北京市石景山區(qū)2024屆高三年級下冊3月一模數(shù)學 含解析

石景山區(qū)2024年高三統(tǒng)一練習

數(shù)學試卷

本試卷共6頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘.請務必將答案答在答題卡上，在試卷上

作答無效.考試結束后，將答題卡交回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

A=｛%I_2x_3<o|B=fxlx>11AD

1.已知集合L>,則AB=()

A.(-1,3)B.(-3,1)C.(-1,1)D.(1,3)

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù)的是()

A/(x)=siiuB./(x)=co&xC.%)=ln(九+1)D./(1)=2一”

3.一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球.若從中不放回地取球2次，每次任取1個球，記“第一次取

到紅球”為事件A,“第二次取到紅球”為事件3,則P(3|A)=()

4.設是三個不同平面，且。y=l,By=m,則“/〃力”是“a//月”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.等差數(shù)列｛?｝的首項為1,公差不為0.若生，2，。6成等比數(shù)列，則｛%｝的前5項和為()

A.-15B.-3C.5D.25

6.直線，=區(qū)+1與圓龍2+3+1)2=16相交于A3兩點，則線段AB的長度可能為()

A.5B.7C.9D.14

7.已知函數(shù)/(%)=25垣(。》+0“?！?,悶<3的部分圖象如圖所示，貝?。?(一兀)的值是()

AB.1C.-1D.—A/3

兀

8.設a=2°3,Z?=sin—,c=ln2,貝U()

12

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

9.中國民族五聲調式音階的各音依次為：宮、商、角、徵、羽，如果用這五個音，排成一個沒有重復音

的五音音列，且商、角不相鄰，徵位于羽的左側，則可排成的不同音列有()

A.18種B.24種C.36種D.72種

10.對于曲線C：X-2+y-2=i,給出下列三個命題：

①關于坐標原點對稱；

②曲線。上任意一點到坐標原點的距離不小于2；

③曲線C與曲線W+|y|=3有四個交點.

其中正確命題個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.復數(shù)z在復平面內對應的點為(-1,2),則2=.

Z

12.斜率為1的直線,經過拋物線丁=4%的焦點口，且與該拋物線相交于A,8兩點，則|4耳=.

13.已知向量a*滿足忖=2,。與/，的夾角為巳，則當實數(shù)丸變化時，卜的最小值為.

-3

、x+3ax.x<1

14.設函數(shù)={,

3x+a,%>1

①若/(%)有兩個零點，則實數(shù)。的一個取值可以是:

②若了(%)是R上的增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是.

15.黎曼函數(shù)在高等數(shù)學中有著廣泛應用，其一種定義：xe[0,l]時，

、

1p

、一，X=一P，qeN*,3為既約真分數(shù)n-1

=<71q若數(shù)列%=R給出下列四個結

7-n

0,尤=0,1和(0,1)內的無理數(shù)

論:

]nii幾+i

①%二一；②/+2<%+i；③

nz=i2Z=1L

其中所有正確結論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在銳角中，角A,5c的對邊分別為。，"c,且2bsinA—島=0.

(1)求角8的大小;

(2)求cosA+cosC的取值范圍.

17.如圖，在四棱錐P—A6CD中，上4,平面A3CD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=2超.

(1)求證：CD，平面上4。；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求平面尸5c與平面所成銳二面角的大

小.

條件①：AB=5,

條件②：BC//平面B4Z).

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

18.為研究北京西部地區(qū)油松次生林和油松人工林的森林群落植物多樣性問題，某高中研究性學習小組暑

假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林為研究對象進行調查，得到兩地區(qū)林下灌木層，喬木層，草本層

的抽樣調查數(shù)據.其中兩地區(qū)林下灌木層獲得數(shù)據如表1,表2所示:

表1：老山油松人工林林下灌木層

植物名稱植物類型株數(shù)

酸棗灌木28

荊條灌木41

孩兒拳頭灌木22

河朔莞花灌木4

臭椿喬木幼苗1

黑棗喬木幼苗1

構樹喬木幼苗2

元寶械喬木幼苗1

表2：妙峰山油松次生林林下灌木層

植物名稱植物類型株數(shù)

