2024年上海市崇明區(qū)中考一模數學試題（學生版+解析版）

2024年上海市崇明區(qū)中考一模數學試題

（滿分ISO分，完卷時間100分鐘）

考生注意：

L本試卷含三個大題，共25題，答題時，考生務必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，

在草稿紙、本試卷上答題一律無效.

2.除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出證明或計

算的主要步驟.

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙

的相應位置上】

I.如果兩個相似三角形的周長之比為卜4,那么它們時應邊之比為（）

A.1：2B.1：4C.1：8D.1:16

2.在直角坐標平面內有一點A（5,12），點A與原點。的連線與x軸正半軸的夾角為0,那么tan。的值為

()

3,將拋物線y=向左平移3個單位后，得到的新拋物線的表達式為（）

A.y=-x2-3B,y=-x2+3C.y=-（x+3）2D.y=-（x-3）2

4.已知非零向量下列條件中不一定能判定a〃8的是（）

A,同=2忖B.a=2bC.a//c,b//cD.a=2c,b//c

5.在j\BC中，點/入E分別在邊AB、AC上，以下能推出DE//BC條件是（）

AD3CE3AD3DE3

A.-----=—>------—B.-----=—,------=—

DB4AE4AB4BC4

AB4EC1AD3CE3

C.-----=-，------=一D.-----—―,------

AD3AE3AB4AC"4

6.在二次函數）,二℃2+〃,r+c、中，如果a<0,Z?>0,c<0?那么它的圖像一定不經過（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

【請將結果直接填入答題紙的相應位置上】

7.己知g=±,那么，一的值為______.

b3a+b

8.計算：悖/+2“一■!"-4=.

9.已知點P是線段AB的黃金分割點，且AP>3P,則的值=.

10.在RtZ^ABC中，NC=90°,AC=8,sin8=0.8,則A8的長為.

11.如果拋物線），=（"?-|）.d+〃?經過原點，那么該拋物線的開口方向.

12.已知一條拋物線對稱軸是直線x=l,且在對稱釉右側的部分是上升的，那么該拋物線的表達式可以

是.（只要寫出一個符合條件的即可）

13.如圖，已知AD〃8E〃CE,它們與直線小乙依次交于點A、8、C,點。、￡、F,如果

EF3

——A8=10,那么線段8C的長是

DF5-------

B'

1\

14.如圖，在平行四邊形ABC-中，點“在邊AD上，聯結8E,交對角線AC于點尸，如果

=AO=15,那么AE=________.

,△RFC"

15.如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60。方向，距離燈塔25海里的A處，它沿正北方向航行到達位于

燈塔正東方向上的3處，那么此時輪船與燈塔P的距離為海里.

16.如圖，在A8C中，乙48c=60°,P是A8C內一點，且乙4P8=N8PC=120°,如果

AP=3,HP=\,那么CP=

17.如圖，將矩形AACO沿EM、FW折疊，點八、/）分別與A、D'對應，B、。兩點對應點落在八/）上

的點G處，且GM±GN，如果5/柘=8,S1,5=2,那么48的長為

18.定義：〃為■。內一點，連接Q4、PB、PC,在合出6、&尸8。和△幺。中，如果存在一個三角

形與a4BC相似，那么就稱戶為的自相似點，根據定義求解問題：已知在RtAABC中，

zS4C5=9t°,CQ是48邊上的中線，如果“16。的重心戶恰好是該三角形的自相似點，那么上尸瓦＞

的余切值為.

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

19.計算：cos245-sin60—pcot3().

3ian30

2（）.如圖，已知在_A6C中，AC=18,點”在邊。。上，DE//AB,9DE=4A13.

(2)連接AQ,設A6=a,AC=4,試用n,。表示A。.

21.已知二次函數），=29+4犬-6

⑴用配方法把二次函數y=2r+41-6化為），=，心+〃?）2+左的形式，并指出這個函數圖像的對稱軸

和頂點坐標；

（2）如果該函數圖像與x軸負半軸交-J.?點A,與軸交于點C,頂點為D。為坐標原點，求四邊形

ADCO的面積.

