2024年江蘇省蘇州市高新區(qū)中考數(shù)學模擬試卷（含解析）

2024年江蘇省蘇州市高新區(qū)中考數(shù)學模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）

A.2.5B./Toc-D.0

2.據(jù)統(tǒng)計，2022年我市城鄉(xiāng)居民人均生活消費支出為41500元,將41500用科學記數(shù)法表示為（）

A.4.15x104B.0.415x104C.0.415x105D.4.15x105

3.下列計算正確的是（）

2326

A.a+2a2=3aJJ.a~Cl—ClL.CLCl—CLD.(a)=a

4.某小組在一次“在線測試”中做對的題數(shù)分別是10,8,6,9,8,7,8,對于這組數(shù)據(jù)，下列判斷中

錯誤的是（）

A.眾數(shù)是8B.中位數(shù)是8C.平均數(shù)是8D.方差是8

5.在出△ABC中，"=90°,AC=3,BC=4,以AC所在直線為軸，把AABC旋轉(zhuǎn)1周，得到圓錐，則該

圓錐的側(cè)面積為（）

A.127rB.157rC.207rD.247r

6.我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭

0篇）生其中，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深幾何（丈、尺是長度單

位，1丈=10尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在

水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中

點，它的頂端恰好到達池邊的水面.水的深度是多少？則水深為（）

A.10尺

B.12尺

C.13尺

D.15尺

7.王同學用長方形紙片折紙飛機，前三步分別如圖①、②、③.第一步：將長方形紙片沿對稱軸對折后展

開，折出折痕EF;第二步：將AAEG和ABEH分別沿EG,EH翻折，AE,BE重合于折痕EF上；第三步：

將AGEM和分別沿EM,EN翻折，EG,EH重合于折痕EF上.已知AB=20cm,AD=20y/l.cm,則

MO的長是（）

B

圖①

A.10cmB.5V-2cm

8.如圖，已知矩形ABCD的一邊ZB長為12,點P為邊/。上一動點,連接8尸、CP,且滿足

Z.BPC=30°,則的值可能是（）

A.6

B.6.8

C.5/3

D.|>A3

二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。

9.-64的立方根是.

10.使代數(shù)式后式有意義的x的取值范圍是.

11.若一組數(shù)據(jù)1、3、X、5、8的眾數(shù)為8,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.

12.如圖，正方形ZBCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，現(xiàn)隨機向正方形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在黑色

區(qū)域內(nèi)的概率為

13.已知正六邊形的內(nèi)切圓半徑為，耳，則它的周長為

14.已知點P是半徑為4的。。上一點，平面上一點Q到點P的距離為2,則線段0Q的長度a的范圍為

15.如圖，。、B兩點是線段4C的三等分點，以4B為直徑作。。，點E為。。上一點，連接CE,交。。于點

D,連接B。，若點。恰為線段CE中點，則tanNABD為

E

16.如圖，已知RtANBC的兩條直角邊AC=4,BC=3,將RtAABC繞著直角

邊4C中點G旋轉(zhuǎn)，得到ADEF,若△DEF的銳角頂點。恰好落在△ABC的斜邊AB

上，斜邊DE與4C交于點H,貝UCH=.

三、計算題：本大題共1小題，共6分。

17.解方程成

四、解答題：本題共10小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

18.（本小題8分）

計算：一1）。+（勺-2一堂.

19.（本小題8分）

先化簡，再求值：一宗9）+（。-4）,其中a滿足a—1=-2.

20.（本小題8分）

如圖，某校食堂實行統(tǒng)一配餐，為方便學生取餐，食堂開設(shè)了4個窗口，分別記為①、②、③、④，學生

可以從這4個窗口中任意選取一個窗口取餐.

（1）若小明去食堂用餐時4個窗口都沒有人，則小明選擇在②號窗口取餐的概率是；

（2）若小紅和小麗一起去食堂用餐時4個窗口都沒有人，求小紅和小麗在相鄰窗口取餐的概率.（請用畫樹狀

圖或列表等方法說明理由）

21.（本小題8分）

2023年蘇州文博會于4月17日至4月28日在蘇州國際博覽中心舉行，我校氣象興趣小組的同學們想估計一

下蘇州今年4月份日平均氣溫情況.他們收集了蘇州市近五年來4月份每天的日平均氣溫，從中隨機抽取了

60天的日平均氣溫，并繪制成如下統(tǒng)計圖：

（2）若日平均氣溫在18。（：至21久的范圍內(nèi)（包括18久和21灼為“舒適溫度”，請估計蘇州今年4月份日平均

氣溫為“舒適溫度”的天數(shù).

