2024年高考模擬數(shù)學(xué)試題與答案 (二)

數(shù)學(xué)試題

本試卷共5頁，總分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡

上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

已知集合力=（%卜＜=

1.=V4x-1,則"3=

1￡j_1

A.—00—B.C.D.-,4-00

24524

2.已知向量￡花滿足同=3,W=2,忸-4=2行，貝壯與B的夾角為

A兀3兀5兀

A.—C.—D.

2B-T4~6

3.已知某正六棱柱的所有棱長均為2,則該正六棱柱的外接球的表面積為

A.67iB.8兀C.16兀D.20兀

4.杭州第19屆亞運會火炬9月14日在浙江臺州傳遞，火炬?zhèn)鬟f路線以“和合臺州活力

城市”為主題，全長8公里.從和合公園出發(fā)，途經(jīng)臺州市圖書館、文化館、體育中心等

地標(biāo)建筑.假設(shè)某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙

不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有

A.288種B.360種C.480種D.504種

5.設(shè)a,尸是兩個不同的平面，a,力是兩條不同的直線，且“La,bu/3,貝I]

是的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

數(shù)學(xué)試題第1頁（共5頁）

若函數(shù)如一胃(0>o),G的值域為[-6,2],則①的取值范圍是

6.f(x)=2sinX嗚

510

4B.

?6T

555io

C.D.

6533T

已知，,貝

7.a=tan,b=tan—,0=U

27171

A.a<c<bB.c<a<b

C.a<b<cD.b<c<a

8.已知定義在R上的奇函數(shù)7'(x)滿足=,則對所有這樣的函數(shù),由

下列條件一定能得到/⑴=/(3)=/(9)的是

A.a=2B.a=3C.。=4D.a=5

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多個符

合題目要求。全不選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.在一次數(shù)學(xué)考試中，某班成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是

A.圖中所有小長方形的面積之和等于1B.中位數(shù)的估計值介于100和105之間

C.該班成績眾數(shù)的估計值為97.5D.該班成績的極差一定等于40

10.已知等差數(shù)列｛%｝中，為=；,公差為%=tana“，記為數(shù)列｛4｝的前"項和.

則下列說法正確的是

A.a=(-i)"

R1+(-if

B

-bx+b2+b3+---+bn=-----------

C若貝1。1+02+。3+—卜--Ji

D.若d“=b"S“,貝I4+4+&+…+-2?=一2"4+”兀

數(shù)學(xué)試題第2頁(共5頁)

11.已知圓C|：(x-l『+y2=i和圓。2：一+/一4》一4了+4=0,貝I

A.圓C?的半徑為4

B.》軸為圓G與C2的公切線

C.圓G與。2公共弦所在的直線方程為x+2y-l=0

D.圓G與C,上共有6個點到直線2x-y-2=0的距離為1

12.定義在R上的函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),對于任意實數(shù)x,都有)+e?，/(x)=0,

且滿足2〃x)+/'(x)=2,則

A.函數(shù)尸(無)=e"(x)為奇函數(shù)

B.不等式e"(x)-：<0的解集為(O,ln2)

C.若方程/(%)-(%-a)2=0有兩個根毛，巧，貝！

D.〃x)在(0/(0))處的切線方程為k4x

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.，-1)1+21的展開式中1的系數(shù)為▲.(用數(shù)字作答)

14.與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺的內(nèi)切球，若圓臺的上下底面半徑

為彳，々，且斗七=1,則它的內(nèi)切球的體積為▲.

15.已知等比數(shù)歹!]{%}滿足>0且%。2%+2的2+。2+%-。4=1，則％的取值范圍

是▲.

?2y2

16.斜率為1的直線與雙曲線E:二=i(a>0,6>0)交于兩點4?,點C是曲線E

ab2

上的一點，滿足ACMC和△O8C的重心分別為尸,。，。"的外心為R,

記直線OP,OQ,0?的斜率為左，k2,小，若左此幻=-8,則雙曲線E的離心率

為▲.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

設(shè)的三個內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為。，b,C,且C=工.

3

(1)若a+6=l,求c的最小值；

、A—B

(2)>|<cosA+cosB-cos-----的值.

數(shù)學(xué)試題第3頁(共5頁)

18.（12分）

如圖，多面體N3CAE廠中，四邊形48co為正方形，平面/3CD1平面4DE/，

EFIIAD,AF=AD=2,EF=\,CF=26，BE與CF交于點、M.

(1)若N是8尸中點，求證：AN1CF;

(2)求直線和平面/8E所成角的正弦值.

19.(12分)

已知數(shù)列｛g｝和也｝,其中｛g｝的前項和為，，且2%-S,

(1)分別求出數(shù)列｛?！埃鸵玻耐椆剑?/p>

(2)記7>5+巳+…+親，求證：北<3.

20.(12分)

設(shè)。，b為實數(shù),且a>0,函數(shù)/(*)=。尤-6111丫-1.

