浙江省杭州2024屆高考數(shù)學(xué)必刷試卷含解析

浙江省杭州求是高級(jí)中學(xué)2024屆高考數(shù)學(xué)必刷試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知變量的幾組取值如下表：

X1234

y2.44.35.37

若V與x線性相關(guān)，且f=0.8x+a,則實(shí)數(shù)（）

2.某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該三棱錐外接球的表面積為（）

3.已知氏1一切）=2+初（i為虛數(shù)單位，a,beR）,則向等于（）

11

A.2B.-2C.—D.-----

22

4.函數(shù)/（x）=sin（0x+0）（o>O,O<°<%）的圖象如圖所示，為了得到g（x）=cosox的圖象，可將/（九）的圖象

A.向右平移J個(gè)單位B.向右平移1個(gè)單位

o

C.向左平移二個(gè)單位D.向左平移二個(gè)單位

5.設(shè)/（%）是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，滿足條件y=/（x+l）是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，=T，則

?=/（log32）,6=—log陰;}c=/（3）的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

6.已知A,B,C,。是球。的球面上四個(gè)不同的點(diǎn)，若A6=AC=05=00=5。=2,且平面OBC_L平面ABC,

則球。的表面積為（）

20萬15萬,

A.------B.------C.67rD.5萬

32

7.在ABC中，。為邊上的中點(diǎn)，且|A8|=l,AC|=2,NA4C=120。，貝U|ADb（）

8.某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上

的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為3,則在此圓柱側(cè)面上，從〃到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為（）

9.已知函數(shù)〃x）=sin（0x+e）[0>O,|d<^|],A]g,O）為/（九）圖象的對(duì)稱中心，若圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)再，%2

滿足I%—%|=1，則下列區(qū)間中存在極值點(diǎn)的是()

10.已知向量4=(2,—4),b=(k,3),且。與人的夾角為135°，貝!U=()

A.-9B.1C.—9或1D.—1或9

11.在棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱ABC=4gG中，。為8片的中點(diǎn)，b在AG上，且DPLAG，則下述結(jié)論：

①AG，BC；②AR=EC］；③平面平面ACGA：④異面直線AG與所成角為60。其中正確命題的

個(gè)數(shù)為()

A.%<3?B.k?3?C.k?5?D.k<5?

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)已知cos(e-馬=/，且ae(-±O),則2cos?a+應(yīng)sin(2a-馬的值是__________.

2524

14.已知函數(shù)/(x)=<*+I+1，X<0,若關(guān)于x的方程/(x)+/(—%)=0恰有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)。的取值范

21nx-6x,%>0

圍是?

22

15.如圖，已知圓內(nèi)接四邊形A3CD,其中AB=6,BC=3,CD=4,AD=5則二一+--=

9sinAsinB

16.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線[―上=1(。>0,b>0)的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為尸，過尸作x軸的垂

線交雙曲線于點(diǎn)P,。.若AAPQ為直角三角形，則該雙曲線的離心率是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖所示,三棱柱ABC—中，，平面ABC，點(diǎn)。，E分別在線段AA1，CQ上，且AD=；A4,

DE//AC,尸是線段A3的中點(diǎn).

(I)求證：E77/平面3]G。；

(H)若AB_LAC,AB=AC,M=3A3,求直線與平面4。后所成角的正弦值.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=e0*sinx.

JT

(1)若〃%)在0,-上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍;

O

77

(2)若。=1,對(duì)Vxe0,-，恒有/(%),，桁成立，求實(shí)數(shù)b的最小值.

x=9+

19.(12分)在直角坐標(biāo)系xQy中，直線/的參數(shù)方程為7'(/為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半

[y=t

~16

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕2=——r—-.

l+3sin-6>

(1)求C和/的直角坐標(biāo)方程;

(2)已知P為曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段0尸的中點(diǎn)M到直線/的最大距離.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx+ar2-3x(aeR)

(1)函數(shù)/Xx)在點(diǎn)(1"⑴)處的切線方程為y=-2,求函數(shù)/(尤)的極值；

(2)當(dāng)a=l時(shí)，對(duì)于任意//6口/。］，當(dāng)馬〉為時(shí)，不等式/(%)—/(%)>一(：；石)恒成立,求出實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍.

