廣西示范中學(xué)2024年高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題含解析

廣西示范中學(xué)2024年高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在AABC中，H為BC上異于B,C的任一點(diǎn)，M為AH的中點(diǎn)，AM=2AB+pAC,則彳+〃等于（）

2.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=l+i,則也+z2=（

)

z

A.1+zB.1-iC.-1-zD.-1+z

3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,將向量OZ繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)子，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）

6

A173.R小，1.「16.n61.

22222222

4.《周易》是我國(guó)古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬(wàn)象變化.如圖是一個(gè)八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、

艮、兌八卦（每一卦由三個(gè)爻組成，其中表示一個(gè)陽(yáng)爻，“一■”表示一個(gè)陰爻）若從八卦中任取兩卦，

這兩卦的六個(gè)爻中恰有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率為（）

5.i為虛數(shù)單位，則士一的虛部為（）

1-i

A.-iB.iC.-1D.1

6.設(shè)等比數(shù)列｛4,｝的前〃項(xiàng)和為S“，貝!<24”是“邑1<。”的（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

22

7.已知雙曲線(xiàn)C:鼻-斗=1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，凡，點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn)，連接P耳與y軸交于

ab

點(diǎn)M,若國(guó)。|=2|OM|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），P^IPE,則雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為（）

A.y=+3%B.y=+y/3xC.y=±2xD.y=+y/2x

8.在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2V2,-A/2）,漸近線(xiàn)方程為y=±V2x的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

22222222

A.土-乙=1B.±-匕=1C.工-匕=1D.匕-土=1

4271436147

9.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)加+處（meR）是純虛數(shù)，則機(jī)的值為（）

3+z

A.-3B.-1C.1D.3

10.點(diǎn)A,瓦C是單位圓。上不同的三點(diǎn)，線(xiàn)段OC與線(xiàn)段交于圓內(nèi)一點(diǎn)M,若

OC=mOA+nOB,(m>O,n>0),m+n=2,則NAO3的最小值為()

11.如圖，AA5C內(nèi)接于圓0,是圓。的直徑，DC=BE,DC//BE,DC±CB,DC±CA,AB=2EB=2,則

三棱錐E-ABC體積的最大值為（）

22

12.雙曲線(xiàn)二-斗=1（。>0/>0）的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸且與x軸垂直的直線(xiàn)交兩漸近線(xiàn)于M,N兩點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)的

ab

其中一個(gè)交點(diǎn)為P,若OP=^OM+〃ON（九〃€R）,且=卷，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）

A3近?5A/2?573n576

4121212

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在一底面半徑和高都是2m的圓柱形容器中盛滿(mǎn)小麥，有一粒帶麥銹病的種子混入了其中.現(xiàn)從中隨機(jī)取出的2m3

種子，則取出了帶麥銹病種子的概率是.

22

14.如圖，6、工分別是雙曲線(xiàn)二-3=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)心的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)分別交于4、B兩

ab~

點(diǎn),若8A=AB,F[BF,B=O,則雙曲線(xiàn)C的離心率是.

2.x—y—6<05

15.設(shè)第一象限內(nèi)的點(diǎn)（x,y）滿(mǎn)足約束條件-"八，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+勿（。>0,8>0）的最大值為40,則一+

x-y+2>0a

7的最小值為.

b

16.將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動(dòng)，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料，則

甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一個(gè)組的概率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在四棱錐尸—A5CD中，底面ABC。為矩形，側(cè)面？底面ABC。，4為棱A6的中點(diǎn)，E

為棱DC上任意一、點(diǎn),且不與Z）點(diǎn)、。點(diǎn)重合.AB=2,A.D-PA.-1,PH-yf2?

p

DEC

（1）求證：平面APE_L平面ABC。；

（2）是否存在點(diǎn)E使得平面APE與平面PHC所成的角的余弦值為逅？若存在，求出點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)

3

說(shuō)明理由.

222

18.（12分）已知拋物線(xiàn)必=?的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)橢圓C：0+￡=1的左焦點(diǎn)尸，且點(diǎn)尸到直線(xiàn)/：x=—（c

為橢圓焦距的一半）的距離為4.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)下做直線(xiàn)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，P是的中點(diǎn)，線(xiàn)段的中垂線(xiàn)交直線(xiàn)/于點(diǎn)Q.若|尸。|=2M卻，求

直線(xiàn)AB的方程.

