文科十推理與證明

第十三章推理與證明第一節(jié)合情推理與演繹推理題型169歸納推理例題13.1設函數f（x）＝，觀察：，根據以上事實，由歸納推理可得：當＿＿＿．14、例題13.2定義表示所有滿足的集合組成的有序集合對的個數．試探究，并歸納推得=_________.16．．例題13.3如圖，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1，2，3，4，5，6的橫縱坐標分別對應數列的前12項，如下表所示：按如此規(guī)律下去，則.15．1005例題13.4已知函數,若數列{am}滿足,且的前項和為,則=.15.8042例題13.5意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現有這樣一組數：1，1，2，3，5，8，13，…其中從第三個數起，每一個數都等于他前而兩個數的和．該數列是一個非常美麗、和諧的數列，有很多奇妙的屬性．比如：隨著數列項數的增加，前一項與后一項之比越逼近黃金分割0.6180339887…．人們稱該數列{an}為“斐波那契數列”．若把該數列{an}的每一項除以4所得的余數按相對應的順序組成新數列{bn}，在數列{bn}中第2014項的值是___3_____15、【KS5U答案】3解析：寫出前幾項數列的數，可以找出規(guī)律。例題13.6觀察下列等式：；；；；可以猜想出結論：訓練題1[2014·北京卷]學生的語文、數學成績均被評定為三個等級，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”．若學生甲的語文、數學成績都不低于學生乙，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學生甲比學生乙成績好”．如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好，并且不存在語文成績相同、數學成績也相同的兩位學生，那么這組學生最多有()A．2人B．3人C．4人D．5人B訓練題2[2014·福建卷]已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三個關系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一個正確，則100a＋10b＋c等于________．16．201訓練題3[2014·陜西卷]已知f(x)＝eq\f(x,1＋x)，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，則f2014(x)的表達式為________．14.eq\f(x,1＋2014x)訓練題4[2014·福建卷]若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四個關系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數組(a，b，c，d)的個數是________．15．6[解析]若①正確，則②③④不正確，可得b≠1不正確，即b＝1，與a＝1矛盾，故①不正確；若②正確，則①③④不正確，由④不正確，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得滿足條件的有序數組為a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4.若③正確，則①②④不正確，由④不正確，得d＝4；由②不正確，得b＝1，則滿足條件的有序數組為a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；若④正確，則①②③不正確，由②不正確，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得滿足條件的有序數組為a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；綜上所述，滿足條件的有序數組的個數為6.訓練題5[2014·新課標全國卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們三人去過同一城市．由此可判斷乙去過的城市為________．14．A訓練題6[2014·陜西卷]觀察分析下表中的數據：多面體面數(F)頂點數(V)棱數(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是________．14．F＋V－E＝2訓練題7向圓內隨機投擲一點，此點落在該圓的內接正邊形內的概率為，下列論斷正確的是A．隨著的增大，增大 B．隨著的增大，減小C．隨著的增大，先增大后減小 D．隨著的增大，先減小后增大 4．A訓練題8個連續(xù)自然數按規(guī)律排成下表，根據規(guī)律，2011到2013，箭頭的方向依次為（）A．↓→ B．→↓ C．↑→ D．→↑9.B訓練題9答案：題型170類比推理例題13.7觀察下列等式：，，，，………由以上等式推測到一個一般的結論：對于，．答案解析這是一種需類比推理方法破解的問題，結論由二項構成，第二項前有，二項指數分別為，因此對于，例題13.8（2013年上海市春季高考數學試卷(含答案)）36的所有正約數之和可按如下方法得到:因為,所以36的所有正約數之和為參照上述方法,可求得2000的所有正約數之和為________________________【答案】4836例題13.9將函數的圖象繞原點順時針旋轉后可得到雙曲線．據此類推得函數的圖象的焦距為．15.8例題13.10在平面上有如下命題：“為直線外的一點，則點在直線上的充要條件是：存在實數滿足，且”，我們把它稱為平面中三點共線定理，請嘗試類比此命題，給出空間中四點共面定理，應描述為：15．為平面外一點，則點在平面內的充要條件是：存在實數滿足且例題13.11已知命題：在平面直角坐標系中，的頂點和，頂點B在橢圓上，則（其中為橢圓的離心率）．試將該命題類比到雙曲線中，給出一個真命題：在平面直角坐標系中，的頂點和，頂點B在雙曲線上，則．例題13.12設S、V分別表示面積和體積，如△ABC面積用S△ABC表示，三棱錐O－ABC的體積用VO－ABC表示．對于命題：如果O是線段AB上一點，則|eq\o(OB,\s\up6(→))|·eq\o(OA,\s\up6(→))＋|eq\o(OA,\s\up6(→))|·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.