2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用 培優(yōu)練習(xí)

反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用培優(yōu)練習(xí)

一、課標(biāo)導(dǎo)航

課標(biāo)內(nèi)容課標(biāo)要求目標(biāo)層次

反比例函數(shù)的綜

應(yīng)用反比例函數(shù)的知識解決問題★★

合應(yīng)用

二、核心綱要

1.反比例函數(shù)與實(shí)際問題.

2.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合.

3.反比例函數(shù)與二次函數(shù)的綜合.

4反比例函數(shù)與幾何的綜合.

本節(jié)重點(diǎn)講解：反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用.

三、全能突破

基礎(chǔ)演練

1.如圖26-2-1所示，反比例函數(shù)y=狎勺圖像與一次函數(shù)y=kx+b的圖像交于點(diǎn)M、N,已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,3),點(diǎn)N的

縱坐標(biāo)為一1,根據(jù)圖像信息可得關(guān)于x的方程?=kx+b的解為().

4-3,1B.-3,3C.-IJD.3,-1

2.如圖2622所示,函數(shù).yi=x-1和函數(shù)y2=:的圖像相交于點(diǎn)M(2,m),N(-l,n),若.yt>以,則x的取值范圍是().

A.x<-I或0<x<2B.x<-1或x>2C.-l<x<0或0<x<2D.-l<x<0或x>2

3.給出下列命題及函數(shù)y=x,y=久z和y=《的圖像，如圖26-2-3所示.

①如果l>a>a?,那么0<a<l;②如果a2>a>，那么a>l;

③如果->a2>a,那么-l<a<0;④如果a2>：>a時，那么a<-1.則正確答案是().

a

A.正確的命題是①④B.錯誤的命題是②③④圖26-2-3

C.正確的命題是①②D錯誤的命題只有③

4.閱讀以下材料并填空：

問題：當(dāng)x滿足什么條件時，x>i.

解：設(shè)yi=32=：則在同一直角坐標(biāo)系中畫出這兩個函數(shù)的草圖.如圖2624(a)所示.

聯(lián)立兩個函數(shù)的解析式得：］;解得g］；或］

，兩個圖像的交點(diǎn)為(1,1)和(-1,-1)....由圖(a)可知.當(dāng)-l<x<0或x>l時,工冶

⑴上述解題過程用的數(shù)學(xué)思想方法是.

⑵根據(jù)上述解題過程，試猜想%<熱寸,x的取值范圍是_(圖26-2-4(b)為備用圖).

⑶試根據(jù)上述解題方法，當(dāng)x滿足什么條件時，/>*

圖26-2-4

5.如圖26-2-5所示，正比例函數(shù)y=1的圖像與反比例函數(shù)y=久左*0)在第一象限的圖像交于

A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M,已知△。4”的面積為I.

(1)求反比例函數(shù)的解析式.

(2)如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖像上的點(diǎn)(點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合)，且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,

①在x軸上求一點(diǎn)P.使PA+PB最??；

②在y軸上求一點(diǎn)Q,使QA-QB最大.

6.如圖26-2-6所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y=?(x>0)的圖像與一次函數(shù)y=-x+b的圖像的一個交點(diǎn)為

A(4,m).

⑴求一次函數(shù)的解析式.

(2)設(shè)一次函數(shù)y=-x+b的圖像與y軸交于點(diǎn)B,P為一次函數(shù)y=-x+b的圖像上一點(diǎn)，若△OBP的面積為5,求點(diǎn)P

的坐標(biāo).

(3)在x軸上是否存在點(diǎn)P,使△40P為等腰三角形？若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

7.直線y=-x-2與反比例函數(shù)y=口勺圖像交于A、B兩點(diǎn)，且與x、y軸交于C、D兩點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3-k+4).

⑴求反比例函數(shù)的解析式.

