2024年高考數(shù)學(xué)：二次函數(shù)與字母參數(shù)的關(guān)系

高考復(fù)習(xí)材料

專題12二次函數(shù)與字母參數(shù)的關(guān)系

拋物線y=ax2+bx+c的圖象與字母系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系：

⑴a開口向上

(2)b左同右異

(3)c拋物線與y軸的交點位置

(4)a+b+c系列，當x=l時，y=ax2+bx+c=a+b+c的位置；

⑸判斷a與b的關(guān)系，看對稱軸；

(6)b2-4ac>0看拋物線與x軸交點個數(shù)；

(7)判斷a與c,b與c,先搭建一個有關(guān)a、b、c的平臺，再利用對稱軸找

到a與b的關(guān)系，替換掉不需要的字母，即出現(xiàn)目標。

(8)遇到新的參數(shù)比如：m(am+b)<a+b(m1),關(guān)注最值就行。

A.a>0,b>0,c>0B.a<0,b<0,c>0C.a>0,b<0,c<0D.a>0,b>0,c<0

【答案】D

【解題過程】試題解析：根據(jù)開口向上可判斷a>0,對稱軸在y軸左側(cè)可判斷b>0,與y

軸交于負半軸可判斷c<0,

故選D.

2.在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列說法正確的是

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A.abc<0,b2-4ac>0B.abc>0,b2-4ac>0

C.abc<0,b2-4ac<0D.abc>0,b2-4ac<0

【答案】B

【解題過程】解：根據(jù)二次函數(shù)的圖象知：拋物線開口向上，則a>0,

拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則x=-3>0,所以b<0,

2a

拋物線交y軸于負半軸，則c<o,.^">0,

?.?拋物線與x軸有兩個不同的交點，.?.△=b2-4ac>0,故選B.

【我思故我在】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟知拋物線的開口方向確定a的

符號，結(jié)合對稱軸可確定b的符號，根據(jù)與y軸交點確定c的符號，與x軸交點的個數(shù)確定

b2-4ac的符號是解題的關(guān)鍵.

3.已知二次函數(shù)y=a/+6x+c（aN0）,圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點（-2,0）,

對稱軸為直線x=-；,下列結(jié)論正確的是（）

1

A.abc<0B.am?+bm<-(a-2b)

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C.a+b+c>QD.若/(西,弘)和％)均在該函數(shù)圖象上,

且再>無2>1，則

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線與x軸的一個交點(-2,0)以及其對稱軸，求出拋物線與x軸的另一個交

點(1,0),利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再根據(jù)拋物線開口朝下，可得。<0,進而可得

6<0,c>0,再結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐條判斷即可.

【解題過程】解：???拋物線的對稱軸為直線x=-g,且拋物線與x軸的一個交點坐標為

(-2,0),

拋物線與x軸的另一個坐標為(1,0),

把(-2,0),(1,0)代入y=ax2+bx+c(aw0),可得：

4a-2b+c=0

a+b+c=0

b=a

解得

c=-2a

/.a+b+c=a+a-2a=0,故C錯誤；

???拋物線開口方向向下，

Q<0,

.:b=a<0,c=-2a>0,

.:abc>0,故A錯誤；

?/am2+bm=am2+am=a(m+-^)2,

一(Q-2b)——(a—2Q)——a,

444

11

am2+bm-—(a-2b)=a(m+—)2,

又a<0,

2

am+~I<0,

,1

即am+bmS—(Q-2b),故B正確；

4

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???拋物線的對稱軸為直線X=-g,且拋物線開口朝下，

...可知二次函數(shù)，在時，V隨X的增大而減小，

,1

-：Xl>X2>\>--,

?,?%<%,故D錯誤，故選：B

【我思故我在】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系等知識,

掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.

4.已知，二次函數(shù)j=ox2+bx+c圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

①46c<0；②2。+6=0；③4〃+26+c>0；@a+b>m（am+b）（其中，加為任意實

數(shù)）；⑤（a+cpV^

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】D

【分析】由圖像可知，a>0,c>0,根據(jù)對稱軸在拋物線的右側(cè)可得b>0,即可得；根據(jù)

對稱軸為x=l得-3=1,即可得；當x=0時丁>。，即當x=2時，y>0,即可得

4a+2b+c>0,即可判斷；當x=l時,y有最大值：a+b+c，所以當、=加時，y=am2+bm+c,

即a+6+c>am2+bm+Ci進行計算即可得；當x=T時，V<。，a-b+c<0,^b>a+c,

即可得（。+。）2<〃，綜上，即可得.

