北京市2024屆“極光杯”高三年級(jí)上冊(cè)線上測(cè)試（二）數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

北京市2024屆“極光杯”高三上學(xué)期線上測(cè)試(二)數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.若2=sin'+icos巴，貝!Jz3=()

33

A.1B.-1C.iD.-i

2.設(shè)｛g｝是公差不為0的等差數(shù)列，的，%，%。成等比數(shù)列，則乎二()

511

A.3B.—C.—D.2

25

3.已知正方體4SCD-4與。0],平面/耳。與平面44QQ的交線為/，貝0()

A.I//AXDB.I〃B】DC.I//CXDD.I//DXD

4.若函數(shù)〃。=/4+(2/1).2工有最小值,貝卜的取值范圍是()

A.陷B.(0,1]C.&,+-D.(,+j

5.設(shè)(sinx+cosx)(siny+2cosj^)(sinz+3cosz)=10,貝|()

兀兀—兀兀

A.—<x<y<zB.—=x<y<zC.—>x>y>zD.—=x>y>z

4444

6.向量3,B滿足⑸=1,5+瓦1+2司=30。，則mi的取值范圍是()

A.—1,V2+1]B.[5/3—1,yfj+1]C.[V5—1,V5+1]D.[V6—1,>/6+1]

7.暗箱中有編號(hào)為1,2的2個(gè)球，現(xiàn)從中隨機(jī)摸1個(gè)球，若摸到2號(hào)球，則得2分，

并停止摸球；若摸到1號(hào)球，則得1分，并將此球放回，重新摸球.記摸球停止時(shí)總得

分為X,則E(X)=()

A.3B.4C.5D.6

二、多選題

8.對(duì)于數(shù)集A,B,它們的Descartes積/x3=｛(x,y)Ixe/jeB｝，則()

A.AxB=BxAIi.若N=C,則(4xB)u(Cx3)

C.Zx(8nC)=(ZxB)n(/xC)I).集合｛0｝xR表示了軸所在直線

E.集合NxN表示正方形區(qū)域(含邊界)

9.已知直線y=笈(x-l)經(jīng)過(guò)拋物線C:r=2px5>0)的焦點(diǎn)歹，與。交于M,N兩點(diǎn),

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

與C的準(zhǔn)線交于尸點(diǎn)，若I前1,1祝向,1麗I成等差數(shù)列，則()

A.。=2B.FP=NFC.FN=3MFD.左=百E.\PN\=S

10.存在定義域?yàn)镽的函數(shù)，(x)滿足()

A./(x)是增函數(shù)，/'"(無(wú))］也是增函數(shù)

B./(x)是減函數(shù)，/"(x)］也是減函數(shù)

C.對(duì)任意的aeR,/(a)wa,但/［/(x)］=x

D.是奇函數(shù)，但力“X)］是偶函數(shù)

E.的導(dǎo)函數(shù)/'(尤)的定義域也是R,且。/Xx)］=-尤

三、填空題

11.曲線y=J二二在點(diǎn)［aw)處的切線方程是

12.寫出一個(gè)正整數(shù)〃>1,使得(次+申］的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)：.

13.設(shè)雙曲線C:/-E=l(a>。)的左、右焦點(diǎn)分別為瓦耳，|片用=6,點(diǎn)P在C的右

a

支上，當(dāng)尸大，尸月時(shí)，I尸用?〔尸閭=當(dāng)尸運(yùn)動(dòng)時(shí),11\PF,\的最小值

為.

14.已知某圓臺(tái)的側(cè)面是一個(gè)圓環(huán)被圓心角為90。的扇形所截得的扇環(huán)，且圓臺(tái)的側(cè)面

積為2兀，則該圓臺(tái)體積的取值范圍是.

四、解答題

15.在中，sin[/+2]sin(3+W]=cos/cosB.

⑴求C;

⑵若AB=6,，求的最小值.

16.己知數(shù)列｛?！埃偷停凉M足Sina,*1=sin°"+cosbn,cosbn+l=cosbn-sinan.

2222

(1)證明：sinaII+l+cosZ??+1=2(sin+cosbn)；

(2)是否存在生力，使得數(shù)列卜in2a“+cos*J是等比數(shù)列？說(shuō)明理由.

17.設(shè)a>0,函數(shù)/(x)=x"Inx.

