河北省金科大聯(lián)考2024屆高三年級(jí)下冊3月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

河北省金科大聯(lián)考2024屆高三下學(xué)期3月質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題

設(shè)集合則

1.A=4x+3<0},B={x|lg(x-l)<0}>AB=()

A.{x[l<x<2}B.{x[2<x<3}

C.{x|l(尤<3}D.{x|0(尤<2}

K答案XA

k解析U由兀2一4尤+3<o，解得1<尤<3,所以A={x[l<x<3},

因?yàn)?<x—1<1,所以B={x[l<x<2},故AcB={x[l<x<2}.

故選：A.

2.已知隨機(jī)變量X服從N(0.5,4),若P(XW0.3)=0.3,則P(0.3WXW0.7)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

[答案XC

k解析1由題意可得P(0.3WXW0.5)=0.5—0.3=02,

所以P(0.3<X<0.7)=2P(0.3<X<0.5)=0.4.

故選：c.

3.己知z為復(fù)數(shù)，若0+i為實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程為()

A.2x-y^0B.(x-1)2+y2=1

C.y+l=0D.%+l=0

K答案XD

K解析H設(shè)z=x+_yi(x,yeR),則zi+i=(x+yi)i+i=(x+l)i—y,

因?yàn)榱?i為實(shí)數(shù)，所以x+l=0.故選：D.

4,設(shè)等差數(shù)列{%}的前"項(xiàng)和為S"，若為=8,S3=18,則其=()

A.34B.35C.36D.38

（答案IB

1解析]因?yàn)椋?,｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

因邑=q+g+。3=3a2—18,則。2=6,所以2d=a4—a2=2,則d=1,

所以%=9,S5=S3+。4+%=18+8+9=35.故選：B.

5(sin500+sin70°)

的值為(

1+cos20

3

2

K答案』C

(sin50+sin70)+sin(60°+10)]

K解析』

1+cos20°1+2COS210°-1

_(2sin60°cosl0°y_3cos210°_3故詵:c

2cos210°2cos210°2

6.實(shí)驗(yàn)課上，小明將一個(gè)小球放置在圓柱形燒杯口處固定(燒杯口支撐著小球)，觀察到小

球恰好接觸到燒杯底部，已知燒杯的底面半徑為2,小球的表面積為25兀，若燒杯的厚度不

計(jì)，則燒杯的側(cè)面積為()

A.兀B.2兀C.3兀D.4兀

k答案1D

K解析工設(shè)小球的半徑為小則S=4TT/=25兀，解得「=』，

2

設(shè)圓柱的高為〃，由勾股定理可得戶=22+。-丸)2,解得/z=l或〃=4(舍去)，

所以燒杯的側(cè)面積為2兀x2xl=4兀.故選：D.

7.已知/(%)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)無之0時(shí)，〃x)=(x+a)1x—，若/(%)有

且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式的解集為()

A.(-co,-2)o(2,+co)B.哈一

C.(-00,-3)u(3,+oo)D.(-OO,T)U(4,+8)

K答案』A

(解析力因?yàn)?(X)為偶函數(shù)，有且僅有3個(gè)零點(diǎn),

所以/(0)=0,即(o+a)(o—=0,解得a=0,

此時(shí)當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=x[x—，所以〃x)的零點(diǎn)為一T，°，T，滿足題意'

又當(dāng)無之0時(shí)，/(x)=x(x—=x3-3x2+

由/(x)〉/[萬],得d—3x?+^X—5>0,即]x—g)(%-2)>0，解得%>2,

又了⑴為偶函數(shù)，所以/(X)〉/的解集為(T^,-2),(2,+oo),故選：A.

8.已知圓。的半徑為1,A,B,C為圓。上三點(diǎn)，滿足=則0C-(AC+3C)的

取值范圍為()

—1J「1/

A.[1,2]B.[1,3]C.—,2D.1,3

\_2J\_2J

K答案』B

k解析》依題意，取AB的中點(diǎn)為。，

一

B

則“'J與=；,。。=1,OCOD

=lx—cosZCOD=—cosZCOD,

22

所以O(shè)C?(AC+BC)=2OCDC=2OC(OC-OD)

2

=2OC—2OC?OD=2—cos/COD，

因?yàn)閏osNCODe]—1,1],所以O(shè)C-(AC+8C)==2—cosNCODe[l,3].故選：B.