(2)把直線AB繞著點(diǎn)M(-l,-1)順時針旋轉(zhuǎn)到MN,使直線MNLx軸，且與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)N,求旋轉(zhuǎn)角大

小及線段MN的長.

8.據(jù)媒體報(bào)道，近期“手足口病”可能進(jìn)入發(fā)病高峰期，某校根據(jù)《學(xué)校衛(wèi)生工作條例》，為預(yù)防“手足口病”,對教室進(jìn)行

“薰藥消毒已知藥物在燃燒及釋放過程中，室內(nèi)空氣中每立方米含藥量y(毫克)與燃燒時間x(分鐘)之間的關(guān)系如圖2

6-2-7所示(即圖中線段OA和雙曲線在A點(diǎn)右側(cè)的部分),根據(jù)圖像所示信息，解答下列問題：

⑴寫出從藥物釋放開始，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍.

(2)據(jù)測定,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于2毫克時，對人體無毒害作用，那么從消毒開始，至少在多長時間內(nèi)，師

生不能進(jìn)入教室？

圖26-2-7

能力提升

9.(1)若一次函數(shù)y=kx+l的圖像繞點(diǎn)(0,1)旋轉(zhuǎn)一定角度得到的圖像與反比例函數(shù)y=2的圖像沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的

取值范圍是^一,

(2)如果一次函數(shù)y=mx+n(n#0)與反比例函數(shù)y=鄴子的圖像相交于點(diǎn),那么該直線與雙曲線的另一個交點(diǎn)為一

10.如圖26-2-8所示,A(-1,6)是雙曲線y=l(x<0)上的一點(diǎn)，P為y軸正半軸上一點(diǎn)，將A點(diǎn)繞P點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°，恰

好落在雙曲線上的另一點(diǎn)B,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為.

11.如圖26-2-9所示,已知一次函數(shù)>=<”1+2)工1-1-'和函數(shù)y=第勺圖像交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE_Lx軸于點(diǎn)E,

若AAOE的面積為2,P是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，且以點(diǎn)B、0、E、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則滿足條件的P點(diǎn)

坐標(biāo)是一?

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知反比例函數(shù)y=竽(上豐0)滿足：當(dāng)x<0時，y隨x的增大而減小.若該反比例函數(shù)的

圖像與直線y=-x+百/c都經(jīng)過點(diǎn)P,且［0P|=VX則實(shí)數(shù)k=_.

13.如圖26-2-10所示，過點(diǎn)C(l,2)分別作x軸、y軸的平行線,交直線y=-x+6于A、B兩點(diǎn),若反比例函數(shù)y=式外。)的圖

像與△ABC有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是_.

14.如圖26211所示.M為雙曲線y=￡上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸、y軸的垂線，分別交直線y=-x+m于點(diǎn)D、C兩點(diǎn)，若

直線y=-x+m與y軸交于點(diǎn)A,與x軸相交于點(diǎn)B,則ADBC的值為_.

15.探究與應(yīng)用：

已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m,0）,在x軸上存在點(diǎn)Q（不與P點(diǎn)重合），以PQ為邊作正方形PQMN,使點(diǎn)M落在反比例函數(shù)y=

-2的圖像上.小明對上述問題進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)不論m取何值，符合上述條件的正方形只有兩個，且一個正方形的

X?,

頂點(diǎn)M在第四象限，另一個正方形的頂點(diǎn)Mi在第二象限.

⑴如圖26-2-12所示,若反比例函數(shù)解析式為y=-；P點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,圖中已畫出一符合條件的一個正方形PQM

N,請你在圖中畫出符合條件的另一個正方形PQiMiNi.

⑵請你通過改變P點(diǎn)坐標(biāo)，對直線MiM的解析式y(tǒng)=kx+b進(jìn)行探究可得k=____,若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m,0）時，則b=

（3）依據(jù)⑵的規(guī)律，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6,0）,請你直接寫出點(diǎn).Mi和點(diǎn)M的坐標(biāo).