22.（本小題8分）

如圖，點4B、C、。在一條直線上，EA//FB,EC//FD,4B=C。.求證：EF//AD.

ABCD

23.(本小題8分)

如圖，從燈塔C處觀測輪船4、B的位置，測得輪船力在燈塔C北偏西a的方向，輪船B在燈塔C北偏東￡的方

向，且=海里，8。=，而海里，已知cosa=苧、s譏￡=耳子，求4、B兩艘輪船之間的距離.(結(jié)

果保留根號)

C南

24.(本小題8分)

如圖，以％軸上長為1的線段48為寬作矩形4BCD,矩形長2D、BC交直線y=—x+3于點尸、E,反比例函

數(shù)y=((%>0)的圖象正好經(jīng)過點F、E.

(1)線段EF長為；

(2)求k值.

25.(本小題8分)

如圖，在AyiBC中，點。為BC邊上的一個動點，以CD為直徑的。。交2D于點E,過點C作CF〃2B,交O。

于點尸.連接CE、EF,若力C是。。的切線.

⑴求證：Z-BAC=Z.CEF-,

(2)若力B=10,AC=6,CE=EF,求直徑CD的長.

26.(本小題8分)

如圖1,拋物線L：y^-x2+bx+c經(jīng)過點4(0,1),對稱軸為直線x=1與無軸的交于點B.

(1)求拋物線L的解析式；

(2)點C在拋物線上，若AABC的內(nèi)心恰好在x軸上，求點C的坐標；

(3)如圖2,將拋物線L向上平移＞0)個單位長度得到拋物線L，拋物線5與y軸交于點M,過點M作y軸

的垂線交拋物線L于另一點N.P為線段OM上一點.若△PMN與4POB相似，并且符合條件的點P恰有2個，

求k的值.

27.(本小題8分)

已知矩形A8C。中，E是BC的中點，DF14E于點F.

(1)如圖1,若求力的值；

(2)如圖2,連接4c交DF于點G,若循量求cosNFCE的值；

(3)如圖3,延長DF交4B于點G,若G點恰好為4B的中點，連接PC,過4作2K〃FC交FD于K,設(shè)AADK的

面積為Si，ACCF的面積為S2,則||的值為一

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：2.5,-，，0是有理數(shù)；

CU是無理數(shù).

故選：B.

根據(jù)無理數(shù)的定義解答即可.

本題考查的是無理數(shù)，熟知無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】A

【解析】解:41500=4.15X104.

故選：A.

科學記數(shù)法的表示形式為ax的形式，其中l(wèi)W|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a

時，小數(shù)點移動了多少位，九的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正數(shù);

當原數(shù)的絕對值小于1時，n是負數(shù).

此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為aX1071的形式，其中1<|a|<10,n為整

數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.

3.【答案】D

【解析】解：力、原式=a+3a2,不符合題意；

B、原式=a8,不符合題意；

C、原式=a6,不符合題意；

D、原式=a6,符合題意；

故選：D.

A、不能合并同類項；

B、用同底數(shù)累的除法法則計算；

C、用同底數(shù)塞的乘法法則計算；

D、用幕的乘方法則計算.

本題考查了同底數(shù)事的除法、同底數(shù)幕的乘法、幕的乘方，掌握這幾個知識點的綜合應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

4.【答案】D

【解析】解：平均數(shù)=(10+8+6+9+8+7+8)+7=8,

按從小到大排列為：6,7,8,8,8,9,10,

???中位數(shù)是8；

???8出現(xiàn)了3次，次數(shù)最多，

二眾數(shù)是8；

方差S2=i[(10-8)2+(8—8)2+(6-8)2+(9-8)2+(8—8)2+(7-8)2+(8—8)2]=1.25.

