云南省曲靖2024年高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

云南省曲靖一中麒麟學(xué)校2024年高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

r\?

1.已知復(fù)數(shù)Z=j｝,則忖=（）

A.1+zB.1-iC.y/2D.2

2.已知復(fù)數(shù)z滿足3z=3+2i（i是虛數(shù)單位），則三=（）

A.2+3，B.2-3iC.-2+3zD.-2-3z

3.如圖，圓。的半徑為1,A,3是圓上的定點(diǎn)，OBLOA,尸是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸關(guān)于直線08的對(duì)稱點(diǎn)為P，

角x的始邊為射線Q4,終邊為射線。尸，將。尸-。尸'表示為x的函數(shù)/（尤），則y=/（%）在［0,句上的圖像大致

為（）

B

P.1fP

（-------------'A

O）

?y?y

2\/

A.?J:B.c一

OxxOxXO\Kx

y

D?1

—,---4_.

Oxx

4.等差數(shù)列｛4｝中，已知3a5=760，且q<0則數(shù)列｛qJ的前〃項(xiàng)和S〃（〃EN*）中最小的是（）

A.邑或邑B.Si2C.$13D.S14

6.記遞增數(shù)列｛。J的前〃項(xiàng)和為5〃.若。］=1,%=9,且對(duì)｛4｝中的任意兩項(xiàng)巴.與%(1<I<9),其和《?+%,

a.

或其積4勺，或其商」仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，則()

%

A.a5>3,59<36B.%>3,59>36

C.a6>3,59>36D.4>3,59<36

Y2V2Y2V21

8.已知橢圓'+與=1(〃>>>())與雙曲線二―4二」(?>0,8>0)的焦點(diǎn)相同，則雙曲線漸近線方程為()

a2b2a2b22

B.y=+y/3x

C.y=土叵x(chóng)

D.y=±A/2X

-2

9.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABC?！狝4G，中，E,F,G分別為棱AB,BC,CQ的中點(diǎn)，M為棱AD的中點(diǎn),

設(shè)P,。為底面A5C。內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足。尸//平面EFG,DQ=后,則PM+尸。的最小值為()

D

4.

A.372-1B.3V2-2C.251D.2石-2

10.已知全集。=R,集合/={x|—3<x<l},N={x||x|,,l},則陰影部分表示的集合是()

A.[-1,1]B.(-3,1]C.(-w,-3)U(-l,+a))D.(-3,-1)

11.已知直線x+y=f與圓*+y2=2/—/QeH)有公共點(diǎn)，則[4—。的最大值為()

283232

A.4B.——C.—D.——

997

12.已知復(fù)數(shù)z,滿足z(3_4if,則忖=()

A.1B.V5C.百D.5

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知尤3公=明貝(――2](x+l)"展開(kāi)式/的系數(shù)為.

14.棱長(zhǎng)為。的正四面體ABC。與正三棱錐E-3CD的底面重合，若由它們構(gòu)成的多面體ABCDE的頂點(diǎn)均在一球的

球面上，則正三棱錐E-5CD的內(nèi)切球半徑為.

15.已知函數(shù)/。)=[2一"+1'*"1函數(shù)8(%)=/(%)+/(—%),則不等式g(x)?2的解集為一.

(x-1),^>1

16.三棱錐S-ABC中，點(diǎn)P是及AABC斜邊A5上一點(diǎn).給出下列四個(gè)命題：

①若平面ABC,則三棱錐S-ABC的四個(gè)面都是直角三角形；

②若AC=4,BC=4,SC=4,SC，平面ABC,則三棱錐S—ABC的外接球體積為32辰；

③若AC=3,BC=4,SC=5S在平面ABC上的射影是AABC內(nèi)心，則三棱錐S—ABC的體積為2；

④若AC=3,BC=4,&L=3,&4,平面ABC,則直線PS與平面SBC所成的最大角為60°.