16.“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個著名問題，但僅用尺規(guī)不可能“三等分角”.下面是數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等

分銳角”的方法（如圖26213所示）,將給定的銳角.n408置于直角坐標(biāo)系中，邊OB在x軸上、邊OA與函數(shù)y=[

的圖像交于點(diǎn)P,以P為圓心，以2OP為半徑作弧交圖像于點(diǎn)R.分別過點(diǎn)P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相

交于點(diǎn)M,連接OM得到得到Z.MOBM乙MOB=.要明白帕普斯的方法，請你研究以下問題：

⑴設(shè)P（嗎）、R（嗎）,求直線OM相對應(yīng)的函數(shù)解析式（用含a,b的代數(shù)式表示）.

（2）分別過P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)Q,請說明Q點(diǎn)在直線OM上,據(jù)此證明乙MOB=1

Z.AOB.

圖26-2-13

17.已知反比例函數(shù)y=：的圖像經(jīng)過點(diǎn).4（一四，1）.

⑴試確定此反比例函數(shù)的解析式.

⑵點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，將線段OA繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)30。得到線段OB,判斷點(diǎn)B是否在此反比例函數(shù)的圖像上，并

說明理由.

（3）已知點(diǎn)P（m，V3m+6）也在此反比例函數(shù)的圖像上（其中m<0）,過P點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)M.若線段PM

上存在一點(diǎn)Q,使得AOQM的面積是玄設(shè)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n,求標(biāo)一2V3n+9的值.

18.如圖26-2-14所示,拋物線y=-x2+ax+b過點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),其對稱軸與x軸的交點(diǎn)為C,反比例函數(shù)y=§(x>O,k是

常數(shù))的圖像經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)D.

(1)求拋物線和反比例函數(shù)的解析式.

⑵在線段DC上任取一點(diǎn)E,過點(diǎn)E作x軸平行線，交y軸于點(diǎn)F、交雙曲線于點(diǎn)G,連接DF、DG、FC、GC.

①若△DFG的面積為4,求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

②當(dāng)DF=GC時,求直線DG的函數(shù)解析式.

圖26-2-14

中考鏈接

19.(安徽)如圖26-2-15(a)所示,在矩形ABCD中,BC=x,CD=y,,y與x滿足的反比例函數(shù)關(guān)系如圖26215(b)所示，等腰

直角三角形AEF的斜邊EF過點(diǎn)C,M是EF的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是().

A.當(dāng)x=3時，EC<EMB.當(dāng)y=9時，EC>EM

C.當(dāng)x增大時,ECCF的值增大D.當(dāng)y增大時,BEDF的值不變

圖26-2-15

20.(杭州)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=fc(x2+x-1)的圖像交于點(diǎn)A(l,k)和點(diǎn)B(-l,-k).

(1)當(dāng)k=-2時，求反比例函數(shù)的解析式.

(2)要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍.

(3)設(shè)二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為Q,當(dāng)△4BQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值.

巔峰突破

2___

21.閱讀理解：對于任意正實(shí)數(shù)a、b,???(Va-Vfc)>0,a-24ab+b>0,a+

b>只有當(dāng)a=b時，等號成立.

結(jié)論：在(a+b22/ab(a、b均為正實(shí)數(shù))中，若ab為定值p,貝(](a+b22后只有當(dāng)a=b時,a+b有最小值2而

根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：若m>0,只有當(dāng)m=—時，m+壹有最小值一

⑵如圖26-2-16所示.已知A(-3,0),B(0,-4),P為雙曲線.y=宗久>0)上的任意一點(diǎn)，過

點(diǎn)P作PC_Lx軸于點(diǎn)C,PD，y軸于點(diǎn)D.求四邊形ABCD面積的最小值，并說

明此時四邊形ABCD的形狀.