黃柏喬木幼苗6

樸樹喬木幼苗7

欒樹喬木幼苗4

鵝耳蟲喬木幼苗7

蓮葉蛇葡萄木質藤本8

毛櫻桃灌木9

三裂繡線菊灌木11

胡枝子灌木10

大花漫疏灌木10

丁香灌木8

（1）從抽取的老山油松人工林林下灌木層的植物樣本中任選2株，求2株植物的類型都是喬木幼苗的概

率；

（2）以表格中植物類型的頻率估計概率，從妙峰山油松次生林林下灌木層的所有植物中隨機抽取3株

（假設每次抽取的結果互不影響），記這3株植物的植物類型是灌木的株數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學

期望；

(3)從老山油松人工林的林下灌木層所有符合表1中植物名稱的植物中任選2株，記此2株植物屬于不

同植物名稱的概率估計值為［;從妙峰山油松次生林的林下灌木層所有符合表2中植物名稱的植物中任

選2株，記此2株植物屬于不同植物名稱的概率估計值為6.請直接寫出A與8大小關系.(結論不要

求證明)

19.已知函數(shù)/(%)=屁"'(。>0).

⑴求曲線y="力在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)求“力在區(qū)間［-1』上最大值與最小值；

(3)當a=l時，求證：/(x)>lnr+A-l-l.

20.已知橢圓。：與+「=1(。〉6〉0)的離心率為且，短軸長為

ab2

(1)求橢圓。的方程；

(2)設。為坐標原點，過點p［-L-1］分別作直線/1」2,直線4與橢圓相切于第三象限內的點G,直

線4交橢圓。于M，N兩點.若|PG「=|PMHPN|,判斷直線，2與直線0G的位置關系，并說明理由.

21.己知集合S"={x|x=&,々,…,當),玉e{0,l},z=l,2,---,?J(?>2),對于4=(4，2,…,凡)，

5=伍也,…也)eS”，定義A與B之間的距離為d(A,8)=￡舊—可.

Z=1

(1)己知4=(1,1,1,0”邑，寫出所有的BeJ,使得d(A5)=l；

(2)己知/=…若A,3eS",并且呢1,4)=1(/,3)=。求〉(A§)的最大值;

(3)設集合PqS,,p中有加(巾之2)個元素，若尸中任意兩個元素間的距離的最小值為/,求證：

石景山區(qū)2024年高三統(tǒng)一練習

皿「、、九

數(shù)學

本試卷共6頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘.請務必將答案答在答題卡上，在試卷上

作答無效.考試結束后，將答題卡交回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

i,已知集合L>,1則&B=()

A.(-1,3)B.(-3,1)C.(-1,1)D,(1,3)

【答案】D

【解析】

【分析】根據一元二次不等式解法可得A=(-1,3),再由交集運算可得結果.

【詳解】解不等式尤2_2x—3<0可得—l<x<3,即4=(—1,3)；

又3={小>1}=(1,+8),

因此Ac5=(1,3).

故選：D

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-1,1)上為減函數(shù)的是()

A./(x)=siiuB./(x)=cos%C./(x)=ln(x+l)D./(x)=Tx

【答案】D

【解析】

【分析】根據三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質，即可判斷選項.

【詳解】A,根據正弦函數(shù)的性質可知，(-所以y=sinx在(―1,1)上為增函數(shù)，故A

錯誤；

(兀兀)

B,/(x)=cosx是偶函數(shù)，關于y軸對稱，(一1』)三一5，萬，所以y=cosx在(―i,o)上是增函數(shù)，

在(0,1)上是減函數(shù)，故B錯誤；

C,%)=ln(x+l)的定義域是(―l,+8),函數(shù)y=ln(x+l)是區(qū)間(—1,1)上是增函數(shù)，故C錯誤;

D,根據指數(shù)函數(shù)的性質可知，/(x)=2T在區(qū)間(—1,1)上是減函數(shù)，故D正確.

故選：D

3.一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球.若從中不放回地取球2次，每次任取1個球，記“第一次取

到紅球”為事件A,“第二次取到紅球”為事件B,則P(叫力=()

424

A.—B.-D.-

1555

【答案】C

【解析】

【分析】由條件概率公式求解即可.

43

P（B|A）=^=V=--

【詳解】

\1）p⑷45

6

故選：C.

