山東省濟(jì)南市2023-2024學(xué)年高二年級上冊期末考試數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用并使用完畢前

2024年1月高二期末學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁，22題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.直線x—y+i=°的傾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

2.已知雙曲線必一匕=1,則其漸近線方程為（）

2

[5

Ay=±—xB.y=±Y_%C.y=±42xD.y=±2x

22

3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，則%等于（）

A.2B.4C.5D.8

4.在三棱柱ABC-AqG中，若=AB=b?=c,則Cg：()

iiiiii

A.a+b—cB.a—b+cC.-a+b-cD.-a+b+c

5.2023年10月29日，“濟(jì)南泉城馬拉松”在濟(jì)南大明湖路拉開序幕，約3萬名選手共聚一堂，在金秋十月

享受了一場酣暢淋漓的馬拉松盛會(huì).某贊助商在沿途設(shè)置了10個(gè)飲水補(bǔ)給站，第一個(gè)補(bǔ)給站準(zhǔn)備了1千瓶

飲用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此類推，第n站比第n-1站多n千瓶

且〃eN*），第10站準(zhǔn)備的飲用水的數(shù)量為（）

A45千瓶B.50千瓶C.55千瓶D.60千瓶

6.已知A（2,0）,5（8,0）,若直線y=日上存在點(diǎn)M使得則實(shí)數(shù)上的取值范圍為（

3344

A.B.

4?4

22

7.已知雙曲線=-1=1（。>0,6>0）,其中A、工分別為雙曲線的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，尸為雙曲線上的點(diǎn),

ab

滿足Pg垂直于無軸且I伍|=2|PE|,則雙曲線的離心率為（）

,34

A.—B.—C.2D.3

23

8.如圖所示為正八面體的展開圖，該幾何體的8個(gè)表面都是邊長為1的等邊三角形，在該幾何體中，尸為

直線DE上的動(dòng)點(diǎn)，則尸到直線AB距離的最小值為（）

A逝R巫「幣V10

A.D.C.nU.-------

2345

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.一條光線從點(diǎn)A-2,3）射出，射向點(diǎn)3（1,0）,經(jīng)x軸反射后過點(diǎn)C（a』），則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線A2的斜率是-IB.AB1BC

C.a=3D.\AB\+\BC\=442

22

10.已知白，B分別是橢圓。：亳+汽=1的左，右焦點(diǎn)，尸為橢圓c上異于長軸端點(diǎn)A,8的動(dòng)點(diǎn)，則下

列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓C的焦距為6B.APg的周長為16

C.2<|P7^|<8D.APGB的面積的最大值為16

11.在棱長為1的正方體ABC?！猘/G。中，點(diǎn)尸，。分別滿足。下=九24，￡）Q=ZDA,則（）

A.32e（0,1）,使PQLAQ且

B.V2G（0,1）,PQ//平面A54A

C.32e（0,1）,使尸。與平面ABCD所成角正切值為:

D.V2e（0,l）,5F與AQ是異面直線

12.已知集合4=卜,=2九一1,“€?4*｝,5=｛x,=3"—2/eN"｝.將Au5的所有元素從小到大依次

排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛4｝,記用為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，則下列說法正確的是()

A.a2=3B.an+4-an=6C.tz2023=3035D.若S〃>2024,貝ij

n>52

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知a—(2,1,1),b=(-6,/I,—3)，若4〃6，則2的值為.

14.已知等差數(shù)列｛4｝首項(xiàng)q=7,公差d=—2,則前〃項(xiàng)和S”的最大值為.

15.已知圓。：/+/=4,直線/："a+y—m—1=0,直線/被圓C截得的最短弦長為.

16.已知拋物線C:=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)尸作與x軸不垂直的直線/交C于點(diǎn)A,B,過點(diǎn)A做垂直于

\AB\

x軸的直線交C于點(diǎn)。，若點(diǎn)M是△ABD的外心，則六六的值為_______.

