2022屆高考數(shù)學(xué)（文）二輪復(fù)習(xí)教學(xué)案 一 集合及其運算

專題一集合及其運算

【回顧過去，把握未來】

一.真題再現(xiàn)

1.【2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)廣東，文1】若

集合M={-1,1},N={-2,1,0},則MN=()

A.{0,-1}B.{0}C.{1}

D.{一1,1}

【答案】C

【解析】MN={1},故選C.

2.【2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)山東，文1】已

知集合A={x|2<x<4},8={x|(x—l)(%-3)<0},則()

(A)(1,3)(B)(1,4)(C)((2,3)(D)(2,4))

【答案】C

【解析】因為5={x[l<x<3},所以

AnB={x|2<x<4}n{x|l<x<3}=(2,3),故選C.

3.【2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)重慶，文1】已

知集合A={1,2,3},B={1,3},則ACB=()

(A){2}(B){1,2}(C){1,3}(D)

{1,2,3}

【答案】C

4.【2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(陜西卷)】設(shè)

集合Af={x|./=%},N={x|lgx<0},則M|JN=()

A.[0,1]B.(0,1]G.[0,1)D.(-oo,l]

【答案】A

5.【2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文科(四川卷)】設(shè)

集合4={川一1VxV2},集合8={X|1VxV3},則4U8=()

(4){x|TVxV3}(8){x|-1VxV1}(0{x|K%<2}

(〃){x|2VxV3}

【答案】A

【解析】集合4=(—1,2),8=(1,3),故4U8=(—1,3),選

A

6.[2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù)學(xué)(理工

類)】已知全集。={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合

5={1,3,4,6,7},則集合=

(A){2,5}(B){3,6}(C){2,5,6}(D){2,3,5,6,8}

【答案】A

【解析】23={2,5,8},所以4口63={2,5},故選A.

7.[2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(陜西卷)理】設(shè)集合

A/={X|X2=X},N={x|lgx<0},則MUN=()

A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)

D.(-oo,l]

【答案】A

【解析】M={x,=x}={0,1},N=|x|lg%<0}=|%|0<x<l|,所以

MIJN=[0,1],故選A.

8.[2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(福建卷)】

若集合A=(/是虛數(shù)單位)，5={1,-1},則等于

()

A.{-1}B.{1}C.{1,-1}D.0

【答案】C

【解析】由已知得A={i,-1,T1},故4門3={1,-1},故選析

9.【2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(山東卷)】

已知集合人=僅|26<4},B={x|(x-1)(x-3)<0],則AcB=()

(A)(1,3)(B)(1,4)(C)(2,3)(D)(2,4)

【答案】C

【解析】因為3={x[l<x<3},所以Ac3=(2,3),故選C.

10.【2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)數(shù)學(xué)(理科)】

已次口集合A={X|^2-4X+3<0},B={X|2<%<4},則AC\B=

(A)(1,3)(B)(1,4)(C)(2,3)(D)(2,4)

解析：A={A|X2-4X+3<0}={X|1<X<3},AA5=(2,3),答案選(C)

11.[2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文數(shù)(安徽卷)】設(shè)全

集。={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B=[2,3,4},則4=?3)=()

(A){1,2,5,6}(B){1}(C){2}(D){1,2,3,4}

【答案】B

【解析】：Q5={1,5,6}AAn(QB)={l}.,.選B

12.[2015屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理科(新課標(biāo)II

卷)】已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},

貝“AAB=()

(A){—1,0}⑻{0,1}(C){-1,0,1}(D){,0,,1,

2)

【答案】A

【解析】由已知得8=卜卜2<x<l},故AB={-1,0},故選A

二.高考研究

【考綱解讀】

1.了解集合的含義，元素與集合的屬于關(guān)系，能用自然語言、圖形語

言、集合語言(列舉法、描述法)描述不同的具體問題.

2.理解集合之間的包含與相等的含義，能識別給定集合的子集，在

具體情境中，了解全集與空集的含義.理解兩個集合的并集與交集的

含義，會求兩個簡單集合的并集與交集.理解在給定集合中一個子集

的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集.能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集

合的關(guān)系與運算.

3.體會數(shù)學(xué)語言的簡潔性與明確性，發(fā)展運用數(shù)學(xué)語言交流問題的能

力.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.體會分類討論思想、數(shù)

形結(jié)合思想、函數(shù)方程思想等數(shù)學(xué)思想在解題中的運用.

