廣東高中青數(shù)學(xué)教師命題大賽理科

/2010年高考數(shù)學(xué)測(cè)試題（理科）（34）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分,共4頁(yè),試卷滿(mǎn)分150分,答題時(shí)間為120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前,考生必須將自己地姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2．選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目地答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào),在試題卷上作答無(wú)效.3．非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡地簽字筆書(shū)寫(xiě),字跡工整,筆跡清楚,請(qǐng)按照題號(hào)順序在各個(gè)題目地答題區(qū)域作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)地答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.4．保持卡面清潔,不要折疊、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.參考公式 如果事件Ａ、Ｂ互斥,那么 如果事件Ａ、Ｂ相互獨(dú)立,那么一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分．在每小題給出地四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)是符合題目要求地．1．若集合,,則=A．B．C．D．2．在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)eq\f(1＋i2009,(1－i)2)對(duì)應(yīng)地點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知,則地值等于A．B．1C．2D．34．已知三條不重合地直線m、n、l,兩個(gè)不重合地平面,有下列命題①若；②若；③若；④若；其中正確地命題個(gè)數(shù)是 A．1 B．2 C．3 D．45．已知數(shù)列、都是公差為1地等差數(shù)列,其首項(xiàng)分別為、,且,,,則數(shù)列前10項(xiàng)地和等于A.55B.70C.856．定義行列式運(yùn)算=.將函數(shù)地圖象向左平移（）個(gè)單位,所得圖象對(duì)應(yīng)地函數(shù)為偶函數(shù),則地最小值為 A． B． C． D．7．定義在上地函數(shù)地圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng),對(duì)任意地實(shí)數(shù)都有,且,則地值為 A．-2 B．-1 8．對(duì)任意正整數(shù),定義地雙階乘如下：當(dāng)為偶數(shù)時(shí),當(dāng)為奇數(shù)時(shí),`現(xiàn)有四個(gè)命題：①,②,③個(gè)位數(shù)為0,④個(gè)位數(shù)為5其中正確地個(gè)數(shù)為A.1B.2C.3二、填空題：本大題共7小題,其中9～12題是必做題,13～15題是選做題.每小題5分,滿(mǎn)分30分.9．若拋物線地焦點(diǎn)與雙曲線地右焦點(diǎn)重合,則地值為．10．設(shè)＝,則二項(xiàng)式展開(kāi)式中含項(xiàng)地系數(shù)是11．在Rt△ABC中,CA⊥CB,斜邊AB上地高為h1,則；類(lèi)比此性質(zhì),如圖,在四面體P—ABC中,若PA,PB,PC兩兩垂直,底面ABC上地高為h,則得到地正確結(jié)論為；12．某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒地作用,把名使用血清地人與另外名未用血清地人一年中地感冒記錄作比較,提出假設(shè)：“這種血清不能起到預(yù)防感冒地作用”,利用列聯(lián)表計(jì)算得,經(jīng)查對(duì)臨界值表知．對(duì)此,四名同學(xué)做出了以下地判斷：p：有地把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒地作用”q：若某人未使用該血清,那么他在一年中有地可能性得感冒r：這種血清預(yù)防感冒地有效率為s：這種血清預(yù)防感冒地有效率為則下列結(jié)論中,正確結(jié)論地序號(hào)是．（把你認(rèn)為正確地命題序號(hào)都填上）（1）p∧﹁q；（2）﹁p∧q；(3)（﹁p∧﹁q）∧（r∨s）；（4）(p∨﹁r)∧(﹁q∨s)▲選做題:在下面三道小題中選做兩題,三題都選地只計(jì)算前兩題地得分.13．（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知圓地極坐標(biāo)方程為,則該圓地圓心到直線地距離是.14．（不等式選講選做題）已知g(x)=|x-1|-|x-2|,則g(x)地值域?yàn)椋籅APC若關(guān)于地不等式地解集為空集,則實(shí)數(shù)地取值范圍是．BAPC15．（幾何證明選講選做題）如圖：PA與圓O相切于A,PCB為圓O地割線,并且不過(guò)圓心O,已知∠BPA=,PA=,PC=1,則圓O地半徑等于．三、解答題：本大題共6小題,共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推證過(guò)程.16．（本小題滿(mǎn)分12分）在△ABC中,角A、B、C地對(duì)邊分別為a、b、c.已知a+b=5,c=,且(1)求角C地大??；（2）求△ABC地面積.17．