4.設是三個不同平面，且的y=1,P\y=m,則“/〃帆”是“a///的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】由充分條件和必要條件的定義結合線面、面面的位置關系對選項一一判斷即可得出答案.

【詳解】由7=1，6Y=m,Ulm,則名尸可能相交，

故"/〃加'推不出“a//少，

由tzy=l,/3\y=m,alI/3,由面面平行性質定理知/〃加，

故“a///能推出“/〃帆”，

故"/〃加'是"a///的必要不充分條件.

故選：B.

5.等差數(shù)列｛%｝的首項為1,公差不為0.若牡，6,4成等比數(shù)列，則｛?！埃那?項和為()

A.-15B.-3C.5D.25

【答案】A

【解析】

【分析】首先代入等差數(shù)列的基本量，由等比數(shù)列的概念列式，最后代入求和公式，即可求解.

【詳解】設等差數(shù)列｛4｝公差為d，則。2=l+d,%=l+2d，4=l+5d，

由題意可知，（l+2d）2=（l+d）（l+5d）,即］2=—2d，

解得：d=—2或d=。（舍），

5x4

則數(shù)列｛%｝的前5項和y=5弓+md=5—20=—15.

故選：A

6.直線,=丘+1與圓爐+（3；+1）2=16相交于4,3兩點，則線段的長度可能為（）

A.5B.7C.9D.14

【答案】B

【解析】

【分析】根據直線所過定點，求弦長的最小值和最大值，再結合選項，即可求解.

【詳解】直線,=區(qū)+1恒過點（0,1）,且點（0,1）在圓龍2+（y+l）2=16內，

當點（0,1）是弦A3的中點時，此時弦長最短，圓心（0,—1）和點（0,1）的距離為2,此時弦長

I陰=2,16-4=46,最長的弦長是直徑為8,

所以弦長的取值范圍是［46,8］,其中只有B成立.

故選：B

7.已知函數(shù)/（￡）=25皿（?！?0）］?！?,悶＜、）的部分圖象如圖所示，則/（一兀）的值是（）

A.73B.1C.-1D.-73

【答案】A

【解析】

【分析】由圖可得丁=兀，求得。=2,再利用圖象過點，1,2),可得到。=三，從而得到

/(x)=2sin2x+1,再利用誘導公式及特殊角的三角函數(shù)值求解即可.

711271

【詳解】由圖象可知:一—T,解得丁=兀，因為6y>0,所以。=——解得a)=2,

2T

將A2代入解析式化簡得sin6+夕=1,因為同<］r1兀兀/口兀

,則2+0=彳，侍"=不

o25

故/(x)=2sin,所以/(一兀)=2sin［一2兀+1J=2sin］二百.

故選：A

7T

8.設”=2°3,b=sin—，c=ln2,貝！I()

12

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

【答案】B

【解析】

【分析】根據給定的條件，利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質，借助1,,進行比較判斷選項.

2

JT7T|

【詳解】a=2°3>2°=1，b=sin一<sin—=-,

1262

而正<2<e，則,<ln2<l,即』<c<l,所以Z?<c<a.

22

故選：B

9.中國民族五聲調式音階的各音依次為：宮、商、角、徵、羽，如果用這五個音，排成一個沒有重復音的

五音音列，且商、角不相鄰，徵位于羽的左側，則可排成的不同音列有()

A.18種B.24種C.36種D.72種

【答案】C

【解析】

【分析】先排宮、徽、羽三個音節(jié)，然后商、角兩個音階插空即可求解.

A3

【詳解】解：先將宮、徽、羽三個音節(jié)進行排序，且徽位于羽的左側，有勺=3,

2

再將商、角插入4個空中的2個，有A：=12,

所以共有3x12=36種.

故選：C.

10.對于曲線C:x-2+y-2=1,給出下列三個命題：

①關于坐標原點對稱；

②曲線。上任意一點到坐標原點的距離不小于2；

③曲線C與曲線閃+儀|=3有四個交點.

其中正確的命題個數(shù)是()

A.OB.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】分析兩個曲線的對稱性，并結合函數(shù)的圖象和性質，利用數(shù)形結合，即可判斷①③，利用基本不等

式，即可判斷②.