21.(12分)如圖，四棱錐尸—A3CD中，K4,底面ABC。，ABLAD,點(diǎn)E在線段AD上，豆CEIIAB.

P

(2)若上4=A5=1,AD=3,CD=4i，ZCD4=45°,求二面角P—CE—5的正弦值.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=mx］lnx+；］

(I)若m=l,求曲線y=/(x)在(L/(D)處的切線方程；

(II)當(dāng)相￡1時(shí)，要使/(%)>xlnx恒成立，求實(shí)數(shù)利的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

求出五亍，把坐標(biāo)丘J)代入方程可求得”.

【詳解】

_i5—1IQIQ511

據(jù)題意，#x=-(l+2+3+4)=-,y=-(2.4+4.3+5.3+7)=—,所以7=0.8*3+。，所以。=工.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查線性回歸直線方程，由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點(diǎn)正,亍)可計(jì)算參數(shù)值.

2、C

【解析】

作出三棱錐的實(shí)物圖P-ACD,然后補(bǔ)成直四棱錐尸-A3CD,且底面為矩形，可得知三棱錐P-ACD的外接球和

直四棱錐尸-A3CD的外接球?yàn)橥粋€(gè)球，然后計(jì)算出矩形ABCD的外接圓直徑AC,利用公式2R=血京1就7

可計(jì)算出外接球的直徑2R,再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.

【詳解】

三棱錐P-ACD的實(shí)物圖如下圖所示：

將其補(bǔ)成直四棱錐尸-A5CD,底面ABC。，

可知四邊形ABC。為矩形，且鈣=3,BC=4.

矩形ABCD的外接圓直徑AC=y/AB2+BC2=5,且PB=2.

所以，三棱錐尸—ACD外接球的直徑為2R=JPB?+AC?=屈,

因此，該三棱錐的外接球的表面積為4=氏2=?x(2R)2=29萬.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐外接球的表面積，解題時(shí)要結(jié)合三視圖作出三棱錐的實(shí)物圖，并分析三棱錐的結(jié)構(gòu)，選擇合適的模型

進(jìn)行計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.

3、A

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求解.

【詳解】

i(l-ai)=2+此

.a+i=2+bi,得〃=2,b—1?

：.ab=2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，是基礎(chǔ)題.

4、C

【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象得到/(x)=sin[2x+g],結(jié)合圖像變換知識(shí)得到答案.

【詳解】

,e—八T77rTV?！?

由圖象知：—=-------=—=>T=7i??G=2.

2121229

又％二71時(shí)函數(shù)值最大，

12

所以2x+夕二萬+2k兀=>(p—2kji.又(p￡(0,7T),

.,兀\冗71

,從而/(x)=sin[2x+?J,g(x)=cos2x=sin12x+]—sin21xH---H—

32123

只需將/(X)的圖象向左平移個(gè)單位即可得到g(X)的圖象，

故選C.

【點(diǎn)睛】

已知函數(shù)y=Asin(cM+0)+5(A>O,o>O)的圖象求解析式

(1)1Al=%一%"n,B=5+>mm.⑵由函數(shù)的周期7求0,T=—.

1,22(D

(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求(P,一般用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求.

5、C

【解析】

Vy=f(x+1)是偶函數(shù)，(-x+1)=f(x+1),即函數(shù)f(x)關(guān)于x=l對(duì)稱.

?.?當(dāng)QI時(shí)，=-1為減函數(shù)，Vf(10g32)=f(2-10g32)=f(log|)

19

且Tog有5=log2石=log34，log34V]0g?<3,；.b>a>c,

故選C

6、A

【解析】

由題意畫出圖形，求出多面體外接球的半徑，代入表面積公式得答案.

