2023-2024學(xué)年山東、湖北重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷含解析

2023-2024學(xué)年山東、湖北重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

TT7T

1.函數(shù)/（x）=Asin（ox+］）（o>0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為q的等差數(shù)列，要得到函數(shù)

8。）=7^05（9%的圖象，只需將/（尤）的圖象（）

A.向左平移二個(gè)單位B.向右平移百個(gè)單位

124

1T

C.向左平移〃個(gè)單位D.向右平移1個(gè)單位

4

2.秦九韶是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦

九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入x的

值為2,則輸出的v值為（）

A.9x210-2B.9x210+2C.9義2"+2D.9x2u-2

3.拋物線丁=2加（夕>0）的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C,過點(diǎn)C作直線/與拋物線交于4、B兩點(diǎn),使得A是的

中點(diǎn)，則直線/的斜率為（）

A.±-B.+2C.±1D.±J3

3-3

4.已知耳，工是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且|桃|>|「￡|,橢圓的離心率為4,雙曲線

的離心率為02,若附1=1片閶，則;+三的最小值為（）

A.6+2百B.6+2拒C.8D.6

2

5.若ae[l,6],則函數(shù)y=±詈在區(qū)間[2,+00）內(nèi)單調(diào)遞增的概率是（）

4321

A.—B?—C.一D?一

5555

6.（V—2卜x+2）5的展開式中含一的項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-20B.60C.70D.80

3

7.已知函數(shù)/（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，/（x）=e'+x,則a=/（_25）/=/（log29）,c=/（逐）的

大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

,、111,、

8.已知等差數(shù)列｛4｝的公差不為零，且一，一，一構(gòu)成新的等差數(shù)列，S"為｛%｝的前幾項(xiàng)和，若存在“使得"=0,

Q]。3^^4

則九=（）

A.10B.11C.12D.13

9.本次模擬考試結(jié)束后，班級要排一張語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評順序表，若化學(xué)排在生物

前面，數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有（）

A.72種B.144種C.288種D.360種

22

10.設(shè)雙曲線二-與=1（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn)，過B,C

ab

分別作AC,AB的垂線交于點(diǎn)D.若D到直線BC的距離小于a+必兩，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是

（）

A.（-1,0）（0,1）

B.(-oo,-l)(1,+<?)

C.(-72,0)(0,72)

D.(-C?,-A/2)U(A+W)

11.已知函數(shù)/(x)=log“(|x—2|-a)(a〉O,且。/1),則“/(x)在(3,+s)上是單調(diào)函數(shù)”是“0＜，＜1"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

12.若函數(shù)/(%)=即-初/有且只有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

2)\(e1\(/一

A.一,+ooB.—,+ooC.-oo,一D.-oo,一

4444

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知雙曲線。：二一與=1(?！?,〃>0)的左，右焦點(diǎn)分別為《，B，過點(diǎn)耳的直線與雙曲線的左，右兩

ab

7

支分別交于4,B兩點(diǎn),若|/R|=|A閶，cosZBAF2=-,則雙曲線C的離心率為.

8

14.已知函數(shù)/(x)=e*(x+l)2,令/(x)=/，(x),力+i(x)=/：(%)若力(?=/(q無2+3+%),9]

r\

表示不超過實(shí)數(shù)機(jī)的最大整數(shù)，記數(shù)列c的前〃項(xiàng)和為S〃,則[35,^]=_________

2c-b'

15.在(6+再,的展開式中，x的系數(shù)等于一.

16.“石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲，其規(guī)則是：在石頭、剪子和布中，二人各隨機(jī)選出一種，若相同則平

局；若不同，則石頭克剪子，剪子克布，布克石頭.甲、乙兩人玩一次該游戲，則甲不輸?shù)母怕适?

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)己知AABC的內(nèi)角A,瓦C的對邊分別為“,仇c.設(shè)跑史+匈￡=+

sinCsinBsinBsinC

(1)求tanA的值；

(2)若夜sinB=3sinC，且$金=2叵，求。的值?

18.(12分)已知橢圓C：—+*=l(a〉6〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)2,焦距為2,且經(jīng)過點(diǎn)?[一1,一3),

斜率為左仕>0)的直線4經(jīng)過點(diǎn)M(0,2),與橢圓C交于G,H兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P(九0),使得以PG,7W為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出機(jī)的取值范圍，

如果不存在，請說明理由.

