2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題卷數學試卷（含標準答案解析）

2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題卷

數學

本試卷共4頁,22個小題。滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自口的姓名、班級、考號填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在答題

卡上“條形碼粘貼區(qū)”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息

點涂黑;如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)

域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆

和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.保持答題卡的整潔。考試結束后，只交答題卡，試題卷自行保存。

一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.已知集合4={%|%=3/1"eN},目妾4,5,6,7},則集合4（13的元素個數為

A.1B.2C.3D.4

2.若i(l+z)=l(i為虛數單位)，則z+三

A.-2B.-1C.1D.2

3.命題“V+ER,7-2%+3>0”的否定為

A.3A；eR,X2-2X+3>0B.三%￡R,%2-2%+3WO

C.VxeR,%2-2X+3<0D.V%eR,x2-2%+3>0

4.若拋物線y2=2p%（p>0）上一點M（3,m）到焦點的距離是5p,則p的值為

AAB土c2c3

A，43C.—D.—

32

城步苗族國治縣“六月六山歌節(jié)”是湖南省四大節(jié)慶品牌之一，至今已舉辦?25屆.假設在

即將舉辦的第26屆“六月六山歌節(jié)”中,綠委會要在原定排好的，10個“本土歌舞”節(jié)目中

增加2個“歌王對唱”節(jié)目.若保持原來訕廣節(jié)目的相對順序不變,則不同的排法種數為

A.110B.144C.132D.156

6.已知向量。=0,2）,5=（2廣1）.若。若。的夾角的余弦值為一學■，則實數》的值為

5口5

A.-B.--

22C,TD-T

7.在某次美術專業(yè)測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是0.6,0.7和0.5,且

三人的測試結果相互獨立，則測試結束后J■在甲、乙丙三人中恰有兩人沒達優(yōu)秀等級的

前提條件下,乙沒有達優(yōu)秀等級的概率為

A15?7pA17

A.-B.-D

2980-29

2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題卷（數字）第1頁（共4頁）

8.已知。=10聯(lián)/=9嶗,c=8酸，貝」a,b,c的大小關系為

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

二、多選題（本大題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.已知平面直角坐標系中,加（-2,0）,以2,0）,動點尸（％,7）滿足|「用|="|尸"|.點尸的軌

跡為曲線C,點P到直線Z：%+y+6三0的距離的最小值為d,下列結論正確的有

A.曲線C的方程為（％-6）2+/=32B.d=2^2

C.曲線C的方程為（％+6）2+/=32

10.下列命題中,說法正確的有

A.設隨機變量X~B00,撲則Z）（X）=5

B.成對樣本數據的線性相關程度越強，樣本相關系數r越接近于1

C.決定系數十越大,表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好

D.基于小概率值a的檢驗規(guī)則是：當時，我們就推斷Ho不成立，即認為X和丫

不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過以；當時.我們沒有充分證據推斷為不成

立，可以認為x和y獨立

11.已知函數/（%）與其導函數g（%）的定義域均為R,且大功，與g（—2球均為偶函數，則

下列說法一定正確的有）

A.f（%）關于4=1對稱B.&^關于點（0,1）對稱

X

C.g（“+2）+g⑺=2DJ（0）=l

12.如圖（一）所示，四邊形ABCO是長方形,4B=3,BC=4,半圓面4尸。_L平面點尸為

半圓弧前上一動點（點尸不與點4,。重合）.下列說法正確的有

A.三棱錐P-ABD的四個面都是直角三角形

B.三棱錐P-ABD體積的最大值為4

C.異面直線P4與的距離的取值范圍為[4,5]

D.當直線P3與平面ABCD所成角最大時，平面截

15TT

四棱錐PTBCD外接球的截面面積為丁

三、填空題（本大題共4小題、然小題§分，共20分）

13.已知數列｛冊｝的首項為l,Q“am=3"5wN"），則.

14.已知（1+/）8=“0+%%+42/2+…貝42/+。2+%+。6+。8=?

15.已知y3sinw-VJcosw=2sina,3sin<pcos<p=sin2S,則4cos22a-cos22fl=.

lb已知橢圓和雙曲線有相同的焦點F｛它們的離心率分別為e,0,點P為它們的一個

交點，且cos4乙尸的=-9.當3e"4取最小值時者的值為?