其中正確命題的序號(hào)是.（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知三棱錐P—A3C中，ABC為等腰直角三角形，AB=AC=1,PB=PC=^,設(shè)點(diǎn)E為叢中點(diǎn),

點(diǎn)。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)F為PB上一點(diǎn),且PF=2FB.

（1）證明：BD//平面CEF；

（2）若24,AC,求直線CE與平面尸3c所成角的正弦值.

18.（12分）如圖（1）五邊形A5C3E中，ED=EA,AB//CD,CD=2AB,

NEDC=15O,將AEAD沿AD折到ARAD的位置，得到四棱錐P—ABCD,如圖（2）,點(diǎn)"為線段PC的中點(diǎn),

且平面PCD.

（1）求證：平面B4D_L平面ABC。；

JT

19.（12分）如圖，在AABC中，AC=2,ZA=y,點(diǎn)。在線段AB上.

(2)若4￡>=2。8,sinZACD=77sinZBCD,求AABC的面積.

20.(12分)已知凸〃邊形A4A34的面積為L(zhǎng)邊長(zhǎng)A4+1=q(i=l,2,,n-l),4A=4，其內(nèi)部一點(diǎn)尸到邊

4A+1=弓。=1,2,，〃一1)的距離分別為4,4，4，&.求證：學(xué)■+華■++學(xué)(做/記―Zy.

v4|Cc-2

21.(12分)a,4c分別為ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊.已知a(sinA+4sinB)=8sinA.

JT

(1)若b=l,A=—,求sin5；

6

71

(2)已知C=§,當(dāng).ABC的面積取得最大值時(shí)，求ABC的周長(zhǎng).

22.(10分)為迎接2022年冬奧會(huì),北京市組織中學(xué)生開(kāi)展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核.記

X表示學(xué)生的考核成績(jī)，并規(guī)定X285為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了

30名學(xué)生的考核成績(jī)，并作成如下莖葉圖：

(I)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；

(II)從圖中考核成績(jī)滿足Xe［80,89］的學(xué)生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；

(x—85、

(III)記P(a<X<b)表示學(xué)生的考核成績(jī)?cè)趨^(qū)間［a,可的概率，根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)P――<1之0.5時(shí)

培訓(xùn)有效.請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效，并說(shuō)明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

*|=皿=推=后，

11|1+Z|V2，

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.

2、A

【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

【詳解】

解：由3z=3+2"得z=2=(3+2i"=2_3i,

i-i2

z=2+3z-

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

根據(jù)圖象分析變化過(guò)程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域，即可排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得到函數(shù)圖象，即可求解.

【詳解】

由題意，當(dāng)x=0時(shí)，P與A重合，則P與B重合，

所以—。耳=|BA|=2,故排除C,D選項(xiàng)；

當(dāng)0＜x＜］時(shí)，|OP-OP'\=|P'P|=2sin(1-x)=2cos%,由圖象可知選B.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

4、C

【解析】

設(shè)公差為d,則由題意可得3(%+4d)=7(4+9d),解得d=—等，可得4=(55才4.令554n＜。，可得當(dāng)

〃之14時(shí)，??＞0,當(dāng)〃W13時(shí)，＜0,由此可得數(shù)列｛%｝前九項(xiàng)和'("eN*)中最小的.

【詳解】

解：等差數(shù)列｛4｝中，已知3%=7%),且q<0,設(shè)公差為d,

則3(4+44)=7(4+94),解得d=—粵，

,八)(55-4n)a

L

an=q+(〃-l)a=--------.

55—4〃55

令也——<0,可得〃故當(dāng)〃之14時(shí)，an>Q,當(dāng)〃W13時(shí)，an<0,

514

故數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)和SneN*)中最小的是兒.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

5、A

【解析】

根據(jù)/(x)>0排除C,D,利用極限思想進(jìn)行排除即可.