【解題過程】解：由圖像可知，a>0,c>0,

???對稱軸在拋物線的右側(cè)，

：.b>0,

即abc>0,

故結(jié)論①正確；

??,對稱軸為％=1,

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即2Q+6=0,

故結(jié)論②正確；

???當x=0時，

???歹>0,

，當x=2時，V>0,

即4〃+2b+c>0,

故結(jié)論③正確；

,?,當x=l時，y有最大值：a+b+c,

.?.當x=m時，y-am2+6加+c,

即。+b+c2am2+bm+c,

a+b>m(am+b),

故結(jié)論④正確；

當了=一1時，y<0,

-,-a-b+c<0,

即6>Q+C,

(Q+c)2<b2,

故結(jié)論⑤正確；

綜上，①②③④⑤正確，正確的個數(shù)為5個，

故選：D.

【我思故我在】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖像和性

質(zhì).

5.如圖，拋物線y=ax2+6x+c(“N0)的對稱軸為直線x=l,與x軸的一個交點坐標為(-1,

0),其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：?4ac<b\②方程ax2+bx+c=0的兩個根是

網(wǎng)=-1,%=3；③2a+6=0；(4)abc>0；⑤當x<0時，y隨x增大而增大，其中結(jié)論正確

的個數(shù)是().

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A.5個B.4個C.3個D.2個

【答案】B

【分析】由拋物線與x軸的交點個數(shù)可對①進行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x

軸的一個交點坐標為（3,0）,則可對②進行判斷；由對稱軸方程得到b=-2a,即可得到

2a+b=0,則可對③進行判斷；由拋物線的位置可對④進行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對⑤

進行判斷.

【解題過程】解：由圖象可知：

拋物線的對稱軸為直線x=l,

而點（-1,0）關(guān)于直線x=l的對稱點的坐標為（3,0）,

二方程ax?+6x+c=0的兩個根是再=-1,馬=3,故②正確；

故△=/-4ac>0,即44c</,故①正確；

vx=--=1,即b=-2a,

2a

.,.2a+b=0,故③正確；

???拋物線開口向下，

.,?a<0,

???對稱軸在y軸的右側(cè)，

b

?,*-->0,

2a

/.b>0,

??,拋物線交y軸的正半軸，

?,?abc<0,故④錯誤；

???拋物線的對稱軸為直線x=l,

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???當xVl時，y隨x增大而增大，故⑤正確.

綜上，①②③⑤共4個正確.

故選：C.

【我思故我在】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)》="2+隊+。

（awO）,二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁>0時，拋物線向上開口；當a<

。時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同

號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0）,對稱軸在y軸右；常數(shù)

項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0,c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決

定：A=〃-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點；A=〃_4ac=0時，拋物線與x軸有1個

交點；A="-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.

6.二次函數(shù)y=。無2+6x+c圖象如圖所示，下列結(jié)論：①/-4m>0；②2a+6=0；③

abc>Q-,④辦2+H+c-3=0有兩個相等的實數(shù)根，其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行判斷即可.

【解題過程】解：根據(jù)拋物線的開口朝下可知：a<Q,

根據(jù)對稱軸是1：x————=：1,得到：2a+b=0,b>0,

2a

與y軸交于正半軸：c>0,

與x軸有兩個交點：b2-4ac>0,

頂點坐標：（1,3）,ax?+6x+c-3=0有兩個相等的實數(shù)根.

綜上：b2-4ac>0,2a+b=0,abc<0,"?+樂+￡；-3=0有兩個相等的實數(shù)根.

正確的是：①②④，共3個.

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故選：C.

【我思故我在】本題考查二次函數(shù)圖像和系數(shù)之間的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合的思想可以快速的解決此類問題.