【命題規(guī)律】

從近幾年高考題來看，集合的運算考查比較頻繁，新課標(biāo)用韋恩

圖表達(dá)集合的關(guān)系與運算，高考試卷中的相應(yīng)內(nèi)容頁明顯增加，應(yīng)引

起足夠的重視.有時也會出現(xiàn)一塊創(chuàng)新的“試驗田”.全稱命題與特

稱命題，是新課標(biāo)教材的新增內(nèi)容，是考查的重點.

高考題型是選擇題或填空題.有時在大題的條件或結(jié)論中出現(xiàn).

【夯實基礎(chǔ)，厚積薄發(fā)】

一.基礎(chǔ)知識整合

（―）集合的概念及表示

1.集合：一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的

總體叫做集合（簡稱集）.

2.集合中元素的3個性質(zhì)：互異性、確定性、無序性.

3.集合的3種表示方法：列舉法、描述法、圖像法.

4.集合的分類：無限集、有限集。

5.集合的表示方法：列舉法、特征性質(zhì)描述法.集合的表示方法是

可以相互轉(zhuǎn)化的.

6.常用數(shù)集符號

數(shù)集正整數(shù)集自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復(fù)數(shù)集

符號N*NZQRC

（二）.集合間的基本關(guān)系

1.集合與元素的關(guān)系：如果a是集合A中的元素可表示為aeA;如

果a不是集合A中的元素可表示為awA.

2.集合與集合的關(guān)系

如果集合A是集合3的真子集，可表示為

如果集合A是集合3的子集，可表示為4=3.

3.集合相等

如果兩個集合4、5中的元素完全相同，則這兩個集合相等。

表TF為A'=B.

集合A與集合5滿足A=3且A35,則4=3.

4.空集的性質(zhì)：用0表示.空集是任何集合的子集.空集是任何非

空集合的子集.

5.有限集合A,則：A的子集個數(shù)是2";A的真子集個數(shù)是2"一

1；

A的非空子集個數(shù)是2'—1;A的非空真子集個

數(shù)是2"—2.

（三）.集合的基本運算及性質(zhì)

1.運算關(guān)系

集合幺與集合8的交集可表示為力n

集合/與集合B的并集可表示為力uB.

若[為全集，集合工的補(bǔ)集可表示為

'Ap\B^A,A^B^B,AC]B^I,Ap\A=A,AC\0=0.

2.邏輯關(guān)系=AAU5=5,AU/=/,AUA=A,AU0=A.

牖（幽4）=4施。=0,"0="0桐=0皿VA=U.

3.集合運算中的常用結(jié)論

交換律：Ap[B=B^A,A\jB=B\JA;

名吉合律：An（BnC）=（AnJB）nC,AU（BUQ=（AUB）UC；

分酉己律：An（Buc）=（AnJB）u（Anc）,Au（Bno=（AUB）n（Auc）；

吸收律：AU（AnB）=A,An（AUB）=A;

反演律（德摩根律）：瘤（ACB）=…（AUB）=瘠An

4.AC\B=A^A\JB=B^A^B.

5.對兩個有限集A、B有:card(AUB)-card(A)+card(B)一

card(APlB).

(四)疑難知識導(dǎo)析

1.符號口，凄，,二，表示集合與集合之間的關(guān)系，其中“口”

包括“展”和“二”兩種情況，同樣“3”包括和“二”兩種

情況.符號e,e表示元素與集合之間的關(guān)系.要注意兩類不同符

號的區(qū)別.

2.在判斷給定對象能否構(gòu)成集合時，特別要注意它的“確定性”，在

表示一個集合時，要特別注意它的“互異性”、“無序性”.

3.在集合運算中必須注意組成集合的元素應(yīng)具備的性質(zhì).

4.對由條件給出的集合要明白它所表示的意義，即元素指什么，是什

么范圍.用集合表示不等式(組)的解集時，要注意分辨是交集還是

并集，結(jié)合數(shù)軸或文氏圖的直觀性幫助思維判斷.空集是任何集合的

子集，但因為不好用文氏圖形表示，容易被忽視，如在關(guān)系式3cA

中，B二0易漏掉的情況.

5.｛巾=/(%)｝、｛小=/(%)｝、｛(%,y)|y=/(%)｝、｛x|g(x)之/(%)｝分別表示函

數(shù)y=/(x)定義域，值域，圖象上的點的坐標(biāo)，和不等式g(x)2/(x)的

解集.

6.要注意應(yīng)用8、408=44U8=8、CCA40([㈤=0

這五個關(guān)系式的等價性

7.若集合中的元素是用坐標(biāo)形式表示的，要注意滿足條件的點構(gòu)成的

圖形是什么，用數(shù)形結(jié)合法解之.