(1)討論〃x)的單調(diào)性;

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

(2)若/(x)Vx,求。的取值范圍；

⑶若/'(x)Wl,求心

18.己知二面角0-/-6，點(diǎn)Pe4P與棱/的距離為內(nèi)，與半平面用所在平面的距

離為3.

(1)求二面角a-l-13的余弦值；

(2)設(shè)43e/,/8=l,動(dòng)點(diǎn)。在半平面力所在平面上，滿足尸。=5.

(i)求。運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度；

(ii)求四面體尸-048體積的最大可能值.

19.設(shè)離散型隨機(jī)變量X和￥有相同的可能取值，它們的分布列分別為P(X=aJ=Z，

P(y=%)="，Z>0，">0,"=1,2,…,〃,￡4=￡九=1?指標(biāo)D(Xl|y)可用來(lái)刻

k=\k=\

畫x和y的相似程度，其定義為。(xHy)=\>*in^.設(shè)X?3(〃,p),o<p<i.

*=1yk

⑴若T?即,社0<”1,求0(X117)；

(2)若〃=2,尸(y=左一i)=g#=i,2,3,求。(xllr)的最小值；

(3)對(duì)任意與X有相同可能取值的隨機(jī)變量y,證明：D(xl|y)20,并指出取等號(hào)的充

要條件

20.(1)如圖1,點(diǎn)/在直線/外，僅利用圓規(guī)和無(wú)刻度直尺，作直線48〃/(保留作

圖痕跡，不需說(shuō)明作圖步驟).

(2)證明：一簇平行直線被橢圓所截弦的中點(diǎn)的軌跡是一條線段(不含端點(diǎn))；

(3)如圖2是一個(gè)橢圓C,僅利用圓規(guī)和無(wú)刻度直尺，作出。的兩個(gè)焦點(diǎn)，簡(jiǎn)要說(shuō)明

作圖步驟.

，點(diǎn)尸eS,且對(duì)于S中任何異于尸的

點(diǎn)°,都有方.而>0.

22

(1)證明：尸在橢圓L+匕=1上；

1612

(2)求尸的坐標(biāo)；

22

⑶設(shè)橢圓亮的焦點(diǎn)為耳占證明：

+a=1AAPFX=AAPF2.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

參考公式：(ad-bcy+(ac+bd)2=(a2+b2)(^2+d2).

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角表示的運(yùn)算求解即可.

【詳解】^siriy+icos=(cos,+isin詈=cos13x,+isin(3x胃=i.

故選：C

2.B

【分析】根據(jù)題意可得a：=%?%()，運(yùn)算可得q=o,再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)可求得知,出得解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,d不0,由題意可得嗎。，

即(%+3d)~=(%+1)(%+9d),解得a/=0,又dwO,

a,=0,貝Ia”=q+10〃=101,a5-4d,

an_104_5

a54d2,

故選：B.

3.A

【分析】由面面平行的性質(zhì)可判斷.

【詳解】如圖，在正方體/BCD-44GA中，

???平面BCC.BJ/平面ADDH,BtC=平面3CC4c平面ABtC,

平面/8Cn平面4DA4=/,；.///耳C.

對(duì)于A,■：AxDHBiC,：.IIIAXD,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)槠?。與8c相交，所以/與耳。不平行，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)榕c8。不平行，所以/與CQ不平行，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)椤?與8。不平行，所以/與。2不平行，故D錯(cuò)誤；

故選：A.

答案第1頁(yè)，共18頁(yè)

【分析】設(shè)m=2，，將/(x)轉(zhuǎn)化為關(guān)于g(機(jī))的函數(shù)，討論開(kāi)口方向與對(duì)稱軸判斷即可.

【詳解】設(shè)加=23則機(jī)>0,f(x)=g(m)=t-m1+(2t-\)-m,(加>0)有最小值.

當(dāng)/<0時(shí)，二次函數(shù)g(M開(kāi)口向下，無(wú)最小值；

當(dāng)/=0時(shí)，g(〃?)=-加無(wú)最小值；

當(dāng)"0時(shí)，若g(M在(0,+動(dòng)上有最小值，贓(寸稱軸-〒〉0,解得0</<g.

故選：A

5.D

【分析】根據(jù)輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的值域、正切函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】sinx+cosx=￡s;,in[x+：卜

因?yàn)?所以當(dāng)x+￡=5時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)x=：

71

siny+2cosy=6sin(y+a/式,其中tana=2aG0,

||ITTT

因?yàn)閥e0,5,所以當(dāng)y+時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)y=一a；

sinz+3cosz=J5"sin(2+/7)<jfo",其中tan/?=3^/?

