2022-2023學(xué)年河北省唐山市十縣一中聯(lián)盟高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省唐山市十縣一中聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡的相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆將答題卡對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的〖答案〗信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂其他〖答案〗.〖答案〗涂在試卷上一律無(wú)效.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的〖答案〗，然后再寫上新〖答案〗；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（）A.1 B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所?故選：D2.已知向量，，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以，，，設(shè)與的夾角為，則，又，所以.故選：B3.已知為虛數(shù)單位，是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)（）A.4 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，所以也是關(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，解得故選：A4.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意圓錐的母線，設(shè)底面半徑為，高為，則，解得，所以，則圓錐的體積.故選：C5.小明為了加強(qiáng)體育鍛煉，提高身體素質(zhì)，從網(wǎng)上購(gòu)買了一對(duì)大小相同的健身啞鈴.啞鈴是由兩個(gè)全等的大圓柱和中間一個(gè)連桿圓柱構(gòu)成的，已知大圓柱的底面直徑是8cm，高為2cm，連桿圓柱的底面直徑是2cm，高為10cm，則一只健身啞鈴的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榇髨A柱的底面直徑是8cm，高為2cm，故兩個(gè)大圓柱的體積為，又連桿圓柱的底面直徑是2cm，高為10cm，故連桿圓柱的體積為，所以一只健身啞鈴的體積為.故選：C.6.如圖，矩形是水平放置的一個(gè)平面四邊形的直觀圖，其中，，則平面四邊形的面積為（）A.10 B. C. D.20〖答案〗B〖解析〗設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則，，原圖形如圖所示：，，故.故選：B.7.已知，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，則等于（）A. B.C.或 D.或〖答案〗A〖解析〗∵，，，∴，，由正弦定理得：，∴，故選：A．8.正四棱錐中，底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱，在該四棱錐的內(nèi)部有一個(gè)小球，則小球表面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗當(dāng)小球與正四棱錐各面相切時(shí)半徑最大，此時(shí)小球表面積的最大，設(shè)小球的半徑為，由底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱，可得正四棱錐的高，所以，又側(cè)面面積為，底面面積為，，解得，小球表面積的最大值為．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.下列四個(gè)命題中，真命題是（）A.兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)B.四邊形可以確定一個(gè)平面C.若直線，相交，且平面，則D.若直線平面，直線平面，則〖答案〗AC〖解析〗選項(xiàng)A，設(shè)，不重合，易知可確定唯一平面，又，所以，又，所以，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，空間四邊形不能確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，因?yàn)?，平面，所以面，故，所以選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)橹本€平面，直線平面，則或與相交，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.10.在正方形中，，點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.存在，使得D.的最小值為2〖答案〗AD〖解析〗在正方形中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由，得，由，得，，對(duì)于A，，而，則，A正確；對(duì)于B，，，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，而方程無(wú)實(shí)根，則不存在，使得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：AD11.如圖，，，，為三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，下列圖形中，直線與是異面直線的為（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，平面，平面，，平面，由異面直線的定義可知，直線與是異面直線，故A正確；對(duì)于B，如圖，、為所在棱的中點(diǎn)，所以，又，由平行公理可得，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，分別取底面三角形兩邊的中點(diǎn)，，連接，，則且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又平面，因?yàn)榕c無(wú)公共點(diǎn)，若與平行，得到與平行，這樣矛盾，可得與異面，故C正確；對(duì)于D，平面，平面，，平面，由異面直線的定義可知，直線與是異面直線，故D正確．故選：ACD．12.在中，角的對(duì)邊分別為，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則為等邊三角形B.是成立的充要條件C.若的面積為，則D.若點(diǎn)滿足，且，則〖答案〗ABD〖解析〗選項(xiàng)A，因?yàn)?，，由正弦定理得到，又由余弦定理，得到，即，所以，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，即，又，，所以，由正弦定理得，，又由三角形中，大邊?duì)大角，得，又以上過(guò)程均可逆，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)椋淼?，又由正弦定理可得，即，所以，故或，得到或，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，如圖，在中，，在中，，兩式相比得，因?yàn)椋?