22

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓。：上+匕=1的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為歹，P,Q為橢圓C上兩

43

點(diǎn)，圓0:f+/=/&〉0).

(1)若PNJLx軸，且滿足直線AP與圓。相切，求圓。的方程；

(2)若圓。的半徑為JL點(diǎn)P,Q滿足壇「?壇0=-三，求直線PQ被圓。截得弦長的最大值.

20.(12分)已知｛4｝是等差數(shù)列，滿足%=3,4=12,數(shù)列也｝滿足4=4,a=20,且也—%｝是等比數(shù)

列.

(1)求數(shù)列｛4｝和加"｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和.

21.(12分)如圖，在四棱錐尸—ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，NDAB=60°,ZADP=90°,平面ADP±

平面ABC。，點(diǎn)產(chǎn)為棱P￡)的中點(diǎn).

(I)在棱上是否存在一點(diǎn)E,使得平面PCE,并說明理由；

(II)當(dāng)二面角。-/C-3的余弦值為注時(shí)，求直線PB與平面ABC。所成的角.

4

22.(10分)眼保健操是一種眼睛的保健體操，主要是通過按摩眼部穴位，調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán)，調(diào)節(jié)肌肉，改

善眼的疲勞，達(dá)到預(yù)防近視等眼部疾病的目的.某學(xué)校為了調(diào)查推廣眼保健操對改善學(xué)生視力的效果，在應(yīng)屆高三的全

體800名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行視力檢查，并得到如圖的頻率分布直方圖.

(1)若直方圖中后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計(jì)全年級視力在5.0以上的人數(shù)；

(2)為了研究學(xué)生的視力與眼保健操是否有關(guān)系，對年級不做眼保健操和堅(jiān)持做眼保健操的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到下

表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系？

(3)在(2)中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取8人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，

在這8人中任取2人，記堅(jiān)持做眼保健操的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n^ad-bc^

(a+/?)(c+d)(a+c)(0+d)

K2>k0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

2/^27r(冗、

依題意有/(x)的周期為7=——=—,?=3,/(%)=Asin3x+—|.而

o)3\4J

g(x)=Asin13x+-|-=Asin3x+—兀+—兀=Asin3x+—+—兀,故應(yīng)左移土71.

I44JI12J412

2、C

【解析】

由題意，模擬程序的運(yùn)行，依次寫出每次循環(huán)得到的左，v的值，當(dāng)左=-1時(shí)，不滿足條件左.0,跳出循環(huán)，輸出v

的值.

【詳解】

解：初始值丫=10,尤=2,程序運(yùn)行過程如下表所示:

k=9,

v=10x2+9,左=8,

V=10X22+9X2+8>k=1,

V=10X23+9X22+8X2+7>k=6,

v=10x24+9x23+8x22+7x2+6,k=5,

v=10x25+9x24+8x23+7x22+6x2+5,k=4,

v=10x26+9x25+8x24+7x23+6x22+5x2+4,k=3,

v=10x27+9x26+8x25+7x24+6x23+5x22+4x2+3,k=2,

v=10x28+9x27+8x26+7x25+6x24+5x23+4x22+3x2+2,k=l,

v=10x29+9x28+8x27+7x26+6x25+5x24+4x23+3x22+2x2+1,k=0,

v=10x210+9x29+8x28+7x27+6x26+5x25+4x24+3x23+2x22+1x2+0,k=-L,

跳出循環(huán)，輸出v的值為

1098765432

^^v=10x2+9x2+8x2+7x2+6x2+5x2+4x2+3x2+2x2+1x2+0@

2v=10x21I+9x210+8x29+7x28+6x27+5x26+4x25+3x24+2x23+lx22+0@

①為得

1110987S5432

-v=-10x2+1X2+1X2+1X2+1X2+1X2+1X2+1X2+1X2+1X2+1X2

2（l-210）

-v=-10x211+-^-----

1-2

v=9x2n+2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，正確依次寫出每次循環(huán)得到左，v的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

設(shè)點(diǎn)4（%,%）、8（九2,%），設(shè)直線A3的方程為x=由題意得出力=/，將直線/的方程與拋物線的方

程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合%可求得加的值，由此可得出直線/的斜率.