O

所以。錯誤.

故選：D.

由題意可知：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)=(10+8+6+9+8+7+8)+7；總數(shù)個數(shù)是奇數(shù)的，按從小到大的順

序排列，取中間的那個數(shù)便為中位數(shù)，按此方法求中位數(shù)；一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就叫這組數(shù)據(jù)

的眾數(shù)，這組數(shù)據(jù)8出現(xiàn)次數(shù)最多，由此求出眾數(shù)；一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差的平方的

平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的方差，按此方法計算方差.

考查了方差，加權(quán)平均數(shù)，中位數(shù)及眾數(shù)的知識，正確理解中位數(shù)、眾數(shù)及方差的概念，是解決本題的關(guān)

鍵.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了圓錐的計算，掌握圓錐側(cè)面積的計算公式是解題的關(guān)鍵.

先利用勾股定理求解得到母線長I為5,再運用公式s=兀/r求解即可.

【解答】

解：在ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,

AB=VAC2+BC2=V32+42=5,

由已知得，母線長1=5,半徑r為4,

.?.圓錐的側(cè)面積是s=Ttlr=5x4x兀=207r.

故選：C.

6.【答案】B

【解析】解：設(shè)水深為八尺，則蘆葦長為(八+1)尺，

根據(jù)勾股定理，得g+1)2—層=(10+2產(chǎn)，

解得無=12,

???水深為12尺,

故選:B.

設(shè)水深為八尺，則蘆葦長為(h+1)尺，根據(jù)勾股定理列方程，解出h即可.

本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.

7.【答案】D

【解析】解：???四邊形力BCD為矩形，AB=20cm,AD=20/2cm,

???ZX=90°,

由第一步折疊可得，AD//EF,AE=BE=10cm,

由第一步折疊可得，AE=A'E=10cm,^EA'G=乙4=90°,

AE//A'G,

???四邊形4E4G為平行四邊形，

???AE=A'E,ZX=90°,

??.平行四邊形4E4G為正方形，

AG=AE=10cm,

???GD=AD-AG=(20/1-10)cm,

在RtAAEG中，EG=<AG2+AE2=V102+102=10<2(cm),

根據(jù)第三步折疊可得，乙GEM=LG'EM,

???GD//EF,

：.4GME=AG'EM,

：.乙GEM=4GME,

GE=GM—10yT2cm,

MD=GD-GM=20AA2-10-1072=(1072-10)cm.

故選：D.

根據(jù)第一、二步折疊易得四邊形力EAG為正方形，AG=10cm,以此得出GD=(20，！-10)cm,根據(jù)勾

股定理求出EG=lOYlcm,根據(jù)第三步折疊可得NGEM=NG'EM,進而得到4GEM=Z.GME,貝!|GE=

GM,于是MD=GD—GM,即可求解.

本題主要考查折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握折疊

的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.【答案】B

【解析】解：①如圖1,當點P與點a重合時，NBPC最小,

圖1

?.?四邊形4BCD是矩形,

乙B=90°,

4B=12,4BPC=30°,

BC=瑞=點=473~6.928,

此時BC是滿足題意的最大值；

②如圖2,當點P是力D的中點時，NBPC最大，此時BC最小,

圖2

過點B作BE1CP于E,

設(shè)BE=a,AP=x,貝?。軧C=AD=2x,

???乙BPC=30°,

BP=2.BE=2a,PE=y/_3af

.?2%?12=1-2a?a

lx2+122=4a2

解得：x=24+12，W（舍）或24-12<3,

BC=2x=48-24門，

綜上，48-24<3<BC<4V^>即6.432WBCW6.928.

故選：B.

考慮N8PC的兩個臨界點，①如圖1,當點P與點4重合時，NBPC最小，止匕時8c的值最大；②如圖2,當點

P是4D的中點時，NBPC最大，此時BC最??；分別計算BC的值，確定BC的最大值和最小值，可得結(jié)論.

本題考查了勾股定理，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，正確畫圖，確

定點P的兩個臨界點是解本題的關(guān)鍵.