8.若集合中含有參數(shù)，須對參數(shù)進(jìn)行分類討論，討論時既不重復(fù)又不

遺漏，并檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異

性”而導(dǎo)致結(jié)論錯誤.

9.在集合運算過程中要借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)平面、Venn圖等將有關(guān)

集合直觀地表示出來.

10.要注意集合與方程、函數(shù)、不等式、三角、幾何等知識的密切聯(lián)

系與綜合使用.

二、高頻考點突破

題型一集合的含義

1.[2016屆云南省師大附中高三適應(yīng)性月考二理科數(shù)學(xué)試卷】已知

集合A={(x,y)|x2+y2<l,x,yeZ},B={(x,y)||x|<2,|y|<3,x,yGZ},

設(shè)集合M={(Xi+x2,yi+y2)I(x1,yl)eA,(x2,y2)eB},則集合M中元

素的個數(shù)為.

【答案】59

【解析】由題意知，A={(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1)},B中有5x7=35

個元素，當(dāng)(占，％)=(0,0)時，B中的元素都在M中；當(dāng)(孫％)=(-1,0),(1,0)

時，M中元素各增加7個；當(dāng)(孫^)=(0,-1),(0,1)時，M中元素各增加5

個，所以M中元素共有35+7+7+5+5=59個.

2.【精華學(xué)校2015-2016屆全日制沙河校區(qū)第二次統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷】已

知集合A={x|y—x—2<0},B={%|—1<x<1},則()

(A)A5B(B)B/(C)A=B(D)ADB=0

【答案】B

題型二集合的運算

1.[2016屆江蘇省清江中學(xué)高三周練數(shù)學(xué)試卷】設(shè)集合A={O,1,2},

B={x|x<2},則ACB=.

【答案】{0』}

【解析】由題意得：AnB={x|x<2}n{0,l,2}={0,l}

2.[2016屆江西省臨川一中高三上學(xué)期期中文科數(shù)學(xué)試卷】已知集

合加=卜|2?11,N={y|y=l—必},則A/CN=().

A.(YO,2]B.(0,1]C.(0,2]D.[0,1]

【答案】B

【解析】因為M={x[0<x<2},N={y|y<l},所以AfAN=(0,1],故選

B.

題型三集合與其他知識的結(jié)合

1.【四川省成都外國語學(xué)校2015屆高三高考考前自測數(shù)學(xué)(理)模

擬試卷】Z?是虛數(shù)單位，若集合S={-1,0,1},則

(1回丫

A.i3eSB.i6eSC.——+—i口S

【答案】：B

題型四集合中的創(chuàng)新問題

1.已知集合S={P\P=(xi,x2,x3),xie{0,1},/=1,2,3}對于A=(ai,a2,a3),

B=(bvbvb3)eS,定義A與5的差為A-8=(|%-4也1』〃3-41)，定義A與5

3

之間的距離為d(A,B)=Zlq-2I.對于VA,B,C￡S,則下列結(jié)論中一定

i=l

成立的是()

A.d(A,C)+d(B,C)=d(A,B)B.

d(A,C)+d(B,C)>d(A,B)

C.d(A—C,B—C)=d(A,B)D.d(A—C,B—C)>d(A,B)

【答案】C

【解析】由題意

—cj、回—C]卜]。2—。2卜忸,—02卜|。3—。3卜|03—03卜伍卜|。2—〃,卜|。3~'/l者B0

1所以

A-C=-c2|,|a3-c3|,)B-C=(瓦-仇涉2-c2|,|Z?3-c3|,)

都屬于5,所

d(A-C,B-C)=1%_C||一|/?[_Cj|+|_1^2_|+|。3_。3I一弧3—。3|

=|%一仇|+|tZo—優(yōu)|+|tZj—Z^j|~'d(A,B)

2.設(shè)S是至少有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”(即

對任意的a,bcS,對于有序?qū)崝?shù)對(。力)在S中有唯一確定的元素a*。

與之對應(yīng))若對任意的a,Z?eS,有=/?,則對任意的a,Z?eS,

下列等式中不恒成立的是()

A.(a*b^*a=aB.b*{b*b)=b

C.[a*0*a)]*(a*Z?)=aD.(a*8)*[b*(a*b)]=b

【答案】A

【跟蹤練習(xí)，觸類旁通】

1.設(shè)集合4={""|-1<%<3},8={2},則滿足條件的集合

M的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D,4

【答案】D

【解析】A={xeN|—l<x<3}={0,l,2},又B^M^A,故

/={2},{2,0},{2,1},{2,0,1},共4個，故選D.