【詳解】

如圖，

取BC中點(diǎn)G,連接AG,DG,則AGJLBC,DG1BC,

分別取ABC與DBC的外心E,F,分別過E,F作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O,

則O為四面體A—BCD的球心，

由AB=AC=DB=DC=BC=2,得正方形OEGF的邊長(zhǎng)為且，則OG=A/6

"y

四面體A—BCD的外接球的半徑R=VOG2+BG2

二球O的表面積為4兀x(J|)2=一.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題.

7、A

【解析】

由。為6C邊上的中點(diǎn)，表示出=+然后用向量模的計(jì)算公式求模.

【詳解】

解：。為邊上的中點(diǎn)，

AD=1(AB+AC),

2

|AD|=1(A5+AC)=^|(AB+AC)

=也AB?+AC，+2AB.AC)

=J1(l2+22+2xlx2xCOS1200)

=B

~2

故選：A

【點(diǎn)睛】

在三角形中，考查中點(diǎn)向量公式和向量模的求法，是基礎(chǔ)題.

8、B

【解析】

首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點(diǎn)M和點(diǎn)N在圓柱上所處的位置，將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪，點(diǎn)M、N在其四分

之一的矩形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，根據(jù)平面上兩點(diǎn)間直線段最短，利用勾股定理，求得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，

將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪，

可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長(zhǎng)方形的寬，圓柱底面圓周長(zhǎng)的四分之一為長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的對(duì)角線的端點(diǎn)處,

所以所求的最短路徑的長(zhǎng)度為J4?+2?=2非，故選以

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點(diǎn)之間的最短距離的求解問題，在解題的過程中，需要明確兩個(gè)點(diǎn)在幾何

體上所處的位置，再利用平面上兩點(diǎn)間直線段最短，所以處理方法就是將面切開平鋪，利用平面圖形的相關(guān)特征求得

結(jié)果.

9、A

【解析】

結(jié)合已知可知，：7=1可求t，進(jìn)而可求代入/(%)，結(jié)合/(；)=0,可求。，即可判斷.

【詳解】

圖象上相鄰兩個(gè)極值點(diǎn)再，了2滿足1占-尤21=1，

m=i即7=2,

,/(x)=sin(?%+。),且/(g)=sin(；萬+。)=。,

??一7c(p—kjrfkeZ9

\(p\<—7rf/.0=—1萬,f(x)=sin(^x——71),

當(dāng)x=-J時(shí)，/(-<)=-1為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，而-Je(-J,O).

66o6

故選：A-

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的靈活應(yīng)用.

10、C

【解析】

由題意利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義和公式，求上的值.

【詳解】

-,cu。a,b2.k-12

解：由題懸可得cos135=-------=,~/=------

\a\-\b\^4+16-yjk2+92

求得上=—9,或左=1,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義和公式，屬于基礎(chǔ)題.

11、B

【解析】

設(shè)出棱長(zhǎng)，通過直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行，推出①的正誤；判斷歹是AG的中點(diǎn)推出②正的誤；利用

直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤；建立空間直角坐標(biāo)系求出異面直線AC與C。所成角判斷④的正

誤.

【詳解】

解：不妨設(shè)棱長(zhǎng)為：2,對(duì)于①連結(jié)AB1，貝(JA4=A￡=20,;.ZAG4390。即與片0不垂直，又BCgG，

二①不正確；

對(duì)于②，連結(jié)A。，DC,,在AADG中，AD=DCt=^5,而AC1，.?.歹是AQ的中點(diǎn)，所以二②

正確；

對(duì)于③由②可知，在AAD,中，=G，連結(jié)b，易知。尸=也，而在RtACBD中，CD=5DF2+CF2=CD2,

即￡>FJ_CF,又AC1，二?！福鍭CGA，二平面ZMG，平面ACGA，二③正確；

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面4片￡上過A點(diǎn)垂直于AG的直線為X軸，AG所在的直線為y軸，4人所在的直線為z軸,

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系;

4（0,0,0）,4（"1,0）,Q（0,2,0）,A（0,0,2）,C（0,2,2）,

AG=（0,2,-2）,CD=（^,-1,-1）；

異面直線AG與CD所成角為氏cos*=0,故6=90°.④不正確.