【詳解】①將曲線。：獷2+廠2=1中的X換成-X,將y換成-y,方程不變，所以曲線關于原點對稱，并

且關于x軸和y軸對稱，故①正確；

②設曲線。上任一點為P(x,y)

([[、22I~2T

x2+y2=(x2+y2)—+—=2+斗+322+2」斗！=4，

\y)xyV%-y

22

當與=A，即^=,2=2時，等號成立，

Xy

所以，f+y222,曲線C上任意一點到坐標原點的距離不小于2,故②正確；

③曲線W+N=3中的無換成-X,將〉換成一兒方程不變，所以曲線關于原點對稱，并且關于X軸和y

軸對稱，并且將了換成y,y換成x,方程不變，所以曲線也關于y=x對稱，

曲線+?="八1且六1，將曲線C：*+±=l中的X換成九，換成X,方程不變，所

以曲線c也關于y=x對稱,

---1---=1

當x>0,y>。時，聯(lián)立<九?y2，得i=y=y/2,

當％>0,y>。時，y=當X>1時，函數(shù)單調遞減,

因為0+0<3,所以點(后，血)在直線x+y=3的下方，如圖，在第一象限有2個交點,

根據兩個曲線的對稱性可知，其他象限也是2個交點，則共有8個交點，故③錯誤;

故選：C

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是③的判斷，判斷的關鍵是對稱性的判斷，以及將方程轉化為函數(shù)，判

斷函數(shù)的單調性，即可判斷.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.復數(shù)z在復平面內對應的點為(-1,2),則』=.

z

【答案】-l-2i##-2i-l

【解析】

【分析】由復數(shù)對應的點寫出復數(shù)z,再應用復數(shù)除法的法則求解即可.

【詳解】：z對應的點為(—1,2),z=—l+2i，

55_5(-1-2i)57)=一1_21.

z-l+2i-(-l+2i)(-l-2i)

故答案為：-l-2i.

12.斜率為1直線/經過拋物線y=4x的焦點產，且與該拋物線相交于A,3兩點，貝1AB卜.

【答案】8

【解析】

【分析】求出直線/的方程，設A(xp%)、B(X2,%),直線方程代入拋物線方程應用韋達定理得

士+%2,然后由焦點弦長公式可得結論.

【詳解】拋物線丁=4%的焦點坐標為歹(1,0),直線/方程為y=x-l,設4%,%)、8(和%),則由

拋物線焦點弦長公式得：|4同=石+七+2=石+%+2，

y2=4%

又A、B是拋物線與直線的交點，由〈得/_6%+1=0，則%+々=6,

y=x-l

??.|AB|=8.

故答案為：8.

【點睛】結論點睛：焦點弦的一些性質：拋物線V=2px的焦點為產，A5是其過焦點的弦，

..112/

4(和力),5(々，>2)，則(1)\AB\=xi+x2+p.(2)j^|+j^|.(3)王馬=亍，%%="?

13.已知向量a/滿足忖=2,。與匕的夾角為則當實數(shù)2變化時，W—Xa|的最小值為.

【答案】1

【解析】

【分析】根據題意利用平面向量的幾何特征，可知當僅時，Xa]取得最小值.

【詳解】如圖所示：

設QA=a,O3=6,

當僅—2a)_La時，1-而|取得最小值，

過點B作加),CM于點O,即可得k-叫的最小值為忸口,

又a與匕的夾角為四，即NA05=巴，易知|0S|=2,

66

所以忸。|=|。即in二=1.

6

即卜-的最小值為1.

故答案為：1

-3

一.、x+3ax,x<l

14.設函數(shù)={2，

[3x+a,x>l

①若/(%)有兩個零點，則實數(shù)。的一個取值可以是；

②若/(%)是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】①.-1(。<—!內的值都可以)②.OWaWl或

3

【解析】

【分析】①分析函數(shù)的性質，確定零點所在的區(qū)間，通過解方程的方法，即可求解；

②根據分段函數(shù)的形式，確定兩段函數(shù)都是單調遞增，并根據分界點處函數(shù)值的關系不等式，即可求解.