【詳解】

由題意可知點(diǎn)設(shè)點(diǎn)4（”）、B（x2,y2）,設(shè)直線A5的方程為戶沖/,

由于點(diǎn)4是的中點(diǎn)，則

x—my一°o

將直線/的方程與拋物線的方程聯(lián)立得,2,整理得產(chǎn)―2加〃y+p2=0,

y2=2px

由韋達(dá)定理得%+%=3%=力利，得%=浮,%%=2才=邈巨=/,解得加=±逑，

394

因此，直線/的斜率為J_=±迪.

m3

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線斜率的求解，考查直線與拋物線的綜合問題，涉及韋達(dá)定理設(shè)而不求法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬

于中等題.

4、C

【解析】

33

由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡一+￡,結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】

設(shè)橢圓的長半軸長為。，雙曲線的半實(shí)軸長為儲，半焦距為。，

則弓=￡,部=三,設(shè)1PMi=機(jī)

aa

由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得：

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式，屬于中等題.

5、B

【解析】函數(shù)y=W處在區(qū)間［2,+8）內(nèi)單調(diào)遞增，.?.歹=1一￡=土”》0,在［2,+8）恒成立，,aWf在

［2,+oo）恒成立，aW4,a目1,6］,a?1,4］,.?.函數(shù)y=三三在區(qū)間［2,+8）內(nèi)單調(diào)遞增的概率是，，=|，

故選B.

6^B

【解析】

展開式中含X4的項(xiàng)是由（X+2）5的展開式中含X4和X2的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)-2和%2項(xiàng)相乘得到，由二項(xiàng)式的通

項(xiàng)，可得解

【詳解】

由題意，展開式中含%4的項(xiàng)是由（x+2）5的展開式中含x4和%2的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)-2和%2項(xiàng)相乘得到，

所以（無2—2）（x+2）5的展開式中含x4的項(xiàng)的系數(shù)為一2C；X2+C1X23=60.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的求解，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、C

【解析】

333

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得。=/（_25）=/（25），再比較石,25』og,9的大小，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得選項(xiàng).

【詳解】

333

依題意得。=/（_25）=/（25），若<*=2忘=25<3=10828<10829，

當(dāng)時(shí)，f{x}=e+x,因?yàn)閑>l,所以y="在R上單調(diào)遞增，又V=x在R上單調(diào)遞增，所以/'（x）在［0,+s）

上單調(diào)遞增，

3

/（1臉9）〉/（25）〉/（6），即>>a>c，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用、易、指、對的大小比較，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.

8、D

【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得q=-6d,再利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可求解.

【詳解】

111

由一，一，一構(gòu)成等差數(shù)列可得

d-yCL3^^4

J___1_

^^3Cly^^4^^3

即生*生口=0=盤=%=2%

又%=%+3dn%=2(%+3d)

解得：%=-6d

nHV!

5LSn=-[2/+(n-l)^7]=-(-12d+(〃-l)d)=5d(n-l3)

所以S〃=0時(shí)，n=13.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前九項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

9、B

【解析】

利用分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列求解即可

【詳解】

第一步排語文，英語，化學(xué)，生物4種，且化學(xué)排在生物前面，有&=12種排法；第二步將數(shù)學(xué)和物理插入前4科

除最后位置外的4個(gè)空擋中的2個(gè)，有&=12種排法，所以不同的排表方法共有12x12=144種.

選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列的應(yīng)用，不相鄰采用插空法求解，準(zhǔn)確分步是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題

10、A

【解析】

由題意J,

根據(jù)雙曲線的對稱性知。在X軸上，設(shè)ZXx,O),則由

b2b2

得：_a___/_[°x/?，

CTc-a|a(a-c)|

因?yàn)?。到直線8C的距離小于a+所以

b*I/'.b*,,

cx-———<a?>j(r?從..<<r-6，

1^(0-c)|a1

Z?b

即0〈一<1,所以雙曲線漸近線斜率左=土一e(—L0)u(0,l),故選A.

aa

11、C

【解析】

先求出復(fù)合函數(shù)/(x)在(3,+s)上是單調(diào)函數(shù)的充要條件，再看其和0<。<1的包含關(guān)系，利用集合間包含關(guān)系與充

要條件之間的關(guān)系，判斷正確答案.