\MF\

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知等差數(shù)列｛。.｝,滿足2a2+%=15,4=7.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵令勿=(-IVa.，求也｝前2〃項(xiàng)和&.

18.己知圓心為C圓經(jīng)過0(0,0),A倒,2⑹兩點(diǎn)，且圓心C在直線/：>=瓜上.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵點(diǎn)尸在圓C上運(yùn)動(dòng)，求的取值范圍.

19.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為1=-2,直線/與拋物線交于A3兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若Q4B為等腰直角三角形，求的面積；

(2)若。1,03,證明：直線/過定點(diǎn)P,并求出定點(diǎn)尸的坐標(biāo).

20.如圖(1)所示,上鉆中，AP±AB，AB=AP=12.分別為叢,出中點(diǎn).將△?DC沿。。

向平面ABCD上方翻折至圖⑵所示的位置，使得PA=642-連接PN，P&PC得到四棱錐P-ABCD.記

P3的中點(diǎn)為N,連接CN.

(1)證明：CN_L平面R45；

(2)點(diǎn)。在線段CN上且QC=2QN,連接AQ,PQ,求平面P4Q與平面A3CD的夾角的余弦值.

2

21.設(shè)數(shù)列｛4｝,其前〃項(xiàng)和為S“，2Sn=3n+3n,也｝為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，她&=729,

4+%=4-6?

(1)求數(shù)列｛4｝,｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)記％為也｝在區(qū)間(0,4“］何eN*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列｛cm｝的前100項(xiàng)和Tl00.

22.在平面直角坐標(biāo)系.xOy中，設(shè)A，4兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0).直線A/，4”相交于點(diǎn)

M,且它們的斜率之積是-1.

2

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線E,過P(L0)作兩條互相垂直的直線小4，4與曲線E交于A、2兩點(diǎn)，12

與曲線E交于C、。兩點(diǎn)，求AC-3D的最大值.

絕密★啟用并使用完畢前

2024年1月高二期末學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁，22題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.直線x—y+i=°的傾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)直線的一般方程與斜率的關(guān)系，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.

【詳解】直線x-y+l=0的斜率為1,故傾斜角為45°.

故選：B

2

2.已知雙曲線必—匕=1,則其漸近線方程為（）

2

【答案】C

【解析】

【分析】利用雙曲線方程，求解漸近線方程即可.

2

【詳解】由于雙曲線為爐―5=1,所以其漸近線方程為y=±0x.

故選：C.

3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，則%等于()

A.2B.4C.5D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】由題意易知的=0；=16，

又｛%｝各項(xiàng)為正數(shù)，所以%=4.

故選：B

4.在三棱柱ABC-4gG中，若AC=〃，AB=b,4^=。，則。4=()

iiiiii

A.a+b-cB.a-8+cC.-a+b-cD.-a+/?+c

【答案】D

【解析】

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】由題可知CB；=CCx+CB^A\+AB-AC=-a+b+c.

故選：D

5.2023年10月29日，“濟(jì)南泉城馬拉松”在濟(jì)南大明湖路拉開序幕，約3萬名選手共聚一堂，在金秋十月

享受了一場酣暢淋漓的馬拉松盛會(huì).某贊助商在沿途設(shè)置了10個(gè)飲水補(bǔ)給站，第一個(gè)補(bǔ)給站準(zhǔn)備了1千瓶

飲用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此類推，第n站比第n—1站多n千瓶

("22且〃eN*)，第10站準(zhǔn)備的飲用水的數(shù)量為()

A.45千瓶B.50千瓶C.55千瓶D.60千瓶

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)第九站的飲用水的數(shù)量為45=1,2,3,…,10),由題意得：4=1,出一%=2,%-。2=3，

L,aw-a9=10,然后利用累加法即可求解.

【詳解】設(shè)第九站的飲用水的數(shù)量為45=1,2,3,,10),由題意得：％=1,g―4=2,

%一g=3,L,aw-a9=10,以上等式相加得：，

1+（a,—a1）+（%—a,）++（q。-。9）=1+2+3++10=---------=55，

即q。=55.