9【答案】-4

【解析】【分析】

此題主要考查了立方根的定義，求一個數(shù)的立方根，應(yīng)先找出所要求的這個數(shù)是哪一個數(shù)的立方.由開立

方和立方是互逆運算，用立方的方法求這個數(shù)的立方根.注意一個數(shù)的立方根與原數(shù)的性質(zhì)符號相同.

根據(jù)立方根的定義求解即可.

【解答】

解："(―4)3=—64,

一64的立方根是一4.

故選-4.

10.【答案】x>1

【解析】【分析】

根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負數(shù)求解即可.

【解答】

解：因為代數(shù)式，7^1有意義，

所以x—1>0,

解得：x>1.

故答案為：%>1.

【點評】

本題考查了二次根式有意義的條件，掌握被開方數(shù)為非負數(shù)是解題關(guān)鍵.

1L【答案】5

【解析】解：???數(shù)據(jù)1、3、X、5、8的眾數(shù)為8,

???x=8,

則數(shù)據(jù)重新排列為1、3、5、8、8,

所以中位數(shù)為5,

故答案為：5.

根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解.

本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的概念，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（

或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這

組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

12.【答案】=

O

【解析】解：設(shè)正方形的邊長為2a,則正方形的內(nèi)切圓的半徑為a,

12

-ra

2

-7-T

2

所以針尖落在黑色區(qū)域內(nèi)的概率=-74ra8

故答案為去

用圓的面積的一半除以正方形的面積得到針尖落在黑色區(qū)域內(nèi)的概率.

本題考查了幾何概率：某事件的概率=某事件對應(yīng)的面積與總面積之比.

13.【答案】12

【解析】解:如圖，連接。4、OB,0G；

?.?六邊形2BCDEF是邊長等于正六邊形的半徑，設(shè)正六邊形的半徑為a,

?t*△是等邊三角形，

0A=AB=a,

0G=。兒sin60°=ax號=衣，解得a=2,

它的周長=6a—12.

故答案為：12.

根據(jù)題意畫出圖形，利用正六邊形中的等邊三角形的性質(zhì)求解即可.

此題主要考查了正多邊形和圓、等邊三角形及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)已知得出六邊形4BCDEF是邊長

等于正六邊形的半徑是解題關(guān)鍵.

14.【答案】2WaW6

【解析】解：如圖，當點Q在圓外且0,Q,P三點共線時，線段。Q的長度的

最大，最大值為4+2=6；

當點Q在圓內(nèi)且0,Q,P三點共線時，線段。Q的長度的最小，最小值為4-

2=2,

所以，線段0Q的長度a的范圍為2WaW6.

故答案為：2WaW6.

如圖，當點Q在圓外且0,Q,P三點共線時，線段。Q的長度的最大，當點Q在圓內(nèi)且0,Q,P三點共線

時，線段。Q的長度的最小，據(jù)此得到結(jié)論.

本題考查了點與圓的位置關(guān)系，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】715

【解析】解:連接OE、AD,如圖，設(shè)。。的半徑為r,

???。、B兩點是線段4C的三等分點，

OB=CB,

???點。恰為線段CE中點，

BD為XOCE的中位線，

11

???BD=^0E=^r,

???43為直徑,

???(ADB=90°,

在中，AD=<AB2-BD2=I(2r)2-(|r)2=

/15__

tanZ.ABD=—=*一=V15-

BD2r

故答案為：V15.

連接。E、AD,如圖，設(shè)O。的半徑為r,先證明8。為AOCE的中位線，則BD=^r，再根據(jù)圓周角定理得

到4408=90。，再利用勾股定理計算出a。=手?，然后根據(jù)正切的定義求解.

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的

一半.半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.也考查了解直角三角形.

16.【答案】g

【解析】解：連接CD,

E

???AC=4,BC=3,

由勾股定理得，AB=5,

???點G為AC的中點，

AG=CG,

???△DEF的銳角頂點D恰好落在^ABC的斜邊上，

AG=DG,

???Z-A=乙ADG,Z.GCD=乙GDC,

1

???2ADC=1x180°=90°,

AADAC

「cos4=h而,

,AD_4

?‘7=『

AfD=—16,

???乙AHD=乙DHG,乙HDG=乙HAD,

??△HDGs^HAD,

DG_PH_HG_2_5

'''AD=HA=HD=^=^

5

設(shè)G”=5%,則?！?8%,AH=5%+2,

.8%_5

'?5x4-2=8?