因?yàn)樗援?dāng)z+/?='時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)z=]-￡；

H(sinx+cosx)(siny+2cosv)(sinz+3cosz)<V2x75xV10=10,

所以當(dāng)且僅當(dāng)x=:,=z=]-p時(shí)取等號(hào),

答案第2頁(yè)，共18頁(yè)

因?yàn)閠ana=21ae[o,Ij],tan戶=31尸,

所以有

所以戶>a>四，即一夕〈一a<-女二巴一￡<—a<--=>z<y<,

4422244

故選：D

6.B

【分析】在平面直角坐標(biāo)系中，令3=(1,0),4=(1/),利用向量的夾角公式建立方程，再求

出方程所對(duì)曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離即得.

【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，不妨令1=(1,0),a=(x,y),則M+B=(x+l,y),a+2b=(x+2,y)，

,一一,…(a+b)-(a+2b)(%+1)(%+2)+?2

由〈"“+26〉=3。。，得33。E商2印

J(X+1)2+J2.+1)2+y22

2

整理得4[(x+l)(x+2)+y2]2=3[(x+療+/1?+1)+/],

即Kx+l)(x+2)+/『=3y2,于是(1+l)(x+2)+/=V3|y|,

顯然方程(x+l)(x+2)+/=63對(duì)應(yīng)曲線關(guān)于1軸對(duì)稱,不妨令j；>0,

則方程化為(》++2+3一當(dāng)2=1320),表示以點(diǎn)C(_|,1)為圓心，1為半徑的圓在x

軸及上方部分，

百

y=------X

點(diǎn)C到原點(diǎn)。的距離|OC|=G,直線OC:y=-，x3

由，「消去〉得:

32z.32[

(%+])+(j^-—)=1

4

—x7+4x+2=0,

3

416

顯然A=42-4乂§*2=§>0,即直線OC與圓。的兩個(gè)交點(diǎn)分別為(國(guó),%),(%，%)，

有玉十工2<0,演工2>°，即有11<0/2<0，從而,>°，J2>0，

因此直線OC與曲線(X+1)2+3-$2=1(7>0)交于兩點(diǎn)，

而@3+3?,則⑷1n=6-1,@皿口。1+1=6+1

所以㈤的取值范圍是[百-1,6+1].

故選：B

答案第3頁(yè)，共18頁(yè)

7.A

【分析】根據(jù)題意可得X的可能取值為2,3,4,5...,〃，求出對(duì)應(yīng)的概率并運(yùn)算得E(X).

【詳解】由題意可得X的可能取值為2,3,4,5…小

尸(X=2)=g,P(JV=3)=|x|=l,尸(x=4)=g,...,尸(X=〃)=擊,

，()：：

EX=2X+3X(+4X+L+(?-1)XTTT+?XT7T??

則爾X)=2x—+3x*4x*L+(〃-l)x擊+一￡,②

①一②得，；E(X)=1+>U+L

即得E(X)=3-5一.當(dāng)+8時(shí),E(X卜3.

故選：A.

8.BCDE

【分析】根據(jù)新定義逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】由題知，

Nx3={(尤,y)Ixe/je3}表示數(shù)集A中的數(shù)表示橫坐標(biāo)，

數(shù)集B中的數(shù)表示縱坐標(biāo)，組成的點(diǎn)的全體，

故AxBwBxA,A錯(cuò)；

若』UC,則(NxRuCxB),B正確；

/x(2cC)={(x,y)|xwe(8cC)},

(NxB)c(/xC)={(x,y)卜eB卜{,y^&A,y&C},

貝!|/*(加。)=(/'8加(八。)，c正確；

集合{0}xR表示y軸所在直線，D正確；

集合/義工表示正方形區(qū)域(含邊界)，E正確.

故選：BCDE

9.ABCE

【分析】由直線過(guò)焦點(diǎn)尸可求出拋物線C的解析式，然后利用數(shù)型結(jié)合及拋物線定義逐項(xiàng)

判斷即可求解.