【詳解】①函數(shù)〃％)=3%+。2在。,+8)上單調遞增，/(l)=3+a2>0,

所以函數(shù)在區(qū)間(1,+8)上無零點，

則函數(shù)/(X)=%3+3依在(73,1］上有2個零點，

即％3+3改=0，尤(r+3。)=0,則九=0,或x=-J-3a或x=J-3a，a<0,

則J-3a〉1,解得：a<-］

所以a的一個值是T；

②函數(shù)“力=3%+。2在(1,+8)上單調遞增，

則在(YO,1］上,=+3at也單調遞增，>13+3?<3xl+?2,

若函數(shù)在/(%)=3+3公在區(qū)間(—,1］單調遞增,

則/'(%)=3為2+3a20,即a之—d在區(qū)間(i』上恒成立，

即aN(—,即a20,

不等式13+3Q?3X1+〃2,解得：或

綜上可知，0<〃<1或。22.

故答案為：-1(〃<—!內的值都可以)；0<。<1或〃22

3

15.黎曼函數(shù)在高等數(shù)學中有著廣泛應用，其一種定義為：工￡［0』時，

p,qeN*,e為既約真分數(shù)

7?(x)=<q'qlq).若數(shù)列a“=RN*,給出下列四個結論:

0,x=0,1和(o,i)內的無理數(shù)

]n1nn+1

①?=—；②4+2<4+1；③

n,=i22

其中所有正確結論的序號是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】根據黎曼函數(shù)的定義和性質逐項分析.

【詳解】對于①，neN,.-.n=l時，a,=7?（0）=0,故①錯誤;

1

11

對于②,a,,+…an+l>an+2'故②正確;

'~~^+l聯(lián)一n+2

n111111

對于③,+aaX+X+----------

》,4+1a1a2+a2a3+a3a4+nn+lJ~-

i=ln〃+1

11111111

-+-+H---<1,故③正確;

2334nM+12n+12

n11

對于④，>4=a1+a?+%++61——I--F+-,(n>2),

nn

構造函數(shù)g(x)=e%—x—1,(x>0),貝=e“—1>。,g(x)單調遞增,

11-1-1

.?.g(x)>g(O)=O,即當x>0時e'>x+l，J>—+l,e3>-+l,-,en>—+1,

23n

1+-+...+1345n+ln+111〃+1

e23">-x-x-xx------=-------—IF+->ln

234n223nF

n〃+l

當〃=1時，Z=0,=0,二.Z。,-In,故④正確.

z=li=l

故選：②③④.

【點睛】方法點睛：新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型

來創(chuàng)設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，

實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的：遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義

的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在銳角_ABC中，角A,3,C的對邊分別為。，4c,且2bsinA—扃=0.

（1）求角8的大??；

（2）求cosA+cosC的取值范圍.

D

BC

（1）求證：CD，平面QA。；

（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求平面P5C與平面上4。所成銳二面角的大

小.

條件①：AB=5

條件②：BC//平面

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

【答案】（1）證明見解析

TT

（2）所選條件見解析，一

4

【解析】

7T7T

【分析】（1）連接AC,由題目條件可推得八位）。為等腰直角三角形，且NAC￡>=—,ZADC=-,即

42

CD±AD,再B4LCD,由線面垂直的判定定理即可證明；

（2）選條件①或選條件②均可證明5CLCD,建立以A為原點的空間直角坐標系，求出平面P5C與平

面的法向量，由二面角求解即可.

【小問1詳解】

如圖，連接AC,因24,平面A3CD,4。,。<=平面人3。。，則24,AC,PA±CD.

又PC=26，PA=2-則AC=20.

TTTT

注意到AO=OC=2,則八4。。為等腰直角三角形，其中NACD=—,ZADC=~.

42

所以CDLAD,又因為B4LCD,AD,PAu平面PA。，ADr>PA=A,

所以CD,平面B4。；

【小問2詳解】

若選條件①，由余弦定理可得,

222

AC+BC—AB8+9—5A/2。士人缶

cosZACB=--------------------------=---------T=----=——，結合NACB為二角形內角

?BC2x2拒x3

7ETTJT

得ZAC3=—,又ZAC￡>=—,則N3S=—,即5CLCD.

442

若選條件②，因BC//平面B4。，BCu平面A3CD,平面ABCDc平面上4O=AT>,則

7TJT

又ZAOC=—,則/30)=—,即5CLCD.