解得X=崇

經(jīng)檢驗，久=段是方程的解，

AH=5%+2=

??.?.,,.12828

.-.CH=AC-AH=4--=-,

故答案為：

連接CD,根據(jù)AG=GD=CG,可說明NADC=90。，從而求出4D的長，再利用△”DGs4用4。，得第=

DHHG25,,_

HA=HD=^=^設(shè)G"=5%,貝!JDH=8%，AH=5%+2,進而得出％的值?

T

本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，證明△HDGSA/MD是解決問

題的關(guān)鍵.

17.【答案】解：產(chǎn)—2y=%,

[2x+y=3(2)

②x2+①得：7K=14,

解得：x=2,

將x=2代入②得：y=-1,

則原方程組的解為二：「

【解析】方程組利用加減消元法求出解即可.

此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.

18.【答案】解：(72-1)°+(1)-2-V27

=1+9—3

=7.

【解析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答.

本題考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)幕，負整數(shù)指數(shù)累，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.

19?【答案】解：原式=[障詈a(a—1)-.1

a(a+2)CL—4

_a2—4—a2+a1

a(a+2)a—4

a—41

a(a+2)a—4

]

Q2+2Q'

a2-2=-2a,

a2+2a=2,

?,?原式=

【解析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再求出小+2a的值，代入進行計算即可.

本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵.

20.【答案】i

4

【解析】解：(1)若小明去食堂用餐時4個窗口都沒有人，則小明選擇在②號窗口取餐的概率是

故答案為：J；

4

(2)畫樹狀圖如下:

開始

①②③④①②③④①②③④①②③④

共有16種等可能的結(jié)果，其中小紅和小麗在相鄰窗口取餐的結(jié)果有6種，即①②、②①、②③、③②、

③④、④③，

二小紅和小麗在相鄰窗口取餐的概率為2=|.

IoO

(1)直接由概率公式求解即可;

(2)畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中小紅和小麗在相鄰窗口取餐的結(jié)果有6種，再由概率公式求解

即可.

本題考查的是用樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以

上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

21.【答案】解：(1)19.5；19；

(2)v12+蒙+6*30=20(天),

.??估計蘇州今年4月份日平均氣溫為“舒適溫度”的天數(shù)大約為20天.

【解析】解：(1)這60天的日平均氣溫的中位數(shù)為笥型=19.5,

眾數(shù)為19,

故答案為：19.5,19；

(2)見答案。

(1)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念求解即可;

(2)用樣本中氣溫在18K?21冤的范圍內(nèi)的天數(shù)所占比例乘以4月份的天數(shù)即可.

本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、樣本估計總體，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)，將

一組數(shù)據(jù)按照從小到大(或從大到小)的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組

數(shù)據(jù)的中位數(shù).如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

22.【答案】證明：EA//BF,EC//FD,

???Z.A=Z-FBD,Z-ACE=乙D,

???AB=CD,

?**AB+BC=CD+BC,

即AC=BD,

在△AEC和ABF。中,

24=乙FBD

AC=BD，

./.ACE=Z-D

：.AAEC^ABFD（ASA）,

EC=FD,

■：EC//FD,

???四邊形EFDC為平行四邊形,

???EFHCD,

EFUAD.

【解析】由平行線的性質(zhì)得乙4=NFBD,ZXCF=ZD,再證力C=BD,然后證△AEC之△BFDQ4S力），然

后利用平行四邊形的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)論.

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方

法，屬于中考?？碱}型.

23.【答案】解：過點4、B分別作東西方向的垂線于點E、D,作

BF1AE于點F,

AE//CH//BD,

.-.^CAE=4ACH=a,乙CBD=ABCH=0,

則四邊形FEDB為矩形，

EF=BD,FB=ED,

在RtAAEC中，/.CAE=a,

/2

,-?cosa=—>

???a=45°,

???AC=2/1海里，

AE=CE=苧4c=2（海里）,

在RtzkBCD中，乙CBD=0,BC=VTU海里,

CD=sinp-BC=x/10=3（海里），

由勾股定理得，BC2=BD2+CD2,gP（710）2=BD2+32,

解得，BD=1,

AF=AE-EF=1（海里），BFEC+CD=2+3=5（海里）,

則28=VXF2+BF2=Vl2+52=(海里)，

答：A,B兩艘輪船之間的距離為，京海里.