IAC]||CD|

故選：B.

本題考查命題的真假的判斷，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面垂直，直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力

以及邏輯推理能力.

12、B

【解析】

模擬程序框圖運(yùn)行分析即得解.

【詳解】

左=l,S=0次=2,S=0+^^=L；

2+26

3

Z：=3,S=-+^^=-;^=4,5=-+^—

632+34442+4W

所以①處應(yīng)填寫“七，3?”

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查程序框圖，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

由于cos(e-色)=cos(四一a)=sintz=一9，且ae(一四,0),則cosa=J"sin?tz=』,^sin2a=2sinacosa=--,

2252525

貝!]2cos2a+A/2sin(2a——)=1+cos2a+5/2(sin2acos——cos2asin—)=1+sin2a=—.

44425

14、(-2,0)

【解析】

設(shè)g(x)=/a)+/(-x),判斷g(x)為偶函數(shù)，考慮x>0時(shí)，g(x)的解析式和零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單

調(diào)性，作函數(shù)大致圖象，即可得到。的范圍.

【詳解】

設(shè)g(X)=〃X)+/(T)，

則g(x)在(—,。)5。,”)是偶函數(shù)，

當(dāng)%>0時(shí)，g(x)=21nx-6x+3x?---1-1,

由g(x)=。得〃=2xlnx-6x2+3x3+%,

=2xlnx-6x2+3x3+x,

9

/zf(x)=21nx-12x+9%2+3,—+18x-12>0,

x

故函數(shù)/?'(X)在(O,+“)增，而"(1)=0,

所以妝x)在(0,1)減，在(L+s)增,/1(1)=-2,

當(dāng)％f中?時(shí)，+CQ,當(dāng)x-0+時(shí)，71a)->0-，

因此g(x)的圖象為

因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,0).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，涉及構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合

思想方法，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題.

4而

13、-----

3

【解析】

由題意可知A+C=?,B+D=7i,在AAfiZ）和ABCD中，利用余弦定理建立

方程求cosA,同理求cos8,求sinA,sin8,代入求值.

【詳解】

由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得NC=180?！狽A,ND=180?！狽反連接3。，在中,

有在ABCD中，BD~=BC2+CD--2BC-CDcosC.

所以AB?+AD?—2AB?ADcosA=BO?+CD2+25C.cocosA,

A§2+A￡>2-3c2—CD?62+52-32-42_32回

貝(]cosA=所以sinA=Vl-cos2A=

2(ABAD+BC-CD)2(6x5+3x4)-77

A3?+BC2-AD?—CD。62+32-52-42_1

連接AG同理可得cos3

2(AB-BC+AD-CD)2(6x3+5x4)一歷

-.6V10所以工+工一旦+22=生叵

所以sin3=Jl-cos?B=

19sinAsin82M6M3

故答案為：平

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理解三角形，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，意在考查方程思想，計(jì)算能力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是

熟悉圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，對(duì)角互補(bǔ).

16、2

【解析】

h2

根據(jù)AAPQ是等腰直角三角形，且歹為P。中點(diǎn)可得A尸=。尸，再由雙曲線的性質(zhì)可得。+。=幺，解出e即得.

a

【詳解】

x=c

6b2

由題，設(shè)點(diǎn)P(G%),由x2y2，解得為=±幺，即線段AAPQ為直角三角形,

--^v=l(a>0,Z?>0)aa

、礦b~

7Tb2

APAQ=~,且=又R為雙曲線右焦點(diǎn)，PQ過點(diǎn)F,且軸，.?.■=/＞尸，可得a+c

a

2_2

:.a+c=^^,整理得：2/+ac—°2=0,即e?—e—2=0,又e>l,，e=2.

a

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是?？碱}型.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(I)證明見詳解；(II)叵.

