2023年高考第一次模擬考數(shù)學(xué)試卷（天津B卷）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023年高考第一次模擬考試卷（天津B卷）數(shù)學(xué)第Ⅰ卷一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分）1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由題得，所以.故選：B.2．不等式成立的一個必要不充分條件是（

）A． B．C．或 D．〖答案〗A〖解析〗不等式即，即，對于A,因為，故是成立的一個必要不充分條件，A正確；而不是集合，的真子集，故錯誤，故選：A.3．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗，是奇函數(shù)，排除A；當(dāng)時，，當(dāng)時，，故選：C.4．南丁格爾玫瑰圖是由近代護(hù)理學(xué)和護(hù)士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlorenceNightingale1820-1910）設(shè)計的，圖中每個扇形圓心角都是相等的，半徑長短表示數(shù)量大小．某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計了近幾年中國知識付費用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖如下，根據(jù)此圖，下列說法錯誤的是（

）A．2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加B．2016年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多C．2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍D．2016年至2022年，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增〖答案〗D〖解析〗對于A，由圖可知，2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加，故A正確；對于BD，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量分別為：2016年，；2017年，；2018年，；2019年，；2020年，；2021年，；2022年，，可知知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多，故B正確，D錯誤；對于C，由，即2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍，故C正確；故選：D5．設(shè)，，，則（

）．A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗∵，，令，則，，，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減.∵，∴，即.故選：D.6．已知某圓錐的軸截面是頂角為120°的等腰三角形，母線長為4，過圓錐軸的中點作與底面平行的截面，則截面與底面之間的幾何體的外接球的表面積為（

）A．64π B．96π C．112π D．144π〖答案〗C〖解析〗第一步：確定截面與底面之間的幾何體的結(jié)構(gòu)特征如圖，等腰三角形SAB是圓錐的軸截面，SE是圓錐的軸，截面圓、底面圓的半徑之比為1：2．設(shè)截面圓、底面圓的半徑分別為r，2r，因為軸截面是頂角為120°的等腰三角形，母線長為4，且由題意知截面與底面之間的部分為圓臺，所以圓臺的高為，，．第二步：求外接球的半徑易知球心在直線SE上，設(shè)圓臺外接球的半徑為R，球心到圓臺下底面的距離為x，若球心在圓臺兩底面之間，如圖點M的位置，則，無解；若圓臺兩底面在球心同側(cè)，則球心在如圖點O的位置，，解得，則，第三步：求外接球的表面積則該圓臺外接球的表面積為.故選：C．7．已知是雙曲線的左，右焦點，點在上，是線段上點，若，則當(dāng)面積最大時，雙曲線的方程是（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗如圖所示設(shè)，，，，則，，在中由余弦定理得①，在中由余弦定理得②，得③，在中由余弦定理得④，③④聯(lián)立消去得，因為，當(dāng)面積最大時即最大，由均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，取得最大值，此時由④解得，所以，所以，即為直角三角形，且，所以在中，解得，由雙曲線的性質(zhì)可得，解得，所以雙曲線的方程為，故選：C.8．在信息時代，信號處理是非常關(guān)鍵的技術(shù)，而信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù).函數(shù)的圖象可以近似的模擬某種信號的波形，則下列判斷中不正確的是（