7.如圖，二次函數(shù)>="2+云+°(。*0)的圖像經(jīng)過點4(-2,0),5(4,0),與y軸交于點

C.則以下結(jié)論：

①ac>0；

②6=-2a；

③a+6<an2+bn;

④當x<0時，了隨x的增大而減少；

⑤若方程a無2+bx+c=〃?沒有實數(shù)根，則機<c-a.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是()

C.4個D.5個

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的開口方向與y軸的交點可判斷①；利用拋物線的對稱軸直線對稱軸

判斷②；利用拋物線的對稱軸為》=三上=1,拋物線開口向上，可得到拋物線的最小值,

進而可判斷結(jié)論③；利用拋物線的增減性可判斷④；利用一元二次方程的判別式結(jié)合

6=-2a即可求解⑤.

【解題過程】對于①：二次函數(shù)開口向上，故a>0,與y軸的交點在y的負半軸，故c<

0,故ac<0,因此①錯誤；

對于②：二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A(-2,0)、B(4,0),由對稱性可知，其對稱軸

為：x=W巴=1，又對稱軸直線為工=-二，所以-3=1,所以因此b=-2a,故②正確；

22a2a

_9+4

對于③：???拋物線的對稱軸為X=，一=1,拋物線開口向上，

.,.當x=l時，y最小=a+6+c,

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'?a+b+c<an2+6〃+c,

貝!Ia+bWan2+bn

???因此③正確；

對于④：???拋物線的對稱軸為X=l,拋物線開口向上，

.?.當X<1時，y隨x的增大而減少，

則有當x<0時，y隨x的增大而減少，故④正確；

對于⑤：???若方程"2+/+°=??沒有實數(shù)根，

:.、=廿-4a(c-w)=(-2a)2-4a(c-m)<0,

解得加<c-a,故⑤正確；

??.正確的有②③④⑤，

故選：C.

【我思故我在】本題考查了二次函數(shù)的圖象與其系數(shù)的關(guān)系及二次函數(shù)的對稱性，熟練掌握

二次函數(shù)的圖象性質(zhì)是解決此類題的關(guān)鍵.

8.已知二次函數(shù)>=辦2+及+。(4w0)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①〃bc〈O；

②2a-b<0；③a+b+c=O；@b2=Aac；⑤方程分之+反+。=0的兩個根是一3和1；

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象，逐一進行判定即可.

【解題過程】解：由圖象可知：

開口朝上：Q0；

對稱軸為：x=---=-1

2a

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b=2a>0,2a-b=0；

與歹軸交于負半軸：c<0；

與x軸有兩個交點：b2-4ac>0；

與X軸交于（1,0）,故：a+b+c=o；根據(jù)對稱性：與X軸的另一個交點為：（-3,0）；

綜上：abc<Q,①正確；

2a—b=0,②錯誤；

a+b+c=0,③正確；

b2>4ac,④錯誤；

方程辦°+6x+c=0的兩個根是-3和1,⑤正確;

a+b+c=0,b=2a,故：3a+c=0,⑥錯誤；

綜上分析可知，正確的有3個，故A正確.

故選：A.

【我思故我在】本題考查二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系.熟練掌握二次函數(shù)的

性質(zhì)，從圖象中挖掘有效信息是解題的關(guān)鍵.

9.如圖是二次函數(shù)》=如2+加+,圖象的一部分，其對稱軸是直線x=-l,且過點（-3,

0）,下列說法：①a6c<0；②2a-6=0；③4a+26+c<0；④若（-5,竺），（-1,以）是

拋物線上兩點，則乃</，其中說法正確的是（）

C,①②④D.②③④

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線開口方向得到a>0,根據(jù)拋物線的對稱軸得b=2a>0,則2a-b=0,

則可對②進行判斷；根據(jù)拋物線與y軸的交點在x軸下方得到c<0,則abc<0,于是可對

①進行判斷；由于x=2時，y>0,則得到4a+2b+c>0,則可對③進行判斷；通過點

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（-5,%）和點（g,y2）離對稱軸的遠近對④進行判斷.

【解題過程】解：???拋物線開口向上，

.*.a>0,

???拋物線對稱軸為直線x=-3=-1,

??.b=2a>0,則2a-b=0,所以②正確；

,??拋物線與y軸的交點在x軸下方，

.,.c<0,

?e?abc<0,所以①正確；

???x=2時，y>0,

.?.4a+2b+c>0,所以③錯誤；

?.?點（-5,%）離對稱軸要比點（I"，力）離對稱軸要遠，

.5>%,所以④錯誤.

故選:A.