5

【解析】

(I)取用。中點(diǎn)為G,根據(jù)幾何關(guān)系，求證四邊形EGGE為平行四邊形，即可由線線平行推證線面平行;

(II)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量和平面的法向量，即可求得線面角的正弦值.

【詳解】

(I)取用。的中點(diǎn)G,連接GG,FG.如下圖所示:

因?yàn)镕,G分別是線段AB和耳。的中點(diǎn)，

所以FG是梯形43的中位線，所以FG//AD.

又ADHCG，所以/G〃CC「

因?yàn)锳D〃CG，DE//AC,

所以四邊形的史。為平行四邊形，所以AO=CE.

ADBB}

所以GE=|cG，F(xiàn)G=^=^CC1=ClE.

所以四邊形FGCjE為平行四邊形，所以EF//C。.

又Eb.平面片G。，GGu平面與G。，

所以瓦7/平面5]G。.

(II)因?yàn)锳6_LAC,且",平面ABC,

故可以4為原點(diǎn)，A3的方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

如下圖所示：

不妨設(shè)AB=AC=1,則懼=3,

所以C(O,O,1),5(1,0,0),耳(1,3,0),0(0,1,0),￡(0,1,1).

所以BC=(T,。/)，4。=(一L—2,0),D￡=(0,0,1).

設(shè)平面BQE的法向量為n=(蒼y,z),

n-B,D=0x+2y=0,

則所以＜

n-DE=0z=0.

可取〃=(2,—1,0).

設(shè)直線8C與平面BQE所成的角為0,

則si。***回

~5~

故可得直線BC與平面BXDE所成的角的正弦值為半.

【點(diǎn)睛】

本題考查由線線平行推證線面平行，以及用向量法求解線面角，屬綜合中檔題.

l2-

18、(1)[-V3,+°o)(2)—e2

7T

【解析】

TTJT

(1)求得/'(尤)，根據(jù)已知條件得到/'(x)20在0,-恒成立，由此得至!)asinx+cosx?0在0,-恒成立，利用

1_6」Lo_

分離常數(shù)法求得。的取值范圍.

(2)構(gòu)造函數(shù)設(shè)g(x)=/(x)-施，利用求二階導(dǎo)數(shù)的方法，結(jié)合g(x)<0恒成立，求得人的取值范圍，由此求得力

的最小值.

【詳解】

(1)f\x)=ae^sinx+e^cosx=sinx+cos%)

JTTT

因?yàn)?%)在0,-上單調(diào)遞增，所以/(%)之。在0,-恒成立，

_oJ|_o

71

即asinx+cosxNO在0,—恒成立，

o

當(dāng)x=0時(shí)，上式成立，aeR

當(dāng)x/。,外有."2=一--,需ad,

I6」sinxtan%卜tanxjmax

而0<tanx<,---26，-------?-A/3,故〃2一g

63tanxtanx

綜上，實(shí)數(shù)，的取值范圍是［-6,+00)

⑵設(shè)g(x)=/(x)-心/sin—X,月。旬71，則g，(xi(sinx+cosxi，

x

令人(%)=e(sinx+cosx)-b9

JTJT

/z'(x)=e'(2cosx)20,例>)在0,-單調(diào)遞增，也就是g'(x)在0,-單調(diào)遞增，

冗

所以g'(x)e\-b,e2-b.