）A．函數(shù)為周期函數(shù)，且為其一個周期B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最大值為4.〖答案〗A〖解析〗依題意，A選項，，所以不是的周期，A選項錯誤.B選項，，，所以，所以的圖象關(guān)于點對稱，B選項正確.C選項，..所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，C選項正確.D選項，，由于，所以，且，所以的最大值是，D選項正確.故選：A.9．設(shè)函數(shù)①若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是②若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是③若方程有四個不同的實根，則的取值范圍是④方程的不同實根的個數(shù)只能是1，2，3，6四個結(jié)論中，正確的結(jié)論個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4〖答案〗B〖解析〗對于①：作出的圖像如下：若方程有四個不同的實根，，，，則，不妨設(shè)，則，是方程的兩個不等的實數(shù)根，，是方程的兩個不等的實數(shù)根，所以，，所以，所以，所以，故①正確；對于②：由上可知，，，且，所以，所以，，所以，所以，故②錯誤；對于③：方程的實數(shù)根的個數(shù)，即為函數(shù)與的交點個數(shù)，因為恒過坐標(biāo)原點，當(dāng)時，有3個交點，當(dāng)時最多2個交點，所以，當(dāng)與相切時，設(shè)切點為，即，所以，解得，所以，所以，所以當(dāng)與相切時，即時，此時有4個交點，若有4個實數(shù)根，即有4個交點，當(dāng)時由圖可知只有3個交點，當(dāng)時，令，，則，則當(dāng)時，即單調(diào)遞增，當(dāng)時，即單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值即最大值，，又及對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長趨勢可知，當(dāng)無限大時，即在和內(nèi)各有一個零點，即有5個實數(shù)根，故③錯誤；對于④：，所以，所以或，由圖可知，當(dāng)時，的交點個數(shù)為2，當(dāng)，0時，的交點個數(shù)為3，當(dāng)時，的交點個數(shù)為4，當(dāng)時，的交點個數(shù)為1，所以若時，則，交點的個數(shù)為個，若時，則，交點的個數(shù)為3個，若，則，交點有個，若且時，則且，交點有個，若，交點有1個，綜上所述，交點可能有1，2，3，6個，即方程不同實數(shù)根1，2，3，6，故④正確；故選：B．第Ⅱ卷二?填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.13題和15題第一空2分，第二空3分，全部答對得5分.10．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_______．〖答案〗〖解析〗，故〖答案〗為：11．直線l：截圓的弦為，則的最小值為_____________.〖答案〗2〖解析〗對于直線l：，顯然過定點；對于圓：，配方后有：，圓心為，半徑為3，點A到圓心的距離為，所以A點在圓內(nèi)，當(dāng)A點為MN的中點時，最短，此時；故〖答案〗為：2.12．將中國古代四大名著——《紅樓夢》《西游記》《水滸傳》《三國演義》，以及《詩經(jīng)》等12本書按照如圖所示的方式擺放，其中四大名著要求放在一起，且必須豎放，《詩經(jīng)》《楚辭》《呂氏春秋》要求橫放，若這12本書中7本豎放5本橫放，則不同的擺放方法共有___________種.〖答案〗691200〖解析〗除了四大名著和《詩經(jīng)》《楚辭》《呂氏春秋》這7本書以外，從其余5本書中選取3本和四大名著一起豎放，四大名著要求放在一起，則豎放的7本書有種方法，還剩5本書橫放，有種方法，故不同的擺放方法種數(shù)為.故〖答案〗為：69120013．設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為．假定兩位同學(xué)每天到校情況相互獨立．用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的某周五天中7：30之前到校的天數(shù)，則______，記“上學(xué)期間的某周的五天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)恰好多3天”為事件M，則______．〖答案〗

〖解析〗由題意知，它的分布列為，k＝0，1，2，3，4，5，所以．設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的五天中7：30之前到校的天數(shù)為Y，則，它的分布列為，且事件，又事件，，之間互斥，且X與Y相互獨立，所以．故〖答案〗為：；.14．若各項均為正數(shù)的有窮數(shù)列滿足，（（）,則滿足不等式的正整數(shù)的最大值為_______．〖答案〗109〖解析〗因為，所以，，，所以，故=，因為，所以，則，要使不等式成立，只要即可，而，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，又因，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以，所以正整數(shù)，即正整數(shù)的最大值為109．故〖答案〗為：109．15．在梯形中，與相交于點Q．若，則________；若，N為線段延長線上的動點，則的最小值為_________．〖答案〗

〖解析〗因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以且，則可設(shè)，故，因為共線，所以，解得，所以，因為，所以，所以；因為，所以，所以，又，所以，因為，所以，如圖以點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，故，則，當(dāng)時，取得最小值.故〖答案〗為：；.三、解答題（本題共5小題，共75分）16．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．（1）求角A的大??；（2）若，點D是BC的中點，求AD的取值范圍．解：（1）因為，所以．因為，，所以．因為，所以．因為，所以，所以．（2）因為點D是BC的中點，所以，所以，所以．因為，所以．因為，所以，所以．17．如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，是棱的中點.（1）證明：平面平面.（2）若，求二面角的余弦值的取值范圍.（1）證明：因為三棱柱為直三棱柱，所以，因為為等邊三角形，且D為AB的中點，所以，又因為，且平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）解：以D為坐標(biāo)原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，因為，所以，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量，平面的一個法向量，則，取，，取，所以，因為，，因為二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值的取值范圍為.18．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）若在上恒成立，求整數(shù)a的最小值.解：（1）當(dāng)時，，則，令得.若，則；若，則.所以；（2）（法一）由，可得在上恒成立.令，則，令，則，因此在上為減函數(shù).而，可知在區(qū)間上必存在，使得滿足，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.由于，而，故，由，可知，所以，因此整數(shù)a的最小值為1.（法二）由，可得，當(dāng)時，，則，即.當(dāng)時，令，則，則在上單調(diào)遞增，所以，所以成立.因此整數(shù)a的最小值為1.19．已知平面直角坐標(biāo)系中，點到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，橢圓的離心率為，且過點（1）求的方程；（2）如圖，過點作橢圓的切線交于兩點，在軸上取點，使得，試解決以下問題：①證明：點與點關(guān)于原點中心對稱；②若已知的面積是橢圓四個頂點所圍成菱形面積的16倍，求切線的方程.（1）解：因為點到拋物線的準(zhǔn)線的距離等于5，所以，解得，所以拋物線的方程為；因為橢圓的離心率為，且過點，所以，解得，所以橢圓的方程為；（2）①證明：因為，且直線與橢圓相切，所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，因為直線與橢圓相切，所以，即，聯(lián)立，得，設(shè)，，則；設(shè)，因為，所以，則，即，即，又，所以，即，即點與點關(guān)于原點中心對稱；②解：橢圓四個頂點所圍成菱形面積為，所以的面積為，則，令，即，即，即，即，即，因為，所以，，；所以直線的方程為.20．在數(shù)列中，，其中．（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出證明過程；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求；（3）已知當(dāng)且時，，其中，求滿足等式的所有n的值之和．（1）證明：因為，所以，所以數(shù)列是以1為公差，1為首項的等差數(shù)列（2）解：由（1）可得，所以，所以，所以，所以（3）解：由（1）將化為，即，所以，因為當(dāng)且時，，所以，，……，，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以滿足的所有和3，其和為5.2023年高考第一次模擬考試卷（天津B卷）數(shù)學(xué)第Ⅰ卷一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分）1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由題得，所以.故選：B.2．不等式成立的一個必要不充分條件是（