22.如圖，某校九年級興趣小組在學習了解直角三角形知識后，開展了測量山坡上某棵大樹高度的活

動.己知小山的斜坡8M的坡度i=|：、「，在坡面。處有一棵樹A。（假設樹A。垂直水平線8N）,在

坡底B處測得樹梢A的仰角為45°,沿坡面BM方向前行30米到達C處，測得樹梢A的仰角AACQ為

60°.（點8、C、。在一直線上）

（1）求A、C兩點距離；

（2）求樹AD的高度（結果精確到0.1米）.（參考數據：73^1,732）

23.如圖，已知在梯形A8CD中，AD〃BC，E是邊BC上一點、,AE與對角線6。相交于點兒且

BE=EF-AE-

（2）聯結AC，與8。相交于點O,若AB?OBBC2AF,求證：AF°=ODxBF

24.已知在直角坐標平面xQy中，拋物線)，=&+&+。(“00)經過點人(—1,0)、3(3,0)、C(0,3)三

備用圖

(2)點。是點C關于拋物線對稱軸對稱的點，連接A。、BD,將拋物線向下平移〃1(〃7>0)個單位后，

點。落在點E處，過&E兩點的直線與線段AD交于點F.

①如果，〃=2,求tanZ.DBF值；

②如果V5DE與AAB?相似，求m的值.

25.已知RtAABC中，4a=90。，AC=3,A6=5,點。是A5邊上的一個動點(不與點八、8重

合)，點廠是邊3c上的一點，且滿足N8F=NA,過點C作CE1CD交。廠的延長線于巴

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當C￡〃A3時，求AD的長：

(2)如圖2,聯結8E,設AD=x,BE=y,求了關于.1的函數解析式并寫出定義域；

(3)過點C作射線BE的垂線，垂足為H,射線CH與射線DE交于點Q，當是等腰三角形時,

求AD的長.

2024年上海市崇明區(qū)中考一模數學試題

（滿分150分，完卷時間100分鐘）

考生注意：

I.本試卷含三個大題，共25題，答題時，考生務必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，

在草稿紙、本試卷上答題一律無效.

2.除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出證明或計

算的主要步驟.

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙

的相應位置上】

I.如果兩個相似三角形的周長之比為卜4,那么它們對應邊之比為（）

A.］：2B.1：4C.1：8D.1:16

【答案】B

【解析】

［分析】本題主要考查了相似三角形的性質，熟知相似三角形的周長之比等于相似比是解題的關鍵.

【詳解】解：I.兩個相似三角形的周長之比為1：4,

它們對應邊之比為1:4,

故選B.

2.在直角坐標平面內有一點A（5,12）,點A與原點。的連線與、軸正半軸的夾角為8,那么tan。的值為

（）

512512

A.—B.—C.—D.—

1313125

【答案】□

【解析】

【分析】本題考查了求銳角的正切值：畫出圖形，過人作軸于從則由點八的坐標可得03,AB,

由正切的定義即可求解.

【詳解】解：如圖，過人作軸于8,

A(5,⑵，

??.08=5,AB=12,

AB12

tan</=---=——：

OB5

故選：D.

3.將拋物線y=-F向左平移3個單位后，得到的新拋物線的表達式為()

A.y=-x2-3B.y=-x2+3C.y=-(.v+3)2D.y=-(.r-3):

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了二次函數圖象的平移，關鍵是抓住拋物線頂點的平移；原拋物線的頂點為原點，向左平

移3個單位后的頂點坐標為(-3,0),由此即可得平移后新拋物線的表達式.

【詳解】解：拋物線的頂點為原點，原點向左平移3個單位后的坐標為(-3,0),

由于平移不改變圖象的大小與形狀，則平移后的新拋物線表達式為),=-(.r+3)，

故選：C.

4,已知非零向量,下列條件中不一定能判定&〃/?的是()

A.同=2網B.a=2〃C.a//c,b//cD.a=2c,b//c

【答案】A

【解析】

【分析】本膿考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，解題關鍵是對向量性質的理解.根據向量的性

質對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】解：A、只能判定的模的數量關系，不能判定符合題意:

B、d=2b<能判定?！?，不符合題意;

C、a〃c疝〃c,根據平行的傳遞性得到a〃5,不符合題意;

D、.=2c，得到。〃。，平行的傳遞性得到?！?,不符合題意:

故選A.