【詳解】由題知直線y=MxT)過(guò)定點(diǎn)(1,0)且經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)尸，得尸(1,0),所以0=2,

答案第4頁(yè)，共18頁(yè)

拋物線C方程：y2=4x,

根據(jù)題意作出圖形NT，準(zhǔn)線并交準(zhǔn)線于7,MS,準(zhǔn)線且交準(zhǔn)線于S,如圖所示.

對(duì)A：上述求解0=2,故A正確；

對(duì)B、C：由|西4|兩,|兩成等差數(shù)列，所以2師|=兩+|前1=1兩所以匹卜;兩，

且由質(zhì),研兩成等差數(shù)列，西+|砌+網(wǎng)=|阿得網(wǎng)=/阿，|啊=:網(wǎng),

所以|西+|可可=歷=；網(wǎng)，故B正確，兩=3|西，故C正確；

對(duì)D：由B、C及拋物線定義知|NT|=|NF|=

所以在RMPNT中，|NT|=g|NP|,所以NTPN=,所以/尸尸5=］，

此時(shí)斜率左=tang=百，又考慮到拋物線的對(duì)稱性當(dāng)斜率上=-6時(shí)也成立，故D錯(cuò)誤.

對(duì)E：由B、C、D知點(diǎn)尸為NP的中點(diǎn)，且焦距。=2,所以|N7|=4,得|八叼=8,故E正

確.

故選：ABCE.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與相交有關(guān)的向量問(wèn)題的解決方法

在解決直線與圓錐曲線相交，所得弦端點(diǎn)的有關(guān)的向量問(wèn)題時(shí)，一般需利用相應(yīng)的知識(shí)，將

該關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段滿足的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求解.

10.AC

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)的定義求解.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，/(x)是增函數(shù)，片/。)］也是增函數(shù)，則A

正確；

對(duì)于B,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，是減函數(shù)，/"(x)］也是增函數(shù)，則B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,令〃尤)=-x+2,則片〃初=一(r+2)+2=x,即存在定義域?yàn)镽函數(shù)

答案第5頁(yè)，共18頁(yè)

/（x）=-x+2滿足題意，則C正確;

對(duì)于D,由/"）是奇函數(shù)，令g（x）=/"（x）],

則g(r)=/[/(-x)]=/[-/(%)]=-/[/(x)]=-g(x),即/[/(x)]為奇函數(shù)，則D錯(cuò)誤;

對(duì)于E,令=則其反函數(shù)為無(wú)=廣（）,

由/[/（切—可知〃。=-廣（），即〃x）=-尸⑺，則函數(shù)不存在，則E錯(cuò)誤;

故選：AC.

【點(diǎn)睛】解決抽象函數(shù)的問(wèn)題可以通過(guò)舉一些常見(jiàn)的初等函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題.

11.4%+4》一5=0

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.

1

【詳解】y=Vi-xy=

所以曲線y在點(diǎn)處的切線的斜率為一鼻門

所以方程為了-；=-6-；|=a+卬-5=0,

故答案為：4x+4y-5=0

12.5（答案不唯一）

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)即可得出結(jié)論.

【詳解】由題知,

要使展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，只需空色=0有解,

6

又正整數(shù)〃〉1,Q<k<n,

則2n=5k,

所以不妨令〃=5,則左=2.

故答案為：5（答案不唯一）

9

13.16-/4.5

2

【分析】根據(jù)勾股定理和雙曲線定義求解可得|尸耳卜|尸閶；利用定義消元，然后由對(duì)勾函數(shù)

答案第6頁(yè)，共18頁(yè)

求解可得.

【詳解】由題知，0=廳=1=20，|尸閶"，

當(dāng)尸片，尸用時(shí)，|助『+戶用2=36,

由定義知，|尸耳|一戶用=2，則|尸司2+|尸乃『一2|尸/訃|尸國(guó)=4,

所以36-2閥|慳|=4,得|尸耳卜|尸鳥|=16；

\1PF\11I+1---r=2+1IPT^I1+1---：

\PF2\-\PF2\'

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)|尸乙|=2時(shí)，I尸月|+必取得最小值

所以I尸團(tuán)+焉的最小值為

|明2

、Q

故答案為：16；

2

【分析】先利用圓臺(tái)的側(cè)面積公式及弧長(zhǎng)公式可得/=和/=4&-44，進(jìn)而得出

火2+人1

用-吊=;,結(jié)合圖形利用勾股定理得出圓臺(tái)的高；再根據(jù)臺(tái)體的體積公式計(jì)算圓臺(tái)的體

積；最后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可求出答案.