【詳解】

解：函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸lx/0｝,/(x)>0恒成立，排除C,D,

x2ex

當(dāng)了>0時(shí)，/a)=H=",當(dāng)xfo,/(x)-o,排除3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)值的符號(hào)以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

由題意可得%=四，從而得到%=3,再由%=3就可以得出其它各項(xiàng)的值，進(jìn)而判斷出S9的范圍.

a5

【詳解】

a；

解：。,+%,或其積%%,或其商工仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，

%

+%或者。2a9或者￡是該數(shù)列中的項(xiàng)，

又?jǐn)?shù)列｛%｝是遞增數(shù)列,

4<〃2V〈…V，

?*>CI9,^^9>C^g,只有，是該數(shù)列中的項(xiàng)，

同理可以得到及，”，血也是該數(shù)列中的項(xiàng)，且有4〈發(fā)〈&<...<發(fā)〈佝，

%〃408“8%%

%c

?*.a5=—，/.%=3或。5=-3（舍），>3,

“5

根據(jù)=1,%=3,%=9,

23537

同理易得的=3!,9999

a3=y%=3"，a6=yay=yas=3^

9

1-3^”

.*.Sg=q+%+?..+%—----<36,

i-y

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的新定義的理解和運(yùn)用，以及運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題.

7、D

【解析】

由題可得函數(shù)F（x）的定義域?yàn)椋鸛|X*±1｝,

因?yàn)椤?尤）=111|*|=-111|?|=-/（》），所以函數(shù)〃尤）為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B；

1+x1-x

又/'（LDTnZl〉：!，/（3）=ln2<l,所以排除選項(xiàng)A、C,故選D.

8、A

【解析】

由題意可得2/一2k="+62,即6=3〃，代入雙曲線的漸近線方程可得答案.

【詳解】

x2y2

X2y2=19〉6〉0）與雙曲線工一［=工9〉0,1〉0）即7一萬(wàn)=101>°，15>0）

依題意橢圓二+5的焦點(diǎn)相同，可

ab2ab2

22

得：

b

即Y=3〃，=無(wú)，可得正=W，

a3a3

V2

b

雙曲線的漸近線方程為：y=±正x=±gx,

a3

忑

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的求法，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

把截面跳G畫(huà)完整，可得P在AC上，由。］。=而知。在以。為圓心1為半徑的四分之一圓上，利用對(duì)稱性可得

PM+P。的最小值.

【詳解】

如圖，分別取GD，AA的中點(diǎn)連接易證及￡G,共面，即平面跳G為截面

EFGHIJ,連接AQ,DC，AC,由中位線定理可得AC//E尸，AC<z平面跳G,叮匚平面瓦弓，則AC//平

面EFG,同理可得A"http://平面跳G,由ACIA。=A可得平面A"C//平面跳G,又RP//平面EFG,尸在

平面ABC。上，,PeAC.

正方體中。A，平面ABCI）,從而有。:.DQ=8Q2一DD：=1,二。在以。為圓心1為半徑的四

分之一圓（圓在正方形A5CD內(nèi)的部分）上，

顯然M關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為E,

PM+PQ=PE+PQ>PE+PD-DQ>ED-DQ=742+22-1=2石—1，當(dāng)且僅當(dāng)E,P,Q,。共線時(shí)取等號(hào)，

，所求最小值為2出-1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間距離的最小值問(wèn)題，解題時(shí)作出正方體的完整截面求出P點(diǎn)軌跡是第一個(gè)難點(diǎn)，第二個(gè)難點(diǎn)是求出。點(diǎn)

軌跡，第三個(gè)難點(diǎn)是利用對(duì)稱性及圓的性質(zhì)求得最小值.

10、D

【解析】

先求出集合N的補(bǔ)集gN,再求出集合M與eN的交集，即為所求陰影部分表示的集合.