2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題卷（數學）第2頁（共4頁：）

四、解答題(本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)甲、乙、丙三名同學準備參加本校知識競賽，規(guī)定比賽成績達到90分以上(含90分

獲優(yōu)秀等級.為預測他們的知識競賽情況，收集了甲、乙、丙三人在學校的以往知識競招

成績，整理得到如下數據(單位:分)：

甲：86,87,89,92加89,89；95),88,94

乙：88,89,95,94,94,88.

^?96,93,90,89.

假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的知識競賽成績相互獨立.

(1)估計甲在本次知識競賽中未獲優(yōu)秀等級的概率；

(2)設X表示甲、乙、丙三人在本次知識競賽中獲得優(yōu)秀等級的總人數,估計片的

數學期望EX.

18.(12分)在△ABC中，角所對的邊分別為向量加=(c+6,"a-b),

向量加=(c-b,"a+6)，且m±n.

(1)求證:W?=3tan4-：

(2)延長至點刀，使得=當乙ZMC最大時，求tanB的值.

19.(12分)如圖(二)所示，圓臺的上、下底面圓半徑分別為4cm和6cm,陰，%為圓臺的

兩條不同的母線.

(1)求證:人反

(2)截面府］從與下底面所成的夾角大小為60。,且截面截得圓臺上底面圓的劣弧

A\B.的長度為望，求費面ABBA的面積.

圖(二)

20.(12分)已知遞增的等差數列｛*｝(兀wN*)滿足:az+a產。6=21%,a5成等比數列.

(1)求數列的通項公式；

5

(2)記S“為數列｛冊｝的前兀項和=三,求數列｛4｝的前n項和Tn

21.(12分)已知橢圓C：-+^-=l(a>6>0)的短軸長為2百，左頂點到左焦點的距離為1.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)如圖(三)所示，點4是橢圓C的右頂點，過點(6,0)的直線I與橢圓C交于不同的兩點

E,F,且都在％軸的上方，點P的坐標為(弓,。).證明:乙4PE=ZLOPE

圖(三)

2

22.(12分)已知函數/(4)=3\nx+ax-4x+b(a>0,beR).

(1)討論函數/1(*)的單調性；

(2)當a=；時，方程人工)=0有三個不相等的實數根，分別記為勺(岸1,2,3),

①求b的取值范圍；

甑明1牝-引<4?=1,2,3亦1,2,3).

2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準

數學（副卷）

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

題號12345678

答案CDDADBCD

7.C解析：由eZ,得等-gwxW等+1上eZ,

???/(%)的單調增區(qū)間為等得等+/，3Z.

[7-[7*TT8*77

?:/(%)在0,六。上遞增，.二0<——0<a^—.

J、'>7272Q]7

由2ICFT—3x+~—2A：7r+—IT,kGZ,得——這支W---I——-TT,kGZ,「./(%)的單調減區(qū)

2623939八

2ATTTT4,~7P17107F10

間為----1-——,~-—F--1TaGZ.—~T~(lWaW—1T.

9991717

77T8TT

綜上,一Wa<—?

1717

aS7e'r(r-1)

8D解析于TV7，設/(，)=”x<l/(xe)=-^，"(x)<°，

8

.,./（X）在（0,l）上單調遞減.又>>京，六不7）.w），,a<A又。-c=R（e‘-7），

設g（*）=ex-ex,g'（x）=ex-e,x<\時,g，（x）<0g（x）在（-8,1）單調遞減.

g（7）>g（I）=0,-'-a>c.綜上c<a<b.

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分）

題號9101112

答案ADBCDBCACD

11.BC解析：A錯.B.C,P,J■平面AA.DiD,:.G2IDE.又DE!DtE,.\OEJ?平面

2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準（數學?副卷）第1頁（共7頁）

對.C.冏〃4圈〃平面CDE.:.匕依E為定值,C對.D.設外接球球心

為。，即為對角線4C中點.0到平面。?！昃嚯x為人到平面。?！昃嚯x的一半到平面

72

CDE距離為&,()到平面C0￡距離為了，正四棱柱外接球半徑為而，.??截面圓半徑r=

6-1=與…S="=”，D錯.