19.（12分）有甲、乙兩家外賣(mài)公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪80元，送餐員每單制成4元；乙公司

無(wú)底薪，40單以?xún)?nèi)（含40單）的部分送餐員每單抽成6元，超過(guò)40單的部分送餐員每單抽成7元.現(xiàn)從這兩家公司各

隨機(jī)選取一名送餐員，分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：

送餐單數(shù)3839404142

甲公司天數(shù)101015105

乙公司天數(shù)101510105

（1）從記錄甲公司的50天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取3天，求這3天的送餐單數(shù)都不小于40單的概率；

（2）假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問(wèn)題：

①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，小張應(yīng)選擇哪家公司應(yīng)聘？說(shuō)明你

的理由.

20.（12分）如圖，在四棱錐P—ABC。中，平面平面M￡>,AD//BC,AB=BC=AP=-AD,ZADP=30，

2

ZBAD=9Q，E是的中點(diǎn).

(1)證明：PD±PBi

(2)設(shè)AZ)=2,點(diǎn)M在線(xiàn)段PC上且異面直線(xiàn)8M與CE所成角的余弦值為手，求二面角AB-P的余弦值.

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=2,且兩焦點(diǎn)與短軸的一

三十三=1.二>二>G

個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形.

(1)求橢圓C的方程；

(2)假設(shè)直線(xiàn)/：二二二二一二與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).①若A為橢圓的上頂點(diǎn)，M為線(xiàn)段AB中點(diǎn)，連接OM并

延長(zhǎng)交橢圓C于N,并且—求OB的長(zhǎng)；②若原點(diǎn)O到直線(xiàn)I的距離為1,并且五十一［，當(dāng)

ON=4~~JOsf；l

時(shí)，求AOAB的面積S的范圍.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=xlnx-2or2+3x—a,aeZ.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，判斷x=l是否是函數(shù)/Xx)的極值點(diǎn)，并說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)%>0時(shí)，不等式/(x)W0恒成立，求整數(shù)。的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據(jù)題意，用AB,AC表示出AH,3H與AM，求出尢〃的值即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意，設(shè)BH=xBC，貝！I

AM=-AH=-(AB+BH)=-(AB+xBC)=-AB+-x(AC-AB)=-(l-x)AB+-xAC,

2222222

KAM=AAB+/JAC,

A=—(1—x),//ugX,

01八、11

..X+4——(1-%)+~x——,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量，是基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長(zhǎng)公式求解即可

【詳解】

??,復(fù)數(shù)z=l+i,|z|=V2>z2=(l+z)=2z,則^~z'=-----1-2i=--------------H2z=1—z+2z=1+z,

z1+z(1+z)(l-z)

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法、模長(zhǎng)、平方運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題

3、A

【解析】

由復(fù)數(shù)z求得點(diǎn)Z的坐標(biāo)，得到向量0Z的坐標(biāo)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)?，得到向量08的坐標(biāo)，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.

【詳解】

解：?.?復(fù)數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(0,1),

.??OZ=(0,1)，將OZ繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)B得到08，

O

設(shè)05=("，b),a<09b>0,

則OZ?08=6=4cos,=與,

即人必，

2

又+方2=],

解得：a」,b力,

22

對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為-晨

22

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

4、C

【解析】

分類(lèi)討論，僅有一個(gè)陽(yáng)爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個(gè)陽(yáng)爻的有巽、離、兌三卦中取一個(gè)，再取沒(méi)

有陽(yáng)爻的坤卦，計(jì)算滿(mǎn)足條件的種數(shù)，利用古典概型即得解.

【詳解】

由圖可知，僅有一個(gè)陽(yáng)爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦滿(mǎn)足條件，其種數(shù)是=3；

僅有兩個(gè)陽(yáng)爻的有巽、離、兌三卦，沒(méi)有陽(yáng)爻的是坤卦，此時(shí)取兩卦滿(mǎn)足條件的種數(shù)是=3,于是所求的概率

或“

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，分類(lèi)討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】

2『-21-2z(l+z)./.、

~~::=7i~\=_'。+')=］一'，故虛部為-1.

1-11-1(l-z)(l+z)

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的概念，注意復(fù)數(shù)。+3(aSwR)的虛部為b,不是從，本題為基礎(chǔ)題，也是易錯(cuò)題.

6、A

【解析】

首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿(mǎn)足4+%<2a2,S21<0的基本量，根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.