【詳解】

由。=R,N={x||x|”1},可得,N={x|x<—l或x>l},

又M={x|-3<%<1}

所以AfceN={x|-3<x<-4}.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了韋恩圖表示集合，集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

根據(jù)三+丁2=27—表示圓和直線x+y=/與圓/+丁2=2,—/QeH)有公共點(diǎn)，得到ow/wg,再利用

二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】

因?yàn)閒+y2表示圓，

所以2/—/>0,解得。</<2,

因?yàn)橹本€x+y=/與圓/+丁2=2/—產(chǎn)(/eR)有公共點(diǎn)，

所以圓心到直線的距離dWr,

4

解得

4

此時(shí)041工一，

3

0「4一

因?yàn)?（。=《4一。=一/+41=一。一2）+4,在0,-遞增,

所以14—。的最大值/

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

12、A

【解析】

首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出z,求出z的模即可.

【詳解】

—4+3,

5

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)求模問(wèn)題，考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、—8

【解析】

先根據(jù)定積分求出?的值，再用二項(xiàng)展開(kāi)式公式即可求解.

【詳解】

=—x24=4

4

所以〃=4

4r

(x+1)的通項(xiàng)公式為T(mén)r+X=C；x14f.Z=C;x

當(dāng)r=2時(shí)，7；=qxl4-r-Z=C^x2=6x2

當(dāng)廠=3時(shí)，7；=Cy=4x3

故2卜+1)"展開(kāi)式中必的系數(shù)為4+(—2)x6=-8

故答案為：-8

【點(diǎn)睛】

此題考查定積分公式，二項(xiàng)展開(kāi)式公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于簡(jiǎn)單題目.

14372-A/6

14、---------a

12

【解析】

由棱長(zhǎng)為。的正四面體ABC。求出外接球的半徑，進(jìn)而求出正三棱錐E-5CD的高及側(cè)棱長(zhǎng)，可得正三棱錐

E-38的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，進(jìn)而求出體積與表面積，設(shè)內(nèi)切圓的半徑，由等體積丫=：5表面積求出內(nèi)

切圓的半徑.

【詳解】

由題意可知：

多面體ABCDE的外接球即正四面體ABCD的外接球

作面5C。交于歹，連接CV,如圖

則CT=2?走。=且。，且AE為外接球的直徑，可得

323

2rBC_a

設(shè)三角形5C。的外接圓的半徑為廠，則sin60。二耳,解得r=

設(shè)外接球的半徑為R,則改=r+(AF-Ri可得2AF.R=r2+AF2>

即2.典?R=4+g，解得R="q,

3394

設(shè)正三棱錐E-5CD的高為〃，

因?yàn)锳E=2R=4a，所以h=EF=2R—AF=(^—q)a=4a，

所以BE=CE=DE=y]EF2+CF2=J-a+-a=—a,

V632

而B(niǎo)D=BC=CD-a,

所以正三棱錐E-BCD的三條側(cè)棱兩兩相互垂直,

設(shè)內(nèi)切球的半徑為R',=：SMc。?EE=g(SE_BC?)表面積-R，

即L立/.逅0=1.2±2/1/出,解得：R_30?.

3463412

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體與球的內(nèi)切和外接問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意借助

幾何體的直觀圖進(jìn)行分析.

15、[-2,2]

【解析】

3+x,x<-13-x,x>1

/(%)=<l-x,-l<x<l,/(-x)=<l+x,-l<x<l,

(x-l)2,%>1(x+1)',x<-1

x+3x+4,x<—1

所以g(x)=<2,-1<X<1

x2-3x+4,x>1

所以g(x)W2的解集為［—2,2］。

點(diǎn)睛：本題考查絕對(duì)值不等式。本題先對(duì)絕對(duì)值函數(shù)進(jìn)行分段處理，再得到了(-#的解析式，求得g(x)的分段函數(shù)

解析式，再解不等式g(x)W2即可。絕對(duì)值函數(shù)一般都去絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)處理。