【解析】過點4、8分別作東西方向的垂線于點E、D,作8F14E于點F,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分別

求出AE、CE,根據(jù)正弦的定義分別求出BD、CD,根據(jù)勾股定理計算，得到答案.

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，掌握方向角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的

關(guān)鍵.

24.【答案】解：(1)<2；

⑵??,反比例函數(shù)y=〉0)的圖象正好經(jīng)過點尸、E,

.?.k=771(—771+3)=(m+1)(—m+2),

解得772=1,

.?.k=m(—m+3)=1x2=2.

【解析】解：(1)?.?點F、E在直線y=-%+3圖象上，

???設(shè)F(zn,—TH+3),則+1,—(zn+1)+3),即(zn+1,—m+2)

；?EF=J(m+1—rri)2+(—m+2+m—3)2=y/~2.

故答案為：V~2;

(2)見答案。

(1)表示出E、F的坐標，然后利用勾股定理即可求得EF的長度；

(2)根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到/c=m(-m+3)=(m+l)(-m+2),解得即可.

本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求反比例函

數(shù)的解析式，求線段的長度，正確表示出點的坐標是解題的關(guān)鍵.

25.【答案】(1)證明：??,C/7/ZB,

Z-B=乙FCB,

Z.FCB=乙DEF,

.,?乙B=乙DEF,

又乙BAC+乙B=90°,

???CD是圓。的直徑，

???MED=90°,

???乙DEF+乙CEF=90°,

Z-BAC=Z.CEF；

(2)連接FD,并延長和AB相交于G,

???CE=EF,

???四邊形CEDE為圓內(nèi)接四邊形，

???Z.ADG=Z.ECF,

又乙CDE=乙CFE,

Z.ADG=Z.CDE,

???CD為。。的直徑，

???乙DFC=90°,

???FC//AB,

???Z,FGA=90°,

Z.FGA=Z.ACD,

vAD=AD,

??.△ZGDaACDQ4AS),

DG=CD,AC=AG=6,

???乙ACB=90°,AB=10,AC=6,

BC=<AB2-AC2=8.

在RtABDG中，設(shè)CD=x,

則BD=BC-CD=8-x,BG=AB-AG=10-6=4,DG=CD=x,

???BG2+DG2=BD2,

42+x2=(8-x)2,

x-3)

即CD=3.

【解析】(1)根據(jù)直徑所對圓周角等于直角即可證明結(jié)論；

(2)連接FD,并延長和4B相交于G,由全等三角形的性質(zhì)及勾股定理可得出答案.

本題考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì),

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

26.【答案】解：(1)由題意知：2x(-1)

1c=1

解得：j

=1

???拋物線L的解析式為：y=-x2+2x+1；

(2)由題意得：x軸平分乙4BC,即乙4B0=NCB。,

?■?A的內(nèi)心恰好在x軸上，

的三個內(nèi)角的角平分線交點在x軸上，

由此可知點C在y軸的左側(cè)，

過點C作CDlx軸于點D,如圖所示：

圖1

由題意知：=1,OB=1,

^ABO=4DBC=45°,

DC=DB,

設(shè)。(%-小+2。+1),則有CD=M—2d-1,BD=l-a,

a2—2d—1=1一

解得：。1=一1,。2=2(不符合題意，舍去)，

???點C(—1,-2)；

(3)如圖2,

y

圖2

設(shè)拋物線Li的解析式為y=——+2%+1+k,

M(O,l+fc)>N(2,l+/c)、5(1,0),

設(shè)P(0,t)，

當△PMNSA80P時，偌=器

14~/c—t1

-2—-7

力2—(1+k)t+2=0(T)；

當APMNSAPOB時,偌=照

l+/c—tt

=1)