【詳解】

{4}為等比數(shù)列，

若q+%<2%成立，有q(/-2“+1)<0,

因?yàn)?q+120恒成立，

故可以推出q<0且

若S2“T<0成立，

當(dāng)q=l時(shí)，有4<0,

Q(]—-1)1_2n-l

當(dāng)qwl時(shí)，有』_I_Z<0,因?yàn)槎弧?恒成立，所以有6<0,

1-ql-q

故可以推出％<0,geR,

所以“q+%<24”是“邑"_]<0”的充分不必要條件.

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解，充分必要條件的集合關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

7、C

【解析】

利用三角形AO/耳與AP/y相似得歸周=2歸閭，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義求得”,仇。的關(guān)系，從而求得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)

方程。

【詳解】

設(shè)耳(―c,0),F2(C,0),

由國(guó)O|=2|OM|,AOM4與相似，

所以\F.O命\=IP局EI=2,即|,W,|=,2|壁,I，

又因?yàn)闅w耳|P閭=2a,

所以I尸制=4a,|P閭=2a,

2212

所以4c2=16/+41,BPc=5a>b=4a?

所以雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=±2x.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)、漸近線(xiàn)方程求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。

8、B

【解析】

根據(jù)所求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±JIx,可設(shè)所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x2-y2=k.再把點(diǎn)（2夜0）代入，

求得k的值，可得要求的雙曲線(xiàn)的方程.

【詳解】

???雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±JIx,.?.設(shè)所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x2-y2=k.又（20,-0）在雙曲線(xiàn)上，則

22

k=16-2=14,即雙曲線(xiàn)的方程為2/-寸=14,雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為--二=1

714

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線(xiàn)的方程，雙曲線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9、A

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.

【詳解】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得

10°.

m-\----=m+3—i,

3+z

因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以加+3=0,

m=—3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】

由題意得1=〃，+rr+2mncosZAOB，再利用基本不等式即可求解.

【詳解】

將0C=mOA+nOB平方得1=nr+n2+2mncosZAOB,

cosZAOB=l~m~nl-(m+n)2+2mn_

+1=

2mn2mn2

（當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=1時(shí)等號(hào)成立），

0<AAOB<n,

.?.NAOB的最小值為27年r，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

11、B

【解析】

根據(jù)已知證明跖1平面ABC,只要設(shè)AC=x,則3C=/2（O<X<2）,從而可得體積

吸一MC=g%?V4-x2=|舊匚可，利用基本不等式可得最大值.

【詳解】

因?yàn)镈C=BE,DC//BE,所以四邊形DCBE為平行四邊形.又因?yàn)镈C±CB,DC±CA,CBr\CA=C,C5u平面

ABC,G4u平面ABC,

所以DC,平面ABC,所以班1平面ABC在直角三角形ABE中，AB=2EB=2,

設(shè)AC=x,則BC=14-X2（0<X<2）,

所以5入.=：40,80=：工，4—42,所

11f22、2

以4-帖文=7公,4_爐=n\爐（4_爐）.又因?yàn)?（4_爐）《卜丁+4一廠,當(dāng)且僅當(dāng)

66I2J

/2A2、2

X2（4-X2）<土*,即工=0時(shí)等號(hào)成立，

I2J

所以化一.心=1

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是：首先證明線(xiàn)面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三角形一邊長(zhǎng)為心

用建立體積M與邊長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值.

12>D

【解析】

根據(jù)已知得本題首先求出直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的交點(diǎn)，再利用OP=幾OM+〃ON,求出點(diǎn)P[(2+〃)c，(/l-〃)/

「6

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，及￡二—,代入整理及得4/加=1,又已知"/=即可求出離心率.

a25

【詳解】

由題意可知"(c，—］，N\c9------j,代入OP=2OM+"ON得：(X+—〃)—

\a)\a)\a

2264T[7

代入雙曲線(xiàn)方程4-4=1整理得：=又因?yàn)槠?=，即可得到6=5電,

a2b"2512

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，離心率問(wèn)題關(guān)鍵尋求關(guān)于。，b,。的方程或不等式,

由此計(jì)算雙曲線(xiàn)的離心率或范圍，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13>—

4%

【解析】

求解2加3占圓柱形容器的的總?cè)莘e的比例求解即可.

【詳解】

21

解：由題意可得：取出了帶麥銹病種子的概率=--^―=—

7TX2'X24]

故答案為：--.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了體積類(lèi)的幾何概型問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.

