近訂購(gòu)了一
家酒店的5間風(fēng)格不同的房間,并約定每個(gè)房間都要住人,但最多住2人,男女不同住一個(gè)房間,則女生
甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是()
1123
A.—B.-C.—D.—
46710
【答案】C
【解析】3名女生需要住2個(gè)房間或3個(gè)房間.
若3名女生住2個(gè)房間,則不同的方法種數(shù)為C;C;A;:
若3名女生住3個(gè)房間,則不同的方法種數(shù)為:C;A.
其中,女生甲和女生乙恰好住在同一間房的方法種數(shù)為C;A;,
C>5_2
所以女生甲和女生乙恰好住在同一間房的概率是c2c2A5+^c2A5—5.
故選:c
8.a=21111.01,Z>=lnl.02,c=Vf04-l)則()
A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b
【答案】B
【解析】依題意,a-c=21nl.01+l-VT04,c-Z>=>/L04-l-lnl.02,
令/(x)=21n(l+x)+l—Jl+4x,0<x<l,
222222
求導(dǎo)得/'(x)>/---------/=>0,
1+XJl+4xy/l+2x+x2J1+4XVl+3xV1+4.X
因此函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,/(0.01)>/(0)=0,即a—c>0,則a>c;
令g(x)=V^-l-ln(l+x),°<x<l'求導(dǎo)得8'(加指一占=;^飛+:+/
因此函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,g(0.02)>g(0)=0,即。一方>0,則c>B,
所以Z><c<a.
故選:B
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部
選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.
9.下列命題正確的是()
A.若樣本數(shù)據(jù)七廣2,一,與的方差為2,則數(shù)據(jù)2Xi-1*.0-1,…,2元-1的方差為8
2
B.若尸(4)=0.6,尸(3)=0.8,尸(幺|3)=0.5,則尸(5|幺)=:.
C.在一組樣本數(shù)據(jù)…(w>2,xI,x2,---,xn,不全相等)的散點(diǎn)圖中,若所有
樣本點(diǎn)(X/,M)(i=L2,…都在直線(xiàn)y=-gx+l上,則這組樣本數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)為一;
D.以模型y=ce*1去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程,設(shè)二=地,求得線(xiàn)性回歸方程為
z=4x+0.3,則G片的值分別是e°3和4
【答案】ABD
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A:若樣本數(shù)據(jù)再,*2,…,/的方差為2,則數(shù)據(jù)2玉-1,20-1,…,2/一1的方差為
22x2=87>故人正確;
對(duì)于選項(xiàng)B:若尸(4)=0.6,尸(3)=0.8,尸(4|3)=0.5,則
P(AB)_P(B)P(A!B)_0.8x0.52
尸⑻2)=故B正確;
P(A)P(A)—0.63
對(duì)于選項(xiàng)c:在一組樣本數(shù)據(jù)(再,必),(工2,%),…,(與,弘),(?>2,再,》2,…,/,不全相等)的散點(diǎn)圖中,
若所有樣本點(diǎn)a,M)(i=l,2,…,〃)都在直線(xiàn)y=—;x+l上,其中一3是線(xiàn)性回歸方程的一次項(xiàng)系數(shù),不
是相關(guān)系數(shù),相關(guān)系數(shù)是刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)線(xiàn)性相關(guān)程度一個(gè)量,范圍是[-1,1],當(dāng)相關(guān)系數(shù)為正時(shí)呈正相關(guān)
關(guān)系,為負(fù)時(shí)呈負(fù)相關(guān)關(guān)系,故C不正確;
對(duì)于選項(xiàng)D:以模型y=ceh去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程,設(shè)二=地,
則2=垣=山0+1116和=lnc+Ax,由題線(xiàn)性回歸方程為9=4x+0.3,則lnc=0.3,左=4,故c,上的值
分別是e°3和4,故D正確.
故選:ABD.
x+-^j(0<^<7l)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為711
10.已知函數(shù)/(x)=cos2,貝1J()
652
A./(%)的最小正周期為兀
71
B.
12I
C.直線(xiàn)》=正是函數(shù)/(X)圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸
若函數(shù)y=/(ox)3〉0)在[0,可上單調(diào)遞減,則。e10,5
D.
【答案】AC
[17C7C兀
【解析】/(X)=—COS(2x+/)+—?jiǎng)t有2x—+0=—+析,左GZ,解得/=—+祈,左GZ,
22626
因?yàn)?<9<兀,所以。=巴,所以/(X)=1cos]2x+2]1
+2'
6216J
則/(%)的最小正周期為兀,故A正確;
兀
—cos—+—=—,故B錯(cuò)誤;
122324
,ITTT‘TT
2X-+-=71,則直線(xiàn)X==是/(X)圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸,故C正確;
12612
兀
loos25+巴71?7171
y=f?)=H—,當(dāng)xe[0,兀]時(shí),2GxH—£一,2。即+,一,
262666
若函數(shù)V=/(ox)(。>0)在[0,可上單調(diào)遞減,則有2?71+-<7T,
6
解得則。e0,三,故D錯(cuò)誤.
