2022-2023學(xué)年四川省成都市雙流區(qū)永安中學(xué)高二下學(xué)期零模模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市雙流區(qū)永安中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期零模模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1、〖答案〗前、務(wù)必將自己的姓名、考籍號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2、答選擇題時(shí)，務(wù)必使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).3、答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將〖答案〗書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4、所有題目必須在答題卡上作答，在試卷上答題無效.5、考試結(jié)束后，只將答題卡交回.第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意：，，所以；故選：C.2.已知函數(shù)，則（）A.5 B.3 C.2 D.1〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，所?故選：B.3.在某次歷史考試中，在A，B兩班各選取5位同學(xué)分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，A，B兩班5位同學(xué)平均數(shù)分別為a或b，則a，b的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.a，b的大小關(guān)系不能確定〖答案〗C〖解析〗A：；B：．所以，故選：C．4.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.－ B.2 C.5 D.8〖答案〗C〖解析〗畫出可行域如圖所示，由解得，設(shè)A(1,2)，則目標(biāo)函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)時(shí)在y軸上的截距最大，所以在點(diǎn)A(1,2)處取得最大值，最大值為.故選：C.5.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)?，所以，則，所以漸近線方程為.故選：C.6.已知圓和直線，則圓心C到直線l的最大距離為（）A.1 B.2 C.3 D.〖答案〗A〖解析〗由直線l得：，則直線l恒過定點(diǎn)，由圓，則圓心，故圓心C到直線l的最大距離.故選：A.7.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由函數(shù)，可得，令，可得，解得.故選：A.8.在中，a、b分別是角A、B所對(duì)的邊，條件“”是使“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗如果，根據(jù)三角形的性質(zhì)：大邊對(duì)大角，則有，對(duì)于余弦函數(shù)，當(dāng)時(shí)是減函數(shù)，，，即“”是“”的充分條件；如果，在時(shí)是減函數(shù)，，由三角形的性質(zhì)：大邊對(duì)大角可知，“”是“”的必要條件；即“”是“”的充要條件；故選：C.9.我國(guó)明朝數(shù)學(xué)家程大位著的《算法統(tǒng)宗》里有一道聞名世界的題目：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭(zhēng)，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾??？”如圖所示的程序框圖反映了對(duì)此題的一個(gè)求解算法，則輸出的的值為（）A.25 B.45 C.55 D.75〖答案〗D〖解析〗執(zhí)行程序框圖：，，，，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，退出循環(huán)，輸出.故選：D.10.把一個(gè)鐵制的底面半徑為，側(cè)面積為的實(shí)心圓柱熔化后鑄成一個(gè)球，則這個(gè)鐵球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)實(shí)心圓柱的高為，因?yàn)閷?shí)心圓柱的底面半徑為，側(cè)面積為，解得，則圓柱的體積為，設(shè)球的半徑為，則，解得，因此，該鐵球的表面積為.故選：A.11.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），，分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，則，即，當(dāng)時(shí)，令得，，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的極大值點(diǎn)為和極小值點(diǎn)為，即，，則，，依題意，恒成立，得對(duì)任意恒成立，由于此時(shí)，所以；所以，即，設(shè)，則，令（*）①當(dāng)時(shí)，，所以，在單調(diào)遞增，所以，即，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，設(shè)（*）的兩根為，且，則，因此，則當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，矛盾，不合題意；綜上，的取值范圍是.故選：D.12.已知拋物線上有一定點(diǎn)和兩動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，即，整理可得：,而、和三點(diǎn)不重合即，所以式子可化成，整理可得，根據(jù)題意可知，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，即判別式，得或，點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍是，故選：D.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題13.設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則________.〖答案〗〖解析〗，故.故〖答案〗為：.14.一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，每隔45秒再次亮紅燈，當(dāng)你到達(dá)路口時(shí)，恰是紅燈的概率為______.〖答案〗〖解析〗由題意知紅燈的時(shí)間為30秒，每隔45秒再次亮紅燈，到達(dá)此路口時(shí)恰是紅燈的概率為故〖答案〗為：15.以下是標(biāo)號(hào)分別為①、②、③、④的四幅散點(diǎn)圖，它們的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，那么相關(guān)系數(shù)的大小關(guān)系為_____（按由小到大的順序排列）.