22'2

12.ACD解析：因為/(工-1)為奇函數，所以/(x-l)=二/'(-x-1),所以/(xT)=r(-x-l),

即8設-1)=8(-光-1),所以g(\)的圖象關于直線I=-1對稱.因為g(2x+l)為奇函數，

所以函數g(x)的圖象關于點(1,0)對稱，所以8是函數g(x)的一個周期.因為g(0)=

111112

工，所以g(2)=-；,g(4)=-=,g(6)二=，所以2kg(2k)=(-1-2+34-4-5-64-7+8-9-

3333A=1

10+ll+12)Xy=4.故選ACD.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

7

13.2514.915.116,一

8

.ATjxr-八一八"八2sin0cos0cos20cos40sin20cos20cos402sin28cos28cos43

15.1解析：cos0cos20cos40=-------——--------=-----——-----=------——------=

2sin82smU4sm0

2sin4^cos43sin801己乙，.八八.八人.八.c八八〃c八/八、

...------=—；-=—■，所以sin80=-sin6^?sin。抬in80=0,；故80+(-0)=

8sin98sin08

F+2AF(LwZ)或8。一(一9)=2kF(keZ),因為Os所以故2cos~4。-cos0-

i87T27r16TT2IT

2cos----co-^cos1-f1-cos一丁=1.

s999

7d.

16.—解析：設橢圓方程為工---1(>61>0)，雙曲線方程為：——--1(a^>0,60>0).

8a；b；a；°；

(ISI+F.,則II=Q1+g1

不妨設點P為第一象限的交點，由題意知:

1|日|-加％|=2”

|PF2I=a1-a2.

由余弦定理得：4J=|/'儲「+「一2|/"；||?cos乙"P%=4c2=3a；+4

31

4=—+—.

eie2

1221(44).牌旨

\e{e21\1Z2

2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準(數學?副卷)第2頁(共7頁)

當且僅當:e；=e：時取等號，J.e；=

4-~2+~2~T~2?e\~^o~'

et2et2e,o

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）

解:（1）不難知，第1臺加工零件的次品率為5%,第2臺加工零件的次品率為7%.

記事件A表示“從混放的零件中任取一個零件，該零件是次品”，

事件B,表示“從混放的零件中任取一個零件，該零件是第，?臺車床加工的”，泮1,2.

則，‘(嗎")=P⑷=0.6x0.05+0.4x0.07=29'..........5分

(2)X的可能取值為0,1,2,3,…，10,且X服從二項分布.

由(I)知,P(4)=0.6x0.05+0.4x0.07=0.058.

X~B(10,0.058)./.E{X}=10x0.058=0.58......................................................10分

18.(12分)

解:⑴由已知2sin(24-看)=2,二sin(24-￡)=1.............................................................2分

*/----<24-----<—IT.

666

5分

(2)v1)C=2BD,:.13D=^BC=^AC-AB).

―?―?——?2―?

乂/10="+。。=3AB

\AD\_\2AR+AC4c2+2bc+b

8分

\BD\|AC-AB|\/h2-be+c2

?\AD\-Vr+2i+4?/r]^+(7+iy—/I-J-3(/+1)

|前Iy?-7+TTt2-t+\N(z+l)2-3(Z+1)+3

1+3c-W/1+3=72^4-4=73+1..................................10分

Q+I)+J__37273-3

7/+1

當且僅當￡=6-1取等號.

2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準（數學?副卷）第3頁（共7頁）

???理的最大值為有+L.........................................................................................12分

\BD\

19.（12分）

（1）證明：?.?圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，所以圓臺的母線

也就是生成這個圓臺的圓錐相應母線的一部分.

???母線與母線BBi的延長線必交于一點，

.?.4,4,8,4四點共面..................................................2分

;圓面0/圓面。，且平面4884n圓面。1=4向，平面488』A圓面0=AB.

....................................................................................................................5分

（2）解:；AAB0為等邊三角形，

=1T如圖建立空間直角坐標系0-xyz,

設I。。I=z(/>0).