(1)討論〃力的單調(diào)性；

(2)設(shè)a=6=l,函數(shù)g(x)=^(x)，試問g(x)是否存在極小值點?若存在，求出g(x)

的極小值點；若不存在，請說明理由.

21.(12分)

為了了解高中學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間(無分鐘/每天)和他們的數(shù)學(xué)成績(了分)

的關(guān)系，某實驗小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)(表1).

i=\i=l

數(shù)學(xué)試題第4頁(共5頁)

(2)基于上述調(diào)查，某校提倡學(xué)生周末在校自主學(xué)習(xí).經(jīng)過一學(xué)期的實施后，抽樣

調(diào)查了220位學(xué)生.按照是否參與周未在校自主學(xué)習(xí)以及成績是否有進步統(tǒng)計，得到2x2

列聯(lián)表(表2).依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值a=0.001的獨立性檢驗，分析“周末在校自主

學(xué)習(xí)與成績進步”是否有關(guān).

表2

沒有進步有進步合計

參與周末在校自主學(xué)習(xí)35130165

未參與周末不在校自主學(xué)習(xí)253055

合計60160220

"占一號在一「)一「2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

i=l

a0.100.050.0100.0050.001

%a2.7063.8416.6357.87910.828

22.(12分)

已知拋物線C：『=2"(0<"5)上一點M縱坐標(biāo)為3,點M到焦點距離為5.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過點(1,0)作直線交C于A,B兩點,過點A,3分別作C的切線4與14與4

相交于點。，過點A作直線4垂直于4,過點B作直線/4垂直于12,4與L相交于點E,6、

4、h、。分別與X軸交于點P、Q、R、S.記△DP。、ADAB、AABE、的面積分

別為H、邑、邑、54.若岳邑=4s3s4，求直線AB的方程.

數(shù)學(xué)試題第5頁(共5頁)

數(shù)學(xué)試題參考答案

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.C2.B3.D4.C5.A6.D7.A8.C

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多個

選項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分。

9.ABC10.BCD11.BD12.AC

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

4萬3-亞A廠

13.-814.—15.工一,+8|16.百

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

(1)由余弦定理矢口c?=a2+b2-2“bcos(,.............1分

方法1：c2=/+Z/=(0+6)2-3ab+=；........3分

11

所以cN—,當(dāng)。=方=—時取等，止匕時為正三角形.........4分

22

故。的最小值為g................5分

力'Y去2：—ci^+—cib=Q2+(1—a)—a(l—a)

r2riJ1V11

—3a—3a+1—3ci--\—2一

所以,當(dāng)。=彳時取等.

22

故。的最小值為上

(2)方法1：因為4+5=乃—C=—

3

所以原式=cos4+cos

=cosA+COSZH-----sin4-cos

22

cosA-i-----sin/——cosA-------sin4=0

高三數(shù)學(xué)試題答案第1頁(共8頁)

27r

方法2：因為N+8=—C=,

A+BA-BA-B

原式=cos|+COS-cos------

22222

A+BA-B,A+B,A-BA+BA-B,A+B,A-BA-B

=cos-------cos---------sm--------sin-------Fcos------eos-------Fsin------sm-------cos------

222222222

cA+BA-BA-B

=2cos-------cos----------cos--------

222

A-BA-B

=2coscos---------cos--------

f22

A-BA-B八

=cos---------cos--------=0

22

4-B

綜上所述：cos/+cos3-cos2=0.

18.(12分)

(1)因為四邊形48c。為正方形,

所以48_LNO,

因為平面48C01平面/DE/7,平面48coe平面40跖=40,ABLAD,

所以481平面ADEF,....1分

又因為4Fu平面ADEF,

所以尸,

連接NC,貝U/C=2后，....2分

在A.ACF中，AF2+AC2=2?+(2V2)2=(2V3)2=CF2,

所以/P_L/C,

因為/尸_LNC,AB1AF,/3,/Cu平面/BCD,且/3c/C=/,

從而/F_L平面48cD,

又/Ou平面4BCD,.........3分

所以4F_L/O,

因為AF±AD,尸u平面2/尸，^AB^AF=A,

所以NZ>_L平面A4尸，....4分

又NNu平面氏4尸，

所以4D_L4V,

又因為8C,所以8C_L/N,

又N是BF中點、,AF=AB,所以尸，....5分

高三數(shù)學(xué)試題答案第2頁(共8頁)

因為BC工AN,BF,BCu平面BCEF,且BFcBC=B,

所以NN1平面BCE尸，

又因為CMu平面BCE產(chǎn)，

所以NN_LCM..........6分

(2)由(1)知，/尸_L平面/BCD,^.ABLAD,

以A為坐標(biāo)原點，分別以/B、AD,4尸所在的直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，....1分

則4(0,0,0)、3(2,0,0)、0(0,2,0)、￡(0,1,2),

則礪=(-2,1,2),刀=(2,0,0),荏=(0,1,2),

EF_\ME\_1-----2—?424

由五得,所以瓦?=分

ABCM~AEM'BC~\BM\"2W=§????3

244]

MD=????4夕》

所以MSO353，-3^

五?48=02x=0

設(shè)面/BE的法向量為〃=(x,y,z),由＜一得,y+2z=。'取片2,則

n-AE=0

〃=(0,2,-1),…?5分

設(shè)直線MD和平面ABE所成角為6,

高三數(shù)學(xué)試題答案第3頁(共8頁)

84

-+—

33275

貝（jsin0=cos<MD,n>\=????6分

1416165

Vl+4x—I---1---

999

所以直線MD和平面/BE所成角的正弦值為孚.