16、①②③

【解析】

對(duì)①，由線面平行的性質(zhì)可判斷正確；

對(duì)②，三棱錐外接球可看作正方體的外接球，結(jié)合外接球半徑公式即可求解；

對(duì)③，結(jié)合題意作出圖形，由勾股定理和內(nèi)接圓對(duì)應(yīng)面積公式求出錐體的高，則可求解；

對(duì)④，由動(dòng)點(diǎn)分析可知，當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，直線PS與平面SBC所成的角最大，結(jié)合幾何關(guān)系可判斷錯(cuò)誤;

【詳解】

對(duì)于①，因?yàn)槠矫鍭BC,所以SA±AB,SALBC,又

所以平面S4C,所以3CLSC,故四個(gè)面都是直角三角形，...①正確；

對(duì)于②，若AC=4,BC=4,SC=4,SC，平面ABC,

...三棱錐S-ABC的外接球可以看作棱長(zhǎng)為4的正方體的外接球，

/.2R=A/42+42+42=473?尺=23，??.體積為V=g?(2G)3=32岳，.?.②正確;

對(duì)于③，設(shè)AABC內(nèi)心是。，則SOJ_平面ABC,連接OC,

則有SO2+OC2=SC2，又內(nèi)切圓半徑廠=g(3+4—5)=1,

所以O(shè)C=0，SO?=SC?—=3—2=1,故SO=1,

...三棱錐S—ABC的體積為丫=!><5枷c義SO=工x工x3x4xl=2,.?.③正確；

332

對(duì)于④，?若必=3,S4_L平面ABC,則直線PS與平面SfiC所成的角最大時(shí)，P點(diǎn)與4點(diǎn)重合,

3

在H/ASC4中，tanZASC=-=l,：.ZASC=45°,即直線PS與平面S3。所成的最大角為45。，

【點(diǎn)睛】

本題考查立體幾何基本關(guān)系的應(yīng)用，線面垂直的性質(zhì)及判定、錐體體積、外接球半徑求解，線面角的求解，屬于中檔

題

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)證明見(jiàn)解析；(2)YZ

6

【解析】

(1)連接交CE于G點(diǎn)，連接尸G,通過(guò)證&5/AFG,并說(shuō)明FGu平面CEF,來(lái)證明班＞//平面CEF

(2)采用建系法以AB、AC.AP所在直線分別為x、＞、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,分別表示出對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)及C,P,E坐標(biāo)，設(shè)平面尸5c的一個(gè)法向量為力=(x,y,z),結(jié)合直線對(duì)應(yīng)的和法向量〃，利用向量夾角的余

弦公式進(jìn)行求解即可

【詳解】

(1)證明：如圖,

p

連接P￡)交CE于G點(diǎn)，連接FG,點(diǎn)E為？A的中點(diǎn)，點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，

.,.點(diǎn)G為AR4C的重心，則PG=2GD,PF=2FB,：.FG//BD,

又FGu平面CEF,BDU平面CEF,:.BD//平面CEF；

(2)AB=AC,PB=PC,PA=PA,:.APAB=APAC,

PA±AC,:.PA±AB,可得B4=2,又ABLAC,

則以A3、AC.AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則A(0,0,0),3(1,0,0),C(0,l,0),P(0,0,2),E(0,0,1)

BC=(-1,1,0),BP=(-1,0,2),CE=(0,-l,l).

n-BC=—x+y=0

設(shè)平面尸的一個(gè)法向量為H=(x,y,z),由｛-

n-BP=-x+2z=0

取z=l,得”=(2,2,1).設(shè)直線CE與平面尸5c所成角為凡

則sin0=\cos<n,CE>|==皂.：.直線CE與平面PBC所成角的正弦值為—.