，所以，，且，所以，故，所以選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若復(fù)數(shù)，，，其中，為實(shí)數(shù)，則______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，，，其中，為實(shí)數(shù)，所以，解得，則，，所以，故〖答案〗為：14.已知，，，且，，三點(diǎn)共線，則______.〖答案〗〖解析〗三點(diǎn)共線，.，.故〖答案〗為：.15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若邊上的高為，且滿足，則______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榈拿娣e為，得到，又因?yàn)?，所以，即，由正弦定理得，即，所?故〖答案〗為：.16.已知四點(diǎn)，，，在半徑為1的圓上，，則的最大值為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榍覉A的半徑為，所以與所對(duì)的圓心角均為，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，不妨取，，設(shè)，則，，則，，，，；．．當(dāng)，即時(shí)，的最大值為．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知向量與滿足，，與的夾角為.（1）求；（2）求；（3）當(dāng)為何值時(shí)，？解：（1）因?yàn)?，，與的夾角為，所以.（2）由（1）知，所以.（3）由，得，解得，所以當(dāng)時(shí)，.18.已知，，復(fù)數(shù)，且，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在函數(shù)的圖像上.（1）求復(fù)數(shù)；（2）若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）因?yàn)椋?，?duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，得到，又，所以，又，由，解得，所以.（2）由（1）知，，所以，故，得到.19.如圖，圓錐的底面半徑，母線的長(zhǎng)為3，為上靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，從點(diǎn)拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn).（1）求繩子額最短長(zhǎng)度；（2）過(guò)點(diǎn)作一個(gè)與底面平行的截面，將圓錐分為上、下兩部分，其體積分別為，，求.解：（1）將圓錐側(cè)面沿母線展開可得一扇形，連接，此時(shí)繩子的長(zhǎng)度最短，在中，，，設(shè)，因?yàn)閳A錐的底面半徑，母線的長(zhǎng)為3，則，所以，在中，由余弦定理可得，所以.（2）過(guò)點(diǎn)作與底面平行的截面，將圓錐分為上下兩部分，上部分圓錐體積為，下部分圓臺(tái)體積為，設(shè)大圓錐體積為，則，即，，所以.20.在中，，，為的平分線，在邊上.（1）若，求的長(zhǎng)；（2）若，求.解：（1）因?yàn)?，因?yàn)闉榈钠椒志€，所以，由余弦定理可得，所以，即邊的長(zhǎng)為.（2）設(shè)，由，可得，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所?21.如圖，某景區(qū)綠化規(guī)劃中，有一塊等腰直角三角形空地，，，為上一點(diǎn)，滿足.現(xiàn)欲在邊界，（不包括端點(diǎn)）上分別選取，兩點(diǎn)，并在四邊形區(qū)域內(nèi)種植花卉，且，設(shè).（1）證明：；（2）為何值時(shí)，花卉種植的面積占整個(gè)空地面積的一半？（1）證明：由題意得，，，因?yàn)椋?，四邊形?nèi)角和等于，所以，又，所以，，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，所以，證畢；（2）解：由題意得m，故，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)m，則m，在中，由正弦定理得，即，解得①，由三角形面積公式得，，故，所以②，由①②得，化簡(jiǎn)得，分子分母同除以得，解得22.如圖，扇形的半徑為2，圓心角為，點(diǎn)是弧上一動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且于，于.設(shè)，將扇形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周，由圖中空白部分旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的表面積記為，體積記為.（1）若，求；（2）當(dāng)為多大時(shí)，最大，并求最大值.解：（1）因?yàn)樾D(zhuǎn)形成的幾何體為圓柱，圓柱的半徑，圓柱高，所以；（2）因?yàn)閳A柱的半徑為，高為，其中，所以，，所以，令，則，故，因?yàn)?，所以，令，則在區(qū)間上恒成立，故在區(qū)間單調(diào)遞增，故，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，最大，最大值.河北省唐山市十縣一中聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡的相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆將答題卡對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的〖答案〗信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂其他〖答案〗.〖答案〗涂在試卷上一律無(wú)效.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的〖答案〗，然后再寫上新〖答案〗；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（）A.1 B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所?故選：D2.已知向量，，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，所以，，，設(shè)與的夾角為，則，又，所以.故選：B3.已知為虛數(shù)單位，是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)（）A.4 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，所以也是關(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，解得故選：A4.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意圓錐的母線，設(shè)底面半徑為，高為，則，解得，所以，則圓錐的體積.故選：C5.小明為了加強(qiáng)體育鍛煉，提高身體素質(zhì)，從網(wǎng)上購(gòu)買了一對(duì)大小相同的健身啞鈴.啞鈴是由兩個(gè)全等的大圓柱和中間一個(gè)連桿圓柱構(gòu)成的，已知大圓柱的底面直徑是8cm，高為2cm，連桿圓柱的底面直徑是2cm，高為10cm，則一只健身啞鈴的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榇髨A柱的底面直徑是8cm，高為2cm，故兩個(gè)大圓柱的體積為，又連桿圓柱的底面直徑是2cm，高為10cm，故連桿圓柱的體積為，所以一只健身啞鈴的體積為.