故選：C

6.已知A（2,0）,3（8,0）,若直線y=依上存在點(diǎn)M使得用0-820=0，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為（

3344

A.B.

454

4

D.—,+oo

3

【答案】A

【解析】

【分析】由題可得點(diǎn)M軌跡方程，再由直線與圓有公共點(diǎn)建立不等式，求解即可.

【詳解】因?yàn)樗詣t點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上，

因?yàn)锳3的中點(diǎn)坐標(biāo)為（5,0）,|A@=6,所以點(diǎn)/的軌跡方程為（》-5）2+曠=9,

|5用33

由題可知，直線y=近與圓（》-5）2+產(chǎn)=9有公共點(diǎn)，所以吉上43,解得：—

ViTF44

故選：c

22

7.已知雙曲線-—與=1（。>0,6>0）,其中A、工分別為雙曲線的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，尸為雙曲線上的點(diǎn),

ab

滿足尸工垂直于X軸且|/閭=2歸可，則雙曲線的離心率為（）

..34

A.—B.—C.2D.3

23

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)P（c,%），代入雙曲線方程求出|為|，根據(jù)|9|=2］。6|可得答案.

22/2/2

【詳解】設(shè)尸（G%），則JT=1,解得尻|=￡_,即|尸閭=幺，|Ag|=a+c,

abaa

因?yàn)榕cI=2|尸耳］,所以4+（?=22，可得〃2+QC=2卜2-〃2）,

3

2e2-e-3=0>解得e=

故選：A.

8.如圖所示為正八面體的展開圖，該幾何體的8個(gè)表面都是邊長為1的等邊三角形，在該幾何體中，尸為

直線。E上的動(dòng)點(diǎn)，則P到直線AB距離的最小值為（）

A四V6「近A/W

A.DR.C.LNf.------

2345

【答案】B

【解析】

【分析】作出該幾何體，確定直線。E和直線為異面直線，再根據(jù)平面ABC//平面DEF,結(jié)合等體積

法求得D到平面ABC的距離即可.

【詳解】把平面展開圖還原為空間八面體，如圖所示：

由題意，P到直線AB距離的最小值即直線。產(chǎn)到直線AB的距離，

XDF//AC,ACu平面ABC,。尸平面ABC,故。歹〃平面ABC.

又BC=BD=EC=ED=1,故四邊形BCED為菱形，則。石〃BC.

5。u平面ABC,平面ABC,故DE//平面ABC.

又DFDE=D,DfDEu平面DEE,故平面。跖〃平面ABC.

故直線。產(chǎn)到直線AB的距離為平面DEF到平面ABC的距離.

則。到平面ABC的距離即為尸到直線A8距離的最小值.

設(shè)■與CD交于。，則易得。為正四棱錐3—AOFC中心.

則BA=BC=5D=AC=AO=1，CD=yjAC2+AD2=S/2=^BC2+BD2-故△BCD為直角三角

形，故也.

2

設(shè)￡>到平面ABC的距離為〃，則由％.ACO=%.ABC，故gs4CD-30=gsABC.鼠

—xlxlx^^=^-/z,解得h=揖-.

2243

故選：B

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.一條光線從點(diǎn)A-2,3)射出，射向點(diǎn)2(1,0),經(jīng)x軸反射后過點(diǎn)C(a,D,則下列結(jié)論正確的是()

A.直線A2的斜率是-IB.AB1BC

C.a=3D.|AB|+|BC|=4V2

【答案】ABD

【解析】

【分析】選項(xiàng)A應(yīng)用斜率公式計(jì)算即可；選項(xiàng)B,先求得點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，進(jìn)而求得反射光線所在

直線的斜率，應(yīng)用兩條直線垂直的斜率公式判斷即可；選項(xiàng)C,求得反射光線所在直線的方程，進(jìn)而求得點(diǎn)

C的坐標(biāo)；選項(xiàng)D應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.