4(3,0,0),B,4(2,0,，).

可=（-1,0/）,薪=（菖,號0）

設平面48當4的一個法向量〃尸（叫y,z）.則有:

-%+/z=0,

yj

,3373令x=貝I]y=1/=丁,.\〃尸..................................8分

-^x+-y=0.1

底面的一個法向量％=（0,0/）,

因為截面與下底面所成的夾角大小為60°,

所以cos60°=lcos〈〃],n)I=

21B2

2

........................................................................................................................10分

???立=卜1,0弓),又就=1^=(-1,后,0),二方坐標為(1,石弓

。冉=(1,73,0),

.—>-----A4j,0lBi—i—J13

cos〈44|MB|〉=一-.

IA4.IIO.BJ巫013

/n

異面直線與。川所成角的余弦是言.12分

2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準（數學?副卷）第4頁（共7頁）

20.(12分)

解：(1)<…1.

2n

02an-\)

a+—+**H-----=(n-1)~,ziN2.

[2n-1

--=n2-(n-l)2=2n-l.BPa=n(2n-l),n^2....................................................2分

nn

當n=1時，。產1，滿足上式.

2/,~|

an=n(2n-l)=2n-n,6n=2................................................................................4分

ab

(2)由(1)知：an=n(2zi-l)-2T

n

???Tn=l-20+3?2'+---+(2n-l)-2"，...................................................................5分

2T〃=1-2'+--+(2n-3)-2/,-,+(2n-l)?2”.

n-,

???-Tn=1+2-2]+???+2?2-(2n-l)-2"...............................................................7分

2(1—2"T)

=1+2?—~~—^-(2n-l)-2n......................................................................9分

1—2

=1+4(2,,-1-1)-(2/1-1)?2"

=2?2"-(2n-l)?2"-3

=(3-2n)-2"-3...............................................................................................11分

/.r?=(2n-3)2"+3.......................................................................................................12分

21.(12分)

26=x/3,

解:(1)依題意得，Q-C=y,..........................................................................................2分

a2=b2+c2.

/Ti

解得a=l,/>=?-,c=5，

2

.??橢圓C的標準方程為二=1...............................................................................4分

~4

（2）存在點P,使44PE=40PF,點P的坐標為（；,0）.理由如下：.............5分

4

直線/過點（3,0）,與橢圓C：f+尹2=1交于不同的兩點E,F.且都在X軸上方.

直線I的斜率存在且不為0,設直線I的方程為y=k（x-3）go.

y=k（x-3）,

聯(lián)立方程242,消去y可得：

F+門?

（3+4后）￡-24入+36/-3=0.

2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標準（數學?副卷）第5頁（共7頁）

24A236k2-3

設￡（町，力），尸（工2，%），則％1+%2=..........................................7分

3+4必-'------3+必2

Z^APE=Z.OPF,

j\y^(Xj-3)(x-m)+A(%-3)(xj-m)

2=-------+--2-----=-------2----------------------------------------

Xj-znx^-m(%!-m)(x2-m)

72--6.24一

2/工2-(3+加)(/+工2)+6所,3+4/+'"3+4爐+

-----7-----77-----；-----=k?-----------------------------------

(/一m)(x2~m)(x,-m)(x2-m)

72儲一6-72公-24,欣2+18m+24//

-=0.***************.???????????????10分

(X1-zn)(x2-m)?(3+4內)

1

18zn-6=0,.\

存在。點滿足條件.

P點坐標為.....................................................12分

22.(12分)

(a+2)(%-1)+a(a+2)%-2

(1)解:/(x)=，7+。+2=

X-I

2

當a=-2時/（%）=7<0,.?./（%）在（1,+8）上單調遞減.

x-1

當-2<a<0時,/（x）在［1,-q^j上單調遞減,（二J，+8）上單調遞增.

當a>0時，（Q+2）x>2,（a+2）*-2>0,，f（工）在（1,+8）上單調遞增.

當a<-2時,《+2<0,（°+2）%-2<0,.\/（工）在（1,+8）上單調遞減.

綜上所述，當-2<a<0時,f（x）在（1,焉）上單調遞減，（總