將它類比到平面的情形是：若O是△ABC內一點，有S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OCA·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OBA·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.將它類比到空間的情形應該是：若O是三棱錐A－BCD內一點，則有__________________________．例題13.13在計算“”時，某同學學到了如下一種方法：先改寫第k項：由此得…相加，得類比上述方法，請你計算“”，其結果為．16、例題13.14設△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)；類比這個結論可知：四面體S－ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內切球的半徑為r，四面體S－ABC的體積為V，則r＝.15.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)訓練題1若成等差數列，則有等式成立，類比上述性質，相應地：若成等比數列，則有等式___成立。訓練題2已知中令就可以求出常數，即.請你研究其中蘊含的解題方法研究下列問題若，即，則=15.解：對兩邊求導：令x=0得：再兩邊求導：令x=0得：再兩邊求導：令x=0得：…猜想：所以，所以訓練題3先閱讀下面的材料：“求的值時，采用了如下方法：令，則有，兩邊同時平方，得，解得（負值舍去）．”————根據以上材料所蘊含的數學思想方法，可以求得函數的零點為________．15．．*15.解析：令，則．若，則，…，；反過來，若滿足，由于在上單調遞增，由反證法可知，必有．綜上可知，方程與同解，得（負值舍去）．訓練題4已知數列是正項等差數列，若，則數列也為等差數列.類比上述結論，已知數列是正項等比數列，若=，則數列{}也為等比數列.訓練題5我們知道無限循環(huán)小數，現探究。設，由可知，即，從而。則類比上述探究過程，用分數形式表示15、訓練題6數學家科拉茨在1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數，若它是偶數，則將它減半（即），若它是奇數，則將它乘3加1（即），不斷重復這樣的運算，經過有限步后，一定可以得到1。如初始正整數為，按照上述規(guī)則，我們得到一個數列：6,3,10,5,16,8,4,2,1。根據此猜想，如果對于正整數（首項），經過變換（注：1可以多次出現）后的第8項為1，則的所有可能的值為16、第二節(jié)證明題型171綜合法與分析法證明例題13.14例題13.15題型172反證法證明例題13.16其它訓練題訓練題1如圖1，在△OAB中，M是AB邊上的點，則eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(MB,AB)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(MA,AB)eq\o(OB,\s\up6(→))，類比到空間向量，如圖2，在四面體OABC中，M是△ABC內一點，那么下列結論正確的是 （D） A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(MB＋MC,MA＋MB＋MC)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(MC＋MA,MA＋MB＋MC)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(MA＋MB,MA＋MB＋MC)eq\o(OC,\s\up6(→)) B.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(BC,△ABC的周長)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(CA,△ABC的周長)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(AB,△ABC的周長)eq\o(OC,\s\up6(→)) C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(d1,d1＋d2＋d3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(d2,d1＋d2＋d3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(d3,d1＋d2＋d3)eq\o(OC,\s\up6(→))（其中d1、d2、d3分別表示M到BC、CA、AB的距離） D.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(S△MBC,S△ABC)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(S△MCA,S△ABC)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(S△MAB,S△ABC)eq\o(OC,\s\up6(→))訓練題2若為的各位數字之和，如，則記則=5訓練題3在含有3件次品的10件產品中，取出件產品，記表示取出的次品數，算得如下一組期望值：當n=1時，;當n=2時，;當n=3時，;……觀察以上結果，可以推測：若在含有件次品的件產品中，取出件產品，記表示取出的次品數，則=．訓練題4已知a＜b，則在下列的一段推理過程中，錯誤的推理步驟有③．（填上所有錯誤步驟的序號）∵a＜b，∴a+a＜b+a，即2a＜b+a，…①∴2a﹣2b＜b+a﹣2b，即2（a﹣b）＜a﹣b，…②∴2（a﹣b）?（a﹣b）＜（a﹣b）?（a﹣b），即2（a﹣b）2＜（a﹣b）2，…③∵（a﹣b）2＞0，∴可證得2＜1．…④訓練題5對一塊邊長為1的正方形進行如下操作:第一步,將它分割成3x3方格，接著用中心和四個角的5個小正方形，構成如圖①所示的幾何圖形，其面積；第二步,將圖①的5個小正方形中的每個小正方形都進行與第一步相同的操作,得到圖②;依此類推，到第?步,所得圖形的面積.若將以上操作類比推廣到棱長為1的正方體中，則(I)當n=1時,所得幾何體的體積V1=______.(II)到第n步時，所得幾何體的體積Vn=______.訓練題6現有一個關于平面圖形的命題：如圖，同一個平面內有兩個邊長都是a的正方形，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為．