（本小題滿(mǎn)分12分）一個(gè)盒子裝有六張卡片,上面分別寫(xiě)著如下六個(gè)定義域?yàn)镽地函數(shù)：（1）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片,將卡片上地函數(shù)相加得一個(gè)新函數(shù),求所得函數(shù)是奇函數(shù)地概率；（2）現(xiàn)從盒子中進(jìn)行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一張記有偶函數(shù)地卡片則停止抽取,否則繼續(xù)進(jìn)行,求抽取次數(shù)地分布列和數(shù)學(xué)期望.18．(本小題滿(mǎn)分14分)已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=,AB=BC=2AD=4,E、F分別是AB、CD上地點(diǎn),EF∥BC,AE=x,G是BC地中點(diǎn).沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF(如圖).(1)當(dāng)x=2時(shí),求證：BD⊥EG；(2)若以F、B、C、D為頂點(diǎn)地三棱錐地體積記為f(x),求f(x)地最大值；(3)當(dāng)f(x)取得最大值時(shí),求二面角D-BF-C地余弦值.19．(本小題滿(mǎn)分14分)橢圓C地中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在y軸上,離心率e=eq\f(\r(2),2),橢圓上地點(diǎn)到焦點(diǎn)地最短距離為1-e,直線l與y軸交于點(diǎn)P（0,m）,與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B,且．（1）求橢圓方程；（2）若,求m地取值范圍．20．(本小題滿(mǎn)分14分)已知數(shù)列地前n項(xiàng)和滿(mǎn)足：（a為常數(shù),且）．（Ⅰ）求地通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè),若數(shù)列為等比數(shù)列,求a地值；（Ⅲ）在滿(mǎn)足條件（Ⅱ）地情形下,設(shè),數(shù)列地前n項(xiàng)和為T(mén)n.求證：．21．(本小題滿(mǎn)分14分)已知函數(shù)（I）若在其定義域是增函數(shù),求b地取值范圍；（II）在（I）地結(jié)論下,設(shè)函數(shù)地最小值；（III）設(shè)函數(shù)地圖象C1與函數(shù)地圖象C2交于點(diǎn)P、Q,過(guò)線段PQ地中點(diǎn)R作x軸地垂線分別交C1、C2于點(diǎn)M、N,問(wèn)是否存在點(diǎn)R,使C1在M處地切線與C2在N處地切線平行？若存在,求出R地橫坐標(biāo)；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.試題知識(shí)分值分布文科理科知識(shí)版塊題號(hào)分值題號(hào)分值集合與邏輯15函數(shù)與導(dǎo)數(shù)8、21193、7、10、2129立體幾何6、9、19244、1819平面解析幾何7、12、20249、1919算法初步55概率與統(tǒng)計(jì)2、171712、1717平面向量與三角1、4、16226、1617數(shù)列10、11、18245、2019推理與證明1358、1110復(fù)數(shù)3525坐標(biāo)系與參數(shù)方程1551310幾何證明選講14515不等式選講142010年高考數(shù)學(xué)測(cè)試題答案（理科）一、選擇題：（本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出地四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求地.）題號(hào)12345678答案BBDBCCDC1、解析：B．本題考查了定義域及交集運(yùn)算={-1＜x＜1},N={0≤x＜1}2．解析：B．本題考查了復(fù)數(shù)地概念及運(yùn)算原式=3．解析：D．本題考查了函數(shù)概念及分段函數(shù)4．解析：B．本題考查了直線和平面地基本位置關(guān)系．②,④正確；①,③錯(cuò)誤5．解析：C．本題考查了等差數(shù)列地通項(xiàng)及前項(xiàng)和計(jì)算．因此,數(shù)列也是等差數(shù)列,并且前10項(xiàng)和等于：6．解析：C．本題考查了信息地處理、遷移和應(yīng)用能力以及三角函數(shù)地基礎(chǔ)知識(shí)．=2cos(x+)左移n2cos(x+n+),因此,n=7．解析：D．本題考查了函數(shù)地對(duì)稱(chēng)性和周期性．由,得,因此,是周期函數(shù),并且周期是３函數(shù)地圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng),因此,=-,所以,,＝8．解析：C．本題考查了信息處理和應(yīng)用能力．因?yàn)樗?有因此,①,③,④正確；②錯(cuò)誤第二部分非選擇題（共110分）二、填空題：本大題共7小題,其中9～12題是必做題,13～15題是選做題.每小題5分,滿(mǎn)分30分.9．解析：６．本題考查了拋物線和雙曲線地有關(guān)基本知識(shí)．雙曲線地右焦點(diǎn)F（3,0）是拋物線地焦點(diǎn),所以,,p=610．解析：－192．本題考查了簡(jiǎn)單定積分地計(jì)算以及求二項(xiàng)式展開(kāi)式地指定項(xiàng)地基本方法．＝=2,T=(-1)()()=(-1)2xDO令３－r=2,得r=1,因此,展開(kāi)式中含項(xiàng)地系數(shù)是－192．DO11．解析：．本題考查了合情推理地能力．連接CO且延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D,連PD,由已知PC⊥PD,在直角三角形PDC中,DC·h＝PD·PC,即,容易知道AB⊥平面PDC,所以AB⊥PD,在直角三角形APB中,AB·PD＝PA·PB,所以,,故.（也可以由等體積法得到）12．解析：（1）（4）．本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)地基本思想及常用邏輯用語(yǔ)．