）A． B．C．或 D．〖答案〗A〖解析〗不等式即，即，對于A,因為，故是成立的一個必要不充分條件，A正確；而不是集合，的真子集，故錯誤，故選：A.3．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗，是奇函數(shù)，排除A；當(dāng)時，，當(dāng)時，，故選：C.4．南丁格爾玫瑰圖是由近代護(hù)理學(xué)和護(hù)士教育創(chuàng)始人南丁格爾（FlorenceNightingale1820-1910）設(shè)計的，圖中每個扇形圓心角都是相等的，半徑長短表示數(shù)量大小．某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計了近幾年中國知識付費用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖如下，根據(jù)此圖，下列說法錯誤的是（

）A．2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加B．2016年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多C．2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍D．2016年至2022年，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增〖答案〗D〖解析〗對于A，由圖可知，2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加，故A正確；對于BD，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量分別為：2016年，；2017年，；2018年，；2019年，；2020年，；2021年，；2022年，，可知知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多，故B正確，D錯誤；對于C，由，即2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍，故C正確；故選：D5．設(shè)，，，則（

）．A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗∵，，令，則，，，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減.∵，∴，即.故選：D.6．已知某圓錐的軸截面是頂角為120°的等腰三角形，母線長為4，過圓錐軸的中點作與底面平行的截面，則截面與底面之間的幾何體的外接球的表面積為（

）A．64π B．96π C．112π D．144π〖答案〗C〖解析〗第一步：確定截面與底面之間的幾何體的結(jié)構(gòu)特征如圖，等腰三角形SAB是圓錐的軸截面，SE是圓錐的軸，截面圓、底面圓的半徑之比為1：2．設(shè)截面圓、底面圓的半徑分別為r，2r，因為軸截面是頂角為120°的等腰三角形，母線長為4，且由題意知截面與底面之間的部分為圓臺，所以圓臺的高為，，．第二步：求外接球的半徑易知球心在直線SE上，設(shè)圓臺外接球的半徑為R，球心到圓臺下底面的距離為x，若球心在圓臺兩底面之間，如圖點M的位置，則，無解；若圓臺兩底面在球心同側(cè)，則球心在如圖點O的位置，，解得，則，第三步：求外接球的表面積則該圓臺外接球的表面積為.故選：C．7．已知是雙曲線的左，右焦點，點在上，是線段上點，若，則當(dāng)面積最大時，雙曲線的方程是（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗如圖所示設(shè)，，，，則，，在中由余弦定理得①，在中由余弦定理得②，得③，在中由余弦定理得④，③④聯(lián)立消去得，因為，當(dāng)面積最大時即最大，由均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，取得最大值，此時由④解得，所以，所以，即為直角三角形，且，所以在中，解得，由雙曲線的性質(zhì)可得，解得，所以雙曲線的方程為，故選：C.8．在信息時代，信號處理是非常關(guān)鍵的技術(shù)，而信號處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù).函數(shù)的圖象可以近似的模擬某種信號的波形，則下列判斷中不正確的是（