19.（12分）

（1）當(dāng)〃=1時，2〃]一H=24-4=2,所以4=2,????1分

時，2a〃—S〃=2①,

2%/T=2②，…?3分

①一②得（2a“—21）—6-％）=0,

即（2%-2%_J—4=0,a“=2a,’I’????4夕j-

所以｛4｝是以首項為2,公比為2的等比數(shù)列，所以。"=2",????5分

所以6“=1。82（2?！埃?1。82（22'）=10822向=〃+1；????6分

ehb、b，即（二,+*+…+③，分

（2）7；=-+—+---+—????1

a

ax%n

2/=：+,+…+④，?…3分

n-l\

1

④-③，得1=2+/+…1〃+122J〃+1

廣一亍=2+,

T

M-ln+1〃+3

=3—-----=3---------????5分

2r2〃

因為［￡f>0，&>°，所以北<3一?一6分

20.（12分）

（1）f,（x\=a--=—―,x>0,Q>0,

XX

當(dāng)6W0時，r（x）>0,〃x）在區(qū)間（0,+“）上單調(diào)遞增;

當(dāng)6>0,且寸，r（x）<0,單調(diào)遞減；

高三數(shù)學(xué)試題答案第4頁（共8頁）

當(dāng)時，r(x)>o,〃x)單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)6W0時，“X)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)6>0時，“X)在區(qū)間(0,?］上單調(diào)遞減，在區(qū)間+8)上單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)4=6=1時，g(x)=xf(x)=x2-xlnx-x,x>0,

故g'(x)=2x—lnx—2.

Oy_1

令/z(x)=2x-lnx-2,x>0,所以/(x)=-------,

當(dāng)時，人(X)單調(diào)遞減；

當(dāng)x4；,+ooj時，/zf(x)>0,單調(diào)遞增.

又MD=O,h=In2-1<0,h

故土?()?使得〃（尤o）=O.

當(dāng)尤e(0,尤0)時，/?(x)>0,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(x(),l)時，A(x)<0,g,(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(l,+oo)時，A(x)>0,g'(x)>0,g(無)單調(diào)遞增,

故g(無)存在極小值點，且極小值點為x=L

21.(12分)

，.、-30+40+50+60+70_

亍=等=87,又x,（i=1,2,3,…,5）的方差為:士（X,.-x）2=200,

55Z=1

■\yi-ygx,,-yt-5c-y22820-5x50x87

所以心1.07,

5x200

a=y-^x=87-1.07x50=33.5,故=1.07x+33.5,當(dāng)x=100時，y=140.5,

故預(yù)測每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間達到100分鐘時的數(shù)學(xué)成績?yōu)?40.5分.

(2)零假設(shè)為"。：學(xué)生周末在校自主學(xué)習(xí)與成績進步無關(guān).

根據(jù)數(shù)據(jù)，計算得到：

高三數(shù)學(xué)試題答案第5頁(共8頁)

2

2n(ad-bcY220x(25xl30-35x30)110

v=-----------------------=---------------------------------=-----?12.22,

(q+6)(c+d)(a+c)(6+d)165x55x60x1609

因為12.22>10.828,

所以依據(jù)c=0.001的獨立性檢驗，可以認為“周末自主學(xué)習(xí)與成績進步”有關(guān)

22.(12分)

9=2pt

(1)設(shè)M&3),由題意可得p,即丁+4=5,

?+—=52p2

解得P=1或。=9（舍去），所以拋物線C的方程為/=2x.

（2）如圖,

設(shè)經(jīng)過/（網(wǎng),弘），2（馬，/）兩點的直線方程為3：x=my+\（meR）,

與拋物線方程r=2x聯(lián)立可得y2=2my+2,

即丁-2加y-2=0,A=4m2+8>0

二%+%=2機，y/2=_2.

V=2尤，貝!]y=+>j2x,

,11

y=±_7T==一,

V2xy

，過點A作C的切線4方程為>=’（》-玉）+為=\+?,

必必2

令y=o,得x=-?,即尸,?,0；

同理，過點B作C的切線4方程為產(chǎn);x+三，

令k0,得》=-1，即《一9,o]

高三數(shù)學(xué)試題答案第6頁（共8頁）

,2

?-N=y-2

1必

y=——x+-地—1

必22

聯(lián)立兩直線方程,解得,即。（―1,加），

1%必+歹2

y=---X+y=—------=m

%22

-1-m-m-l|m2+2

則。到直線配的距離四.、一AB

y]m2+1\Jm2+1

又：過點A作直線4垂直于4,

3

直線4的方程