5.在幺BC中，點/）、5分別在邊A中AC上，以下能推出OE〃BC的條件是（）

AD3CE3AD3DE_3

一

A.■--------------Z二一,近一B.-1

DB4AB4BC-4

AB4ECAD3CE3

C.-------------------=-，------~D.-----=一,一--

AD3AE-3AB4AC4

【答案】C

【解析】

【分析】木題考查了相似三角形的判定與性質，平行線的判定；畫出圖形，根據相似三角形的判定與性質逐

一判斷即可.

【詳解】解：畫出圖形如下:

An3CE3

A、由——=—,——=—不能得［」［△ABC,"OE相似，故不能判定OE〃BC；

DB4AE4

4/)3［)F3

B、由——=—,——=—不能得|”△ABC,AAQE相似，故不能判定DE〃8C：

AB4BC4

EC1“AC4

C、?——>則有——,則ZXABCS/\ADE.

AE3AE3ADAE3

/.ZADE=ZABC,從而DE//BC-.

Af-）3CF3

D、由立一J=2不能得出ZMBC,"DE相似，故不能判定OE〃BC：

AB4AC4

故選：C.

6.在二次函數y=ad+6x+c中，如果a<0,b>0,c<0，那么它的圖像一定不經過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查二次函數的性質，根據二次函數了=。尸+〃*+。，o<0,。>0,c<0和二次函數的性

質，可知該函數圖象的對稱軸在了軸右側，與），軸交于負半軸，開口向下，然后即可判斷該函數圖象一定不

經過第二象限.

【詳解】解：二?二次函數），="?+/〃?+<:,〃<0,b>0,c<0,

,該函數圖象的時稱軸在了軸右側，與y軸交于負半軸，開口向下,

.?.該函數圖象存在三種情況，如圖所示，

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

【請將結果直接填入答題紙的相應位置上】

7.已知;=',那么-一的值為

b3a+b

4

【答案】-

【解析】

【分析】本就考查了分式的性質.熟練掌握分式的性質是解題的關鍵.

a

根據一二=一2一，計算求解即可.

a+bci,

----r1

h

a4

【詳解】解：由就意知，

a+bab47

---1--------十I

bb3

4

故答案為：一.

7

8?計算:（萬〃+劾］-（萬〃j=?

【答案】a+3h

【解析】

【分析】本題考查了向量的線性運算：根據向量的運算法則進行計算即可.

\—a+2b—a-b']=—a+2b――a+b=a+3b,

【詳解】解:

(2J12J22

故答案為：a+3b-

9.已知點P是線段A3的黃金分割點，且則AP:8P的值=.

【答案】@土I

2

【解析】

【分析】根據黃金分割的定義列可得答案.

【詳解】???點。是線段A/J的一個黃金分割點，且

1_275+1

肝=^77=7^1=攵

2

故答案為：避上1.

2

【點睛】本題考查了黃金分割點的應用，把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部

分與較大的比值，則這個比值即為黃金分割；其比值是叵口；理解黃金分割點的定義是解題的關鍵.

2

10.在RtZXABC中，NC=90°,AC=8,sin/J=0.8,則A8長為.

【答案】10

【解析】

【分析】利用銳角三角函數的定義，進行求解即可.

Ar

【詳解】解：在RtZXABC中，ZC=9O°,sin2J=—,

AB

'/AC=8,sin8=0.8

.-.—=0.8,

AB

：.A8=10；

故答案為：10.

【點睛】本題考查利用三角函數值求邊長.解題的關鍵是掌握正弦等于對邊比斜邊.

11.如果拋物線產（/〃-1）F+m經過原點，那么該拋物線的開口方向-

【答案】向下

【解析】

【分析】本題考查二次函數的圖象與性質；根據拋物線過原點，把原點坐標代入解析式中可求得，〃的值，

根據二次項系數的符號可確定拋物線的開口方向.