【詳解】

/(%)=loga(|x-21-a)(a>0,且awl),

由,一21—a>0得％<2—a或無>2+a,

即f(x)的定義域?yàn)閧尤|尤<2-?；騲>2+a},(a〉0,且awl)

令f=|x—2|—a,其在(—8,2—a)單調(diào)遞減，(2+a,+a))單調(diào)遞增，

2+a<3

/(元)在(3,+s)上是單調(diào)函數(shù)，其充要條件為?！?

即0<a<1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題，充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

12、B

【解析】

由/⑺=朋-叩2是偶函數(shù)，則只需/⑴=陰-初儲在％40,3)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)即可.

【詳解】

解：顯然/(%)=泌-初d是偶函數(shù)

所以只需xe(O,4w)時(shí)，/(%)=陰一如之=產(chǎn)—如之有且只有2個(gè)零點(diǎn)即可

令ex-nvc=0>貝！I相=二

X

w\、er(x-2)

令g(x)=7，g(%)=3

xe(O,2),g，(x)<O,g(x)遞減,且xfO+,g(x)f+oo

xe(2,+oo),g，(x)>0,g(x)遞增，且xf+oo,g(x)f+oo

g(x)Ng(2)=W

xe(0,+oo)時(shí)，/(x)=/-"z/=e*-zra?有且只有2個(gè)零點(diǎn)，

只需用〉一

4

故選:B

【點(diǎn)睛】

考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、巫

3

【解析】

設(shè)忸閶加，由雙曲線的定義得出：忸國=2冬+川明|=加一2即由|AB|=|A閶得A5居為等腰三角

7—\BFI—n

形，設(shè)//18罵=/4鳥8=9,根據(jù)COS/84鳥=6,可求出二”1-21_2,得出機(jī)=2”，再結(jié)合焦點(diǎn)

84|AF,|m

三角形ABEK，利用余弦定理：求出。和c的關(guān)系，即可得出離心率.

【詳解】

解：^.\BF2\=n,\AF2\=m,

由雙曲線的定義得出:

忸司―忸耳|=2a,則忸4|=2a+〃，

|4閶—|4制=2。,則卜周=7〃_2匹

由圖可知：|AB|=|BE|—|4周=4。+”一加,

又|AB|=|A閶，

即4a+n—m=mf

則2m=4a+〃，

AA與工為等腰三角形，

7

cosZBAF2=—,

設(shè)NA3月=/A鳥3=。，

20+ZBAF2=7i,則=〃—

7

/.cos20=cos(?-ZBAF)=-cosBAF=——,

228

7i

BPCOS2<9=2COS2<9-1=——,解得：cos6=—,

84

1

.2\1>解得：m=2n,

m4

口口4

4〃=4Q+〃，即3〃=4〃，解得：n=—a,

3

8

/.m——a,

3

在△AF；月中，由余弦定理得：

網(wǎng)「+|即「一占用1

cosZFBF=cos3=

}22忸用忸月

-4c2

2(2〃+〃)?〃

解得：e2=：=電，即6=￡=亞

a36a3

故答案為：巫.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，求雙曲線離心率.

14、4

【解析】

2a1

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，求得%=1,2=2〃+1,°=〃2?+〃+i,進(jìn)而得到^一=n=F

2c”-b”〃-

再利用放縮法和取整函數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)/(x)=e%x+l)2,且力(x)=/'(x),力+i(x)=/：(x)

x22

可得力(x)=f\x)=e(x+4x+3),/2(x)=工⑺=e\x+6x+7)

力(尤)=力(x)="(尤2+8%+13),%(尤)=4(x)=e%%2+10%+21),

又由力(尤)=e｛anx+bnx+c,J,可得｛%｝為常數(shù)列，且4=1,

數(shù)列也｝表示首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列，所以2=2〃+2,

其中數(shù)列｛q｝滿足。2-。1=4,。3-。2=6,。4一。3=8,,c“_*=2〃,

/、/、/、71(n—1)(4+2H)2i

所以c“=q+gq)+Gf)++9-*)=4+—2—="+〃+1,

2a2x11

所以-----------------------------=—

〃2g-22(/+〃+1)—(2〃+2)n29

11111111,仆

又由一7>------=--------r<---------=-------,(〃>2),

n2n(n+l)nn+ln2n(n—l)n—1n

可得數(shù)列的前n項(xiàng)和為1—7+7—7++工，=」

n(n+l)223nn+1〃+l

數(shù)歹M7---示一｝的前n項(xiàng)和為1+1—=+：—1+113_1

+-------

(n-l)-n2334nn+12n+1

所以數(shù)列的前〃項(xiàng)和為s〃，滿足1-一1-<s?<|———

2cn-bn]n+12n+1

131393

所以3(1———)<3s2ooo<3(------)，即3—-—<3s2ooo<---—

20012000220012001200022001

又由表示不超過實(shí)數(shù)機(jī)的最大整數(shù)，所以［3S200Gl=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，累加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)法求數(shù)列的和

的綜合應(yīng)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.