由題意,得,,所以,只有第一位同學(xué)地判斷正確,即：有地把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒地作用”．由真值表知（1）（4）為真命題．▲選做題:在下面三道小題中選做兩題,三題都選地只計(jì)算前兩題地得分.（其中14題第一空3分,第二空2分）13．解析：．本題考查了簡(jiǎn)單地直線和圓地極坐標(biāo)方程以及它們地基本知識(shí)．直線化為直角坐標(biāo)方程是2x+y-1=0;圓地圓心（１,０）到直線2x+y-1=0地距離是14．解析：[－１,１]；．本題考查絕對(duì)值地意義,含參絕對(duì)值不等式地解法．當(dāng)x≤1時(shí),g(x)=|x-1|-|x-2|=-1當(dāng)１＜x≤２時(shí),g(x)=|x-1|-|x-2|=2x-3,所以-１<≤1當(dāng)x＞２時(shí),g(x)=|x-1|-|x-2|=1綜合以上,知-1≤g(x)≤1.（此結(jié)果也可以由絕對(duì)值地幾何意義直接得出）AEBPCD地解集為空集,就是1=[]AEBPCD所以.15．解析：7．本題考查了圓和切線地基本知識(shí)．由圓地性質(zhì)PA=PC·PB,得,PB=12,連接OA并反向延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)E,在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,DB=8,J記圓地半徑為R,由于ED·DA=CD·DB因此,(２R－２)·2=3·8,解得R=7三、解答題：16．（本小題滿(mǎn)分12分）(1)解：∵A+B+C=180°由…………1分∴………………3分整理,得…………4分解得：……5分∵∴C=60°………………6分（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC,即7=a2+b2－ab…………7分∴………………8分由條件a+b=5得7=25－3ab……9分……10分∴…………12分17．（本小題滿(mǎn)分12分）解：（1）記事件A為“任取兩張卡片,將卡片上地函數(shù)相加得到地函數(shù)是奇函數(shù)”,由題意知………………4分（2）ξ可取1,2,3,4.,；…………8分故ξ地分布列為ξ1234P……………10分答：ξ地?cái)?shù)學(xué)期望為………………12分18．（本小題滿(mǎn)分14分）解:（1）（法一）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz.……………1分則A（0,0,2）,B（2,0,0）,G（2,2,0）,D（0,2,2）,E（0,0,0）…………2分xxyz（－2,2,2）,（2,2,0）…………………3分H（－2,2,2）·（2,2,0）＝0,∴……………4分H（法二）作DH⊥EF于H,連BH,GH,……………1分由平面平面知：DH⊥平面EBCF,而EG平面EBCF,故EG⊥DH.又四邊形BGHE為正方形,∴EG⊥BH,BHDH＝H,故EG⊥平面DBH,…3分而B(niǎo)D平面DBH,∴EG⊥BD.…4分（或者直接利用三垂線定理得出結(jié)果）（2）∵AD∥面BFC,所以VA-BFC＝＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·4·(4-x)·x………………………7分即時(shí)有最大值為.…………8分（3）（法一）設(shè)平面DBF地法向量為,∵AE=2,B（2,0,0）,D（0,2,2）,H_EMFDBACGF（0,3,0）,∴（－2H_EMFDBACG則,即,取x＝3,則y＝2,z＝1,∴面BCF地一個(gè)法向量為……………12分則cos<>=…………13分由于所求二面角D-BF-C地平面角為鈍角,所以此二面角地余弦值為－…14分（法二）作DH⊥EF于H,作HM⊥BF,連DM.由三垂線定理知BF⊥DM,∴∠DMH是二面角D-BF-C地平面角地補(bǔ)角.…9分由△HMF∽△EBF,知,而HF=1,BE=2,,∴HM＝.又DH＝2,∴在Rt△HMD中,tan∠DMH=-,因∠DMH為銳角,∴cos∠DMH＝,………………13分而∠DMH是二面角D-BF-C地平面角地補(bǔ)角,故二面角D-BF-C地余弦值為－.………………14分19．（本小題滿(mǎn)分14分）解：（1）設(shè)C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1（a>b>0）,設(shè)c>0,c2＝a2－b2,由條件知a-c＝eq\f(\r(2),2),eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2),∴a＝1,b＝c＝eq\f(\r(2),2),故C地方程為：y2＋eq\f(x2,\f(1,2))＝1………4分（2）由eq\x\to(AP)＝λeq\x\to(PB)得eq\x\to(OP)－eq\x\to(OA)＝λ（eq\x\to(OB)－eq\x\to(OP)）,（1＋λ）eq\x\to(OP)＝eq\x\to(OA)＋λeq\x\to(OB),∴λ＋1＝4,λ＝3………………6分設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A（x1,y1）,B（x2,y2）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,2x2＋y2＝1))得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2x1＋x2＝eq\f(－2km,k2＋2),x1x2＝eq\f(m2－1,k2＋2)………………9分∵eq\x\to(AP)＝3eq\x\to(PB)∴－x1＝3x2∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－2x2,x1x2＝－3x\o\al(2,2)))消去x2,得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0,∴3（eq\f(－2km,k2＋2)）2＋4eq\f(m2－1,k2＋2)＝0整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0………………11分m2＝eq\f(1,4)時(shí),上式不成立；