【詳解】圓臺(tái)及側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，

答案第7頁(yè)，共18頁(yè)

設(shè)圓臺(tái)上底面為圓。I，半徑為4,下底面為圓。2,半徑為此，圓臺(tái)母線為/.

I2

由圓臺(tái)的側(cè)面積為2兀，可得：（2叫+2咽）x7=2兀，整理可得：/=萬(wàn)丁彳.

2八2十八1

興=2碼

由側(cè)面展開(kāi)是圓心角為90。的扇形所截得的扇環(huán)，可得：,整理可得:

'[+/）=2*

l=4R2-4R..

所以圓臺(tái)的高力=J/2—（g—?）2=后（氏2一4）

所以圓臺(tái)體積P=兀R；+兀R；.兀&）.〃

=，兀R；+欣；+咽&），卜

=字（葉+闿+凡此）?（凡一6）.

21

由；和，=4為一4K可得：R"R；='.

&2+%2

因?yàn)?>4>0,

所以凡+招>].

AV2

s*x—7?2+火],x>2，

為一」

124x

則

x1

凡n=一+——

224%

3

所以憶=一x

8

答案第8頁(yè)，共18頁(yè)

令〃x)=3x+—，X>g

22

因?yàn)?3(2X+1)(2X-1)

/，W=3-

4747

i/2

所以函數(shù)/(x)=3x+*在+“上單調(diào)遞增,

4X乙

貝IJ/(%)>/m=2板.

\7

所以憶〉匹LX20,即憶>必近.

2412

則該圓臺(tái)體積的取值范圍是

、

故答案為:,+8.

7

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查圓臺(tái)的側(cè)面積及體積等相關(guān)量的計(jì)算.解題關(guān)鍵在于結(jié)合圓臺(tái)

及側(cè)面展開(kāi)圖找到相關(guān)幾何關(guān)系，列出關(guān)系式，表示出體積；難點(diǎn)在于求體積的取值范圍,

需要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.

/、3兀

15.⑴彳

(2)-V2+1

【分析】(1)根據(jù)兩角和正弦余弦公式化簡(jiǎn)可得sin(Z+5)=cos(/+5),再根據(jù)誘導(dǎo)公式化

簡(jiǎn)可得;

(2)由余弦定理求出時(shí)的取值范圍后即可求出.

【詳解】(1)因?yàn)閟in1/+：卜in[B+：[=cos/cosB

所以*sinA+*cesA行.V2)

----sin8H------cos5=cos/cos5

22J

(sinA+cos(sin+cos=cos/cos5,

即sinAcosB+cosAs\nB=cosAcos5-sinsinB

即sin(4+B)=cos(/+B),

因?yàn)?5。是入4BC的內(nèi)角，所以sinC=—cosC,即tanC=—1,

答案第9頁(yè)，共18頁(yè)

3兀

所以C=g

4

(2)在“3C中，cosC=a+"2=_變,

2ab2

得/+"=-缶6+2，因?yàn)椤?是的邊長(zhǎng)

所以r+b2>2ab，所以—yjlab+2>lab，

即0<MV2-逐

———5

因?yàn)镃4-C8=而cosC=------ab，

2

所以EL而e[-拒+1,0),

所以百?赤的最小值為-逝+1.

16.(1)證明見(jiàn)解析

(2)不存在，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)兩式平方相加，由同角三角函數(shù)平方關(guān)系可得；

(2)假設(shè)存在，等比數(shù)列各項(xiàng)均不為0,則由通項(xiàng)公式與三角函數(shù)有界性可推出矛盾.

222

【詳解】(1)由題意得,sinan+l=sinan+cos+2sinancosbn,

222

cosbn+l=cosbn+sinan-2sinancosbn,

2222

兩式相加得，sinan+x+cosbn+l=2(sinan+cosbn),得證.

(2)若sir?%+cos?4=0,則數(shù)列｛sin?+cos2"｝不是等比數(shù)列；

若sin2A]+cos2耳=nt>Q,

假設(shè)存在4,4,使得數(shù)列｛sin?%+cos2^｝是等比數(shù)列.