22

故建立以A為坐標原點，如下圖所示空間直角坐標系(x軸所在直線與DC平行)

又PA=AD=CD=2,BC=3,AB=亞，

則A（0,0,0）,5（2,—1,0）,C（2,2,0）,￡>（0,2,0）,P（0,0,2）,

則BC=（0,3,0）,CP=（-2,-2,2）,DC=（2,0,0）.

平面法向量為DC=（2,0,0）,

/、n-BC-013y=0

設平面PBC法向量為〃=（%,y,z）,貝叫

n-CP=0[-2x-2y

令x=l,則y=0,z=l,所以

設面尸5C與平面QAD所成角為。，cos6)=|cosn,DC|=n-DC2=也

|n|-|DC||V2-2

71

根據平面角的范圍可知。=—

18.為研究北京西部地區(qū)油松次生林和油松人工林的森林群落植物多樣性問題，某高中研究性學習小組暑假

以妙峰山油松次生林和老山油松人工林為研究對象進行調查，得到兩地區(qū)林下灌木層，喬木層，草本層的抽

樣調查數(shù)據.其中兩地區(qū)林下灌木層獲得數(shù)據如表1,表2所示:

表1：老山油松人工林林下灌木層

植物名稱植物類型株數(shù)

酸棗灌木28

荊條灌木41

孩兒拳頭灌木22

河朔荒花灌木4

臭椿喬木幼苗1

黑棗喬木幼苗1

構樹喬木幼苗2

元寶械喬木幼苗1

表2：妙峰山油松次生林林下灌木層

植物名稱植物類型株數(shù)

黃柏喬木幼苗6

樸樹喬木幼苗7

欒樹喬木幼苗4

鵝耳楊喬木幼苗7

番葉蛇葡萄木質藤本8

毛櫻桃灌木9

三裂繡線菊灌木11

胡枝子灌木10

大花漫疏灌木10

丁香灌木8

(1)從抽取的老山油松人工林林下灌木層的植物樣本中任選2株，求2株植物的類型都是喬木幼苗的概

率；

(2)以表格中植物類型的頻率估計概率，從妙峰山油松次生林林下灌木層的所有植物中隨機抽取3株

(假設每次抽取的結果互不影響)，記這3株植物的植物類型是灌木的株數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期

望；

(3)從老山油松人工林的林下灌木層所有符合表1中植物名稱的植物中任選2株，記此2株植物屬于不同

植物名稱的概率估計值為6;從妙峰山油松次生林的林下灌木層所有符合表2中植物名稱的植物中任選2

株，記此2株植物屬于不同植物名稱的概率估計值為八.請直接寫出4與6大小關系.(結論不要求證

明)

【答案】(1)——;

495

9

(2)分布列見解析，期望g

(3)PX<P,

【解析】

【分析】(1)根據古典概型概率公式，以及組合數(shù)公式，即可求解;

(2)根據二項分布概率公式，即可求解；

(3)根據兩個表格中的植物類型分布的數(shù)據，即可求解.

【小問1詳解】

表1中的灌木有28+41+22+4=95株，

喬木幼苗有1+1+2+1=5株，共有100株，

C21

所以P=f=——

C；0G495

所以求2株植物的類型都是喬木幼苗的概率為

495

【小問2詳解】

表2中的灌木有9+11+10+10+8=48株,

喬木幼苗有6+7+4+7=24株，木質藤本有8株,

483

抽取1株是灌木的概率為

48+24+85

由題意可知，X=0,1,2,3XBl3,|

p(x=o)=

分布列如下,

X0123

8365427

P

125125125125

E'(X)="p=3x'|=g

【小問3詳解】

表1中植物間的數(shù)量差距較大，表2中每種植物的數(shù)量差不多,

所以選出來不同種類，表2的概率更大，所以《<鳥.

19.已知函數(shù)〃x)=xe=(a>0).

(1)求曲線y=/(%)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)求/(%)在區(qū)間［-1』上的最大值與最小值；

(3)當0=1時，求證：/(x)>lll￥+x+l.

【答案】(1)y=x

(2)見解析(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據導數(shù)的幾何意義，求切線方程；

(2)首先求函數(shù)的導數(shù)，再討論0<aWl和兩種情況求函數(shù)的單調性，求函數(shù)的最值；

⑶首先根據不等式構造函數(shù)g(x)=xe*-Inx-x-1,再利用導數(shù)求函數(shù)的最小值，即可證明.