【詳解】解：：拋物線V=-1*+〃?經過原點,

1）?0〃7=0,

m=0，

.??拋物線為），=--：

?；-1<0,

拋物線開口向下：

故答案為：向下.

12.已知一條拋物線的對稱軸是直線x=l,且在對稱軸右側的部分是上升的，那么該拋物線的表達式可以

是.（只要寫出一個符合條件的即可）

【答案】y=/—2x+3（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質；由題意知，拋物線的開口向上，根據對稱軸與開口方向寫出一

個二次函數的表達式即可.

【詳解】解：?.?在對稱軸右側的部分是上升的

拋物線的開口向上：

?..拋物線的對稱軸是直線x=l,

2

拋物線可為：）-=X-2A-+3；

故答案為：），=/一21+3（答案不唯一）.

13.如圖，已知AD〃BE〃CF,它們與直線卜依次交于點A、B、C,點0、E、F,如果

【答案】15

【解析】

EF3DE2

【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，由——=二得一=一，根據平行線分線段成比例定理即

DF5EF3

可求解.

EF3

【詳解】解：

DF5

DE_2

---=一,

EF3

AD//BE//CF,

?AB_DE_2

,,BCEF3

3

BC=-AB=]5,

2

故答案為：15.

14.如圖，在平行四邊形A3C。中，點￡在邊AD上，聯結8￡，交為角線AC于點尸，如果

=]AO=15,那么AE=_______.

'△BFC'

【答案】5

【解析】

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質；由平行四邊形的性質為邊平行可得

,由相似三角形的性質即可求解.

【詳解】解：：四邊形A3C。是平行四邊形，

AD//BC,BC=AD=\5,

/.4AEFSACBF,

:.SAW「町」

S.⑻c<BC)9

AE_\

?ta?----二一，

BC3

即AE=-BC=5；

3

故答案：5.

15.如圖，一艘輪船位于燈塔。的南偏東60°方向，距離燈塔25海里的八處，它沿正北方向航行到達位于

燈塔正東方向上的8處，那么此時輪船與燈塔P的距離為________海里.

【解析】

【分析】本題考查了解直痢三角形的應用：由題意，利用余弦函數即可求解.

【詳解】解：：輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，

AZAP8=90°—60°=30°,

在RtqABP中，P8=PAcos30?25?—竺叵（海里）;

22

即此時輪船與燈塔P距離為絲叵海里.

2

故答案為：*木

2

16.如圖，在A3c中，Zz4fiC=60°.戶是A3C內一點，且NAPfi=N3PC=l20°,如果

AP=3,BP=A,那么CP=

【解析】

【分析】由題意可以得到N%8=NP8C,判定兩個三角形相似，然后用相似三角形的性質計算求出最終

結果；

本題考有的是相似三角形的判定與性質，運用相似三用形的知識解決問題是解題關鍵.

【詳解】解：ZAPB=NBPC=120°

設/FBC=a

乙PBA=60°-a

Z.PAB=a

所以/PAB=NPBC

:&APBsBPC

AP_PB

"~BP=~PC

3_4

~-

4PC

PC=—

3

故答案為：--

3

17.如圖，將矩形ABC。沿EM、F7V折疊，點八、。分別與A、D'對應，B、C兩點對應點落在八。上

G

的點G處，且GMLGN,如果5*￡=8，SIXCE=2,那么AB的長為.

【答案】2V2

【解析】

【分析】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，相似三角形的判定與性質；

由折疊的性質及已知可和AA如GA。。尸，結合面積得A9=4D"；設AB=a,好=b，則可得a,h

的關系，再由面積可求得〃，從而求得”的值.

【詳解】解：：四邊形A3。是矩形，

/.AB=CD,?AIB?C?。90?：

由折疊知，？4仃彳刊，B=2AGM,A'G=AB：

?。打彳辦C=?DGN90?.D^G=CD.

：.DiG=AG=CD=AB；

?：GM1GN.

A<G,N三點共線，ZXG,M三點共線,

/.DM//AE，

?DGF,

90?,

；.AA把GfDGF,

.A'^AG

..--=-------;

DGDF

,S,YEG=&S［），GF=

1..