）A．函數(shù)為周期函數(shù)，且為其一個周期B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最大值為4.〖答案〗A〖解析〗依題意，A選項，，所以不是的周期，A選項錯誤.B選項，，，所以，所以的圖象關(guān)于點對稱，B選項正確.C選項，..所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，C選項正確.D選項，，由于，所以，且，所以的最大值是，D選項正確.故選：A.9．設(shè)函數(shù)①若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是②若方程有四個不同的實根，，，，則的取值范圍是③若方程有四個不同的實根，則的取值范圍是④方程的不同實根的個數(shù)只能是1，2，3，6四個結(jié)論中，正確的結(jié)論個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4〖答案〗B〖解析〗對于①：作出的圖像如下：若方程有四個不同的實根，，，，則，不妨設(shè)，則，是方程的兩個不等的實數(shù)根，，是方程的兩個不等的實數(shù)根，所以，，所以，所以，所以，故①正確；對于②：由上可知，，，且，所以，所以，，所以，所以，故②錯誤；對于③：方程的實數(shù)根的個數(shù)，即為函數(shù)與的交點個數(shù)，因為恒過坐標(biāo)原點，當(dāng)時，有3個交點，當(dāng)時最多2個交點，所以，當(dāng)與相切時，設(shè)切點為，即，所以，解得，所以，所以，所以當(dāng)與相切時，即時，此時有4個交點，若有4個實數(shù)根，即有4個交點，當(dāng)時由圖可知只有3個交點，當(dāng)時，令，，則，則當(dāng)時，即單調(diào)遞增，當(dāng)時，即單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值即最大值，，又及對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長趨勢可知，當(dāng)無限大時，即在和內(nèi)各有一個零點，即有5個實數(shù)根，故③錯誤；對于④：，所以，所以或，由圖可知，當(dāng)時，的交點個數(shù)為2，當(dāng)，0時，的交點個數(shù)為3，當(dāng)時，的交點個數(shù)為4，當(dāng)時，的交點個數(shù)為1，所以若時，則，交點的個數(shù)為個，若時，則，交點的個數(shù)為3個，若，則，交點有個，若且時，則且，交點有個，若，交點有1個，綜上所述，交點可能有1，2，3，6個，即方程不同實數(shù)根1，2，3，6，故④正確；故選：B．第Ⅱ卷二?填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.13題和15題第一空2分，第二空3分，全部答對得5分.10．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_______．〖答案〗〖解析〗，故〖答案〗為：11．直線l：截圓的弦為，則的最小值為_____________.〖答案〗2〖解析〗對于直線l：，顯然過定點；對于圓：，配方后有：，圓心為，半徑為3，點A到圓心的距離為，所以A點在圓內(nèi)，當(dāng)A點為MN的中點時，最短，此時；故〖答案〗為：2.12．將中國古代四大名著——《紅樓夢》《西游記》《水滸傳》《三國演義》，以及《詩經(jīng)》等12本書按照如圖所示的方式擺放，其中四大名著要求放在一起，且必須豎放，《詩經(jīng)》《楚辭》《呂氏春秋》要求橫放，若這12本書中7本豎放5本橫放，則不同的擺放方法共有___________種.〖答案〗691200〖解析〗除了四大名著和《詩經(jīng)》《楚辭》《呂氏春秋》這7本書以外，從其余5本書中選取3本和四大名著一起豎放，四大名著要求放在一起，則豎放的7本書有種方法，還剩5本書橫放，有種方法，故不同的擺放方法種數(shù)為.故〖答案〗為：69120013．設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為．假定兩位同學(xué)每天到校情況相互獨立．用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的某周五天中7：30之前到校的天數(shù)，則______，記“上學(xué)期間的某周的五天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)恰好多3天”為事件M，則______．〖答案〗

〖解析〗由題意知，它的分布列為，k＝0，1，2，3，4，5，所以．設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的五天中7：30之前到校的天數(shù)為Y，則，它的分布列為，且事件，又事件，，之間互斥，且X與Y相互獨立，所以．故〖答案〗為：；.14．若各項均為正數(shù)的有窮數(shù)列滿足，（（）,則滿足不等式的正整數(shù)的最大值為_______．〖答案〗109〖解析〗因為，所以，，，所以，故=，因為，所以，則，要使不等式成立，只要即可，而，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，又因，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以，所以正整數(shù)，即正整數(shù)的最大值為109．故〖答案〗為：109．15．在梯形中，與相交于點Q．若，則________；若，N為線段延長線上的動點，則的最小值為_________．〖答案〗

〖解析〗因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以且，則可設(shè)，故，因為共線，所以，解得，所以，因為，所以，所以；因為，所以，所以，又，所以，因為，所以，如圖以點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，故，則，當(dāng)時，取得最小值.故〖答案〗為：；.三、解答題（本題共5小題，共75分）16．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，點D是BC的中點，求AD的取值范圍．解：（1）因為，所以．因為，，所以．因為，所以．因為，所以，所以．（2）因為點D是BC的中點，所以，所以，所以．因為，所以．因為，所以，所以．17．如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，是棱的中點.（1）證明：平面平面.（2）若，求二面角的余弦值的取值范圍.（1）證明：因為三棱柱為直三棱柱，所以，因為為等邊三角形，且D