,0-3,

【詳解】由于4-2,3)、8(1,0),由斜率公式得：k==-1,選項(xiàng)A正確；

AB1-(-2)

點(diǎn)4-2,3)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)人的坐標(biāo)為(-2,-3),經(jīng)x軸反射后直線BC的斜率為：

0-(-3)

kBc=kA、B=、且即C?AB=T，所以AB15C，選項(xiàng)B正確；

1一(一2)

直線即直線48的方程為：y—0=lx(x—1),即y=x-l,

將y=l代入得：尤=2,所以點(diǎn)C(2,l),a=2,選項(xiàng)C不正確；

由兩點(diǎn)間距離公式得：

\AB\+\BC\=7[1-(-2)]2+(0-3)2+7(2-1)2+(1-0)2=4形，

選項(xiàng)D正確；

故選：ABD.

22

10.已知6，工分別是橢圓。：言+汽=1的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓c上異于長軸端點(diǎn)A,8的動(dòng)點(diǎn)，則下

列結(jié)論正確的是()

A.橢圓C的焦距為6B.的周長為16

C.2<|P^|<8D.△「￡區(qū)的面積的最大值為16

【答案】AB

【解析】

【分析】由橢圓方程求得a,b,。的值，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.

【詳解】由橢圓C:二+匕=1,得。=5,6=4,c=3,

2516

，橢圓C的焦距為2c=6,故A正確；

又P為橢圓C上異于長軸端點(diǎn)A,B的動(dòng)點(diǎn)，耳瑪?shù)闹荛L為2。+2c=16,故B正確；

2=a-c<\PFl\<a+c=8,故C錯(cuò)誤；

當(dāng)尸為橢圓C的短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，△。耳工的面積取最大值為gx2cxz7=bc=12,故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

11.在棱長為1的正方體—44中，點(diǎn)P,。分別滿足D]P=；LD]4,DQ=2D4>則（

A.32e（0,1）,使PQ_LAQ且

B.V2e（0,l）,PQ//平面ABB】A

C.m2e（0,1）,使尸。與平面ABCD所成角的正切值為：

D.V2G（0,1）,5F與AQ是異面直線

【答案】BCD

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量一一計(jì)算判定選項(xiàng)即可.

B

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,

根據(jù)題意可知P(441),。(4(U),A(1,0,1),^(0,0,1),5(1,1,0),A(l,0,0),

則。。=(0,一％彳一1)皿=(l,o,l)加=("L"l,l),AQ=(/l-1,0,2),

平面ABB^的一個(gè)法向量為m=（1,0,0）,平面ABCD的一個(gè)法向量為n=（0,0,1）,

對于A,若則PQ?必=（0,-4彳―1）-（1,0,1）=彳-1=0

=4=1生（0,1）,故A錯(cuò)誤；

對于B,易知。。?m=（0,-4彳一1>。,0,0）=0恒成立，且PQ<Z平面ABBiA，

則P。//平面A3旦A，故B正確；

對于C,設(shè)尸。與平面ABCD所成角為。0,］］）

2.2

若tan。=—=>sma=—=,

有39，

即."MP。,"［崗］亞宗7=庶'解之得人：或六3'

顯然三幾G（0,1）,使得結(jié)論成立，故C正確；

對于D,因?yàn)?P=（彳-1,彳-l』）,AQ=（X—l,0,X）,

4-1=左（4-1）

若5P,A。共線，則存在實(shí)數(shù)左，使得3P=kAQn<；l—l=Zrx0,解得4=1生（0,1）,

1=kA

所以V/LG（（U）,BP,A。不共線，故D正確.

故選：BCD

12.己知集合4=,卜=2〃—l,aeN*｝,3=卜k=3〃—27eN*｝.將AuB的所有元素從小到大依次

排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛%｝，記5“為數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和，則下列說法正確的是（）

A.a2—3B,an+4—an—6C.o2023=3035D,若Sn〉2024,貝ij

n>52

【答案】ABD

【解析】

【分析】求得AB,A5中的一些元素，結(jié)合等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式，對選項(xiàng)逐一判斷即

可.