-A^AG

：.-------------=4

-DIS^DF

2

即4豆=4。/；

設=a,D^F=b,則A的=4。；

?A@AG…4ba

由一出=——得：——=一，

DCDFab

即a=2bi

<Sh?2b2,

b=y/2(負值由去)，

?'-A13=a=2b=20；

故答案為：2&.

18.定義；P為“WC內一點，連接Q4、PB、PC,在PA8、抬C和△Q4C中，如果存在一個三先

形與“T5C相似，那么就稱戶為“3。的自相似點，根據定義求解問題：己知在RtAA/iC中，

4cB=90。，。。是A3邊上的中線，如果a48C的重心戶恰好是該三角形的自相似點，那么，尸8。

的余切值為.

【答案】述##°拒

22

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，重心的性質，銳角三角函數等知識；過點E作EFLAB于

E,由題意得ABC^aCAP,結合重心性質得AZi=JJAC：設AC=a,則AZi=J?a，由勾股定理得

BC：山￡為中點及/APC=9()。，可得PE,進而得座，山中線性質及面積關系可求得口，由勾股定

理求得則由余切的定義即可求得結果；由相似及重心性質得到AGA8的關系是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，中線BE,C。交于點戶，過點E作E尸」_48于￡,

,.-?APB?APD2BPD2ACP2BCP90?,2BPC?PDB90?,

/.APABOPBC不可能與.ABC相似，

二與“48C相似，

即AABC^CAP，旦ZAPC=90°,

—=—.AC-=AB'1PC^

ACPC

:尸是重心,

2

二PC=-CD-.

3

VZACB=90°,CD是斜邊上中線，

；.CD=-AB,

2

：.PC=」AB,

3

AC2=AB?PC-AB2,

3

AB=6AC；

設AC="，則由勾股定理得8c=J5a；

E為AC中點，44PC=90°,

/.PE-AE---AC——,

22

由重心性質得；BE=3PE=把;

2

,/跖為中線，

,,S&\BE~]S&ABL

即以8?EbBC，

222

??Eb=------，

6

由勾股定理得：BF=dBE、-EF'=』耳,

在Rl/XEFB中，cot?PBD—=?痘逑

EF662

故答案為：還.

2

三、解答題(本大題共7題，滿分78分)

19.計算：cost45---------+cot30.

3tan30

【答案】布

【解析】

【分析】本題考查了特殊角三角函數值的混合運算，熟記特殊角三角函數值是解題的關鍵；利用特殊角三角

函數化簡即可.

【詳解】解:原式=

+小

22

20.如圖，已知在“犯。中，8C=18,點。在邊8。上，DE//AB9DE=4AB.

A

(I)求8。的長;

(2)連接AO，設A8=a,AC=6，試用。力表示A。.

【答案】(I)10

【解析】

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，向量的線性運算：

CDDE44

(I)證明aCDEs,C8A得到一=一=—，則CD=—C3=8,由此可得8C—CO=1()：

CBAB99

444445

(2)先求出C8=a-Z?，再由C。=-CB得到CD=—CB=—a——b,則AO=AC+CO=-a+-b.

999999

【小問1詳解】

解：AB,

??一CDEsCBA，

"CD—DE—_4

CBAB9

4

:.CD=-CB=8,

9

/.BD=BC-CD=1U；

【小問2詳解】

解：，。二AB—AC，

CB=a—b，

4

?；CD=-CB,

9

-44-4-

CD=—CB=—a—b,

999

/.AD^AC+CD^b+-a--b^-a+-b

9999

21.已知二次函數,y=2』+4x—6

%

1-

---------------1--------

OI--------x

(I)用配方法把二次函數_y=2?+4.r-6化為y=a(x+m)2+k的形式，并指出這個函數圖像的對稱軸

和頂點坐標：

(2)如果該函數圖像與x軸負半軸交于點4與.、，軸交于點C,頂點為/),。為坐標原點，求四邊形

A0CO的面積.