類比到空間，有兩個棱長均為a的正方體，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為訓練題7在行列矩陣中，記位于第行第列的數為。當時，45。解析：1+3+5+7+9+2+4+6+8=45訓練題8設V是全體平面向量構成的集合，若映射滿足：對任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意∈R，均有 則稱映射f具有性質P。 現給出如下映射： ① ② ③ 其中，具有性質P的映射的序號為________。（寫出所有具有性質P的映射的序號）【答案】①③訓練題9觀察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，則的末四位數字為 A．3125 B．5625 C．0625 D．8125【答案】D訓練題10設S是整數集Z的非空子集，如果有，則稱S關于數的乘法是封閉的．若T,V是Z的兩個不相交的非空子集，且有有，則下列結論恒成立的是 A．中至少有一個關于乘法是封閉的 B．中至多有一個關于乘法是封閉的 C．中有且只有一個關于乘法是封閉的 D．中每一個關于乘法都是封閉的【答案】A訓練題11在平面直角坐標系中，如果與都是整數，就稱點為整點， 下列命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號）.①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點②如果與都是無理數，則直線不經過任何整點③直線經過無窮多個整點，當且僅當經過兩個不同的整點④直線經過無窮多個整點的充分必要條件是：與都是有理數⑤存在恰經過一個整點的直線【答案】①，③，⑤訓練題12設函數,觀察:根據以上事實，由歸納推理可得：當且時，.【答案】訓練題13觀察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此規(guī)律，第個等式為?！敬鸢浮坑柧氼}14觀察下列各式：則A．28B．76C．123D．199【答案】C【命題立意】本題考查合情推理中的歸納推理以及遞推數列的通項公式?！窘馕觥康仁接颐娴臄禈嫵梢粋€數列1,3,4,7,11，數列的前兩項相加后面的項，即，所以可推出，選C.訓練題15正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AE＝BF＝.動點P從E出發(fā)沿直線喜愛那個F運動，每當碰到正方形的方向的邊時反彈，反彈時反射等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數為（A）16（B）14（C）12(D)10【答案】B【解析】結合已知中的點E,F的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關系，作圖，可以得到回到EA點時，需要碰撞14次即可.訓練題16我國古代數學名著《九章算術》中“開立圓術”曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.“開立圓術”相當于給出了已知球的體積，求其直徑的一個近似公式.人們還用過一些類似的近似公式.根據判斷，下列近似公式中最精確的一個是B．C．D．【答案】D【解析】訓練題17觀察下列不等式，……照此規(guī)律，第五個不等式為.【答案】.【解析】通過觀察易知第五個不等式為.訓練題18設N=2n（n∈N*，n≥2），將N個數x1,x2,…，xN依次放入編號為1,2，…，N的N個位置，得到排列P0=x1x2…xN.將該排列中分別位于奇數與偶數位置的數取出，并按原順序依次放入對應的前和后個位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個數，并對每段作C變換，得到；當2≤i≤n-2時，將Pi分成2i段，每段個數，并對每段C變換，得到Pi+1，例如，當N=8時，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置.（1）當N=16時，x7位于P2中的第___個位置；（2）當N=2n（n≥8）時，x173位于P4中的第___個位置.【答案】（1）6；（2）【解析】（1）當N=16時,,可設為,,即為,,即,x7位于P2中的第6個位置,；（2）方法同（1）,歸納推理知x173位于P4中的第個位置.【點評】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運算能力，考查創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學習中培養(yǎng)自己動腦的習慣，才可順利解決此類問題.訓練題19（Ⅰ）（Ⅱ）【答案】90，【解析】（Ⅰ）4位回文數只用排列前面兩位數字，后面數字就可以確定，但是第一位不能為0，有9（1~9）種情況，第二位有10（0~9）種情況，所以4位回文數有種。答案：90（Ⅱ）法一、由上面多組數據研究發(fā)現，2n+1位回文數和2n+2位回文數的個數相同，所以可以算出2n+2位回文數的個數。2n+2位回文數只用看前n+1位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面n項每項有10種情況，所以個數為.法二、可以看出2位數有9個回文數，3位數90個回文數。計算四位數的回文數是可以看出在2位數的中間添加成對的“00,11,22,……99”，因此四位數的回文數有90個按此規(guī)律推導,而當奇數位時，可以看成在偶數位的最中間添加0~9這十個數，因此,則.訓練題20某同學在一次研究性學習中發(fā)現，以下五個式子的值都等于同一個常數.（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°Ⅰ試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數Ⅱ根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發(fā)現推廣位三角恒等式，并證明你的結論.【答案】訓練題21若（），則在中，正數的個數是（）A、16B、72C、86D、100【答案】C【解析】由題意可知，===…==0，共14個，其余均為正數，故共有100-14=86個正數。訓練題22觀察下列事實|x|+|y|=1的不同整數解（x,y）的個數為4，|x|+|y|=2的不同整數解（x,y）的個數為8，|x|+|y|=3的不同整數解（x,y）的個數為12….則|x|+|y|=20的不同整數解（x，y）的個數為A.76B.80C.86