14、2

【解析】

b

根據(jù)三角形中位線(xiàn)證得49〃64，結(jié)合43鳥(niǎo)5=0判斷出A0垂直平分時(shí),由此求得三的值，結(jié)合，=〃+〃求

得上的值.

a

【詳解】

?月A=AB,4為B6中點(diǎn)，AO//BFl,\?43書(shū)3=0,二AO垂直平分,

?*?NA。居—^AOB=NBOF[=60°,即—=tan60°=也,b—也a，c2=3a2+a2=4a2，即e=—=2.

aa

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查雙曲線(xiàn)離心率的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

15、2

4

【解析】

不等式表示的平面區(qū)域陰影部分，

當(dāng)直線(xiàn)ax+Z>y=z(a>0/>0)過(guò)直線(xiàn)x-j+2=0與直線(xiàn)2x-j-6=0的交點(diǎn)(8,10)時(shí),

目標(biāo)函數(shù)z=ax+勿(。>0,方>0)取得最大40,即8a+10方=40,即4a+5方=20,

工515114a+5655ba

而二廠—+—--------------F------1------

ab2044a5b44

當(dāng)且僅當(dāng)ft弋時(shí)取等號(hào),

519

則、的最小值為“

【解析】

先求出總的基本事件數(shù)，再求出甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件數(shù)，然后根據(jù)古典概型

求解.

【詳解】

6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動(dòng)，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料的基本事件總數(shù)共有

〃=盤(pán)=20個(gè),

甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件個(gè)數(shù)有：根=《。；+《《+穹=9個(gè)，

vnQ

所以甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為

9

故答案為：—

20

【點(diǎn)睛】

本題主要考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，E為。C中點(diǎn)

【解析】

(1)證明面ABC。，即證明平面APE，平面ABC。；(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AO為》軸正方向，A3為丁軸

犯.&11+221J61

正方向，AP為z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量方法得COSe==-I=一，解得力=

網(wǎng).聞V3.V422+l32

所以E為。C中點(diǎn).

【詳解】

(1)由于〃為A5中點(diǎn)，AH=~AB=1.

2

又PH=0，故P"2=Ap2+Aff2,

所以4H為直角三角形且ZPAH=90°,

即B4LAB.

又因?yàn)镵4u面面面A3CD=A5,面75AB_1面43。￡),

故人？_1_面ABC。，

又K4u面Q4E，所以面巳4石_1面438.

(2)由(1)知APL面ABC。，又四邊形ABC。為矩形，則AP,AD,兩兩垂直.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A。為x軸正方向，A3為了軸正方向，AP為z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(0,0,0),P(0,0,l),H(0,l,0),C(l,2,0),設(shè)E(l,22,0),2G(0,1),

則AP=（O,O,1）,A￡=（L22,O）,PH=（O,1,-1）,HC=（1,1,0）,

設(shè)平面APE的法向量為加=（無(wú)，y,z）,

一m-AP=0z=Q

則有<=>5,令x=-22，則y=1,

m-AE=0[x+22y=0

則平面APE的一個(gè)法向量為n\=(-22,1,0),

同理可得平面PHC的一個(gè)法向量為“=(-1,1,1)，

設(shè)平面APE與平面PHC所成角為6,

\n\-n\11+2^1V61

則由題意可得85。=%丁^=-?=^=一,解得2=:，

Ig6?田+132

所以點(diǎn)E為。C中點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明，考查空間二面角的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

22

18、(1):+，=1；⑵x+岳+1=0或x-0y+l=O.

【解析】

2

(1)由拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程求出。的值，確定左焦點(diǎn)尸坐標(biāo)，再由點(diǎn)F到直線(xiàn)/：%=幺的距離為4,求出。即可；

C

(2)設(shè)直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，以及兩直線(xiàn)垂直的條件和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得

到所求直線(xiàn)的方程.

【詳解】

(1)拋物線(xiàn)/=4x的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1,F(-l,0),

：.c=l,直線(xiàn)/：X=〃，點(diǎn)尸到直線(xiàn)/的距離為/+1=4,

a=y/3,b~=a~—l=2,.".b=A/2,

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1；

32

(2)依題意AB斜率不為0,又過(guò)點(diǎn)歹，設(shè)方程為％=沖-1,

x=my-l..