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A,B兩點(diǎn)在函數(shù)C1：y=，(幻。)的圖像上，其中的〉0.AC1y軸于點(diǎn)C,BD_Lx軸于

點(diǎn)D,且AC=1.

⑴若匕=2”貝UAO的長為,ABOD的面積為.

⑵如圖26217(a)所示，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為k,且k1>l,當(dāng)AO=AB時，求立的值

⑶如圖26-2-17(b)所示QC=4,BE_Ly軸于點(diǎn)E,函數(shù)Q：y=0(x>0)的圖像分別與線段BE,BD交于點(diǎn)M,N,其中(0

<k2<的將AOMN的面積記為SnABMN的面積記為S?若.S=St—S2，求S與k?的函數(shù)關(guān)系式以及S的最

大值.

(a)(1))

圖26-2-17

基礎(chǔ)演練

1.A2.D3.A

4.⑴數(shù)形相結(jié)合(2)0<x<l或x<-l

(3)由圖像可知：y=必與y=：的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1.1).

當(dāng)x>l或x<0時,/>

5.⑴設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),則b=},；.ab=k.^ab=

l，4fc=Lk=2.，反比例函數(shù)的解析式為y=*

，—2

⑵由此二彳”為(2.i).

y=-xU

I2

又B點(diǎn)橫坐標(biāo)為l.，B為(1.2).

①設(shè)A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為C,則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-1).

令直線BC的解析式為.y=mx+n.

??,B為(1,2){.仁猊二???的解析式為y=-3x+5.

當(dāng)y=0時.X=Q.P點(diǎn)為(*0).

②連接AB并延長與y軸交于點(diǎn)Q.此時QA-QB最大.

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k和)，則有

由獸=2解得

12k+b=1lb=3

，直線AB的解析式為y=-x+3.

，點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0,3).

6.(l)y=-x+5.

(2)由題意，得B(0,5)".OB=5.設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xp.

..?△OBP的面積為5.

x5,\Xp\=5.Xp=±2.

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)或(-2,7).

(3)(8,0),(-/17.0),(/17.0).(『0).

7.(1)將點(diǎn)A(-3,k+4)代入直線y=-x-2

得k+4=-(-3)-2解得k=-3.

???點(diǎn)A(-3.1)于是反比例函數(shù)的解析式為y=-l

(2)C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0)、(0,-2)..,.在AOCD中,NOCD=45。.所以旋轉(zhuǎn)角為45。.點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為(-1.-1),(-1,3)，

MN的長度為4.

8。)設(shè)反比例函數(shù)解析式為y*k豐0)將(256)代入解析式得,k=25x6=150,則函數(shù)解析式為y=詈。215),

將y=10代入解析式得10=詈,x=15,故A(15.10).

設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=nx.

將A(15.10)代入上式可得n=|,則正比例函數(shù)解析式為y="(0<x<15).

⑵當(dāng)詈=2礙x=75.

答：從消毒開始，師生至少在75分鐘內(nèi)不能進(jìn)入教室.

能力提升

9.(l)k<-l/4(2)(-l.-l)10.P(0.3)或P(0.4)

7

ll.P1(0.-4).P2(-2.-4).P3(2.4)12.J

13.2<k<9

14.2V3

6(1)如下圖所示

(2)k=-l.b=m

⑶Mi的坐標(biāo)為((3-Vil，3+V11),M的坐標(biāo)為(3+VT1,3-Vil).

16.⑴設(shè)直線OM的函數(shù)關(guān)系式為y=kx,P(a,%R(b,》則M(仇》,k=十+b=專.

???直線OM的函數(shù)關(guān)系式為y二三

(2)：Q的坐標(biāo)(aq)滿足y=白％,

**?點(diǎn)Q在直線OM上.

???四邊形PQRM是矩形。

1

...SP=SQ=SR=SM=”R.

???NSQR=NSRQ.

?；PR=2OP,:、PS=OP=|PR.

:.ZPOS=ZPSO.