I12
故選:AC
11.已知正項(xiàng)數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S”,%=1,且2(5“+51)=。;+1(7止2),〃eN*也=
北為{4}的前〃項(xiàng)和.下列說(shuō)法正確的是()
A.a?—2B.an=(-1)"
C.an=2n-lD.
【答案】CD
【解析】2(5,,+Si)=另+1(〃>2),an>0,
可得”=2時(shí),2(1+出+D=W+1,解得4=3,故A錯(cuò)誤,
當(dāng)〃23時(shí),由2(S“+S,_)=a;+1,可得2(九+%2)=。3+1,
上面兩式相減可得2(%+%_J=片-=(4+4-1)(%-%),
由于4+%_產(chǎn)0,所以-a〃T=2,
而。2-%=2,則?!?。2+2(〃-2)=3+2("-1)=2"-1,首項(xiàng)也符合,
所以4=2〃—1,〃eN*.故B錯(cuò)誤,C正確,
,11111、
b—--------=----------------------=——(z---------------------),
〃anan+\(2〃-1)(2〃+1)22n-\2〃+1
,1八11111、1八1、1-
T=—(1-----1---------F...~\-------------------)=—(1---------)<—.D正確,
〃23352n-l2n+l22n+l2
故選:CD
12.如圖所示的六面體中,SA,SB,SC兩兩垂直,ST連線(xiàn)經(jīng)過(guò)三角形4BC的重心且
SM=>0),貝I()
A.若4=工,則TCL平面7143
2
B.若4=2,則64〃平面TSC
C.若S,48,C,T五點(diǎn)均在同一球面上,則九=!
2
D.若點(diǎn)T恰為三棱錐S-4BC外接球的球心,則2=2
【答案】BCD
【解析】因?yàn)榱骟w中,SA,SB,SC兩兩垂直,ST連線(xiàn)經(jīng)過(guò)三角形4BC的重心
所以可以將六面體放在長(zhǎng)方體中,點(diǎn)T在對(duì)角線(xiàn)MV上運(yùn)動(dòng),
以S為坐標(biāo)原點(diǎn),S8,SC,S4所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)SB—m,SC—n.SA—t,
設(shè)8C的中點(diǎn)廠(chǎng),連接4F,與MV交于點(diǎn)且=
~j*2-■—*/、2(YYl7?
設(shè)Af(q,w,e),由力尸得(見(jiàn)叫e—f)二,—
11—■1—.
解得q=—m,w=-n,e=-t,故拉SM=-SN,
3333
1—■1—.
A選項(xiàng),若%=—,即£W=—MT,此時(shí)點(diǎn)T在點(diǎn)N處,
22
此時(shí)TC=(0,〃,0)-(%〃,/)=,Z4=(0,0/)-(私"/)=(一私一〃,0),
由于7。-714=(-%0,-。?(-機(jī),一〃,0)=能2wO,故TC,Z4不垂直,
故TC與平面Z43不垂直,A錯(cuò)誤;
___?___(mn
B選項(xiàng),若2=2,即豆7=2而,此時(shí)點(diǎn)T為對(duì)角線(xiàn)S"的中點(diǎn),此時(shí)T不二-
設(shè)平面加。的法向量為j=(x,y,z),
mn
一x——y
22-
jCB=(x,y,z)?(?,一〃,())=mx-ny=Q
解得z=0,令%=〃,則^=機(jī),故《=(〃,加,0),
又S4=(0,0,/),故j-SA=0,?)=0,
故],或,所以“〃平面形C,B正確;
C選項(xiàng),由于長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)在同一球面上,若S,45,C,T五點(diǎn)均在同一球面上,
則點(diǎn)T一定在點(diǎn)N處,此時(shí)X=—,C正確;
2
D選項(xiàng),三棱錐S-4BC的外接球即為長(zhǎng)方體SN的外接球,
若點(diǎn)T恰為三棱錐S-ABC外接球的球心,則點(diǎn)T為對(duì)角線(xiàn)MV的中點(diǎn),
所以4=2,D正確.
故選:BCD
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.己知非零向量b-"滿(mǎn)足|@=W,c=1a,若"為B在£上的投影向量,則向量Z,B夾角的余
弦值為_(kāi)_______
【答案】-
3
_1_一
【解析】由c=§。,"為B在£上的投影向量,
所以=cos(a,b)a,故co乂=§
故答案為:-
14.(》3+1)(》一2)4展開(kāi)式中/項(xiàng)的系數(shù)為.