【小問1詳解】

r(x)=0+何產，r(o)=i,〃0)=0,

所以曲線y=/(x)在點(0,7(0))處的切線方程為丁=1；

【小問2詳解】

/,(x)=(l+ta)eOT,a>Q

當0<aWl時，/(X)20在區(qū)間［-M］上恒成立，在區(qū)間［一1』上單調遞增，

所以函數(shù)〃%)的最小值為/(-1)=-e",最大值為/(I)=1,

當a>l時，/，(%)=0,得x=—：e(—1,0),

/'(x)在區(qū)間T—皆小于°，函數(shù)八%)單調遞減，

/'(%)在區(qū)間-大于0,函數(shù)八%)單調遞增，

所以函數(shù)“力的最小值為工］=-二-,

kcij〃e

/(-l)=-em,/(l)=efl,顯然所以函數(shù)/(%)的最大值為/(l)=e",

綜上可知，當0<aWl時，函數(shù)八％)的最小值為/(—l)=-es,最大值為〃1)=/,

當a>l時，函數(shù)〃外的最小值為口=一工，最大值為了⑴=e“；

kct)ae

【小問3詳解】

當a=l時，f(x)=xex,即證明不等式尤e*21nx+無+1，

設g(x)=xe*—Inx—x—Lx>0,g，(x)=(x+l)"》,

設/z(x)=eX—工，x>0,=e，+二>0,

所以/z(x)在(0,+8)單調遞增，并且《3=4—2<o,MD=e—1>0,

所以函數(shù)可九)在上存在唯一零點飛,使/1(毛)=峻-1=0,

即(5)=0,則在區(qū)間(0,%)，g'(%)<0,g(x)單調遞減，

在區(qū)間(a,+00),g'(九)>0,g(x)單調遞增，

所以g(X)的最小值為g(毛)=/e*-lnx0-x0-l,

由/z(xo)=e*1=0,得/*=1,且

xo

所以g5)=。,

所以g(x)=xe九一lnx—x—12。，即/(x)>lnx+x+l.

20.已知橢圓C：W+(=1(。〉6〉0)的離心率為乎，短軸長為2a.

(1)求橢圓。的方程；

(2)設。為坐標原點，過點「(-1,-1］分別作直線/1，/2,直線4與橢圓相切于第三象限內的點G,直線

4交橢圓。于M，N兩點.若|PG「=|PMHPN|,判斷直線4與直線OG的位置關系，并說明理由.

22

【答案】(1)—+^-=1

82

(2)l2//OG,理由見解析

【解析】

【分析】(1)根據條件，列出關于心仇。得到方程，即可求解；

(2)首先設出直線4的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求出點G的坐標，設出直線4的方程，與橢圓方程聯(lián)立，

利用韋達定理表示|孫刈？兇，再根據|PG「=|PM.|PN|,求出直線4，即可判斷直線4與直線OG的位

置關系.

【小問1詳解】

￡=2/3

a2

由條件可知，<2人=2及，解得：標=8，〃=2，02=6，

a2=b'+C1

22

所以橢圓C的方程為土+乙=1；

82

【小問2詳解】

設直線4：x=m[y+|J-i,聯(lián)立

x2+4y2=8

<(3、，(m2+4)y2+(3m2—2m\y+—m2—3m—7=0,(*)

x=m\y+—\-lv7v'4

A=（3mI2-2m^-4^m2+4）1；加？-3m-7j=0,

整理為〃「—12m—28=0，解得：加=一2或加=14,

由題意結合圖形可知，〃2<0,所以m=-2,

當機=一2時，代回（*）得/+2丁+1=0,即y=—1,x=-2^-l+|^|-l=-2,

所以點G的坐標為（—2,—1）,L所以|PG「=；

設直線右：x="[y+I^T，聯(lián)立，M（%，x），N（%2，%），

x2+4y2=8

[+3]]，得(“2+4)y2+(3“2_2"y+(“2_3〃_7=0,(*)

222^H2-3H-7=0,

△=(3H-2M)-4(?+4)

整理為"2—12"—28<0，解得：-2<