【詳解】由題意可得：Ac3={xk=6〃-5,〃eN*},

可得AuB={l,3,4,5,7,9,10,11,13,15,16,17,19,},

則4=1,a2=3,%=4,%=5,%=7,%=9,%=1。,。8=1L,

對于選項(xiàng)A:易得。2=3,故A正確；

對于選項(xiàng)B:易得。葉4-4=6,故B正確；

對于選項(xiàng)C:由。〃+4-％=6,可得“2023=。3+505x6=4+3030=3034,故C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D:易得數(shù)列{4}每隔四個(gè)一組求和，可構(gòu)成等差數(shù)列，其首項(xiàng)為13,公差為24，

由13xl2+\12xllx24=1070<2024,

2

13xl3+-xl3xl2x24=2041>2024,貝|S”>2024,此時(shí)有〃之52,故D正確.

2”一

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是通過q=1,4=3,%=4%=5,%=7,g=9,%=1°，1=11，，，找到

。“+4-4=6，由此借助等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，進(jìn)而求解即可?

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知&=(2,1,1),Z?=(-6,Z,-3),若a〃6，則2的值為.

【答案】-3

【解析】

【分析】根據(jù)向量共線即可求解.

【詳解】由a=(2,1,1),b=(-6,A,—3),a//b,可得Z?=—3a，故X=—3,

故答案為：-3

14.已知等差數(shù)列{a,}首項(xiàng)q=7,公差d=—2,則前“項(xiàng)和S,的最大值為.

【答案】16

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列前九項(xiàng)和公式和，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】等差數(shù)列｛4｝首項(xiàng)6=7,公差d=—2,

2

Sn=ln+“。丁)x(-2)=-rr+8〃=-(n-4)+16.

則前幾項(xiàng)和S”的最大值為16.

故答案為：16.

15.己知圓。：/+/=4,直線/：7nx+y-機(jī)—1=0,直線/被圓C截得的最短弦長為.

【答案】272

【解析】

【分析】先求出直線/過定點(diǎn)4(1,1)，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)AC與故直線/垂直時(shí)，直線/被圓C截得的弦長最

短，求出最短弦長.

【詳解】/：7nx+y—7〃—1=0變形為"?%-1)+丁-1=0,故直線/過定點(diǎn)4(1,1),

故當(dāng)AC與故直線/垂直時(shí)，直線/被圓C截得的弦長最短，

其中。：/+,2=4的圓心為。(0,0),半徑為2,

此時(shí)弦長為2,4TAe『=20.

故答案：2日

16.已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為R過點(diǎn)F作與x軸不垂直的直線/交C于點(diǎn)A,B,過點(diǎn)A做垂直于

\AB\

x軸的直線交C于點(diǎn)若點(diǎn)M是△ABZ)的外心，則FT；的值為________.

\MF\

【答案】2

【解析】

【分析】設(shè)直線/：%=沖+1(機(jī)/0),聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求|4回以及點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知：拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)廠(1,0),可知直線/與拋物線必相交，

設(shè)直線/：x=7盯+l(mw0),,可得

聯(lián)立方程〈,,消去尤得/—4my—4=0,

b=4x

則%+%=4W=-4，

22

可得|AB|=Vl+mV16m+16=4（療+1）,

巧^=2相，且曰2=2療+1,即線段AB的中點(diǎn)（2療+1,2m），

則線段A3的中垂線方程為y-2m=-m（x-2m2-1）,

由題意可知：點(diǎn)M在％軸上，

令y=0,可得％=2加+3，BPM（2m2+3,0）,?|MF|=2（m2+1）,

（2）

所以\AB\="4m+l=

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于弦中點(diǎn)問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，在解決有關(guān)弦

中點(diǎn)、弦所在直線的斜率、弦中點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率問題時(shí)可簡化運(yùn)算，但要注意直線斜率是否存在.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.己知等差數(shù)列｛。〃｝,滿足2a2+%=15,%=7.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）令2=（一1）%”,求也｝的前2〃項(xiàng)和凡.