【我思故我在】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，二次函數(shù)y=ax2+6x+c（axO）,二

次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的

位置:當a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0）,對稱軸在y

軸右.（簡稱:左同右異），拋物線與y軸交于（0,c）.熟練掌握二次函數(shù)的各項系數(shù)與對

稱軸的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

10.已知二次函數(shù)y=辦?+6x+c的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：（1）abc>0；

②a-6+c<0；③4a+2b+c>0；④2a=6；⑤3a+c<0其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

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【分析】由拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，可確定。<0,O0.再根據(jù)對稱軸是直

線x=l,即x=-3=l,可確定6=-2°>0,從而可判斷①④；根據(jù)當x=T時，y=0即

2a

可判斷②；根據(jù)當x=2時，>>0,即可判斷③；由a-6+c=0,b=-2a,即可判斷

⑤.

【解題過程】解：???拋物線開口向下，與了軸交于正半軸，

:.a<0fc>0.

???對稱軸是直線X=1,

?.?Jrv__A_iJL,

2a

b--2a>0,

abc<0f故①④錯誤；

???當x=—1時，尸0.

:.a-b+c=0,故②錯誤；

,當％=2時，y>0,

:.4a+2b+c>0,故③正確；

a—Z?+c—0,b——2。

a+2a+c=0.

：.3a+c-0,故⑤錯誤.

綜上可知正確結(jié)論的個數(shù)是1個.

故選A.

【我思故我在】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是求解本題

的關(guān)鍵.

11.如圖，已知二次函數(shù)了=。/+加+以。20)的圖象如圖所示，其對稱軸為直線x=l,以

下4個結(jié)論：①abc<0；(2)(a+c)2<b2；③4a+26+c>0；@a+b<m(am+b')

的實數(shù)).其中正確結(jié)論的有()

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A.3個B.4個C.2個D.1個

【答案】A

【分析】由拋物線開口向下得到a<0；由拋物線的對稱軸為直線x=-3=l得到b>0；由

2a

拋物線與y軸的交點在X軸的上方得到c>0,則abc<0；觀察圖象得到當x=-l時，y<0,

即a-b+cVO；當x=2時，y>0,即4a+2b+c>0；根據(jù)二次函數(shù)的最值問題得到x=l時，y有

最大值a+b+c,則a+b+c>am2+bm+c(mwl),變形得到a+b>m(am+b).

【解題過程】解：???拋物線開口向下，

.，?a<0；

???拋物線的對稱軸為直線x=-3=l,

/.b>0；

???拋物線與y軸的交點在x軸的上方，

.,.c>0,

.,.abc<0,所以①正確；

當x=-l時，y<0,即a-b+c<0,

當x=l時，y>0,BPa+b+c>0,

???(a-b+c)(a+b+c)<0

(a+C)?—<0

(a+cP<b2

所以②正確；

當x=2時，y>0,即4a+2b+c>0,所以③正確；

???拋物線的對稱軸為直線x=l,

.”=1時,y有最大值a+b+c,

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.,.a+b+c>am2+bm+c(m^l),

.,.a+b>m(am+b),所以④錯誤.

故選：A.

【我思故我在】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a/0)的圖

象為一條拋物線，當a<0,拋物線的開口向下，當x=-§時，函數(shù)值最大；拋物線與y軸

的交點坐標為(0,C).

12.如圖所示的二次函數(shù)y=a/+6x+c的圖象中，劉星同學(xué)觀察得出了下面四條信息：(1)

(4)a+b+c<0.你認為其中錯誤的有()

C.4個D.1個

【分析】由拋物線與x軸交點情況判斷與。的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c

與工的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及a的范圍推理2a-b的符號，根據(jù)當x=l的函數(shù)值判斷

a+b+c的符號.

【解題過程】解：(1)根據(jù)圖示知，該函數(shù)圖象與x軸有兩個交點,

A=Z?2-4ac>0；

故本選項正確；

(2)由圖象知，該函數(shù)圖象與y軸的交點在點(0,1)以下，

c<1;故本選項錯誤；

(3)由圖示，知對稱軸為=-3>-1；又函數(shù)圖象的開口方向向下,

2a

a<0,

***—b<—2a,即2a—6<0,

故本選項正確;

(4)根據(jù)圖示可知，當x=L即kq+b+c<0,

???a+b+c<0；故本選項正確；