【答案】(1)y=2(A+l)2-8,對稱軸為直線1二一1,頂點坐標為(一1，-8)

(2)15

【解析】

【分析】木題考查了二次函數的圖象與性質；

(1)配方法配方即可，配方后即可求得對稱軸與頂點坐標；

(2)設對稱軸交.r軸于點E；令￥=0,可求得點4的坐標；令x=0，可求得點C的坐標；由

S西邊形ACC。一ADE+S梯形0a定即可求解.

【小問1詳解】

解：.丫=29+41—6配方得：y=2(A-+I)2-8.

則拋物線的對稱軸為宜線A=-1,頂點坐標為(-1,-8)；

【小問2詳解】

解：設對稱軸交x軸丁點E：

令y=0,即y=2M+4A-6=0,

解得：$=-3,x2-],

點A的坐標為(一30),即。4=3,

令x=0,得y=-6,

???C(0,-6),即oc=6；

二.拋物線的對稱軸為直線x=-l,頂點坐標為(-

/.OE=1,DE-8，

AAE=OA-OE=3-1=2.

’5'w邊形八小"一S+S梯形"＜、＜?.

=-AE?DE-(DE+OC^OE

22

=_L倉必8+1?(86)?1

22

=15.

y,

22.如圖，某校九年級興趣小組在學習了解直角三角形知識后，開展了測量山坡上某棵大樹高度的活

動.已知小山的斜坡8M的坡度i=l：JJ,在坡面。處有保樹AD(假設樹垂直水平線6N),在

坡底B處測得樹梢A的仰角為45°,沿坡面BM方向前行30米到達C處，測得樹梢A的仰角^ACQ為

60°.(點'C、"在一直線上)

(1)求A、C兩點的距離；

(2)求樹的高度(結果精確到0.1米).(參考數據：行《1.732)

【答案】(1)30m

(2)樹的高度約為17.3m

【解析】

【分析】本題主要考查了解直知三角形的實際應用，三箱形外角的性質，等角對等邊等等：

(I)如圖所示，延長交8V于G,過點C作CH1AG于H,先RtACHD得到Z.DCH=30°.進

而推出乙ACD=30°，再求出448c=15。，則可推出ZABC=NCAB,得至UAC=6C=30m；

(2)先解Rt^AHC得至iJCH=15m,AH=15^3m，再解RtACDH得到DH=5Jim，則

AD=AH-DH=lO^rn=17.3m.

【小問I詳解】

解：如圖所示，延長AO交HN于G,過點C作CH1AG于H,

VAH±CH,AG.U3N,

：.CH//BN,

'：小山的斜坡BM的坡度i=l：5

.?.在RLCHO中，tanZDCH=--==—

CH不，3

：.ZDCH=30°，

?/ZACH=60°，

ZAC。=30。，

同理可得"6G=30°,

VZAfiG=45°.

NA8c=15。,

/.ZCAI3=ZACD-ZABC=15°,

^BC=ZCAB.

AC=BC=30m；

【小問2詳解】

CH=AC-cosZACH=30x'=15m,AH=ACcinZACH=30x—=15Gm，

22

在RtZ^C?！爸?，DH=CHlan/DCH=15乂4=56m，

:.AD=AH-DH=10>/3ma17.3m.

.??樹4)的高度約為17.3m.

23.如圖，已知在梯形ABC。中，Al)//BC,?是邊3c上一點，AE與對角線〃。相交于點兒且

BE1=EFAE-

AD

⑴求證：AZWBAA陽；

（2）聯結AC，與3。相交于點。，若AB?OBBC?AF，求證：AF2=ODxBF.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

［分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，靈活運用相似三角形的判定是解題的關鍵.

（1）由BE?=EF-AE及ZAEB=/BEF可得/XAEBsABEF，則有NEBF=NBAE；再由平行條件

得NBAE=ZADI3,則可證明&DABs&AFB：

（2）由A玻OBBC?AF及NEBF=NBAE,可得AABF^BCO,則可得ZAOF=ZAFO,進而得

AF=OA^再證明AOD^即可得到結論.

