2024屆湖南省寧鄉(xiāng)市高一下數(shù)學(xué)期末調(diào)研模擬試題含解析

2024屆湖南省寧鄉(xiāng)市高一下數(shù)學(xué)期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若一個(gè)人下半身長(zhǎng)（肚臍至足底）與全身長(zhǎng)的比近似為5-12（5-12≈0.618A．身材完美，無(wú)需改善 B．可以戴一頂合適高度的帽子C．可以穿一雙合適高度的增高鞋 D．同時(shí)穿戴同樣高度的增高鞋與帽子2．已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離3．下列函數(shù)中周期為，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱的函數(shù)是()A． B．C． D．4．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則形狀是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形5．已知向量，，，且，則（）A． B． C． D．6．若,且,,則（）A． B． C． D．7．已知扇形的面積為2cm2,扇形圓心角θ的弧度數(shù)是4,則扇形的周長(zhǎng)為()A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm8．在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù).則的值介于0到之間的概率為（）.A． B． C． D．9．在投資生產(chǎn)產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)需要資金200萬(wàn)，需場(chǎng)地，可獲得300萬(wàn)；投資生產(chǎn)產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)需要資金300萬(wàn)，需場(chǎng)地，可獲得200萬(wàn)，現(xiàn)某單位可使用資金1400萬(wàn)，場(chǎng)地，則投資這兩種產(chǎn)品，最大可獲利()A．1350萬(wàn) B．1475萬(wàn) C．1800萬(wàn) D．2100萬(wàn)10．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則可能取值是().A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，則與的夾角是_________.12．有一個(gè)底面半徑為2，高為2的圓柱，點(diǎn)，分別為這個(gè)圓柱上底面和下底面的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)或的距離不大于1的概率是________.13．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為_(kāi)__________。14．已知一圓臺(tái)的底面圓的半徑分別為2和5，母線長(zhǎng)為5，則圓臺(tái)的高為_(kāi)______.15．已知方程的兩根分別為、、且，且__________．16．某產(chǎn)品分為優(yōu)質(zhì)品、合格品、次品三個(gè)等級(jí)，生產(chǎn)中出現(xiàn)合格品的概率為0.25，出現(xiàn)次品的概率為0.03，在該產(chǎn)品中任抽一件，則抽到優(yōu)質(zhì)品的概率為_(kāi)_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知公差不為零的等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，請(qǐng)求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．已知平面向量滿足：（1）求與的夾角；（2）求向量在向量上的投影.19．已知、、是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中=（1，2），=（﹣2，3），=（﹣2，m）（1）若⊥（+），求||；（2）若k+與2﹣共線，求k的值．20．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°,E是BC的中點(diǎn)，M（1）求證：AE⊥平面PAD；（2）若AB=AP=2，求三棱錐P-ACM的體積.21．已知函數(shù)的最小正周期為.將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到函數(shù)的圖象.（1）求的值及函數(shù)的解析式；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間及對(duì)稱中心

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析研究得解.【詳解】A.103103+72B.假設(shè)她需要戴上高度為x厘米的帽子，則103175C．假設(shè)她可以穿一雙合適高度為y的增高鞋，則103+D.假設(shè)同時(shí)穿戴同樣高度z的增高鞋與帽子,則103+故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對(duì)新定義的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】化簡(jiǎn)圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r3、B【解析】因?yàn)椋赃x項(xiàng)A,B,C,D的周期依次為又當(dāng)時(shí)，選項(xiàng)A,B,C,D的值依次為所以只有選項(xiàng)A,B關(guān)于直線對(duì)稱，因此選B.考點(diǎn)：三角函數(shù)性質(zhì)4、D【解析】

由，利用正弦定理化簡(jiǎn)可得sin2A＝sin2B，由此可得結(jié)論．【詳解】∵，∴由正弦定理可得，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A+2B＝π，∴A＝B或A+B＝，∴△ABC的形狀是等腰三角形或直角三角形故選D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

由可得,代入求解可得,則,進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式求解即可【詳解】由可得,即,所以,因?yàn)?所以,則,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查垂直向量的應(yīng)用,考查里利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值6、B【解析】

利用兩角和差的正弦公式將β＝α-(α﹣β)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】β＝α-(α﹣β)，∵＜α，＜β，β＜，∴α，∵sin（）0，∴＜0，則cos（），∵sinα，∴cosα，則sinβ＝sin[α-(α﹣β)]＝sinαcos（α﹣β）-cosαsin（α﹣β）（），故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查利用兩角和差的正弦公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系，將β＝α-(α﹣β)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題7、C【解析】設(shè)扇形的半徑為R,則R2θ=2,∴R2=1R=1,∴扇形的周長(zhǎng)為2R+θ·R=2+4=6(cm).8、D【解析】

由，得.由函數(shù)的圖像知，使的值介于0到之間的落在和之內(nèi).于是，所求概率為.故答案為D9、B【解析】

設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品x百噸，生產(chǎn)產(chǎn)品百噸，利潤(rùn)為百萬(wàn)元，先分析題意，找出相關(guān)量之間的不等關(guān)系，即滿足的約束條件，由約束條件畫(huà)出可行域；要求應(yīng)作怎樣的組合投資，可使獲利最大，即求可行域中的最優(yōu)解，在線性規(guī)劃的解答題中建議使用直線平移法求出最優(yōu)解，即將目標(biāo)函數(shù)看成是一條直線，分析目標(biāo)函數(shù)與直線截距的關(guān)系，進(jìn)而求出最優(yōu)解．【詳解】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品百噸，生產(chǎn)產(chǎn)品百噸，利潤(rùn)為百萬(wàn)元?jiǎng)t約束條件為：，作出不等式組所表示的平面區(qū)域：目標(biāo)函數(shù)為.由解得.使目標(biāo)函數(shù)為化為要使得最大，即需要直線在軸的截距最大即可.由圖可知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)截距最大.此時(shí)應(yīng)作生產(chǎn)產(chǎn)品3.25百噸，生產(chǎn)產(chǎn)品2.5百噸的組合投資，可使獲利最大．