2.已知全集U={xeN+|x<9},(CuA)cB={l,6},An^B)={2,3},

Cu(AU3)={5,7,8},則5=()

A.[2,3,4}B.[1,4,6)C.{4,5,7,8}

D.[1,2,3,6}

【答案】B

【解析】由題意得，。={123,4,5,6,7,8},所以畫出集合運算的韋恩圖

可知，集合3={1,4,6}.

3.已知集合加={0,1,2}3={小=2兄46"},則集合McN=()

A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,2}

【答案】D

【解析】由題意，得雙={0,2,4},所以MnN={0,2},故選D.

5.已知全集U=H,集合M={M>-I)(x+3)<O},N={M%|W1},則下圖陰影

部分表示的集合是()

A.[-1,1)B.(-3,1]C.(-OO,3)U[-1,+QO)

D.(-3,-1)

【答案】D

【解析】M={%|-3<x<l},N=k|-1G<1}顯然陰影部分表示的集合為

MnCRN={x|-3<x<-l},故選D.

6.集合A={x|尤2+X20},3={X|3,23},則AC3=()

A.<-11B.x>-1}

C.D.|x>0}

【答案】C

【解析】A={x|x2+x>0}={x<-l^a>0},B={x|3v>3}={x>l},所以

AnB={x>l},故選C.

7.已知4={123,4},5={2,4},。={1,2,3,4,5},則。乂人口為二()

A.{1,3,5}B.{1,3,5}0.{2,4}D.{1,2,3,4,5}

【答案】B

【解析】由已知得4門5={2,4},所以用(4門3)={1,3,5}.故選B.

8.設(shè)U是全集，M，P，S是。的三個子集，則陰影部分所示的集合為

A（McP）cSB.(McP)u(CuS)

C（AfcP）uSD.(McP)c(CuS)

【答案】D

【解析】由圖知，陰影部分在集合,中，在集合尸中，但不在集合S

中

故陰影部分所表示的集合是(McP)c(GS)

故答案為(MAP)nous

10.若。={1,2,3,4},〃={1,2}^={2,3},則G(/cN)=()

A.{1,2,3}B.{1,3,4}C.{2}D.{4}

【答案】B

【解析】；U={1,2,3,4},McN={2},:.CV(McN)={1,3,4}

11.已知集合A={x|x2_x—12>。},B=|x|x>mj.若AP|B={H尤>4},則

實數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(T,3)B.[-3,4]C.(-3,4)

D.(TO,4]

【答案】B

【解析】集合A={x|尤<-3§Jtx>4},AP|B={x|x>4},-3<zn<4,故

選B.

12.設(shè)集合4=口|二一21},集合5={y|y=2\x<0},則Ac5=()

x+1

A.(-1,1]B.[-1,1]C.(0,1)D.[-l,+oo)

【答案】C

【解析】A={x|-l<x<l},5={y|0<y<l},則Ac3=(0,l)

13.已知集合A={a/},則滿足AU5={a,b,c}的集合3的個數(shù)是()

A.2B.3C.4D.9

【答案】C

【解析】AUB={a,b,c},所以集合B中一要含有元素c,而集合A

中的兩個元素可以在B中也可不在，故滿足條件的集合B有他也c},

{a,c},{b,c},?共4個；

故選C

14.設(shè)全集U=R,集合A={4og2x<2),B={4%-3XX+1)>0},則

(C*)cA=()

A.(-oo-1]B.(-oo-l]u(0,3)C.(0,3)D.[0,3)

【答案】C

【解析】

A={x|log2x<2}={x|0<x<4},B=1%|(x-3)(x+l)>0}={x|x23處W—l},

所以CuB={x|-L<x<3},所以(C*)cA={九[0<x<3},故選C.

15.設(shè)A={x[2<6},B=[x\2a<x<a+3},若8=A,則實數(shù)a的取值

范圍是()

A.[1,3]B.[3,+oo)C.[l,+8)

D.(1,3)

【答案】C

【解析】因為83A,所以先考慮3=0,此時a+3<2a得：a>3若300,

2<2a

<Q+3?6解得：所以故選C.

2a<a+3

16.已知集合加={3,1082力，N={a,b},若MnN={。},則MljN=()

A.{0,1,2}B.{0,1,3}C.{0,2,3}D.{1,2,3)

【答案】B

【解