??-t=1(^+1)②；

(I)當方程①有兩個相等實數(shù)根時，d=(1+卜產(chǎn)—8=0,

解得：k=2，！—1(負值舍去)，

此時方程①有兩個相等實數(shù)根：t1=

方程②有一個實數(shù)根：t=竽，

k=2-\/~2—1;

(n)當方程①有兩個不相等的實數(shù)根時，

把②代入①，得：

*1k+1)2—式1k+1)2+2=0,

解得：k=2(負值舍去)，

此時，方程①有兩個不相等的實數(shù)根：“=1、t2=2,

方程②有一個實數(shù)根：t=l，

???k=2,

綜上，當APMN與APOB相似，并且符合條件的點P恰有2個，則k=2/1—1或2.

【解析】(1)根據(jù)對稱軸為直線x=1且拋物線過點4(0,1)求解可得；

(2)由題意易得x軸平分N4BC,即乙4BO=NCB。，且點C在y軸的左側(cè)，過點。作(7。1x軸于點D,設(shè)

C(a,-a2+2a+1),然后可得a?-2a-1=1-a,進而問題可求解；

(3)設(shè)拋物線5的解析式為y=-/+2x+l+k,知M(0,l+k)、N(2,l+k)、B(l,0),再設(shè)P(O,t),分A

PMNs^8。。和4PMNS4P08兩種情況，由對應(yīng)邊成比例得出關(guān)于t與k的方程，利用符合條件的點P恰

有2個，結(jié)合方程的解的情況求解可得.

本題主要考查二次函數(shù)的綜合、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角形的內(nèi)心，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、相

似三角形的性質(zhì)與判定及三角形的內(nèi)心是解題的關(guān)鍵.

27.【答案】1

O

【解析】解:(1)-??E是BC的中點，

BC=2BE=272,

???四邊形4BCD是矩形，

AD=BC=2/2.乙B=90°,AD//BC,

：.乙AEB=Z.DAF,

DF1AE,

??.Z.AFD=90°=

.,.AABES^DFA,

AE__BE^

AD=AFf

AE-AFAD-BE=X<2=4;

(2)延長DE交CB的延長線于H,連接。E、AH,如圖2所示:

?.?四邊形力BCD是矩形,

??.AD//BC,AD=BC,乙BCD=90°,E

圖2

ADG△CHG,

AD_AG

~CH~~CG

BH==BC,

???E是BC的中點,

.?.BE=CE=BH,

??.EH=BC=AD,

???四邊形ADE"是平行四邊形，

DF1AE,

???四邊形ZDEH是菱形，

DF=HF,AAEH="ED,DE=AD=EH=BC,

1

CE=|DE,

???乙CDE=30°,

???乙CED=90°-30°=60°,

AAEH=^AED=60°,

DF1AE,

???乙FDE=30°=乙CDE,

??.FE=CE,

1

???乙FCE=乙CFE="AEH=30°,

???cos乙FCE=芋；

(3)過F作PQ1AB于P,交CO于Q,作K”14。于“，如圖3所示:

貝UPQ=AD,AP=DQ,PQ//BC//AD,

???G是AB的中點，E是BC的中點，

AB=2ZG,BC=2BE,圖3

???四邊形/BCD是矩形，

??.AD=BC,AB=CD,Z.B="AG=90°,

DF1AE,

???^ADF+/-DAF=^BAE+Z.DAF=90°,

Z.BAE=Z-ADF,

'.AABE^ADAG,

tAB_BE

ADAG

i-1

AB-AG=AD-BE,^AB2=^AD2,

AB=AD,

???四邊形4BCD是正方形，

???AB=BC=CD=AD=PQ,

設(shè)力B=BC=CD=AD=PQ=4a,

則BE=AG=2a,

???tanZ-ADG=tanZ-BAE=|^=|,AE=DG=J(2a)2+(4a)2=2y/~5a>

DF1AE,

A「AGxAD2ax4a4V~5

-'-AF=^^=u^=-a,

PQ//BC,

APF^AABE,

糕嗡=第即竺一”一空,

ABBEAE4a~2a~2^5a

解得：AP=|PF=1a，

CQ=PB=AB-AP=4a-fa=^a,

<55

416

FQ=PQ-PF=^a-^a=^a,

???KHLAD,