15、7

【解析】

,

(xy-y1_XY門Y

由題，得(+1=［Q=q-J-,令廠=3,即可得到本題答案.

IJI2)

【詳解】

(2.丫11_1YV

由題，得加=.卜［=/匕卜

令廠=3,得x的系數(shù)=7.

故答案為：7

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

2

16、-

3

【解析】

用樹狀圖法列舉出所有情況，得出甲不輸?shù)慕Y(jié)果數(shù)，再計(jì)算即得.

【詳解】

由題得，甲、乙兩人玩一次該游戲，共有9種情況，其中甲不輸有6種可能，故概率為9=2.

93

甲乙甲乙甲乙

2

故答案為：一

3

【點(diǎn)睛】

本題考查隨機(jī)事件的概率，是基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)正(2)2百

4

【解析】

/-、,十E.3sin53sinC3sin2Ar-"八3b3c3a2n-

(1)由正弦定理將------+------=----------+44j2,轉(zhuǎn)化一+—=——+4AJ2,

sinCsinBsinBsinCcbbe

即3b2+3/=3/+4yf2bc，由余弦定理求得cosA，再由平方關(guān)系得sinA再求解.

3c1I-

（2）由夜sinB=3sinC，得b二忑,結(jié)合=萬8csinA=2j2再求解.

【詳解】

（1）由正弦定理，得效+*=9+4&,

cbbe

即3b2+3c2=3/+4啦be，則"+c-2=逑=cosA,

2bc3

而sit?A+cos2A=1,又人￡（0,萬），解得sinA=g,

.sinAv2

故44rtanA=------=——?

cosA4

(2)因?yàn)橐箂in5=3sinC，則°=

因?yàn)镾4ABe=2血，故;Z?csinA=2血，

故-x—^X-=2A/^,

2V23

解得c=2。

故人=6,

則a=y/b2+c2-2bccosA=，36+8—2x6x2拒c半=2G-

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

22Q'

18、(1)—+^=1(2)存在；實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是-一,0

436I

【解析】

(1)根據(jù)橢圓定義計(jì)算。，再根據(jù)。，b,c的關(guān)系計(jì)算b即可得出橢圓方程；(2)設(shè)直線乙方程為y=Ax+2,與

橢圓方程聯(lián)立方程組，求出左的范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出GH的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出GH的中垂線與x軸的交點(diǎn)橫,

得出加關(guān)于左的函數(shù)，利用基本不等式得出加的范圍.

【詳解】

(1)由題意可知c=l,4(—L0),鳥(1,0).

又2a=|陰|+1*|=卜1+1)2+(-|)2+g+(-|)2=|+|=4?

:.a=2,b=1a。-c?=A/3'

22

二橢圓C的方程為：L+2L=1.

43

(2)若存在點(diǎn)尸(〃?,0),使得以PG,PH為鄰邊的平行四邊形是菱形，

則P為線段GH的中垂線與x軸的交點(diǎn).

設(shè)直線4的方程為：G(X],y),

y=kx+2,H(X2,y2),

y=kx+2

聯(lián)立方程組2,消元得：(3+4k2)/+16履+4=0,

——+—=1

I43

△=256^-16(3+4/)>0,又上>0,^k>~.

2

[6左

由根與系數(shù)的關(guān)系可得%+/=——Q，設(shè)GH的中點(diǎn)為(無。，％),

I/1/v

mi8k7c6

則%=一而'%=5+2=三布'

二線段GH的中垂線方程為：y=

k3+4左3十4左

y*—__-_2_k__—____2___“I—____2___

令尸°可得「3+4廠3+4r即-3+4,.

kk

k>~,故」+4"2、93=46，當(dāng)且僅當(dāng)2=4%即4=(時(shí)取等號，

2k\kk2

W..----尸=,且/〃<0.

4V36

，機(jī)的取值范圍是[-3，0).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.