故選：B．【點(diǎn)睛】在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用題時(shí)，其步驟為：①分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件?②由約束條件畫(huà)出可行域?③分析目標(biāo)函數(shù)Z與直線截距之間的關(guān)系?④使用平移直線法求出最優(yōu)解?⑤還原到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中．屬于中檔題.10、D【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的對(duì)稱性，可以得到一個(gè)等式，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)選出正確答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以有，當(dāng)時(shí)，，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對(duì)稱性，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用向量的數(shù)量積直接求出向量的夾角即可.【詳解】由題知，，因?yàn)?，所以與的夾角為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求解向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

本題利用幾何概型求解．先根據(jù)到點(diǎn)的距離等于1的點(diǎn)構(gòu)成圖象特征，求出其體積，最后利用體積比即可得點(diǎn)到點(diǎn)，的距離不大于1的概率；【詳解】解：由題意可知，點(diǎn)P到點(diǎn)或的距離都不大于1的點(diǎn)組成的集合分別以、為球心，1為半徑的兩個(gè)半球，其體積為，又該圓柱的體積為，則所求概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型、圓柱和球的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．關(guān)鍵是明確滿足題意的測(cè)度為體積比．13、3；【解析】

由三視圖還原幾何體，根據(jù)垂直關(guān)系和勾股定理可求得各棱長(zhǎng)，從而得到最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度.【詳解】由三視圖可得幾何體如下圖所示：其中平面，，，，，，四棱錐最長(zhǎng)棱為本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體的相關(guān)問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確還原幾何體中的長(zhǎng)度和垂直關(guān)系，從而確定最長(zhǎng)棱.14、4【解析】

根據(jù)圓臺(tái)軸截面等腰梯形計(jì)算．【詳解】，設(shè)圓高為，由圓臺(tái)軸截面是等腰梯形得：，即，，故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查求圓臺(tái)的高，解題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A臺(tái)的性質(zhì)，圓臺(tái)軸截面是等腰梯形．15、【解析】

由韋達(dá)定理和兩角和的正切公式可得，進(jìn)一步縮小角的范圍可得，進(jìn)而可求．【詳解】方程兩根、，，，，又，，，，，，，結(jié)合，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，涉及韋達(dá)定理，屬中檔題．16、0.72【解析】

根據(jù)對(duì)立事件的概率公式即可求解.【詳解】由題意，在該產(chǎn)品中任抽一件，“抽到優(yōu)質(zhì)品”與“抽到合格品或次品”是對(duì)立事件，所以在該產(chǎn)品中任抽一件，則抽到優(yōu)質(zhì)品的概率為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)立事件的概率公式，熟記對(duì)立事件的概念及概率計(jì)算公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）存在，最小值是．【解析】

（1）利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)列方程，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式列方程組，解方程組求得，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）首先求得數(shù)列的前項(xiàng)和，由列不等式，解一元二次不等式求得的取值范圍，由此求得的最小值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為（），由題意得化簡(jiǎn)，得．因?yàn)?，所以，解得所以，即?shù)列的通項(xiàng)公式是（）．（2）由（1）可得．假設(shè)存在正整數(shù)，使得，即，即，解得或(舍)．所以所求的最小值是．【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比中項(xiàng)的性質(zhì)，考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，考查一元二次不等式的解法，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）由題，先求得的大小，再根據(jù)數(shù)量積的公式，可得與的夾角；（2）先求得的模長(zhǎng)，再直接利用向量幾何意義的公式，求得結(jié)果即可.【詳解】（1）∵，∴，又∵，∴，∴，∴（2）∵，∴∴向量在向量上的投影為【點(diǎn)睛】本題考查了向量的知識(shí)，熟悉向量數(shù)量積的知識(shí)點(diǎn)和幾何意義是解題的關(guān)鍵所在，屬于中檔題.19、（1）；（2）-2【解析】

（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)的運(yùn)算法則和向量垂直的條件，以及模的定義即可求出;（2）根據(jù)向量共線的條件即可求出．【詳解】（1）∵，∴，，∴m=﹣1∴∴=（2）由已知：，，因?yàn)椋裕簁﹣2=4（2k+3），∴k=﹣2【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的垂直和平行，屬于基礎(chǔ)題．20、(1)見(jiàn)證明；(2)3【解析】

(1)本題首先可以通過(guò)菱形的相關(guān)性質(zhì)證明出AE⊥AD，然后通過(guò)PA⊥菱形ABCD所在的平面證明出PA⊥AE，最后通過(guò)線面垂直的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果；(2)可以將三角形APM當(dāng)成三棱錐P-ACM的底面，將AE當(dāng)成三棱錐P-ACM的高，最后通過(guò)三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：連接AC，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，∠ABC=60°，所以因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC，因?yàn)锳D//BC，所以AE⊥AD，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE，又因?yàn)镻A∩AD=A，所以AE⊥平面PAD．（2）AB=AP=2,則AD=2，AE=3所以Vp【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何的相關(guān)性質(zhì)，主要考查線面垂直的證明以及三棱錐體積的求法，可以通過(guò)證明平面外一條直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線來(lái)證明線面垂直，考查推理