【答案】（1）=2/7-1

(2)T2n=2/1

【解析】

2（4+d）+〃]+4d=15

【分析】（1）由題意得《'一，代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解;

4+34=7

（2）由么=（—1）'（2"-1）,代入求和即可.

【小問1詳解】

2(%+d)+q+4d=15CL=1

由己知，得＜a,+3d=7'解譯d=2'故…T

【小問2詳解】

由(1)得％=(-1廠(2〃-1),

所以優(yōu)〃+=(-1)2"(4〃-1)+(-I)2"-1(4〃-3)=4〃-1—(4〃-3)=2,

得&=（4+仇）+（4+d）+-+（怎_1+砥）=2〃.

18.已知圓心為C的圓經(jīng)過0（0,0）,A（0,2道）兩點(diǎn)，且圓心C在直線/：＞=氐上.

（1）求圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵點(diǎn)尸在圓C上運(yùn)動(dòng)，求忸0「+|瓶「的取值范圍.

【答案】⑴（x—1『+卜一百『=4

（2）[8,24]

【解析】

【分析】（1）利用圓的對稱性先確定圓心，再求半徑即可；

（2）設(shè)P坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式及點(diǎn)在圓上消元轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域求范圍即可.

【小問1詳解】

圓經(jīng)過0（0,0）,4（0,26）兩點(diǎn)，得圓心在Q4的中垂線》=括上，

「\y=43x=1

又圓心C在直線/：＞=氐上，聯(lián)立直線方程有《「，得＜

y=6

又，=4,

故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—1）2+卜一=4.

【小問2詳解】

設(shè)〃（得，兀），易知飛4―L3],

則|尸0「+歸川2=考+尤+￥+（%—2百『=2焉+2卜0_6『+6（*），

因?yàn)辄c(diǎn)尸在圓C上運(yùn)動(dòng)，貝乂/—1）2+b0—百『=4,

故（*）式可化簡為，|PO『+|P4|2=2x：+2[4-（%-1門+6=4王）+12,

由尤oe[-l,3]^|PO|2+|PA|2的取值范圍為[8,24].

19.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2,直線/與拋物線交于A3兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若『。鉆為等腰直角三角形，求,。A3的面積；

（2）若。4,03,證明：直線/過定點(diǎn)P,并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】（1）64

（2）證明見解析，P（8,0）

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)準(zhǔn)線方程求得拋物線方程，再由拋物線及等腰直角三角形對稱性得NAOB=90，

OA=OB,從而求得A3坐標(biāo)計(jì)算面積即可；

（2）設(shè)直線/方程及A,3坐標(biāo)，與拋物線方程聯(lián)立，由垂直關(guān)系及韋達(dá)定理計(jì)算即可

【小問1詳解】

因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為x=-2,可得拋物線的方程為：V=8x,

又JL03為等腰直角三角形，

根據(jù)拋物線及等腰直角三角形對稱性可知：AAOB=90，OA=OB,

且兩點(diǎn)關(guān)于橫軸對稱，則直線OA:y=x.

y=x,、/、1

于是12得A（8,8）,則8（8,—8）,所以S.AB=—x8x（8+8）=64.

y-ox2

【小問2詳解】

設(shè)直線/：%=沖+",A（%，x）,B（x2,y2）,

x=my+n

聯(lián)立2.,

[y=8%

得/一8根>—8〃=0,A=64/找2+32〃>0，且%+%=8根，

又因?yàn)閯t左OA,eB=T^=—1，即%%+%%2=0.

2222

由/=8%,得％,%=&，xx=—=n2，

18281264

即％%+-8"=0，解得〃=8或〃=0（舍去）.

當(dāng)〃=8時(shí)，滿足A>0.此時(shí)，直線/的方程x=my+8.

則/過定點(diǎn)P（8,0）.

20.如圖（1）所示，,上鉆中，AP±AB，AB=AP=12.分別為尸4尸§中點(diǎn).將△PQC沿。C

向平面A3CD上方翻折至圖（2）所示的位置,使得PA=6?.連接PA,PC得到四棱錐P-ABCD.記

網(wǎng)的中點(diǎn)為N,連接CN.