【小問1詳解】

證明：?:BE?=EF?AE,

.BE_AE

"~EF~~BE'

ZAEB=4BEF,

:.AAEfi^ABEF，

/.NEBF="AE；

；AB//BC，

：.?A9B?EBF,

/.NBAE="DB；

'：ZABF=4DBA，

：?{DABs&AFB：

【小問2詳解】

證明：；AB?OBBC?AF

ABBC

???_――:

AFOB

由（1）知NEBF=NBAE，

qABFsnBCO,

：.NAFB=4B0C,

NAF()=NAQF,

AF=OA-.

'：4B0C=/A0D,

：.ZAFB=ZAODx

由(1)知ZBAE=ZADB，

，AAOiBFA,

,OA_OD

即OA?AFOD2BF.

,/AF=OA,

AF2=ODxBF.

24.已知直角坐標平面xOy中，拋物線>,=磔2+&+44=0）經過點4（一1,0）、8（3,0）、。（0,3）三

多用圖

（2）點。是點C關于拋物線對稱軸對稱的點，連接AD、BD,將拋物線向下平移〃?（，〃>0）個單位后,

點。落在點“處，過8、￡兩點的直線與線段八。交于點反

①如果〃7=2,求tanNOZ?”的值：

②如果YBDF與相似，求m的值.

【答案】(1)y=-x2+2x+3

(2)①;；?"2=3或〃1=*

22

【解析】

【分析】（I）利用待定系數法求解即可；

（2）①先求出拋物線對稱軸為直線x=l,則。（2,3）,進而得到￡（2,1）：求出直線的的解析式為

）,=—x+3,同理可得直線A。的解析式為$=x+l,進而求出口（1,2）：利用勾股定理求出=

BF=2gBD=M，進而利用勾股定理的逆定理證明V8。尸是直角三角形，且NDFB=90°,則

DF1

lanZDBF=——=-：②AABEXc/XEBD時，則此時點F與點A重合，則8尸與A8重合，可得

BF2

〃?=?！?3；當二時，則ND8E=ND4B,如圖所示，設直線DE交x軸于G,則

G（2,0）,推出NQ4G=NADG=45°,得到=ND4B=45°,如圖所示，取點（-1,2）,則

DH=回,BH=后,BD=M，證明4BDH是等腰直角三角形，得至UNDBH=45°,則點F

13131

在直線8”上，同理可得直線8”的解析式為V=-2x+2,在）一―上1+2中，當犬=2時，）,=一,

,22222

則即可得到,"=3—!=*；綜上所述，,〃=3或“7=2.

【小問1詳解】

解：把A（-1,0）、8（3,0）、。（03）代入y=ad+法+。（〃工0）中，

。一。+c=0

得：，94+3〃+c=0,

c=3

々二一1

：.<b=2,

c=3

??.拋物線解析式為y=-x2+2.v+3；

【小問2詳解】

解：①V拋物線解析式為）,=—X?+2x+3=-（X—1）2+4,

...拋物線對稱軸為直線x=l,

???點。是點C關于拋物線對稱軸對稱的點，

二0（2,3）,

將拋物線向卜平移〃?（〃?>0）個單位后，點”落在點E處，且〃7=2,

二￡（2,1）：

設直線BE的解析式為），=kx+b',

3k+b'=0

2k+b'=\

卜=-1

|//=3'

，直線BE的解析式為y=-x+3,

同理可得直線AD的解析式為3'=-'+1,

），=-x+3

聯立

y=x+1

x=1

解得《［），=2

*1,2）；

o“="（2—I?+（3—2）222=2V2.

=Q.BF=^3_1）+（O_2）

30=J（3-2）2+（O_3『=5，

：.。尸+2尸=（同，（2忘『=1（）=（M『=BD2,

二NBDF是直角三角形，旦NDFB=90°,

②當/\ABIWAFBD時，則此時點廣與點八重合，則BF與A3重合,

m=DE=3：

當?ABD^.BFD時,則NDZ?/=ND45,

如圖所示，設直線。E交x軸于G,則G（2,0）,

：.DG=AG=3,

：.ND4G=ZADG=45。，

/.ZDBF=ZDAB=45°,

如圖所示，取點H（T，2）,則D”=J（_]_2）2+（2-3）2=如，

6"=』-l-3f+（2-0）2=?,6D=43-2）2+（0-3『=加

二DH=BD,DH2+B