二、選擇題

9.潮汐現(xiàn)象是地球上的海水受月球和太陽的萬有引力作用而引起的周期性漲落現(xiàn)象.某觀測

站通過長時(shí)間觀察，發(fā)現(xiàn)某港口的潮汐漲落規(guī)律為丁=4。0$[0%+]]+6（其中4>0,

口>0）,其中y（單位：m）為港口水深，%（單位：h）為時(shí)間（OWxW24）,該觀測站

觀察到水位最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的時(shí)間間隔最少為6h,且中午12點(diǎn)的水深為8m,為保證安全，

當(dāng)水深超過8m時(shí)，應(yīng)限制船只出入，則下列說法正確的是（）

?兀

A.co——

6

B.最高水位為12m

C,該港口從上午8點(diǎn)開始首次限制船只出入

D.一天內(nèi)限制船只出入的時(shí)長為4h

K答案XAC

rri

（解析X對(duì)于A,依題意一=二=6,所以。=二，故A正確；

2co6

/JIJIA

對(duì)于B,當(dāng)x=12時(shí)，y=Acosl-xl2+-1+6=8,解得A=4，

所以最高水位為10m,故B錯(cuò)誤；

（JIA

對(duì)于CD,由上可知y=4cos[qX+§J+6,令y28,解得8Vx<12或者20<x<24,

所以從上午8點(diǎn)開始首次開放船只出入，一天內(nèi)開放出入時(shí)長為8h,故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.己知圓錐SO的側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，AC為底面圓。的一條直徑，AC=2,B為

圓。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A,C重合），記二面角S—A3—O為a,S—BC—O為P,則

（）

A.圓錐SO的體積為且兀

3

B.三棱錐S-ABC的外接球的半徑為走

2

C.若a=0,則30,平面&4C

D.若tana=2tan，，則tana=VI?

k答案IACD

K解析］設(shè)底面半徑為r,母線長為/,則2兀r=位，即/=2廠,

由AC=2,則5^=SC=/=2,則SO=,22-f=出,

所以圓錐SO的體積為1義兀乂仔乂有二且兀，故A正確;

33

設(shè)三棱錐S—ABC外接球的球心為O',在SO上，設(shè)球的半徑為尺，則O'OC中,

—R『+12=R2,解得：R=正,故B錯(cuò)誤;

'3

如下圖，取48,5。的中點(diǎn)M,N,連結(jié)SM,OM,SN,ON,0B

因?yàn)?A=SB=SC,OA=OB=OC,

所以SM_LA50M，AB,SNLBC,ONLBC,

所以NSMO=i,NSNO=/3

若a=/3,則。0=QV,即6C=A5,所以ABC是等腰直角三角形，

所以03,AC,因?yàn)镾O_L平面ABC,05u平面ABC,

所以SOLO5,且AC「'SO=O,AC,SOu平面&4C,

所以08,平面S4C,故C正確；

一用SOso

如上圖，tancr=-----,tan￡o=-----,

OMON

SO2SO1i

因?yàn)閠ana=2tan/7,所以----=-----,則ON=2OM,即一A3=2x—BC

OMON22

則AB=25C,且AC=2,所以BC=撞，則0M=@

55

=SO=百=后

所以一而一不一"，故D正確.故選：ACD.