【答案】8
【解析】由題意可知:(x—2)4展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為&]=2)'/=0,1,2,3,4,
43
所以(/+1)(X-2)展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)為C:x(_2?+C;x(-2)=16-8=8.
故答案為:8.
15.已知直線(xiàn)y=々x與歹=履》(左1>左2)是曲線(xiàn)V=辦+2MW(口eR)的兩條切線(xiàn),則kx-k2=
4
【答案】-
【解析】由已知得,曲線(xiàn)的切線(xiàn)過(guò)(0,0),
x>0時(shí),曲線(xiàn)為y=ax+21nx,設(shè)%>0,直線(xiàn)y=《X在曲線(xiàn)上的切點(diǎn)為(再,叫+21nxJ,
,2
y=。+一,
-Y1
f2\z
切線(xiàn):y-(axi+21nxi)=a+—(x-xj,又切線(xiàn)過(guò)(0,0)
VX17
(2Y2
-ax-2]nx=4+—(-xj,/.x=e,k,
x1Ix"1xe
同理取x<0,曲線(xiàn)為y=〃x+21n(—x),設(shè)x2<0,直線(xiàn)y二42丫在曲線(xiàn)上的切點(diǎn)為
2
f
(x2,ax2+21n(-x2)),y=a^一,
X2
切線(xiàn):V-(^7X2+21n(-x2))=|6Z+—(x-x2),又切線(xiàn)過(guò)(0,0)
Ix2)
,24
X]——Q,k=a:?k\—k?=一,
2efe
4
故答案為:一
e
r2
16.已知橢圓C:一+,=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳,F(xiàn)2,M是。上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),E
4
為線(xiàn)段孫的中點(diǎn),/4”的平分線(xiàn)與直線(xiàn)EO交于點(diǎn)尸,當(dāng)四邊形孫尸鳥(niǎo)的面積為2五時(shí),
sinZMF2l\=.
【答案】&
由題可知國(guó)闖=2百,|崢|+|M爸1=4.
因?yàn)槠椒?月初招,所以尸到孫,初5的距離相等,
設(shè)為〃,則叫心=;(|9|+|2|)%=2〃.
易知0E是△/;”的中位線(xiàn),延長(zhǎng)片尸.外交于點(diǎn)G,則尸為耳G的中點(diǎn),
過(guò)片作FXHJ_MG于H,
易得固同=2h=陽(yáng)瑪卜inz鳴耳,則5防=2也S0ZMFE=2JL從而sin/外片=乎.
故答案為:逅
3
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.在zUBC中,角/,B,。所對(duì)的邊分別為。,b,c,且4=5(JJsinC+cosC,
兀
(2)已知3C=2石,。為邊48上的一點(diǎn),若BD=1,NNCD=5,求4c的長(zhǎng).
7T(2)
【答案】(1)B=-"目
6
【解析】⑴4二辦(百sinC+cos。,根據(jù)正弦定理得,sin/=sin5(百sinC+cosC),
即sinBcosC+cos5sinC=>/3sin5sinC+sinBcosC,
所以。0535111。=651115$111。,因?yàn)閟inC>0,
/?
所以cos5=JJsin^S,所以tanB=——,
3
因?yàn)??0,兀),所以5=匕
O
(2)因?yàn)?c=20.BD=\.8=2,根據(jù)余弦定理得
O
CD2=BC2+BD2-2BC-BD-COSB=1+12-2X\X2>/3X—=7,:.CD=5.
2
,:Z.BDC=—+Z.A,sinABDC=sinI—+ZL4]=cos4.
212)
273_V7
BCCD
在△助。中,由正弦定理知,1‘
sinZ.BDCsill4BcosA
2
M考,q%
所以sinA—
27°
tanZ二皿二至二衛(wèi)一??NC=@
cosA3AC2
18.如圖,三棱錐尸一N5C的平面展開(kāi)圖中,AB1BC,RB=AB=&,P2A=AC=4,4。=2拉,
上為的中點(diǎn).