〖答案〗〖解析〗根據(jù)散點(diǎn)圖可知，圖①③成正相關(guān)，圖②④成負(fù)相關(guān)，∴，又圖①②的散點(diǎn)圖近似在一條直線上，則圖①②兩變量的線性相關(guān)程度比較高，圖③④的散點(diǎn)圖比較分散，故圖③④兩變量的線性相關(guān)程度比較低，即與比較大，與比較小，∴，故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，若存在，使得，則的取值范圍是__．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，則，可得，即，求得，則，函數(shù)在上遞增，；當(dāng)時(shí)，，，可知不存在，使得；當(dāng)時(shí)，則，由，得，令，，則，，，，則，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，即．綜上所述，的取值范圍是．故〖答案〗為：．三、解答題17.已知函數(shù).（1）求單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最值.解：（1）定義域?yàn)镽，，令得：或，令得：，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）可知：在處取得極小值，且為最小值，故，又因?yàn)?，而，所以，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為418.中學(xué)階段是學(xué)生身體發(fā)育最重要的階段，長(zhǎng)時(shí)間熬夜學(xué)習(xí)嚴(yán)重影響學(xué)生的身體健康．某校為了解甲、乙兩班學(xué)生每周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，得到他們最近一周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長(zhǎng)的樣本數(shù)據(jù)：甲班813283239乙班1225262831如果學(xué)生平均每周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長(zhǎng)超過26小時(shí)，則稱為“過度熬夜”．（1）請(qǐng)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，分別估計(jì)甲、乙兩班的學(xué)生平均每周自我熬夜學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)的平均值；（2）從樣本甲、乙兩班所有“過度熬夜”的學(xué)生中任取2人，求這2人都來自甲班的概率．解：（1）甲班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計(jì)甲班學(xué)生每周平均熬夜時(shí)間24小時(shí)；乙班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計(jì)乙班學(xué)生每周平均熬夜時(shí)間24.4小時(shí)．（2）由題知，甲班“過度熬夜”的有3人，記為，乙班“過度熬夜”的有2人，記為，從中任取2人，有，共10種可能，其中都來自甲班的有，共3種可能，所以所求概率．19.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：由題意，在矩形中，，，,，分別是，的中點(diǎn)，∴，，在四棱錐中，面平面，面面，，∴面，面，∴，取中點(diǎn)，連接，由幾何知識(shí)得，∵，∴，，∵面，面，，∴面，∴，以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，∴，∴，面的一個(gè)法向量為，∵，∴平面（2）由題意，（1）及圖得，在面中，，，設(shè)其法向量為，則，即，解得：，當(dāng)時(shí)，，在面中，其一個(gè)法向量為，設(shè)二面角為∴，由圖象可知二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.20.已知分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且與以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，證明：為定值．（1）解：由，可得，解得，又因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：當(dāng)與軸重合時(shí)，，所以當(dāng)不與軸重合時(shí)，設(shè)，直線的方程為，由整理得，則，故，圓心到直線的距離為，則，所以，即為定值．21.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.（1）解：當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋瑒t，因，則，所以，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）證明：若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，兩式相減，可得，兩式相加得，要證，只要證，即證，即證，只須證，即證，即證，令，則由得，故須證，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即成立，故原不等式成立.22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，求．解：（1）由可得，將代入可得，，整理可得，即為曲線極坐標(biāo)方程.（2）和聯(lián)立可得，，設(shè)對(duì)應(yīng)得極徑分別為，根據(jù)韋達(dá)定理，，于是.四川省成都市雙流區(qū)永安中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期零模模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1、〖答案〗前、務(wù)必將自己的姓名、考籍號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2、答選擇題時(shí)，務(wù)必使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).3、答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將〖答案〗書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4、所有題目必須在答題卡上作答，在試卷上答題無效.5、考試結(jié)束后，只將答題卡交回.第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意：，，所以；故選：C.2.已知函數(shù)，則（）A.5 B.3 C.2 D.1〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，所?故選：B.3.在某次歷史考試中，在A，B兩班各選取5位同學(xué)分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，A，B兩班5位同學(xué)平均數(shù)分別為a或b，則a，b的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.a，b的大小關(guān)系不能確定〖答案〗C〖解析〗A：；B：．所以，故選：C．4.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.－ B.2 C.5 D.8〖答案〗C〖解析〗畫出可行域如圖所示，由解得，設(shè)A(1,2)，則目標(biāo)函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)時(shí)在y軸上的截距最大，所以在點(diǎn)A(1,2)處取得最大值，最大值為.故選：C.5.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)椋?