故選：C.6.如圖，矩形是水平放置的一個(gè)平面四邊形的直觀圖，其中，，則平面四邊形的面積為（）A.10 B. C. D.20〖答案〗B〖解析〗設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則，，原圖形如圖所示：，，故.故選：B.7.已知，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，則等于（）A. B.C.或 D.或〖答案〗A〖解析〗∵，，，∴，，由正弦定理得：，∴，故選：A．8.正四棱錐中，底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱，在該四棱錐的內(nèi)部有一個(gè)小球，則小球表面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗當(dāng)小球與正四棱錐各面相切時(shí)半徑最大，此時(shí)小球表面積的最大，設(shè)小球的半徑為，由底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱，可得正四棱錐的高，所以，又側(cè)面面積為，底面面積為，，解得，小球表面積的最大值為．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.下列四個(gè)命題中，真命題是（）A.兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)B.四邊形可以確定一個(gè)平面C.若直線，相交，且平面，則D.若直線平面，直線平面，則〖答案〗AC〖解析〗選項(xiàng)A，設(shè)，不重合，易知可確定唯一平面，又，所以，又，所以，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，空間四邊形不能確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，因?yàn)?，平面，所以面，故，所以選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)橹本€平面，直線平面，則或與相交，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.10.在正方形中，，點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.存在，使得D.的最小值為2〖答案〗AD〖解析〗在正方形中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由，得，由，得，，對(duì)于A，，而，則，A正確；對(duì)于B，，，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，而方程無(wú)實(shí)根，則不存在，使得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：AD11.如圖，，，，為三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，下列圖形中，直線與是異面直線的為（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，平面，平面，，平面，由異面直線的定義可知，直線與是異面直線，故A正確；對(duì)于B，如圖，、為所在棱的中點(diǎn)，所以，又，由平行公理可得，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，分別取底面三角形兩邊的中點(diǎn)，，連接，，則且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又平面，因?yàn)榕c無(wú)公共點(diǎn)，若與平行，得到與平行，這樣矛盾，可得與異面，故C正確；對(duì)于D，平面，平面，，平面，由異面直線的定義可知，直線與是異面直線，故D正確．故選：ACD．12.在中，角的對(duì)邊分別為，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則為等邊三角形B.是成立的充要條件C.若的面積為，則D.若點(diǎn)滿足，且，則〖答案〗ABD〖解析〗選項(xiàng)A，因?yàn)?，，由正弦定理得到，又由余弦定理，得到，即，所以，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，即，又，，所以，由正弦定理得，，又由三角形中，大邊?duì)大角，得，又以上過(guò)程均可逆，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)?，整理得，又由正弦定理可得，即，所以，故或，得到或，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，如圖，在中，，在中，，兩式相比得，因?yàn)?，且，所以，，且，所以，故，所以選項(xiàng)D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若復(fù)數(shù)，，，其中，為實(shí)數(shù)，則______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，，，其中，為實(shí)數(shù)，所以，解得，則，，所以，故〖答案〗為：14.已知，，，且，，三點(diǎn)共線，則______.〖答案〗〖解析〗三點(diǎn)共線，.，.故〖答案〗為：.15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若邊上的高為，且滿足，則______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榈拿娣e為，得到，又因?yàn)椋?，即，由正弦定理得，即，所?故〖答案〗為：.16.已知四點(diǎn)，，，在半徑為1的圓上，，則的最大值為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榍覉A的半徑為，所以與所對(duì)的圓心角均為，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，不妨取，，設(shè)，則，，則，，，，；．．當(dāng)，即時(shí)，的最大值為．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知向量與滿足，，與的夾角為.（1）求；（2）求；（3）當(dāng)為何值時(shí)，？解：（1）因?yàn)椋?，與的夾角為，所以.（2）由（1）知，所以.（3）由，得，解得，所以當(dāng)時(shí)，.18.已知，，復(fù)數(shù)，且，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在函數(shù)的圖像上.（1）求復(fù)數(shù)；（2）若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）因?yàn)?，所以，?duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，得到，又，所以，又，由，解得，所以.（2）由（1）知，，所以，故，得到.19.如圖，圓錐的底面半徑，母線的長(zhǎng)為3，為上靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，從點(diǎn)拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn).（1）求繩子額最短長(zhǎng)度；（2）過(guò)點(diǎn)作一