222222

由(1)結(jié)論得，sinan+l+cosbn+l=2(sinan+cosbn),sinan+cosbn>0,

?22i

則SHT,M+COS=2,故數(shù)列｛sin?%+cos?”｝是公比為2的等比數(shù)列，

k7

sinan+cosbn

22n-1

則sinan+cosbn=m-2,

2Z

但當(dāng)〃>2-log?m時(shí),sin?%+cosbn>m-2?"2=機(jī)?2喻皿=2，

由|sina〃區(qū)l,|cos6“區(qū)1,貝！Jsin?a,+cos?6“V2,產(chǎn)生矛盾，

答案第10頁(yè)，共18頁(yè)

22

故不存在生，4，數(shù)列｛sinan+cosb?｝是等比數(shù)列.

17.(1)/*)在單調(diào)遞減，在卜工,+8]單調(diào)遞增

(2)(0,1-e-1]

(3)fl=1

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=xilnx,分類討論與結(jié)合(1)中結(jié)論即可得解；

(3)構(gòu)造函數(shù)以x)=/'(x),利用導(dǎo)數(shù)分類討論。的取值范圍，結(jié)合〃(x)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)?(x)=>lnx的定義域?yàn)?0,+8),a>0,

貝!1f(x)=ax"-'Inx+xa~'=xa~'(aIn.x+1),

令"x)<0,得o<x</；令/'(x)>0,得工>小；

所以/(%)在0,e：?jiǎn)握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

k)k)

(2)因?yàn)閤〉0,所以等價(jià)于％”-"nxVl,

i己函數(shù)g(x)=x"TInx,

當(dāng)時(shí)，g(e2)=2e2(a-1)>l,不合題意；

當(dāng)0<a<l時(shí)，由(1)知g(x)4ge?=-~—<1,解得ae；

I)—

綜上，a的取值范圍是

(3)記函數(shù)〃(x)=/'(X)=i(aIn%+1),

貝U/(%)=x"-2[卜2_q)]nx+2q,

t[\\-1

若。=一,〃'(％)=--x2lnx,

24

令h\x)>0,得0<%v1；令h\x)<0,得x〉1；

〃(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減,故砥符合題意；

答案第11頁(yè)，共18頁(yè)

<1A.f

若a"。,,，當(dāng)e/2^<x<i時(shí)，^)<0,則3)在單調(diào)遞減，

(\-la\

故〃>A(1)=1,不合題意；

\7

若當(dāng)［<x<e罷時(shí)，"⑴>°，則g)在丫修［單調(diào)遞增，

(l-2a\

故打卜工］>〃⑴=1,不合題意；

若。€［1,+8),當(dāng)尤>1時(shí)，h'(X)>0,則以X)在(1,+8)單調(diào)遞增，

故3)>以1)=1,不合題意.

綜上，”

2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題：

1.通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)，從而得出不等關(guān)系；

2.利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系;

3.適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；

4.構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

18.或一^1

1313

/c、,\16兀_p.87t/\c

(2)(1)-----或刀；(11)3

33

【分析】(1)作出圖形，利用數(shù)型結(jié)合及二面角知識(shí)即可求解.

(2)(i)作出。在，內(nèi)的平面運(yùn)動(dòng)軌跡圖，然后分類討論，從而求解.(ii)中點(diǎn)P到平面N8。

的距離為定值3,則只需求解凡2”的取值，又因=1為定值，即可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)。到直線/距

離，從而求解.

【詳解】(1)設(shè)P在/,月所在平面的射影分別為連接跖V,則=屈，PN=3,

PM1/

且尸N,平面尸，因?yàn)?u平面尸，所以/W_L/,因?yàn)镻McPN=P,巴/,川^=平面月，

所以//平面又因?yàn)榫臰U平面PAW,所以/_LMN,所以/尸兒W或其補(bǔ)角即為所求

二面角&-/-￡的平面角，

答案第12頁(yè)，共18頁(yè)

3352713

所以此二面角正弦值為，所以余弦值為士

岳一1313

故余弦值為?；蛞皇?

(2)(i)因?yàn)镻N_L￡,所以NQ=1PQ2-PN2=4,此時(shí)。在，平面內(nèi)的平面圖如下圖

①若。則以N為圓心，4為半徑的圓在尸中的部分是一段優(yōu)弧，

MN21TT

此時(shí)可知所對(duì)的劣弧角的一半設(shè)為0,貝|cose=w=w=]，得

4兀如

所以優(yōu)弧對(duì)應(yīng)圓心角為;，因此。的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為°八Tc“316兀.