，則，所以漸近線方程為.故選：C.6.已知圓和直線，則圓心C到直線l的最大距離為（）A.1 B.2 C.3 D.〖答案〗A〖解析〗由直線l得：，則直線l恒過定點(diǎn)，由圓，則圓心，故圓心C到直線l的最大距離.故選：A.7.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由函數(shù)，可得，令，可得，解得.故選：A.8.在中，a、b分別是角A、B所對(duì)的邊，條件“”是使“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗如果，根據(jù)三角形的性質(zhì)：大邊對(duì)大角，則有，對(duì)于余弦函數(shù)，當(dāng)時(shí)是減函數(shù)，，，即“”是“”的充分條件；如果，在時(shí)是減函數(shù)，，由三角形的性質(zhì)：大邊對(duì)大角可知，“”是“”的必要條件；即“”是“”的充要條件；故選：C.9.我國(guó)明朝數(shù)學(xué)家程大位著的《算法統(tǒng)宗》里有一道聞名世界的題目：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭(zhēng)，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾??？”如圖所示的程序框圖反映了對(duì)此題的一個(gè)求解算法，則輸出的的值為（）A.25 B.45 C.55 D.75〖答案〗D〖解析〗執(zhí)行程序框圖：，，，，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，繼續(xù)執(zhí)行；，，，退出循環(huán)，輸出.故選：D.10.把一個(gè)鐵制的底面半徑為，側(cè)面積為的實(shí)心圓柱熔化后鑄成一個(gè)球，則這個(gè)鐵球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)實(shí)心圓柱的高為，因?yàn)閷?shí)心圓柱的底面半徑為，側(cè)面積為，解得，則圓柱的體積為，設(shè)球的半徑為，則，解得，因此，該鐵球的表面積為.故選：A.11.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），，分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，則，即，當(dāng)時(shí)，令得，，，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的極大值點(diǎn)為和極小值點(diǎn)為，即，，則，，依題意，恒成立，得對(duì)任意恒成立，由于此時(shí)，所以；所以，即，設(shè)，則，令（*）①當(dāng)時(shí)，，所以，在單調(diào)遞增，所以，即，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，設(shè)（*）的兩根為，且，則，因此，則當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，矛盾，不合題意；綜上，的取值范圍是.故選：D.12.已知拋物線上有一定點(diǎn)和兩動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，即，整理可得：,而、和三點(diǎn)不重合即，所以式子可化成，整理可得，根據(jù)題意可知，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，即判別式，得或，點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍是，故選：D.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題13.設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則________.〖答案〗〖解析〗，故.故〖答案〗為：.14.一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，每隔45秒再次亮紅燈，當(dāng)你到達(dá)路口時(shí)，恰是紅燈的概率為______.〖答案〗〖解析〗由題意知紅燈的時(shí)間為30秒，每隔45秒再次亮紅燈，到達(dá)此路口時(shí)恰是紅燈的概率為故〖答案〗為：15.以下是標(biāo)號(hào)分別為①、②、③、④的四幅散點(diǎn)圖，它們的樣本相關(guān)系數(shù)分別為，那么相關(guān)系數(shù)的大小關(guān)系為_____（按由小到大的順序排列）.

〖答案〗〖解析〗根據(jù)散點(diǎn)圖可知，圖①③成正相關(guān)，圖②④成負(fù)相關(guān)，∴，又圖①②的散點(diǎn)圖近似在一條直線上，則圖①②兩變量的線性相關(guān)程度比較高，圖③④的散點(diǎn)圖比較分散，故圖③④兩變量的線性相關(guān)程度比較低，即與比較大，與比較小，∴，故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，若存在，使得，則的取值范圍是__．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，則，可得，即，求得，則，函數(shù)在上遞增，；當(dāng)時(shí)，，，可知不存在，使得；當(dāng)時(shí)，則，由，得，令，，則，，，，則，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，即．綜上所述，的取值范圍是．故〖答案〗為：．三、解答題17.已知函數(shù).（1）求單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最值.解：（1）定義域?yàn)镽，，令得：或，令得：，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）可知：在處取得極小值，且為最小值，故，又因?yàn)椋?，所以，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為418.中學(xué)階段是學(xué)生身體發(fā)育最重要的階段，長(zhǎng)時(shí)間熬夜學(xué)習(xí)嚴(yán)重影響學(xué)生的身體健康．某校為了解甲、乙兩班學(xué)生每周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)），分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，得到他們最近一周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長(zhǎng)的樣本數(shù)據(jù)：甲班813283239乙班1225262831如果學(xué)生平均每周自我熬夜學(xué)習(xí)的總時(shí)長(zhǎng)超過26小時(shí)，則稱為“過度熬夜”．（1）請(qǐng)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，分別估計(jì)甲、乙兩班的學(xué)生平均每周自我熬夜學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)的平均值；（2）從樣本甲、乙兩班所有“過度熬夜”的學(xué)生中任取2人，求這2人都來自甲班的概率．解：（1）甲班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計(jì)甲班學(xué)生每周平均熬夜時(shí)間24小時(shí)；乙班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計(jì)乙班學(xué)生每周平均熬夜時(shí)間24.4小時(shí)．（2）由題知，甲班“過度熬夜”的有3人，記為，乙班“過度熬夜”的有2人，記為，從中任取2人，有，共10種可能，其中都來自甲班的有，共3種可能，所以所求概率．19.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