當(dāng)1-020即。VI時(shí),g(x)>g(0)=0,不符合；

當(dāng)前_》<0即)〉/時(shí)，g(x)“g(0)=°，符合

當(dāng)1—A<0<「—b即1<匕</時(shí)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，叫eW，使g'?)=0,有］?0,不)時(shí)，g'(x)<0,

g(x)在［0,%)單調(diào)遞減，xe/，］時(shí)，g'(x)>0,g(x)在為￡單調(diào)遞增，g(0)=0成立，故只需g3<。

JIr\兀71

一IT/一一

即可，有得上e2Vb<〃，符合

2n

綜上得，b>-e^,實(shí)數(shù)人的最小值為25

7171

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,

考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.

19、(1)土+匕=1.x-73y-9=0.(2)最大距離為

1642

【解析】

(1)直接利用極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的公式計(jì)算得到答案.

x=4coscr,/、

(2)曲線C的參數(shù)方程為,設(shè)P(4cosa,2sina),計(jì)算點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.

y=2sma

【詳解】

1A

(1)由夕2=......-,得加+3夕2$也2，=16,

l+3sin0

則曲線C的直角坐標(biāo)方程為必+4丁2=16,即二+二=1.

164

直線/的直角坐標(biāo)方程為x-y/3y-9=0.

x=4cosi,

(2)可知曲線C的參數(shù)方程為..(。為參數(shù)),

y=2sma

設(shè)尸(4cosa,2sina),ae[0,2^),

則M(2cosa,sin?)到直線Z：x-73y-9=0的距離為

|2costz-V3sincr-9||V?sin(6>-tz)-9|g+幣

d——2"

所以線段OP的中點(diǎn)M到直線1的最大距離為也史.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程，距離的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

20-,(1)極小值為一2,極大值為—ln2—工.(2)(—co,—1710]

【解析】

(1)根據(jù)斜線的斜率即可求得參數(shù)。，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，即可求得函數(shù)的極值；

(2)根據(jù)題意，對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)/z(x)=/(x)-%，根據(jù)曲%)是單調(diào)減函數(shù)，分離參數(shù)，求函數(shù)的最

值即可求得結(jié)果.

【詳解】

(1)函數(shù)/(%)=111%+。》2-3苫的定義域?yàn)?0,+00),

f\x)=-+2ax-3,尸⑴=l+2a-3=0,=l,

Xa

可知/(x)=lnx+%2—3x,f'(x)=-+2x-3=2x~3x+1=o,

XX

解得X1=l,x2=-,

一2

可知在(L+8)時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)尤)單調(diào)遞增，

在xeg1時(shí)，f'(x)<0,函數(shù)/Xx)單調(diào)遞減，

可知函數(shù)的極小值為/(I)=In1+1-3=-2,

極大值為/=In：+=_In2-g.

1^2)2424

，?

(2)/(x1)-/(x2)>-^—以可以變形為/(斗)一/(々)〉絲一巴，

馬石再入2

可得/(%)一三>/(&)-?,

可知函數(shù)/(X)-生在［1,10］上單調(diào)遞減

X

h(x)=/(%)--=In%+x2-3x~—,

xx

Ivn

〃(x)=—+2x—3+-yV0,

XX

可得根K—2x3+3x2—x，

設(shè)廠。)=—2^+3/—%,

Fr(x)=-6x2+6x-l=-6+—<0,

2

可知函數(shù)F(x)在［1,10］單調(diào)遞減，

/(X)而n=F(10)=-2X103+3X102-10=-1710,

可知mW—1710,

可知參數(shù)機(jī)的取值范圍為(—,-1710］.

【點(diǎn)睛】

本題考查由切線的斜率求參數(shù)的值，以及對(duì)具體函數(shù)極值的求解，涉及構(gòu)造函數(shù)法，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域；第

二問的難點(diǎn)在于對(duì)目標(biāo)式的變形，屬綜合性中檔題.

21、(1)證明見解析(2)且

5

【解析】

(1)要證明CE_L平面Q4D,只需證明CE±AD,即可求得答案；

(2)先根據(jù)已知證明四邊形A5CE為矩形，以