32兀x_/vpx=---

2713

②若。右月，則以N為圓心，4為半徑的圓在月中的部分是一段劣弧，

2Tt

此時(shí)由①知劣弧對(duì)應(yīng)的圓心角為受，因此。的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為.23ZE8兀

3Z71XX--=——

“2713

(ii)四面體尸的體積/=其中〃=PN=3為尸到平面加8的距離，

S=g/8xd=，為的面積，d為。到直線/的距離，其在夕中的平面圖如下圖,

由(i)知若。e",則當(dāng)。N，/時(shí)，d取最大值6,止匕時(shí)％=：S〃=；x3xg=3；

112

若Q史。，則當(dāng)0N，/時(shí)，d取最大值2,止匕時(shí)％=；S"=；x3x]=l；

所以四面體尸-加3的最大值為3.

答案第13頁(yè)，共18頁(yè)

o

AIN

,p(l-q).1-p

19.(l)?^ln—----+nln----

q(i-p)i-g

3

(2)In3--In2

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)利用定義，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得解；

(2)利用定義，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則得到。(XH丫)關(guān)于。的關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求得其最

小值，從而得解；

(3)先利用導(dǎo)數(shù)證得恒不等式InxZl-工，從而結(jié)合定義即可得證.

X

【詳解】(1)不妨設(shè)4=3則Z=CR”0)T，H=C"(1F)"*

所以瞑⑺4c-4?黑普

?Ei""￡cR(i-p嚴(yán)

k=0

=ftpIn+”13

q(i-p)i-q

(2)當(dāng)〃=2時(shí)，P(X=2)=p2,p(x=l)=2p(l_p),P(X=0)=(l_p)2,

t己f(p)=O(X||y)=p2In3p2+2p(l_p)In6p(l-p)+(1—pfIn3(1-p￥

-p2Inp2+2p(l-P)In2p(\-/?)+(1-p)2ln(l-pf+ln3,

貝!J/'(p)=4plnp+2p+(2-4p)[ln2/>(1-/?)+1]-4(1-p)ln(l-°)-2(1-0

=2[lnp-ln(l-/?)+(1-2y?)In2],

令g(0)=lnp-ln(l-0)+(l-20)ln2,則g(p)」+J---21n2>0,

Pl-P

答案第14頁(yè)，共18頁(yè)

令。(0=,+7^--21n2,則夕'(p)=:匕1、2,

Pl-PP(1-P)

當(dāng)0<p<；時(shí)，吸p)<0,0(p)單調(diào)遞減；

當(dāng)g<p<l時(shí)，M(p)>0,9(P)單調(diào)遞增；

所以夕(p)>0［；］=4-21n2>0,則g(p)單調(diào)遞增，而g］￡|=0,

所以/'(。)在為負(fù)數(shù)，在tJ為正數(shù)，

則在。,單調(diào)遞減，在加單調(diào)遞增，

3

所以。(XIIY)的最小值為In3-：ln2.

11_r

(3)令/z(x)=lnx_x+l,貝=——1=------,

XX

當(dāng)0<x<l時(shí)，〃(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x〉l時(shí)，/z"(x)<0,〃(%)單調(diào)遞減;

所以M%)"⑴=0,即Inx-%+”0,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立，

則當(dāng)x>0時(shí)，InxWx—1,所以In—W----1,即Inx21—,

XXX

故。(XIIy)=Jx.ta^xkfl-J-yk)=￡4-^九=0,

k=\九k=l1Xk)k=lk=\k=\

當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有的人,/=為時(shí)等號(hào)成立.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是充分理解新定義指標(biāo)。(XHV),熟練掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算

法則即可得解.

20.(1)作圖見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)利用尺規(guī)作圖的方法即可得解；

(2)利用點(diǎn)差法，分類討論即可得解；

(3)熟悉掌握作圖方法，結(jié)合平面的性質(zhì)即可得解.

【詳解】(1)如圖，

答案第15頁(yè)，共18頁(yè)

A

22

（2）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使橢圓C的方程為=+與=1（。>6>0）.

ab

若該簇平行直線斜率不存在，它們被橢圓所截弦的中點(diǎn)均在無(wú)軸上,

因而軌跡是長(zhǎng)軸（不含左、右頂點(diǎn)）;

若該簇平行直線斜率存在且為左，與橢圓交于/（再,%）］（尤2，%）兩點(diǎn),

…減得，（…'T.>7=。,

結(jié)合f