(1)在三棱錐產(chǎn)一4BC中,證明:BELAC;
(2)求平面上5C與平面4&C夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)'叵
33
【解析】(1)
由48=48=癡,得PB=AB=&,且上為R4的中點(diǎn),
所以
取ZC中點(diǎn)為尸,連接Z/,BF,
可得匹=——PC=①I(mǎi)-,
2
在△PA4中,BE=yjAB2-AE2=42-
Ar
在A(yíng)A8C中,BF=—=2,
2
所以5E2+尸石2=3/2,
所以班,昉
因?yàn)槭?尸/=5,EF,PNu平面24C,
所以平面上4C,
因?yàn)镹Cu平面E4C,
所以跳1_LZC;
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)E作EG_LR4,交AC于點(diǎn)G,
以數(shù),應(yīng),而分別為x軸,V軸,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
則石(0,0,0),4(0,2,0),刀(0,0,后),P(0,-2,0),
在A(yíng)A8C中,可得點(diǎn)。到上4距離為、/7,
故可得c(J7,—i,o),
益=(0,-2,亞),就=("-L-揚(yáng),麗=(0,2,偽
設(shè)平面4BC與平面?BC的一個(gè)法向量分別為"1=(七,外,二J,%=(0。2,二2),
平面P8C與平面48c的夾角為6,
月m7+任=0,取亞亞,
由,
%?BC=61_丫1_6二1=07
所以蔡=(承函,
-PB=2v9+>/2Z9=0、萬(wàn)_
由《一---L~L,取y二一1nx二---,二2二&,
n2BC=y/7x2-y2->J2Z2=07
1一一Iio
」〃「〃2|_y_Vi65
所以而二痂造Tk
7
所以〃一2二(-近y,-l,廠(chǎng)V2]
\7
所以?xún)善矫娴膴A角的余弦值為返L
33
19.已知數(shù)列{&}是各項(xiàng)都為正整數(shù)的等比數(shù)列,%=3,且%是。2與1%的等差中項(xiàng),數(shù)列{4}滿(mǎn)足
4=1*%=次+1
(1)求數(shù)列{4},{4}的通項(xiàng)公式;
(2)若左?鄉(xiāng)產(chǎn)一?!?8〃+2左一24對(duì)任意〃61\*恒成立,求實(shí)數(shù)上的取值范圍.
【答案】(1)%=3X2”T,4=2〃—1;(2)[4,2).
【解析】(1)設(shè)數(shù)列{4}的公比為4,則qeN*,
33
,生是。2與"7"4的寺差中項(xiàng),,,2a3—gT“4,
44
32
2q=1+-q2,解得4=2或鄉(xiāng)=§(舍去),.,.%=3X2"T
???%=2%+L.?.%i+l=2(〃+l),
又4+1=2,.?.數(shù)列{4+1}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,
.?.4+1=2",,4=2"-1:
(2)由左?“;:-28〃+2A~-24,
整理可得左(2"-1+2)—3x2"-&8(〃-3)+2左,即(擊—3>2"-】>8(〃-3),
k—37?—3,.?,
???——>—對(duì)任意〃eN恒成立,
162"
令/(〃)=M,則/(〃+1)一/(〃)=^1'
2”+i
2"2用
???當(dāng)“W4時(shí),/(?+1)>f(n),當(dāng)〃25時(shí),/(?+1)</(?),
.??當(dāng)〃=4或5時(shí),/(〃)取得最大值,
???/(〃)s=/(4)=16
k-31
「?----2—.角窣得k>4.
1616
故實(shí)數(shù)左的取值范圍是[4,+00).
20.某中學(xué)有4,8兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù),王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都
在學(xué)校就餐,近一個(gè)月(30天)選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下:
選擇餐廳情況(午餐,晚餐)(4Z)(48)(民⑷(B,B)
王同學(xué)9天6天12天3天
張老師6天6天6天12天
假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立,用頻率估計(jì)概率.
(1)估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率;
(2)記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望£(X);
(3)假設(shè)M表示事件Z餐廳推出優(yōu)惠套餐”,N表示事件“某學(xué)生去/餐廳就餐”,P(M)>0,已知推出
優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大,證明.
尸可.
【答案】(1)0.6(2)分布列見(jiàn)解析,1.9(3)證明見(jiàn)解析
【解析】(1)設(shè)事件C為“一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”,
因?yàn)?0天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數(shù)為6+12=18,
1Q
所以尸(。)=元=0.6.
(2)記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù),
則X的所有可能取值為1和2,
所以P(X=1)=0.3x02+O.lxO.4=0.1,
p(X=2)=l-P(X=l)=0.9,
所以X的分布列為
X12
p0.10.9
所以X的數(shù)學(xué)期望石(X)=1x0.1+2x09=1.9.
(3)由題知產(chǎn)(N|M)〉尸(N應(yīng)),所以尸(片)〉=尸(N)一,(半)
v17v7尸⑼尸MI-P(M)
所以尸(MW)〉尸(N)?尸(M),
所以P(NM)_P(N)P(NM)>P(N)?P(M)_P(N)P(NM),
即「(TVAf)?尸(")〉P(N)?尸(府),
P〈NM)P(NM)
即尸(M|N)>?(叼間
所
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