T

11.已知耳，工為雙曲線。：Y—丁2=2（2>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M（1,班）滿足

MFt-MF2=0,N為雙曲線C的右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）

A,雙曲線C的焦距為4

B.直線g與雙曲線C的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)

C./\NOM的面積的最小值為1

71

D.ZONM<-

2

（答案1ACD

k解析X對(duì)于A,因?yàn)閷O?他=0,所以

則|MO|=|O4|=|O閭=2,又|"0|=7］。=2,

22

所以c=2,雙曲線C:^乙=1的焦距2c=4,故A正確；

22

對(duì)于B,由A知，鳥（2,0）,雙曲線漸近線方程為y=±x,

則直線MF,的斜率為I二9=一百<一1,

一1-2

所以直線“鳥與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)樽笤O(shè)直線/：y=+根與雙曲線右支相切,

y=y/3x+m

聯(lián)立＜%2,2,消去y,得2%之+2j§/m:+2+加之=o,

I22

則A=（2?）2—8（2+m2）=0,解得根=_2或者加=2（舍去）,

1-2-01

則直線OM與/之間的距離為d=——=1,

V3+1

所以ANOM的面積最小值為-\OM\d=l,故C正確；

2

對(duì)于D,以|。河|為直徑的圓的方程為［x—工］+y--=1,

I（2,

由C可知，直線/:，=氐-2與雙曲線右支的切點(diǎn)為（6,1）,

2

此時(shí)，其圓心到直線/:＞=底-2的距離為r^-T-

1

d—^/3+T

又直線與/兩平行線之間的距離為1,所以切點(diǎn)（石,1）到圓心的距離大于1,

JT

即雙曲線上的點(diǎn)都在圓外，所以NOM0＜一,故D正確.

2

故選：ACD.

三、填空題

12.在（2+九）3（1—%）的展開式中，x的一次項(xiàng)的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

K答案X4

（解析X因?yàn)椋?+H的展開通項(xiàng)公式為（+i=C；23Ty（rW3/eN）,

所以x的一次項(xiàng)的系數(shù)為C；22+（—1）《23=12-8=4.故（答案I為：4.

13.已知尸為拋物線C：9=20武。＞0）的焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過e且斜率為1的直線交

拋物線C于A,8兩點(diǎn)，直線AO,80分別交拋物線C的準(zhǔn)線于尸,。兩點(diǎn)，若AO=AOP，

BO=/1OQ,貝|九+4=.

K答案』6

TXI2.2x

K解析11設(shè)4（內(nèi),%）,5（%，%），貝。=￡=p>同理〃=一工，

IP

px=y+—

設(shè)直線AB:x=y+上，聯(lián)立直線AB與拋物線d2,

"=2Px

可得y2-2py-p2=Q,A=4p2+4p2>0,

貝5+%=2,％%=-/，

C22、

2&+里2

所以_2（芯+々）_12P2pJ_才+<_（%+%）2-2%%_6P2

A+//=-----=-------=----=----------=-——O

PPPPP

故（答案』為：6.

14.已知函數(shù)/(x)=x—alnMa>0),記函數(shù)y=/(%),y=/(/(￡))的值域分別為

M,N,若NM,則。的取值范圍是.

K答案X(0,1)

K解析U因?yàn)?(x)=x-?lnx(a>0),則/,(x)=l--=:^—

XX

當(dāng)xe(0,a)時(shí)，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(a,y)時(shí)，/'(x)〉0,/(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)％=。時(shí)，/⑴取得極小值，也是最小值/(a)=a—alna,

所以M={y[y>a-ayna],

當(dāng)a—alna〈O時(shí)，M=N,不符合題意,

當(dāng)a—alna>0,即0<a<e時(shí)，令/(x)=r,則y=/(/(%))=/(，)，t>a-alna,

因?yàn)镹M,所以必有〃a-alna)>/(a),

顯然不可能有a-alna<a,否則A/=N,不符合題意,

所以a—alna>a,解得0<a<l,

所以。的取值范圍是(0,1).故K答案》為：(0,1).

四、解答題

15.2023年8月8日是我國第15個(gè)“全民健身日”，設(shè)立全民健身日(FitnessDay)是適應(yīng)人

民群眾體育的需求，促進(jìn)全民健身運(yùn)動(dòng)開展的需要.某學(xué)校為了提高學(xué)生的身體素質(zhì)，舉行

了跑步競賽活動(dòng)，活動(dòng)分為長跑、短跑兩類項(xiàng)目，且該班級(jí)所有同學(xué)均參加活動(dòng)，每位同學(xué)

選擇一項(xiàng)活動(dòng)參加.