???NPSQ是ASQR的一個外角。

???NPSQ=2NSQR.

:.ZPOS=2ZSQR.

???QR〃OB.

:.ZMOB=ZSQR.

???NPOS=2NMOB.

AMOB=-AAOB.

3

17.⑴y=一當(dāng)

⑵如下圖所示，過點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)C.

在RtAAOC中,OC=遍,AC=1.可得OA=

/OCr+AC?=2.NAOC=30*.

由題意,NAOB=30o,OB=OA=2,.IZBOC=60°.

過點(diǎn)B作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)D.

在R3BOD中，可得BD=V3.OD=1.

，B點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,8).

將x=-l代入y=-/中，得y=

(3)由丫=-凈導(dǎo)xy=-遮

:點(diǎn)P(m-V3m+6)在反比例函數(shù)y=的圖像上,其中m<0,■.m(V3m+6)=-V3.

:.m2+2V3m+1=0.

???PQ±x軸,?,?Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,n).

???△OQM的面積是=1.

:.m<0,:.mn=—1.m2n2+2V3mn2+n2=0.

:.n2—275n=-1.n2-2V3n+9=8.

18.⑴???拋物線y=-%2+a%+b過點(diǎn)A(-l,0),B(3,0)

(-l-a+b=O解得1=2,

l-9+3a+b=o"用牛1守lb=3.

，拋物線的解析式為.y=-x2+2x+3..?.頂點(diǎn)D(1.4)函數(shù)y=§(x>0m是常數(shù))圖像經(jīng)過D(l,4),

.\k=4.

⑵①設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為(m《).

據(jù)題意，可得E點(diǎn)的坐標(biāo)為(L4/m).F.點(diǎn)的坐標(biāo)為((0.4m).

*.*m>l,/.FG=m,DE=4-4/m.

由ADFG的面積為4,即如(4-')=/得m=3.

二點(diǎn)G的坐標(biāo)為(3《).

②：FC//DG,當(dāng)FD=CG時,有兩種情況：

當(dāng)FD〃CG時,四邊形DFCG是平行四邊形.

由上題得普=差=mT,二m-1=1得m=2.

二點(diǎn)G的坐標(biāo)是(2.2).

設(shè)直線DG的函數(shù)解析式為y=kx+b,把點(diǎn)D,G的坐標(biāo)代入。

得解得憶”

直線AB的函數(shù)解析式是y=-2x+6.

當(dāng)FD與CG所在直線不平行時，四邊形ADCB是等腰梯形.

則DC=FG,.1.m=4,.-.點(diǎn)G的坐標(biāo)是(4,1).

設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b.把點(diǎn)D,G的坐標(biāo)代入。

得｛;二優(yōu)第得m

直線AB的函數(shù)解析式是y=-x+5.

綜上所述，所求直線DG的函數(shù)解析式是y=-2x+6或y=-x+5.

中考鏈接

19.D

20.⑴當(dāng)k=-2時,A(l,-2).：A在反比例函數(shù)圖像上。

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：y=三代入A(l,-2)得:-2=?解得：m=-2.

???反比例函數(shù)的解析式為y=-：.

⑵??.要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著X的增大而增大,k<0.

,二次函數(shù)y=fc(x2+x-1)=k(x+1)k的對稱軸為：直線x=-|,

要使二次函數(shù).y=乂必+x-1)滿足上述條件，在k<0的情況下，x必須在對稱軸的左邊。

即x<-1時，才能使得y隨著x的增大而增大，二綜上所述。，k<0」且％<6；

(3)由(2)可得Q(_(_：/￡),

???△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形，A點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱(下圖是其中的一種情況)

???原點(diǎn)O平分AB,.-.OQ=OA=OB,

作AD_LOC,QC_LOC.

???OQ=JCQ2+OC2=卡+和.

OA=y/AD2+OD2=Vl+k2,

1；+沙=VI”.解得k