72x366

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的判定定理的使用，利用建系法來(lái)求解線面夾角問(wèn)題，整體難度不大，本題中的線面夾角的正弦值

公式sin6=|cos<%C￡>>|使用廣泛，需要識(shí)記

18、(1)見(jiàn)解析(2)空

7

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)已知條件由線線垂直得出線面垂直，再根據(jù)面面垂直的判定定理證得成立；(2)通過(guò)已知條件求

出各邊長(zhǎng)度,建系如圖所示，求出平面PDB的法向量，根據(jù)線面角公式代入坐標(biāo)求得結(jié)果.

試題解析：(1)證明：取PD的中點(diǎn)N,連接AN,MN,則MN//CD,MN=LCD,

2

又ABI/CD,AB=LCD,所以MN//AB,MN=AB,則四邊形ABMN為平行四邊形，所以ANIIBM,

2

又平面PCD,

...4VL平面PCD,

AN±PD,AN±CD.

由石。=E4即=及N為的中點(diǎn)，可得△/%￡>為等邊三角形，

/.ZPDA=60°.

又NEQC=150°，???NCZM=90°，二?！?gt;，>10,

CD,平面PAD,CDu平面ABCD,

：.平面PAD，平面ABCD.

(2)解：

AB//CD,二NPCD為直線PC與A5所成的角，

_PD1

由（1）可得NP￡）C=90°，,tanNPC￡>=——：.CD=2PD,

CD2

設(shè)PD=1,則CD=2,PA=AD=AB=1,

取AO的中點(diǎn)。，連接PO,過(guò)。作A3的平行線,

可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

則g,o,o],31g1,l,o],c1—g1,2,o1,P0,0,

22

、

「’4

(36

所以。3=(1,1,0),,BM=——,0,—

44

7

%+y=0

n-DB-0

設(shè)M=(x,y,z)為平面的法向量，貝！H,即｛173八，

n-PB-0—x+y------z=0

22

取x=3,則〃=卜,一3,一百)為平面PBD的一個(gè)法向量,

/…彳、n-BM-3_2A/7

..cos<n,BM>=—|——?

?\n\\BM\后出7

V21x——

2

則直線BM與平面PDB所成角的正弦值為巫.

7

點(diǎn)睛：判定直線和平面垂直的方法:①定義法.②利用判定定理：一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該

直線和此平面垂直.③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.平

面與平面垂直的判定方法:①定義法.②利用判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直.

19、(1)CD=—(2)氧?

42

【解析】

(1)先根據(jù)平方關(guān)系求出sin/CZM,再根據(jù)正弦定理即可求出CD；

(2)分別在AADC和ABDC中，根據(jù)正弦定理列出兩個(gè)等式，兩式相除，利用題目條件即可求出CB,再根據(jù)余弦

定理求出AB,即可根據(jù)S=LAC?A3?sinA求出AABC的面積.

2

【詳解】

(1)由cosNCD3=—工，得cosNOM=工，所以sin/OM=迪.

333

CD_2

CD得3乎.

由正弦定理得,,即正一互

sinAsi.n。工

X.CDA

23

AT)

AC右

(2)由正弦定理，在AADC中，------

sinZACDsinZADC

DBCB

在ABDC中,

sinZBCDsinZBDC

又sinZADC=sinN6r>C,AD=2DB,sinZACD=V7sinZBCD,

由不■得CB=J7，

由余弦定理得CB?=Ac2+Ag2_2AC.ABcosA，

即7=4+482—2AB，解得AB=3,

所以AASC的面積S=』AC-A3-sinA=仝2.

22

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及三角形面積公式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

20、證明見(jiàn)解析

【解析】

由已知，易得%4+a2d2T-----1■qd〃=2,所以

生+也+…+也=2但+&+-+”]=(G4+d第++?A)f—+^++2利用柯西不等式和基本不等式即

4d?dn(4d2dnj(4d2

可證明.

【詳解】

因?yàn)橥咕胚呅蔚拿娣e為1,所以44+電4+…+%4=2,

~…2a,2&2〃“

所以一+…+-L=2幺+&+..?+2