聯(lián)立2；，,，消去x得，（2根2+3）/一布2―4=0,

2x+3y~=6

A=16m2+16（2療+3）=48（川+1）,設(shè)4%,%）,5（%％）,

4加4

P5，%）,X+%=,丁2-%%=一02q,

2m+32m+3

_x+%_2根_1_3

°22療+3°702m2+3

22

IAB|=71+m7（JI-J2）=4+而J（X+%）2-4%%

4Go2+1）

2m2+3

線(xiàn)段A5的中垂線(xiàn)交直線(xiàn),于點(diǎn)。，所以。橫坐標(biāo)為3,

2

|PQ|=Vl+m|3-x0|=6&+加(疝+21,「閘=2\AB\,

2m+3

6(加2+2)=4^m2+1'平方整理得3m4-4m2-4=0,

2

解得加2=2或機(jī)2=—耳(舍去)，加=±,

所求的直線(xiàn)方程為1+0+1=0或x-岳+1=0.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的方程以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，要熟練應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系、相交弦長(zhǎng)公式，合理運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離

公式，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

2Q

19、(1)—；(2)①分布列見(jiàn)解析，E(X)=238.6；②小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.

140

【解析】

(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件4,可得P(A)的值.

(2)①設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為。，可得當(dāng)。=38時(shí)，X=38x6,以此類(lèi)推可得：當(dāng)。=39時(shí)，當(dāng)。=40時(shí)，X

的值.當(dāng)a=41時(shí)，X的值，同理可得：當(dāng)a=42時(shí)，X.X的所有可能取值.可得X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

②依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數(shù).可得甲公司送餐員日平均工資，與乙數(shù)學(xué)期望比較即可得出.

【詳解】

解：(1)由表知，50天送餐單數(shù)中有30天的送餐單數(shù)不小于40單，

記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件A，

則2網(wǎng)=隼—.

、)Cf0140

(2)①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為“，日工資為X元，則

當(dāng)〃=38時(shí)，X=38x6=228；當(dāng)〃=39時(shí)，X=39x6=234；當(dāng)〃=40時(shí)，X=40x6=240；

當(dāng)〃=41時(shí)，X=40x6+7=247；當(dāng)〃=42時(shí)，X=40x6+14=254.

所以X的分布列為

X228234240247254

13111

p

51055io

￡(X)=228x-+234x—+240x-+247x-+254x—=238.6.

5105510

②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為

38x0.2+39x0.2+40x0.3+41x0.2+42x0.1=39.8,

所以甲公司送餐員的日平均工資為80+4x39.8=239.2元，

因?yàn)?38.6＜239.2,所以小張應(yīng)選擇甲公司應(yīng)聘.

【點(diǎn)睛】

本題考查了隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、古典概率計(jì)算公式、組合計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中

檔題.

20、(1)見(jiàn)解析；(2)2勺

7

【解析】

(1)由平面平面上4。的性質(zhì)定理得A3,平面上4。，.?.43，？。.在兇4￡＞中，由勾股定理得

二切，平面即可得PDLPB；

(2)以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法和異面直線(xiàn)與CE所成角的余弦值為畫(huà)，得點(diǎn)M的

5

坐標(biāo)，從而求出二面角M-AB-P的余弦值.

【詳解】

(1)平面A3CD，平面R4D，平面ABC。平面上4D=AD,BAD^90，所以.由面面垂直的

性質(zhì)定理得平面B4D,在△/維＞中，AP=~AD,NA0P=30，二由正弦定理可得:

2

sinZADP=-sinZAPD,

2

.-.ZAPD=90，即PDLAP,.1PD，平面PAB,:.PD±PB.

(2)以P為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則8(0,1,1),C

、、

1

,0,0,設(shè)“a.—a.a（0<?<1）,則BAf=

77

3

------a710

CE=fo,-1,-lL-.cosBM,CE=BMCE24

BM||CE|

2a2-3a+2x^

22。一,、rn-BM=0

得〃二—,二.BM—，而AB=（0,0,l）,設(shè)平面ABM的法向量為〃=(蒼y,z),由＜可得:

333Jn-AB=Q

"x—2：：z=。，令x=2,則”=(2,g,0),取平面RIB的法向量沅=(1,0,0),則

豌*=孚，故二面角的余弦值為咨

cosm,n=

【點(diǎn)睛】

本題考查了線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運(yùn)用,

屬于中檔題.

21、（1）_：.;（2）①