（1）證明：CNL平面R43；

（2）點(diǎn)Q在線段CN上且QC=2QN,連接AQ,P。，求平面P4Q與平面A3CD的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵亞

19

【解析】

【分析】（1）根據(jù)空間中的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，結(jié)合線面垂直的判定即可求證，

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解平面的夾角.

【小問1詳解】

取4B中點(diǎn)M,連接M0,CM.

則CD//AM,CD=AM,即四邊形為平行四邊形，

所以CM〃AE>,

又因?yàn)锳BLAD,所以

由PD上CD,CD//AB,即

又ABLAD,PDcAD=D,PRADu平面

所以AB1平面PAD,又APu平面BLD,故ABLAP,

又因?yàn)镹M〃AP,則ABJ.2W,

又NMCM=M,NM,CMu平面NCM

所以A31平面NOW,又CNu平面NCM,所以QVLAB,

又在PCD中，PD=CD=6且PDLCD,

在一BQVf中，CM=5M=6且

則PC=BC=6A/5，又N為尸3中點(diǎn)，所以CN_LP5,

又ABcPB=B，平面R43,所以CNL平面？AB.

【小問2詳解】

由尸D=AD=6,AP=6①，則+=北2,

即PDLAZ）,又PDLCD,AD±CD,

故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA,DC,DP所在直線x分別為蒼％z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則尸(0,0,6),D(0,0,0),C(0,6,0),A(6,0,0),3(6,12,0),N(3,6,3),

..2?

故CN=(3,0,3),PA=(6,0,-6),因?yàn)镃Q==(2,0,2),

所以。(2,6,2),PQ=(2,6,—4),

設(shè)平面PAQ的法向量4=a，%,zj,平面ABCD的法向量%=(x2,y2,z2),

PA-n=-6zt=0

則取士=3,解得“=(3/,3),

PQn=2x1+6%—4Z1=0

易知DP,平面A3CD,即％=(0,0,1),

所以cos(〃|,〃2)=/-3f_=3^/1^,

\/71x71919

所以平面PAQ與平面A3CD的夾角的余弦值為之叵.

19

2

21.設(shè)數(shù)列｛4,｝,其前〃項(xiàng)和為S“，2Sn=3n+3n,他,｝為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，bQ2b3=729,

4+%="3-R?

(1)求數(shù)列｛4｝,｛〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)記c,“為也｝在區(qū)間(O,a,“](weN*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列&｝的前100項(xiàng)和加.

【答案】(1)an=3n,2=3"0?eN*)

(2)384

【解析】

【分析】⑴根據(jù)4總的關(guān)系即可求解=3”，根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解〃=3"(〃eN*),

(2)利用列舉法即可逐一求解｛7｝的前100項(xiàng)，即可求和得解.

【小問1詳解】

2

對于數(shù)列｛%｝,因?yàn)?Sn=3n+3n①，

所以2sM=35—1)2+35—1),n>2,〃eN*②

①-②得a“=3〃(“22,"?川)

由①式，當(dāng)〃=1時(shí)，得％=3,也滿足⑸=3〃,

所以aa=3〃("eN").

因?yàn)閿?shù)列也｝為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)得貼2&=尺=729,得2=9,

設(shè)數(shù)列｛勿｝的公比為4,又因?yàn)?=6，4=18,

91

所以4+4=4_。6即_+6=94—18,解得q=3或一金，

Q3

又因?yàn)椋?｝為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，所以4=3,

所以4=3"("eN*)

【小問2詳解】

由于下=3，32=9,33=27，34=81，3‘=243，36=729-

所以q,。2對應(yīng)的區(qū)間為(0,3],(0,6],則。=。2=1，即有2個(gè)1；

C4，…，8，C3482；

c3,。對應(yīng)的區(qū)間為(。,9],(0,12],…(0,24],則=。=，一=。