長跑短跑

男同學(xué)3010

女同學(xué)a10

若采用分層抽樣按性別從該班級(jí)中抽取6名同學(xué)，其中有男同學(xué)4名，女同學(xué)2名.

(1)求〃的值以及該班同學(xué)選擇長跑的概率;

(2)依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷選擇跑步項(xiàng)目的類別與其性別有關(guān)?

n(ad-be)"

附：z2其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.001

Xa3.8416.63510.828

解：(1)因?yàn)椴捎梅謱映闃影葱詣e從該班級(jí)中抽取6名同學(xué)，其中有男同學(xué)4名，女同學(xué)2

名，所以男女同學(xué)的比例為2:1,則型±"=2,故。=10,

a+10

30+102

該班同學(xué)選擇長跑的概率為

30+10+10+103

(2)依題意，完善2x2列聯(lián)表，如下,

長跑短跑總計(jì)

男同學(xué)301040

女同學(xué)101020

總計(jì)402060

零假設(shè)H。:選擇跑步項(xiàng)目類別與學(xué)生性別無關(guān),

260x(30x10—10x10)2

V=----------------------------------------—=3.75<6.635,

40x20x40x204

根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷出H。不成立，

因此可以認(rèn)為Ho成立，即認(rèn)為選擇跑步項(xiàng)目類別與學(xué)生性別無關(guān).

16.設(shè)各項(xiàng)都不為0數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)積為［，2H.。，4=2.

(1)求數(shù)列｛4｝通項(xiàng)公式；

(2)保持?jǐn)?shù)列｛4｝中各項(xiàng)順序不變，在每兩項(xiàng)如與%+i之間插入一項(xiàng)2(以+1-久)(其

中左=1,2,3,…)，組成新的數(shù)列也｝,記數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為5“,若S〉,〉2023,求“的

最小值.

n(n-l)

解：(1)因?yàn)楸?2^闈，

(■-1)5-2)

當(dāng)時(shí)，T=22,a,兩式相除可得a”=--------,

"T"Tan_x

因?yàn)榉病?,所以〃又q=2,所以〃“=2〃.

(2)依題意，S2"=q+2(%—%)+。2+2(%—〃2)++"〃+2(4+I-QJ

=4+%++%+2(4-4+/-%+a

n+\~n)

=6+4++a“+2（?！?]一q）=4+&++an+2an+｛-2^

=I。—？）+2"2_4=3.2"+i-6，易知｛邑〃｝隨著n增大而增大，

1-2

當(dāng)〃=8時(shí)，y6=3-28+i—6=1530<2023,

9+1

當(dāng)〃=9時(shí)，Sl8=3-2-6=3066>2023,

而S"=&+%=&+。9=1530+512=2042>2023,

綜上，〃的最小值為17.

17.在三棱臺(tái)A4G—A3C中，A5C為等邊三角形，AB=2A|Bj=2,，平面ABC,

M,N分別為AB，AC的中點(diǎn)，

(1)證明：平面BCCjg//平面AMN；

(2)若43LAG，設(shè)。為線段3C上的動(dòng)點(diǎn)，求4。與平面3CC］用所成的角的正弦值

的最大值.