19、(1)%2+y2=—(2)-^6

【解析】

試題分析：(1)確定圓。的方程，就是確定半徑的值，因?yàn)橹本€AP與圓。相切，所以先確定直線方程，即確定點(diǎn)P

331

坐標(biāo)：因?yàn)檩S，所以尸(l,±e),根據(jù)對稱性，可取PG]),則直線AP的方程為y=5(x+2),根據(jù)圓心到

切線距離等于半徑得(2)根據(jù)垂徑定理，求直線PQ被圓。截得弦長的最大值，就是求圓心。到直線PQ的

\b\3

距離的最小值.設(shè)直線PQ的方程為＞=履+6,則圓心。到直線P。的距離d=利用左。??自o=-z得

=0,化簡得(3+4左2)%々+4必(％+々)+4/=0,利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并結(jié)合韋達(dá)

定理得2廿=442+3,因此d=、坐二士=」2——I—，當(dāng)左=0時(shí)，d取最小值，P。取最大值為幾.

V(F+1)Y2(42+1)*

試題解析：解：(D

22

因?yàn)闄E圓C的方程為L+2L=1,所以A(—2,0),尸(1,0).

43

3

因?yàn)檩S，所以P(l,±5),而直線AP與圓。相切，

3

根據(jù)對稱性，可取尸(1，5)，

則直線AP的方程為y=；(x+2),

即x——2y+2—0.

2

由圓。與直線A尸相切，得〃彳，

所以圓。的方程為/+丁=丁

（2）

易知，圓。的方程為必十;/=3.

3

2

①當(dāng)PQA軸時(shí)，kOP-kOQ=-kOP=--,

所以kOP=±

此時(shí)得直線PQ被圓。截得的弦長為亙.

7

②當(dāng)P。與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為>=區(qū)+6,尸（芯,%）,。（%,%）（占々，0），

3

首先由k-k—_■-,得3%4+4%%二0，

opoo4一

BP3%iW+4（點(diǎn)］+b）（kx?+b）=0,

所以（3+4左NR%+4的（再+%2）+4Z?2=0（*）.

y=kx+b

聯(lián)立｛%2y2,消去X,得（3+4左2）犬2+8的犬+462—12=0,

—+—=1

43

得2Z?2=4左2+3?

所以直線PQ被圓。截得的弦長為/=26^=14+——,故當(dāng)左=0時(shí)，/有最大值為八.

k2+l

綜上，因?yàn)?辱,所以直線加被圓。截得的弦長的最大值為忖

考點(diǎn)：直線與圓位置關(guān)系

3

-1

20、(1)??=3H(H-1,2,),bn=3/7+2"(n=1,2,)；(2)—/?(n+l)+2"-1

【解析】

試題分析：(1)利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先求得公差和公比，即得到結(jié)論；(2)利用分組求和法，由等差

數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列｛〃｝前n項(xiàng)和.

試題解析：

(I)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,由題意得

d=_^----^.1=———1.an=ai+(n-1)d=ln

33

設(shè)等比數(shù)列｛bn-an｝的公比為q,則

nlnnl

bn-an=(bi-ai)q=2-1,/.bn=ln+2

(II)由(I)知bn=ln+2n1?.?數(shù)列｛In｝的前n項(xiàng)和為孑i(n+1),

L2n

數(shù)列｛2n-1｝的前n項(xiàng)和為lx-----------J

1-2

3

數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和為；，：域〃+1)+2"-1

2

考點(diǎn)：1.等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用；2.等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用；1.數(shù)列求和.

21、(1)見解析(2)60°

【解析】

(I)取PC的中點(diǎn)Q,連結(jié)EQ、FQ,得到故AE//42且=進(jìn)而得到AF//EQ,利用線面平行的判

定定理，即可證得AE//平面PEC.

(II)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)FD=a,求得平面尸的法向量為機(jī)，和平面的法向量

n,利用向量的夾角公式，求得a=若，進(jìn)而得到NPBD為直線與平面ABC。所成的角，即可求解.

【詳解】

(I)在棱A5上存在點(diǎn)E,使得AE//平面PCE,點(diǎn)E為棱A3的中點(diǎn).

理由如下：取PC的中點(diǎn)Q,連結(jié)EQ、FQ,由題意，F(xiàn)QIIDCAFQ=*CD,

AE//C