(1)證明：在三棱臺(tái)4耳￡—ABC中，AB==2,N為AC的中點(diǎn)，

所以AG=CN,且AC"/CN,則四邊形A￡CN為平行四邊形，所以ccj/AN,

又ANu平面AM0,CG仁平面ANM,所以GC〃平面,

因?yàn)镸,N分別為A5,AC的中點(diǎn)，所以BC//MN,

又MVu平面ANM,5C<z平面,所以3C//平面

因?yàn)閡平面BCC&1,GCu平面BCC】B^CBnCC,=C,

所以平面BCG4〃平面A"N；

(2)解：連接BN，A5AG，CN,

因?yàn)槠矫鍭BC,且A&u平面A&GC,所以平面ABC/平面MGC,

因?yàn)镴RC為等邊三角形，N為AC的中點(diǎn)，所以BNLAC,

又平面ABCc平面A41c。=AC,5Nu平面ABC,

所以BN,平面AA￡C,又A￡u平面A41clC,所以3NLAG，

又^^，^。[，^臺(tái)八即/二昆氏心師匚平面呂八利,所以AC；，平面5NA，

又ANu平面BNA，則AG^AN,故四邊形AANC1為正方形，AA=I,

以A為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,1),G(1,0,1),C(2,0,0),B(l,V3,0)，

51IJCQ=(-1,0,1),BC=(1,-A/3,0),^C=(2,0,-l),

不妨設(shè)DC=ABC=(2,-^2,0)(2e[0,1]),

則Ao=AC-oc=(2-4鳳-1),

n-CC=C

設(shè)平面3CCe的一個(gè)法向量為〃=(”z),貝必

n-BC=0

—X+2=0

得＜/—，令y=i,可得〃=(6,1,6)，

x-=0

\n-\Dk/3(2-2)+732-^^向

則cosn,4。=」——='―/」=――/＜、一

11|川4。?XJ(2_2)2+322+]/xj(22-1y+414

當(dāng)且僅當(dāng)4=工時(shí)取“=”，

2

所以4。與平面5CG4所成角的正弦值的最大值為叵.

14

18.已知函數(shù)/(x)=xlnx-*|x2一1,acR.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a<0時(shí)，記/(X)的極小值點(diǎn)為％,證明：/⑴存在唯一零點(diǎn)尤］,且西〉4%.(參

考數(shù)據(jù)：e3?20.85)

(1)解：當(dāng)a=l時(shí)，y(x)=xln%-:1--l,y,(x)=lrLY-x+l,

設(shè)g(x)=lnx-x+l,則g[x)=——l=----,

當(dāng)XG(0,l)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)％=1時(shí),g(x)取得極大值g⑴=0,所以g(x)W0,BPr(x)<0,

所以/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+")，無單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)證明：f'(x}-]wc-ax+l,設(shè)M%)=lnx-ot+l,則/z'(x)=，-a,

X

當(dāng)“<0時(shí)，h'^x)=--a>Q,所以/z(x)單調(diào)遞增，

/z(e°T)=a—l—a*i+l=a(l—e"T)(0,妝l)=lnl—a+l=l—a)0,

所以存在尤0?尸1,1),使得妝/)=0,

當(dāng)龍?0,尤0)時(shí)，/z(x)<0J(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe[,+oo)時(shí)，/z(x)>0J(x)單調(diào)遞增,

又xe0，Cj且0<%<1時(shí)，/(x)<-|x2-l<0,/(e)=e-l-^>0,

所以存在唯一％e(%,e),使得/(%)=0,

/(x)存在唯一零點(diǎn)看.要證％>4x0,只需證,

即證/(4%)=4x0ln(4x0)-8端-l<0,因/z(AQ)—于(AQ)—ITLVQ—CUCQ+[=0,

[nx+1

所以a=——--,/(4x0)=4x0ln(4x0)-8x0(lnx0+1)-1=(41n4-8)x0-4%01nx0-1

1

—XQ41n4—8—41nx0---,

Ixo>

i4ii_4

設(shè)根(x)=41n4-8-41nx——(0<%<1),貝Umf(x)=---F—=——--r,

XXJCJC

令加(尤)=0,解得x=:,當(dāng)時(shí)，加(x)>0,加(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe]；,+oo]時(shí)，加(x)<0,加(力單調(diào)遞減，

當(dāng)》=:時(shí)，機(jī)(x)取得極大值加\]=41n?<0,

所以m(司<加']<0,即/(4%)<0成立，命題得證.

19.己知橢圓C：二+1=1(?！?〉0)的離心率為且，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳，工為橢圓

ab2

C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在橢圓C上(不包括端點(diǎn))，當(dāng)尸鳥，片居時(shí)，心的面積為之叵，